PÁGINA 48. Entrénate. 2 Halla, tanteando, alguna solución (busca números enteros) de estas ecuaciones: a) 5(x 2 + 1) = 50 b) (x + 1) 2 = 9

Transcripción

1 PÁGINA 8 Entrénate 1 Comprueba si alguno de los valores dados es solución de la ecuación correspondiente: a) x ; x 5, x 9 b) 5(x ) 15; x, x c) 5x + 1 ; x 1, x 7 a) x 5 no es solución x 9 sí es solución. b) 5( ) 15 8 x sí es solución. 5( ) x no es solución. c) x 1 no es solución x 7 sí es solución. Halla, tanteando, alguna solución (busca números enteros) de estas ecuaciones: a) 5(x + 1) 50 b) (x + 1) 9 a) x, x b) x, x 1 Comprueba, en cada caso, si cada uno de los dos valores es o no solución de la ecuación: a) x 0x 1; x 5, x b) 1 x x 1; x, x c) x 1 51; x 9, x 10 d) x x + 1 8; x, x 1 e) x + x 1; x 1, x a) x 5 no es solución x sí es solución. b) x sí es solución x no es solución. c) x 9 no es solución x 10 sí es solución. d) x sí es solución x 1 no es solución. e) no se puede calcular. 8 x 1 no es solución x sí es solución.

2 Tantea para hallar alguna solución de estas ecuaciones (todas ellas tienen solución entera): a) x + x 10 b) (x 5)(x + ) 0 c) x d) x x 15 a) x b) x 5, x c) x d) x 5 Pág. Tanteando con ayuda de la calculadora, encuentra una solución (aproximada hasta las décimas) de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x b) x c) 8x 0 5 a) Es lo mismo que hallar x 99. Damos valores enteros a x: 5 < > 99 Por tanto, x es mayor que y menor que 5. Damos a x los valores,5;,;,7,5 9,15 < 99, 98, < 99,7 10,8 > 99 Por tanto, aproximando a las décimas, x,. b) 5 < > 1000, 908,1 < 1000, 101,59 > 1000 Aproximando a las décimas, x,. c) 8 8,1 0,98 < 5 8 8, 0 5,0 > 5 Aproximando a las décimas, x 8,1.

3 PÁGINA 9 Entrénate 1 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la solución de cada una: a) x (x + ) x (x + 1) b) + x (1 x) + 5( + x) 0 c) x + 7 (x 1) (x + ) d) (x 7) (x + 1) 5 + x a) x x x x 8 x 0 8 x 1 Comprobación: b) + x + x x x x 1 Comprobación: c) x + 7 x + x x + 7 x + x x 0 8 x 0 Comprobación: d) 8x 8 9x 5 + x 8 x 8 x 1 Comprobación: ( 7) ( 8) Comprueba si estas dos ecuaciones son o no equivalentes: (x 1) + x + 1 x + 1 x 1 (x 1) (x 5) (x 1) + x + 1 x x + x + 1 x x x 1 (x 1) (x 5) 8 x 1 x + 1 x x 10 8 x Las ecuaciones son equivalentes.

4 PÁGINA 50 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1 + x x b) 1 + x x 1 c) x x d) x + 1 x e) 1 x 1 9 f) x 1 x g) x + x j) x 15 x x l) x + x 8 n) x x + + x + 1 a) + x x 8 x x h) 1 x 1 + x 5 8 x k) x + x 9 x x 9 m) 1 + x 0 1 o) x + i) ( x 1 ) x + 1 5x 10 + x 5 x b) 1 + x x x x 8 x 8 x c) x 5 + x 8 0 x + 15x 8 18x 18 8 x 1 5 d) x + 1 x 8 x + x 8 x 8 x e) 1 x x 9 8 x f) x 1 x 8 x 1 x 8 x 1 8 x g) x + x x + x x 8 x 5 h) 1 x 1 + x 5 8 x 8 x + 8x 15 x 8 10x 9 8 x 9 10 i) ( x 1 ) x (1x ) 9x x 8 x 1 j) x 15x 15x x 15x + 15x 7 8 x 7 8 x 9 k) 9x + x x 11 x 8 9x + x x + x x 11 8 x 1 l) 8x + (x ) + x + 8(x ) 8 8x + x + x + 8x x + x + x 8x x 1 8 x m) 1 + x 50x (10 + x) + (1 1x) x 50x 0 + x + x 8 8 x 50x x + x x 9 8 x 1 n) 1x (x + ) 5 8 1x x x 55 8 x 5 o) 1 (x + ) (x ) 8 1 x x 1 8 5x 0 8 x + 1 1x 10

5 PÁGINA 51 1 Para cada una de estas ecuaciones, indica cuánto valen a, b y c. Resuélvelas aplicando la fórmula: a) x x 5 0 b) x 7x + 0 c) x + x + 0 d) x 7x 0 e) x 10x f) x x + 0 a) a 1, b, c 5 x ± 1 1 ( 5) ± ± 8 x 1 5 y x 1 b) a, b 7, c x 7 ± 9 7 ± ± 5 8 x 1 y x 1 c) a 1, b 1, c x 1 ± 1 ( 1) 1 ± ± 5 8 x 1 y x d) a, b 7, c x 7 ± 9 ( ) 7 ± ± 9 8 x 1 y x 1 e) a 1, b 10, c 5 x 10 ± ± x 5 f) a 1, b 1, c x 1 ± 1 1 Completa esta tabla: ± 1 8 No tiene solución. a b c TIENE SOLUCIÓN? x 1 x 5x 8x Sí 0 8/5 x Sí 8 8 x x No x + x 0 1 Sí / 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 5x + 0 b) 9x + x c) 9x x d) 5x 7x + 0 e) x + 5x 0 f) x 5x g) x x h) x 0,1x + 0, 0

6 a) x 5 ± 5 1 b) x ± c) x ± d) x 7 ± e) x 5 ± 5 ± 18 ± ± 5 ( ) f) x 5 ± g) x h) x ± ,1 ± 0,01 1 0, 7 ± ± 1 5 ± ± 5 1 ± 9 0 ± 0 18 Solución doble. 7 ± ± x 1 y x 5 ± 7 ± 51 0,1 ± 0,01 0,8 8 x 1 Solución doble. No tiene solución. 8 x 1 1 y x 8 x 1 1 y x 1 No tiene solución. 0,1 ± 0,79 No tiene solución. Resuelve estas ecuaciones: a) x + x 1 0 b) x + 9x c) 9x 1x + 0 d) x + x + 0 e) x + 8x f ) x x + 0 g) x 0x h) x + x + 0 Pág. a) x b) x c) x d) x e) x ± 1 1 ( 1) 9 ± ± ± ± f) x ± 1 g) x h) x 0 ± ± 9 ( ) ± ± ± ± 1 1 ± 1 ± 10 9 ± 1 8 ± x 1 y x 7 8 x 1 y x x No tiene solución. No tiene solución. 0 ± ± ± x x 5 8 x 1 1 y x

7 PÁGINA 5 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución: a) x 1x 0 b) x x 0 c) x 5x 0 d) x 8 0 e) 9x 5 0 f ) x g) 1x 100 h) x 0 a) x (x 1) 0 8 x 1 0 y x b) x (1 x) 0 8 x 1 0 y x 1 c) x (x 5) 0 8 x 1 0 y x 5 d) x 8 x 1 y x e) x 5/9 8 x 1 5 y x 5 f ) x 5 No tiene solución. g) x 100/1 8 x 1 5 y x 5 h) x 8 x 1 y x

8 PÁGINA 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x + )(5x 7) (x + 7) + 5 b) (x + 1)(x ) (x + 1)(x 1) 8 c) (x )(x + ) x (x + 1) 5 0 d) (x + 1) + (x + )(x ) a) 15x 1x + 0x 8 x + 8x x 9x 10 0 x 9 ± ( 10) 9 ± 81 8 x 1 5 y x ± b) x x + x x x 5x + 0 x 5 ± ± 1 5 ± 1 c) x 9 x x x x 1 0 x 1 ± 1 ( 1) 1 ± x 1 y x 1 ± 1 d) x + x x 8 x + x x ± 1 1 ± ± 9 ± 51 8 x y x 1 8 x 1 1 y x 1 7 Resuelve: a) x x + x + 1 c) (x 1) x x b) (5x )(5x + ) (x 1) 9 a) (x x) + 1 x x 9x + 1 x x 10x x(x 10) 0 8 x 1 0 y x 10 b) (5x )(5x + ) (9x x + 1) x 1 18x 1x x + 1x 0 8 x (7x + 1) 0 8 x 1 0 y x 1 7 c) x x + 1 x x x x + 5 x ± 1 5 ± 1 No tiene solución.

9 PÁGINA 5 1 Si a un número se le quita su mitad y luego su tercera parte se obtiene 9. Cuál es ese número? La mitad de un número desconocido, x, es x/ y su tercera parte, x/. x x x 9 8 x x x 5 8 x 5 La base de un rectángulo es igual al doble de la altura disminuida en cm y su perímetro es 100 cm. Halla la longitud de sus lados. Si la altura es x, la base es x. (x + x ) 100 x x 50 8 x 5 8 x 18 x La altura es de 18 cm y la base es de cm. Divide 1 00 en tres partes de modo que la segunda parte supere a la primera en 100 y la tercera parte supere a la segunda en 00. Completa esta tabla para organizar los datos: PRIMERA PARTE SEGUNDA PARTE TERCERA PARTE x x x x + 00 x + x x x x 00 Las partes son: 00, 500 y 700. Un padre de 7 años tiene dos hijos de 8 y 5 años. Cuántos años tienen que pasar para que la suma de las edades de los hijos sea igual a la edad del padre? Completa esta tabla para organizar los datos: PADRE HIJO 1 HIJO EDAD HOY EDAD DENTRO DE x AÑOS 7 + x 8 + x 5 + x 7 + x 8 + x x 8 x. Han de pasar años. 5 Una madre tiene años y su hijo, 15. Cuántos años hace que la edad de la madre era cuatro veces la del hijo? Completa esta tabla para organizar los datos: MADRE HIJO EDAD HOY 15 EDAD HACE x AÑOS x 15 x x (15 x) 8 x 0 x 8 x 18 8 x. Hace años, la edad de la madre era cuatro veces la del hijo.

10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 55 Opera y calcula Ecuaciones de primer grado 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( x) ( x) (x + 1) + ( 5x) b) x 5 x + 1 c) 1 x + x d) x + 5 x + e) 5x 1 x x + 1 f ) x a) x 9 + x x x 8 11x 1 8 x x b) (x ) 5(x + 1) 0 8 x 9 5x x 8 x 8 c) (x + ) x 8 x + x 8 x 0 d)(x + ) 5(x + ) 8 x + 8 5x x e)10x x 8 + x + 8 7x 8 8 x f )(x ) 18 ( + x) 8 x x 8 7x 1 8 x Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus soluciones: a) (x )(x + ) ( x) x b) x (x + ) + ( x) x (x + 1) c) (x ) + (x ) (x + 1) + 5x (x 1) d) x (x + 1) (x 1) x a) 1x 9 (9 + x 1x) x 8 1x 9 1x + 8x x 8 5x 5 8 x 1 b) x + x x x x + x 8 9 x 8 x c) x + 9 1x + x + x x + + 5x 5x x x x 8 x d) x(x 1) (x 1) (x + 1) x x (x + 1 x) x x x 1

11 Soluciones a Ejercicios y problemas Ecuaciones de segundo grado Pág. Resuelve: a) 7x 8 0 b) 7x c) x 9 0 d) x + x 0 e) x x f) 11x 7x 0 g) (x + 5) + (x ) 1(x + ) h) 7x a) 7x 8 8 x 8 x ± 8 x 1 y x b) 7x 8 8 x 8 x ± No tiene solución. c) x 9 8 x 9 8 x ± 9 8 x 1 y x d) x(x + 1) 0 8 x 1 0 y x 1 e) x(x 1) 0 8 x 1 0 y x 1 f ) x(11x 7) 0 8 x 1 0 y x 7 11 g) (x + 10x + 5) + (x x + 9) 1x x + 1x x x x 1 No tiene solución. h) 7x 8 x 9 8 x ± 9 8 x 1 y x Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x (x 1) x (x + 1) + x b) (x 1)(x + ) (x + 1)(x ) 1 x 1 c) x + 1 (x 1) x + + (x ) a) x(x 1) x(x + 1) + x x x x x + x x x x ± 1 b) x + x (x x ) 1 (x ) 8 8 x + x x + x + 1 x 1 8 x x x + x 0 8 x 1 ± 1 ( ) 1 ± c) (x + 1) (x x + 1) (x + ) + (x x + ) 8 8 x + x + x x 8 + x 8x x x x x x 1 x

12 Soluciones a Ejercicios y problemas Aplica lo aprendido Pág. 5 He pagado 1,0 por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, cuál es el precio de cada artículo? Precio del bolígrafo, x; cuaderno, x; carpeta, 5 x. x + x + 10x 1,0 8 1x 1,0 8 x 1,1 El bolígrafo cuesta 1,1 ; el cuaderno,,, y la carpeta, 11. Álvaro y Yago han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 1% y del 19%, respectivamente. Si Álvaro pagó 1, más que Yago, cuál era el precio que tenía el videojuego? Luis pagó 0,8x y Miguel pagó 0,81x. 0,8x 0,81x + 1, 8 0,0x 1, 8 x El precio del videojuego era. 7 Con,5 más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,5. Cuánto dinero tengo? x es el dinero que tengo. x +,5 x 7,5 8,5 + 7,5 x 8 8 x 10,75 es el dinero que tengo. 8 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 10. Cuál es el número? x es el número buscado. x x 10 8 x x 10 0 x ± ± x 1 x 10 El número puede ser 1 o 10. Hay dos soluciones. 9 Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 15. Los números son x y x + 1. x + (x + 1) 15 8 x + x x x + x x + x x 1 ± Son 8 y 9, o bien, 9 y 8. Hay dos soluciones. 1 ± 17 x 8 x 9

13 Soluciones a Ejercicios y problemas 10 Halla tres números enteros consecutivos tales que la diferencia entre el cuadrado del mayor y el menor sea igual al producto del menor por el intermedio aumentado en cuatro unidades. Pág. Llamamos x 1, x y x + 1 a los tres números consecutivos. (x + 1) (x 1) (x 1)(x + ) x + x + 1 x + 1 x + x 8 x 8 x Los números pedidos son, y. 11 La tercera parte del cuadrado de un número entero, sumado a la quinta parte del mismo número, da como resultado 78. Halla dicho número. x + x x + x x ± ± 15 8 x La otra solución, x 15,, no es un número entero. El número buscado es el La superficie de un rectángulo es 9 cm. Halla sus dimensiones sabiendo que una es 7 cm más larga que la otra. x (x + 7) 9 8 x + 7x 9 0 x 7 ± ± 5 8 x 19 La otra solución, x, es un número negativo, no válido para una medida. Las dimensiones del rectángulo son 19 cm y cm. 1 En un triángulo rectángulo, un cateto mide cm menos que la hipotenusa y 1 cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de los tres lados. x 1 x + x Aplicando el teorema de Pitágoras, (x + ) (x 1) + x x + x + x 8x x 0 8 x + x x x x ± ± 1 8 x 1, x 8 Si x 8, las medidas del triángulo serían 8, 10 y. La solución no es válida. Por tanto, los catetos del triángulo miden cm y 10 cm y la hipotenusa, cm.

14 5 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 5 Resuelve problemas 1 Resuelto en el libro del alumno. 15 Del dinero de una cuenta bancaria retiramos 1/7; ingresamos después /15 de lo que quedó y aún faltan 1 para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? x es el dinero de la cuenta. Retiramos 1 7 x 8 quedan 7 x Ingresamos 15 7 x 5 x 7 x + 5 x + 1 x 8 5 x + 1 x x 8 x 0 había en la cuenta. 5 1 Dos hermanas se llevan años y su padre tiene 5. Hace 7 años, la suma de las edades de las hijas era la mitad que la del padre. Qué edad tiene cada hija? EDAD HOY HACE 7 AÑOS HIJA MENOR x x 7 HIJA MAYOR x + x + 7 PADRE 5 8 x 7 + x 19 8 x 0 8 x 15 Una hija menor tiene 15 años y la mayor, 18 años. 17 Un padre de años tiene dos hijos de 9 y 11 años. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? x son los años que tienen que pasar. (9 + x) + (11 + x) + x x + x 8 x Han de transcurrir años. 18 La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 1 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? x es la edad del hijo 8 x es la edad del padre. Dentro de 1 años la edad del hijo será x + 1, y la del padre, x + 1. (x + 1) x x + 8 x x 1 El hijo tiene 1 años, y el padre, años.

15 Soluciones a Ejercicios y problemas 19 Un repostero ha mezclado 1 kg de azúcar de 1,10 /kg con cierta cantidad de miel de,0 el kilo. La mezcla sale a, /kg. Cuánta miel puso? Pág. CANTIDAD (kg) PRECIO ( /kg) COSTE ( ) AZÚCAR 1 1,10 1,10 1 1,0 MIEL x,0,0x MEZCLA 1 + x,,(1 + x) coste del azúcar + coste de la miel coste de la mezcla 1,0 +,0x 8,08 +,x 8 1,8x 1,88 8 x 8 Puso 8 kg de miel. 0 Cuántos litros de aceite de orujo de 1, /l tenemos que añadir a 0 l de aceite de oliva de,8 /l para obtener una mezcla de,5 /l? CANTIDAD (l) PRECIO ( /l) COSTE ( ) A. ORUJO x 1, 1,x A. OLIVA 0,8 0,8 18 MEZCLA x + 0,5,5 (x + 0) 1,x + 18,5x ,9x 18 8 x 0 Se añadieron 0 litros de aceite de orujo.

16 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 5 1 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) (x + 1) b) x a) x b) x 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x + ) x (x + 1) b) x 5 x + 1 a) x x x x 8 x 0 8 x 1 b) x 9 5x x 1 8 x 8 Resuelve estas ecuaciones: a) x 5x 0 b) x 50 0 c) x x 0 a) x ( x 5) 0 8 x 1 0, x 5 b) x 5 8 x 1 5, x 5 c) x ± ± 5 8 x 1 1, x Juan tiene 5 años más que Sandra. Dentro de años, la edad de Juan será el doble de la de Sandra. Qué edad tiene cada uno? Edad de Sandra, x Edad de Juan, x + 5 x (x + ) 8 x + 8 x + 8 x Sandra tiene años y Juan, 7. 5 La altura de un rectángulo mide 5 m menos que su base, y su área es igual a 0 m. Calcula la medida de los lados del rectángulo. Base, x Altura, x 5 x (x 5) 0 8 x 5x 0 0 x 5 ± ± 1, 8 x 1 9,; x, Si x,, la altura sería negativa. No es una solución válida. Por tanto, la base mide 9, m y la altura,, m.