MATEMÁTICA Teorema de Pitágoras Guía Nº 2

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Juan José Saavedra Bustamante
hace 6 años
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1 MATEMÁTICA Teorema de Pitágoras Guía Nº 2 APELLIDO: Prof. Karina G. Rizzo 2. b) Trazar una recta y dividir en partes iguales ubicando, en la misma, desde el el año 700 hasta el año 0 (en múltiplos de 100). Luego marcar, con distintos colores, los segmentos que representan los años de cada persona. 3. bc = H = 5 unidades de medida ab = C = 4 ac = C = 3 a) Calcula las áreas de cada una de esos cuadrados: área del cuadrado de lado H : H 2 = 5 2 = 25 área del cuadrado de lado C : C 2 = 4 2 = 16 área del cuadrado de lado C : C 2 = 3 2 = 9 b) Qué relación hay entre ellas? El área del cuadrado de lado H es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado C y C respectivamente. Es decir : c) Qué representan H, C y C del triángulo? H es la hipotenusa, C es un cateto y C es el otro cateto d) Escribe la conclusión: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir : 4. a) completa el cuadro con las medidas pedidas respecto a la unidad elegida en cada caso mq mq 2 mp mp 2 pq pq 2 mp 2 + pq 2 T T b) qué relación encuentras entre el cuadrado de la hipotenusa y la suma de los cuadrados de los catetos? Son iguales c) escribe la conclusión: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir : 5. TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir : T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 1

2 6. Sería correcto decir : El cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado de la suma de los catetos? NO por qué? Porque la potencia no se distribuye en la suma Demuéstralo con un ejemplo. Trabajamos con las medidas de los lados de alguno de los triángulos de los ejercicios anteriores 5 2 = = = 25 Verdadero H 2 = (C + C ) = ( ) 2 25 = = 49 Falso es la expresión correcta H 2 = (C + C ) 2 es la expresión equivocada 7. Cada vez que necesitamos calcular el lado de un triángulo rectángulo, planteamos el teorema de Pitágoras. Luego, reemplazamos por los datos y resolvemos la ecuación que queda armada a) H = 13cm C = 10cm C = x cm 13 2 = x = x = x 2 69 = x 2 x = 69 x = +/ 8, ab 8,306cm c) H = 25cm C = C = x cm = x 2 + x = 2 x : 2 = x 2 312,5 = x 2 x = 312, 5 x = +/ 17,67 ab ac 17,67cm Al dibujar el cuadrado y trazar una de sus diagonales, se observa que, el mismo, queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales Aplicar el teorema de Pitágoras para uno de esos triángulos y resolver teniendo en cuenta que : la diagonal del cuadrado es la hipotenusa del triángulo y los lados del cuadrado son los catetos del triángulo. Dibujar el triángulo y trazar la altura. Se observa que, el mismo, queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales (por propiedad de las alturas de los triángulos equiláteros) Aplicar el teorema de Pitágoras para uno de esos triángulos y resolver T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 2

3 15. Dibujar el triángulo y trazar la altura correspondiente a la base. Se observa que, el mismo, queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales (por propiedad de la altura correspondiente a la base de los triángulos isósceles) Aplicar el teorema de Pitágoras para uno de esos triángulos y resolver base = ac = 8cm y altura = bp = 4cm Trabajamos con el triángulo apb : H = ab x cm C = ap = 4cm C = bp = 4cm x 2 = x 2 = x 2 = 32 x = 32 x = +/ 5,65 ab 5,65cm = bc a b p c Per. triáng. abc = ab bc ac = 5,65 + 5, Per. triáng. abc = 19,31cm 16. a) Ésta es una situación igual a la planteada en los ejercicios 7c) y b) Hay que calcular su superficie Para calcular el lado pedido, aplicamos el teor. de Pitágoras. Para calcular el ángulo, recordamos que, en todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores da 180º Teniendo el dato del perímetro, podemos hallar el lado. Con la medida del lado, calculamos su superficie Per.cuadrado = L + L + L + L = 4L = 28 4L = L = 4 L = 7 5 cm Sup. Cuadrado = L 2 = (7 5) 2 5 cm = (7. 5) 2 = = Sup. Cuadrado = 245cm 2 T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 3

4 21. Datos: np = 6cm n p mq = 9cm mn = 4cm m q r Para calcular el perímetro pedido, es necesario primero, calcular la medida del lado pq Para calcular pq : trazar un segmento pr ; quedan así formados el rectángulo mnpr y el triángulo rectángulo prq Trabajamos con el triáng. prq donde H= pq, C= pr = mn = 4cm y C = rq = mq mr como mr = np = 6cm rq = 9cm 6cm 22. b) Tener en cuenta que los rollos se compran enteros (no se venden fraccionados), es decir, o compro 7 rollos o compro 8 rollos. Debo comprar 8 porque con 7 van a faltar metros de alambre c) Calcular, por separado, el gasto de la compra y el gasto de la colocación. El descuento se aplica solamente al gasto de la compra. Luego se averigua el gasto total. 23. Propiedad de las diagonales del rombo : Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente por su punto medio y son bisectrices de sus ángulos. De esta propiedad se deduce que, al trazar las diagonales del rombo, el mismo queda dividido en cuatro triángulos rectángulos iguales Se trabaja con uno de esos triángulos siendo : H= el lado del rombo, C= la mitad de una diagonal y C = la mitad de la otra diagonal b b a q c q c d bc = Lado del rombo = Hipotenusa del triángulo (hay que calcularla para luego obtener el perímetro del rombo) bq = media diagonal del rombo = cateto del triáng. = 3,6cm (7,2 : 2 = 3,6) qc = la otra media diagonal del rombo = el otro cateto del triáng. = 2,4cm (4,8 : 2 = 2,4) T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 4

5 24. Al ser bm ac, significa que el triángulo bmc es un triángulo rectángulo Observar también que, los triángulos bma y adc, también son triángulos rectángulos Para calcular el área del triángulo bmc, hay que calcular primero la base = mc y la altura = bm Para obtener la base = mc, se trabaja con el triángulo adc calculando su hipotenusa = ac. Luego : ac am = mc Para obtener la altura = bm, se trabaja con el triángulo bma donde ab = cd = 6cm = H y am = 3,6cm = C (bm es el otro cateto) 25. BASE = 2. ALTURA + 3 si ALTURA = x cm BASE = 2. x + 3 Per. del rectángulo = B + A + B + A = 18 cm 2x x + 2x x = 18 6x + 6 = 18 6x = 12 x = 2 Con el valor de x se calculan las medidas de los lados Teniendo los lados del rectángulo (que son los catetos del triángulo), se calcula la diagonal (que es la hipotenusa) Recordar que las diagonales del rectángulo son iguales 26. Base = 3. Altura si Altura = x Base = 3. x 10 2 = x 2 + (3x) = x 2 + 9x = 10x : 10 = x 2 x 2 = 10 x = 10 x = +/ 3,16 como x representa la medida de un segmento x = + 3,16cm Teniendo la altura, se calcula la base y, finalmente, la superficie pedida. 28. Ubicar los tres puntos en un sistema de ejes cartesianos y unirlos. Se observa que forman un triángulo rectángulo. La medida de los catetos se obtiene contando las unidades (los cuadraditos del gráfico) de medida entre los puntos : ab = 11 y ac = 13 La hipotenusa se calcula aplicando el Teor. De Pitágoras T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 5

6 29. a) a = (-1 ; 3) y b = (2 ; 1) Ubicar los puntos en un sistema de ejes cartesianos y unirlos. Queda formado el segmento ab. A partir del punto a, trazar una recta siguiendo la línea del cuadriculado de la hoja; hacer lo mismo desde b. Prolongar estas rectas hasta que se cortan en un punto que llamaremos q. Queda así formado el triángulo rectángulo aqb, donde la distancia entre los puntos a y b es la hipotenusa del mismo. La medida de los catetos se obtiene contando las unidades de medida entre los puntos : aq = 2 y qb = 3 La hipotenusa se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras 30. Graficar la recta en un sistema de ejes cartesianos. Se observa que la recta corta a ambos ejes quedando formado un triángulo rectángulo. Luego se trabaja igual que en el ejercicio anterior T. de Pitágoras Prof. Karina G. Rizzo 6

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