20 problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

Transcripción

1 0 problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

2 Cuaderno elaborado por Miguel Ángel Ruiz Domínguez #YSTP

3 Problemas de ecuaciones de segundo grado 1. CÓMO RESOLVEMOS UN PROBLEMA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO? HALLA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DE LADO 10 DM UN RECTÁNGULO TIENE DE DIAGONAL 5 CM Y DE ALTURA 15 CM. AVERIGUA LA BASE Y EL ÁREA UN TRIÁNGULO ISÓSCELES TIENE DE BASE 8 CM Y DE ALTURA 1 CM, AVERIGUA EL PERÍMETRO UN ROMBO TIENE DE DIAGONAL 16 Y 1 DM RESPECTIVAMENTE. AVERIGUA EL LADO, EL PERÍMETRO Y EL ÁREA HALLA DOS NÚMEROS CUYA DIFERENCIA SEA 5 Y LA SUMA DE SUS CUADRADOS SEA LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE DOS NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS ES 181. HALLA DICHOS NÚMEROS CALCULA EL RADIO DE UN CÍRCULO SABIENDO QUE SI AUMENTAMOS EL RADIO EN 6 CM, EL ÁREA SE HACE NUEVE VECES MÁS GRANDE Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP

4 9. DE UN TABLERO DE 100 CM SE CORTAN DOS PIEZAS CUADRADAS, UNA DE ELLAS CON 5 CM MÁS DE LADO QUE LA OTRA. SI LAS TIRAS DE MADERA QUE SOBRAN MIDEN 83 CM, CUÁNTO MIDEN LOS LADOS DE LAS PIEZAS CUADRADAS CORTADAS? SI SE AUMENTA EL LADO DE UN CUADRADO EN 4 CM, EL ÁREA AUMENTA EN 80 CM. CALCULA EL LADO DEL CUADRADO HALLA DOS NÚMEROS POSITIVOS CUYA DIFERENCIA SEA 7 Y LA SUMA DE SUS CUADRADOS HALLA EL LADO DE UN CUADRADO TAL QUE, AL AUMENTARLO EN 5 UNIDADES, EL ÁREA AUMENTE EN 395 UNIDADES CUADRADAS HALLA DOS NÚMEROS CUYA SUMA ES 78 Y SU PRODUCTO HALLA DOS NÚMEROS CUYA SUMA ES 14 Y LA DE SUS CUADRADOS ES SI AL PRODUCTO DE UN NÚMERO NATURAL POR SU SIGUIENTE LE RESTAMOS 31, OBTENEMOS EL QUÍNTUPLE DE LA SUMA DE AMBOS. CALCULA LOS NÚMEROS DENTRO DE 11 AÑOS LA EDAD DE VICENTE SERÁ LA MITAD DEL CUADRADO DE LA EDAD QUE TENÍA HACE 13 AÑOS. QUÉ EDAD TIENE VICENTE AHORA?... Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 3

5 17. UNO DE LOS LADOS DE UN RECTÁNGULO MIDE 6 CM MÁS QUE EL OTRO. CUÁLES SON LAS DIMENSIONES SI SU ÁREA ES 91 CM? LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO TIENEN POR MEDIDA TRES NÚMEROS ENTEROS CONSECUTIVOS. CALCULA LOS LADOS DEL TRIÁNGULO UN CUADRADO TIENE 44 METROS CUADRADOS MÁS QUE OTRO Y ESTE TIENE METROS MENOS DE LADO QUE EL PRIMERO. CALCULA LOS LADOS DE LOS CUADRADOS CALCULA EL ÁREA DE UN CÍRCULO SABIENDO QUE SI AUMENTAMOS EL RADIO EN 3 CM SE CUADRIPLICA SU ÁREA EL ÁREA DE UN RECTÁNGULO ES 600 CM. CALCULA LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO SABIENDO QUE SU PERÍMETRO ES 100 METROS Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 4

6 1. Cómo resolvemos un problema de ecuaciones de segundo grado? En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles. Para resolver un problema de ecuaciones de segundo grado debemos: Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Debemos familiarizarnos con el problema antes de empezar. Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea. Debemos realizar el planteamiento del mismo. Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o una representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema. Para plantear la ecuación volveremos al problema y debemos traducir el mismo a una expresión algebraica. El siguiente paso es resolver la ecuación. Por último y muy importante, es interpretar la solución. En este tipo de problemas tenemos que buscar la solución acorde a lo que nos pide el enunciado. Nos pueden dar dos soluciones y no siempre las dos son la correcta. Siempre, siempre, debemos comprobar que nuestra solución es acorde a lo expuesto. La traducción que hemos hecho de nuestro problema debe ser lógica y exacta. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 5

7 . Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 10 dm. Altura cateto x Hipotenusa 10 cm Cateto 5 cm (mitad de la base) Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto 10 x x +5 x 75 x ± 75 8,66 Nos quedamos solo con la solución positiva, x 8,66. La altura vale aproximadamente 8,66 cm. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 6

8 3. Un rectángulo tiene de diagonal 5 cm y de altura 15 cm. Averigua la base y el área. Diagonal hipotenusa 5 Cateto altura 15 Cateto base x Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto 5 x x +15 x 400 x ± Nos quedamos únicamente con la solución positiva x 0. Por lo que la base es 0 cm y el área base x altura 0 x cm Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 7

9 4. Un triángulo isósceles tiene de base 8 cm y de altura 1 cm. Averigua el perímetro. Cateto 1 mitad de la base 4 cm Cateto altura 1 cm Hipotenusa uno de los lados iguales x Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto x 4 +1 x 4 +1 x 160 x ± 160 1,64 Perímetro suma de sus lados 1, ,9 cm El perímetro es aproximadamente 3, 9 cm. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 8

10 5. Un rombo tiene de diagonal 16 y 1 dm respectivamente. Averigua el lado, el perímetro y el área. Cateto 1 Mitad de la diagonal mayor 8 dm Cateto Mitad de la diagonal menor 6 dm Hipotenusa Lado x dm Lado 10 dm Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto x 8 +6 x 8 +6 x 100 x ± 100 ±10 Perímetro suma de sus lados dm Área Diagonal mayor. Diagonal menor dm Nos quedamos con la solución positiva. El lado vale 10 dm. El perímetro vale 40 dm y el área vale 96 dm. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 9

11 6. Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 73. Primer número: x Segundo número: x-5 la suma de sus cuadrados sea 73 x b ± b 4ac a x + (x-5) 73 x + (x-5) 73 x + x -10x +573 x -10x ± x 1 x x -5x ± ± ± 11 Si el primer número es 8 el segundo es 3 y si el primero es -3 el segundo es -8. Se comprueba así que la suma de sus cuadrados en ambas soluciones presentadas es 73. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 10

12 7. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 181. Halla dichos números. Primer número: x Segundo número: x+1 La suma de dos números naturales consecutivos es 181 x b ± b 4ac a Primer número: x 9 x + (x+1) 181 x + (x+1) 181 x + x +x+1181 x +x-1800 x +x ± x 1 x Segundo número: x ± ± 19 Al tratarse de números naturales sólo nos quedamos con la solución x 9. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 11

13 8. Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nueve veces más grande. Radio: R Si aumentamos el radio en 6 cm se hace nueve veces más grande el área 9. (π.r ) π.(r+6) 9. (π.r ) π. (R+6) 9. R (R +36+1R) 9. R -. R R 8. R -1.R-36 0 R b ± b 4ac +1 ± (1) 4.8. ( 36) a.8 +1 ± ± ± x 1 x Nos quedamos con la solución positiva. De este modo, el radio del círculo es 3cm. 9. (π.3 ) π. (R+6) Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 1

14 9. De un tablero de 100 cm se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 83 cm, cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas? 1 lado de la pieza cuadrada: x lado de la pieza cuadrado: x+5 Sumamos el área de los cuadrados que corta y el que sobra y nos da la x b ± b 4ac a total x + (x+5) x + (x+5) x + x +10x x +10x x +10x-1090 x +5x ± x 1 x ± 09 5 ± 47 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 13

15 Nos quedamos sólo con el resultado positivo. 1 lado de la pieza cuadrada: x1 cm lado de la pieza cuadrado: x cm Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 14

16 10. Si se aumenta el lado de un cuadrado en 4 cm, el área aumenta en 80 cm. Calcula el lado del cuadrado. Lado del cuadrado: x Si aumenta el lado del cuadrado en 4 cm, el área aumenta en 80 cm (x+4) x +80 (x+4) x +80 x +16+8x x +80 x - x +8x x64 x64/8 8 Lado del cuadrado: x 8 cm Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 15

17 11. Halla dos números positivos cuya diferencia sea 7 y la suma de sus cuadrados Primer número: x Segundo número: x+7 b ± b 4ac a Suma de sus cuadrados es 3809 Primer número: x 40 Segundo número: x+7 47 (x+7) +x 3809 (x+7) +x x x+x x +14x x +7x ± (1880) x 1 x ± ± 87 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 16

18 1. Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en 5 unidades, el área aumente en 395 unidades cuadradas. Lado del cuadrado: x Si aumenta el lado del cuadrado en 5 cm, el área aumenta en 395 cm (x+5) x +395 (x+5) x +395 x +5+10x x +395 x - x +10x x370 x370/10 37 cm Lado del cuadrado: x 37 cm Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 17

19 13. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 196. Primer número: x Segundo número: 78-x x b ± b 4ac a Primer número: x 54 Su producto es 196 x.(78-x) 196 x.(78-x) x-x 196 -x +78x ± x 1 x Segundo número: 78-x ± ± 30 Es la única solución posible porque el producto de 54.4 es 196. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 18

20 14. Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados es 100. Primer número: x Segundo número: 14-x La suma de sus cuadrados es 100 x b ± b 4ac a Primer número: x 8 Segundo número: 14-x Primer número: x 6 Segundo número: 14-x x + (14-x) 100 x + (14-x) 100 x x+x 100 x -8x +960 x -14x ± x x ± ± Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 19

21 15. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. Calcula los números. Primer número: x Segundo número: x+1 Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos x b ± b 4ac a x.(x+1) ( x+x+1) x.(x+1) ( x+x+1) x +x-3110x+5 x -9x ± x 1 x ± 5 +9 ± 15 Al ser un número natural nos quedamos con x 1. Primer número: x1 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 0

22 Segundo número: x+113 Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos (+13) 1515 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 1

23 16. Dentro de 11 años la edad de Vicente será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Qué edad tiene Vicente ahora? Edad Ahora Edad dentro de 11 Edad hace 13 años años x X+11 x-13 Dentro de 11 años la edad de Vicente será la mitad del cuadrado de la x b ± b 4ac a edad que tenía hace 13 años (x + 11) (x 13). (x+11) (x-13) x+ x x x -8x ± x 1 x ± ± 14 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP

24 Edad Ahora Edad dentro de 11 Edad hace 13 años años 1 años 3 años 8 años Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 3

25 17. Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. Cuáles son las dimensiones si su área es 91 cm? Lado pequeño: x Lado grande: x+6 x b ± b 4ac a Su área es 91 cm x. (x+6) 91 x. (x+6) 91 x +6x ± x 1 x ± ± 0 Lado pequeño: x 7 cm Lado grande:x cm Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 4

26 18. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números enteros consecutivos. Calcula los lados del triángulo. Primer lado cateto 1 x Segundo lado cateto x+1 Tercer lado hipotenusa x+ Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto x b ± b 4ac a Primer lado cateto 1 x 3 (x+) x +(x+1) (x+) x +(x+1) x +4x+4 x + x +x+1 x -x - x +4x+4-x-1 0 -x +x+30 x ± x ± 16 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 5

27 Segundo lado cateto x+14 Tercer lado hipotenusa x+5 Teorema de Pitágoras Hipotenusa cateto + cateto Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 6

28 19. Un cuadrado tiene 44 metros cuadrados más que otro y este tiene metros menos de lado que el primero. Calcula los lados de los cuadrados. Lado cuadrado pequeño: x Lado cuadrado grande: x+ Igualamos áreas (x+) x +44 (x+) x +44 x +4+4x x +44 x +4+4x-x x 40 x 40/4 10 Lado cuadrado pequeño: x 10 cm Lado cuadrado grande: x+ 1 cm De este modo, el área del pequeño es 100 cm y el área del mayor es 144 cm. Por tanto, Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 7

29 0. Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 3 cm se cuadriplica su área. Radio R Si aumentamos el radio en 3 cm su cuadriplica su área 4. (π.r ) π. (R+3) 4. (π.r ) π. (R+3) 4. R (R +9+6R) 4. R -. R 9+6. R 3. R -6.R-9 0 R -.R-3 0 R b ± b 4ac + ± () 4.1. ( 3) a + ± 4 + ± ± 16 x x Nos quedamos con la solución positiva. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 8

30 De este modo, el radio sería 3 cm. 4. (π.3 ) π. (3+3) Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 9

31 1. El área de un rectángulo es 600 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es 100 metros. Lado menor: x Lado mayor: 50-x (50-x). x 600 (50-x). x x-x x +50x-6000 x b ± b 4ac a Lado menor: x 0 Lado mayor: 50-x 30 x 1 50 ± x ± 100 Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 30

32 Si tienes cualquier duda y quieres ponerte en contacto conmigo, puedes hacerlo escribiéndome a yosoytuprofe.miguel@gmail.com, o bien a través de mis perfiles en redes sociales (Facebook,Twitter,Instagram o Youtube). Nos vemos en la siguiente clase. Problemas de ecuaciones de segundo grado #YSTP 31