3Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 60

Transcripción

1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 60 Pág. Sabemos que la distancia entre dos esculturas consecutivas es 7 metros. Alfonso ha ido, a buena marcha, de la primera escultura a la cuarta, dando 60 pasos. Charo observa que, paseando, con 5 de sus pasos sobrepasa un poco la tercera escultura y que con 80 pasos le falta algo para llegar a la cuarta. Cuál es la longitud de cada uno de los pasos de Alfonso? 7 5 m 5 : 60 0,85 El paso de Alfonso, a buena marcha, es de 85 cm. Qué medida le asignaríamos al paso de Charo que sea compatible con sus observaciones? Da el resultado con un número eacto de centímetros. 5 > 7 80 < 7 > 7 /5 0,69 m < 7 /80 0,67 m El paso de Charo paseando es, aproimadamente, de 6 cm. PÁGINA 6 ANTES DE COMENZAR, RECUERDA Las siguientes ecuaciones tienen alguna solución entera. Intenta encontrarlas tanteando. Recurre a la calculadora solo en caso de necesidad. a) b) ( + 7) 0 c) 5 d)( + ) 9 e) + f) ( )(7 ) 0 g) h) i) j) 8 5 a) b) c) d) ; e) 6 f) 0 8 ; g) 8 h) i) 0 j) 7

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Inventa una ecuación similar a cada una de las anteriores y cuya solución sea elegida por ti de antemano. Por ejemplo, para inventar una ecuación similar a la c), cuya solución sea 6: Por tanto, la ecuación que hay que plantear es 7. Proponemos algunos ejemplos a continuación (en todos ellos, hemos elegido 6 como solución). a) b) ( + 7) 6 c) + 7 d)( +) e) + f) ( 6)(8 + ) 0 g) h) i) j) / Pág. Las siguientes ecuaciones no tienen solución entera. Halla, con ayuda de la calculadora, una solución con un error inferior a 0,0. a) 500 b) c) 00 a) 5,65677 b),5705 c),597 Si a Ì b, pon el signo de la desigualdad en los siguientes casos: a) a + 5 b + 5 b) a 7 b 7 c) a b d) a b e) a b f) a b 5 5 g) a b h) a b i) b a a) a +5 Ì b +5 b)a 7 Ì b 7 c) a Ì b d) a Ì b e) a Ì b f) a Ó b 5 5 g) a Ó b h) a Ó b i) b Ì a PÁGINA 6 Resuelve: a) 50 0 b) c) a) ±5 Soluciones: 5, 5

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe b) tiene solución. c) (7 + 5) 0 8 0, Soluciones: 0, Pág. Resuelve: a) 0 0 b) c) ± a) ± / /5 Soluciones:, 5 b) ( 0) Solución: 0 5 ± 5 c). tiene solución. 6 En un triángulo rectángulo, el lado mayor es cm más largo que el mediano, el cual, a su vez, es cm más largo que el pequeño. Cuánto miden los lados? Aplicando el teorema de Pitágoras: ( +6) ( +) ± ± 6 ± 9 Solo es válida la solución 9. Los lados del triángulo miden 9 cm, cm y 5 cm.

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 65 Pág. Resuelve: a) 0 b)7 6 c) 7 0 d) e) f) g) h) a) ( 0 ) 0 ± Soluciones: 0,, b) 7 6 (7 0 6) 0 ± Soluciones: 0,, c) ± Soluciones:, d) Hacemos el cambio z. z 5 ± 5 6 5z z 5 ± 8 8 Si z 8 ± Si z 8 ± Soluciones:,,, e) +75 ( + 75) 0 Solución: 0 f) Hacemos el cambio z. / 0 75/. Sin solución. z 0 ± z z 0 ± 8 Si z 9, ±. Si z, ±. Soluciones:,,, 9 g) Hacemos el cambio z. z 9 ± z z 9 ± Si z 5, ± 5. Si z, ±. Soluciones: 5, 5,, 5

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe h) Hacemos el cambio z. z 5 ± 5 +5z z 5 ± En ninguno de los dos casos hay solución para. Pág. 5 Invéntate una ecuación que tenga por soluciones los valores,, 7 y 7. Por ejemplo: ( )( +)( 7)( + 7) 0 ( 9)( 7) 0 Escribe una ecuación cuyas soluciones sean 5, 0, y. Por ejemplo: ( 5)( )( + ) Resuelve: a) b) + c) d) + 6 a) Elevamos al cuadrado ambos miembros: + 5 ( +) ± Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: es válida es válida. Soluciones:, b). Elevamos al cuadrado ambos miembros: ± ± Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 8 es válida.? 8 no es válida. Solución: c). Elevamos al cuadrado ambos miembros: + 8 ± Comprobamos la solución sobre la ecuación inicial:. Es válida. Solución:

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe d) + 6. Elevamos al cuadrado ambos miembros: + (6 ) Volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros: + 6 6(6 ) ± + 60 ± 8 5 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 5 +? 6 5 8? 8 5 no es válida es válida. Solución: Pág. 6 5 Resuelve estas ecuaciones: a) + b) c) + d) e) f) a) ( + ) + ( ) ( )( + ) Comprobamos sobre la ecuación original: es válida. Solución: 5 b) 0( +)+ ( + ) ( + )( + ) ± ± 7 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original: es válida es válida Soluciones:,

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) ± ± / Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original: + 8 es válida. + 9? 8 no es válida Solución: Pág. 7 d) ( + )( ) + ( )( + 5) 5( + 5)( ) ± ± Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: es válida /5 + 9/ es válida. 9/5 5/ Soluciones:, 5 /5 e) Observamos que + ( + )( ). ( + 7)( ) + ( +6) Esta ecuación no tiene soluciones. f) + +( )( ) ( ) ± ± Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: es válida es válida. Soluciones:,

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 6 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ( + ) ( ) ( 0 ) b) ( + ) 0 c) ( 9) ( + ) 0 a) 0,,, b) ( + ) 0 0 Resolvemos elevando los miembros al cuadrado: ± ± La solución no es válida (? ). Soluciones: 0, c) ± + 0. tiene solución. Soluciones:, Pág. 8 PÁGINA 67 Resuelve utilizando el método de sustitución: + 5y y 8 + 0y 6 a) b) c) 5y y + y Resuélvelos de nuevo por el método de igualación. a) + 5y 7 5y y Solución: 9, y b) 5 + y 8 y 9 8 y y /8 9 Solución: 9, y y (7 5y) 5y 8 0y 8 0y 0 8 y / 8

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) + 0y 6 + y ( y) + 0y y 6 8 y / y Pág. 9 y 8 6 Solución:, y Resuelve por el método de reducción: + 5y 7 5y 6 a) b) 5y + 0y a) +5y 7 5y 8 8 9/ 9 + 5y 7 8 y 5/ 5 Solución: 9, y b) 5y 6 + 0y. a ÄÄÄ8 6 0y 5 +0y ( ) 5y y 6 8 y Solución:, y Resuelve aplicando dos veces el método de reducción: + 7y 9 6y 9 +7y 9 6y 9. a ÄÄÄ8. a ( ) ÄÄÄ y y y y +7y 9 6y 9 Solución:, y. a 6 ÄÄÄ8. a 7 ÄÄÄ y 7 57 y

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 68 Pág. 0 Resuelve estos sistemas: y 5 a) y 00 b) + y y 9 c) + y + y + y a) y 5 y y (5 + y)y 00 8 y +5y ± y 5 ± Si y Si y Soluciones: 0, y 5; 5, y 0 b) + y y ±5 Si y 8 y ± Si y 8 y ± Soluciones: 5, y ; 5, y ; 5, y ; 5, y c) + y + y + y y ( y) + ( y)y + y 8 y y + y + y + y 0 y ± + 80 y y ± 9 Si y 5 8 Si y 8 5 Soluciones:, y 5; 5, y 5

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 69 Pág. Resuelve estos sistemas: y 0 a) 7 y + + y 8 b) y y y + 8 c) y 0 a) y 0 7 y + y ± + ± 6 Si 8 y 7 Si 8 y 5 Soluciones:, y 7;, y 5 b) + y 8 y y +6 + y 8 (8 ) (8 ) ± ± 9 Si 8 y 7 Si 8 y 6 Soluciones:, y 7;, y 6 c) y + 8 y 0 y ± ± 6 Si 8 y 8 Si 8 y Soluciones:, y 8;, y

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 70 Pág. Di dos soluciones enteras de cada una de las siguientes inecuaciones: a) < 50 b) + 5 Ó 5 c) 7 + < 9 d) + < 50 Por ejemplo: a), 0 b) 0, 0 c) 0, d) 0, 5 Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación 8 <? a) 5 b)0 c), d) e) 5/ f), g) 5, h)0 a) ( 5) 8 ( 5) > 8 5 no es solución. b) 0 0 < 8 0 sí es solución. c) (,) 8 (,), 8,8 7,59 < 8, sí es solución. d) 8 6 < 8 sí es solución. e) (5/) 8 (5/) 5/ 0 55/ < 8 5/ sí es solución. f) (,) 8 (,) 0, 5,6 5,6 < 8, sí es solución. g) (5,) 8 (5,) 8,09,, < 8 5, sí es solución. h) > 8 0 no es solución. Traduce a lenguaje algebraico: a) El triple de un número más ocho unidades es menor que 0. b)el número total de alumnos de mi clase es menor que 5. c) Si mi dinero aumentara al triple y, además, me tocaran 0, tendría, por lo menos, 0. d)todavía me queda por pagar 0 mensualidades para acabar con la hipoteca. Es decir, al menos a) +8 < 0 b) Ì < 5 c) + 0 Ó 0 d) 0 Ó 6 000

13 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 7 Pág. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones: a) > 9 b) Ó 9 c) + < d) + Ó e) < 5 f) Ì 5 a) > > 0 b) Ó Ó 0 Y Y y 9 y 9 > X Ó X c) + < 8 9 < 0 d) + Ó 8 9 Ó 0 Y Y y 9 y 9 < X Ó X e) < < 0 f) Ì Ì 0 Y Y y 8 < y 8 X Ì X 5 Observa el siguiente diálogo: Cuántas veces has ido al fútbol? El triple de ellas más no llega a 0. Epresa en lenguaje algebraico la respuesta, resuélvela algebraicamente y, después, ten en cuenta que la solución ha de ser un número entero no negativo. + < 0 8 < 8 8 < 8, 6 ) La respuesta es: veces o vez o ninguna vez.

14 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 6 Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones teniendo en cuenta la representación de la función y 5 +: Pág. a) + Ì 5 + b) + < 5 + c) 5 + < d) 5 + Ó + e) 5 + < 6 + f) 5 + Ì a) y 5 + Y y + b) y 5 + Y y + Ì 0 Ó 6 X X < 0 > c) y 5 + Y d) y 5 + Y y + y X X < < Ì 6 Ó + 6 e) y 5 + Y f) y 5 + Y y 6 + X X y < < 5 Ì Ì

15 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 7 Pág. 5 7 Resuelve algebraicamente las siguientes inecuaciones. Observa que son muy parecidas a las que se han resuelto arriba: a) + Ó 0 b) + < 0 c) + 7 > d) + 7 Ì e) + Ó f) + < a) + Ó 0 8 Ó 8 Ó. Intervalo [, +@). b) + < 0 8 < 8 <. Intervalo ). c) + 7 > 8 + > < 0 8 <. Intervalo ). d) + 7 Ì 8 + Ì Ó 0 8 Ó. Intervalo [, +@). e) + Ó Ó 0 8 Ì 0 Las raíces de 0 son y. Solución: Ì Ì. Intervalo [, ]. f) + < 8 > 0 (Raíces: y ) Solución: < y >. Intervalo ) «(, +@). 8 Resuelve algebraicamente: a) 5 Ó b)5 + < + 9 c) > + 5 d)7 + Ì + e) + Ì 8 a) 5 Ó 8 Ó 8 8 Ó 6. Intervalo [6, +@). b) 5 + < < 8 8 <. Intervalo ). c) > < 8 <. ( ) d) 7 + Ì Ó 8 Ó. Intervalo, +@. 5 [ 5 ) e) + Ì Ì 0 Las raíces de son 5 y. 5 6 Solución: Ì Ì 5. Intervalo [, 5].

16 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 9 Resuelve las inecuaciones a), c) y d) del ejercicio de la página 70 e interpreta la solución. a) +8 < 0 8 < 8 <. Intervalo ). Cumplen esta condición todos los números que sean menores que. b) Al tratarse de alumnos de una clase, no puede ser negativo ni cero (alumnos de mi clase). Por tanto, Ì < 5. Intervalo [, 5). El número de alumnos va desde hasta. c) + 0 Ó 00 8 Ó 90 8 Ó 0 Tiene, al menos, 0 euros. d) 0 Ó Ó 00 Cada mensualidad de la hipoteca asciende, al menos, a 00 euros. Pág. 6 PÁGINA 7 0 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: + < 7 < + 5 < + 5 a) b) c) Ó Ì Ó + d) Ì 0 e) Ì 0 f) Ì 0 + > < Ì 7 a) + < 7 < Ó 0 Ó Solución: Ì <. Intervalo [, ). b) < Ì + Solución: 8 < Ì Intervalo ( 8, ]. c) < + 5 > Ó + Ó Solución: Ó. Intervalo [, +@). > 8 Ì 8 Ì d) Ì 0 + > 7 > 5 8 > 5 Las raíces de son 6 y (Soluciones de + > 7) Soluciones del sistema: 5 < Ì 6. Intervalo (5, 6].

17 Soluciones a las actividades de cada epígrafe e) Ì < 7 < 8 < Pág. 7 (Soluciones de Ì 0; apartado d) 5 6 hay soluciones para este sistema. f) Ì Ì 7 Ì Solución del sistema:. 6 (Soluciones de Ì 0; apartado d)

18 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 7 Pág. P RACTICA Ecuaciones de.º y.º grados Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + )( ) ( ) b) + ( ) 7 + ( )( + ) c) + ( ) ( ) d) ( )( +) + ( +)( ) 6 a) 6 9 (9 + ) Solución: b) +( 8 + 6) ± 9 Soluciones: 0, 0 c) Solución: d) ( )( + ) ( ) + ( + )( ) ± Soluciones:,

19 Soluciones a los ejercicios y problemas Comprueba que las ecuaciones siguientes son de.º grado incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general. a) b)( + ) ( ) ( + ) + 0 Pág. c) ( ) + 6 d) + + ( 0 ) a) + 7 ( + ) ( +) ( +) 0 8 0; Soluciones: 0, b) ; Soluciones:, c) ( ) ( + ) 6( ) ( ) ( 0) 0 8 0; Soluciones: 0, 0 d) + + ( ) 0 ( + ) ( ) + ( ) tiene solución. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución y cuáles tienen infinitas soluciones. (Recuerda que en realidad no son ecuaciones, porque no tienen término en ). a) 7 b)( + ) ( ) c) ( +) + ( ) d)( + )( ) ( )(6 + ) 7 a) ( ) tiene solución. 0

20 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Tiene infinitas soluciones. Pág. c) + + 8( + ) + ( + ) Tiene infinitas soluciones. d) 6 7 (6 ) tiene solución. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) 5 b) c) ( ) d)( + ) (5 + 6) ( + ) e) ( (7 + ) ) ( ) a) ( 6 + 9) ( + ) Solución: 0 b) 6 + ( + ) ( ) 6( ) ± 5 Soluciones: 9 ; 6 c) ( + ) ± d) ( + + ) 5 +6 ( +) ± 9/6 8 tiene solución. 8 tiene solución. e) ± 0 8 Solución:

21 Soluciones a los ejercicios y problemas Otras ecuaciones Pág. 5 Resuelve. a) b) c) 0 d) 6 0 a) Cambio de variable: y y 5 ± 5 6 5y y 5 ± 8 ; 8 ; Soluciones:,,, b) Cambio de variable: y y 7 ± 5 7y y 7 ± ; 8 ; Soluciones:,,, c) Cambio de variable: y y ± y 0 8 y ± 5 Soluciones: ; / y 8 8 ± y 8 vale d) Cambio de variable: y y ± + y y Soluciones:, ± 5 y 8 8 ± y 8 vale. 6 Resuelve. a) + 0 b) 6 0 c) 5 0 d) e) ( + ) + 6 5( + ) f) ( + ) 5 ( + )( ) a) Cambio de variable: y y ± 6 y y ± Soluciones:,,, y 8 ± y 8 ±

22 Soluciones a los ejercicios y problemas b) 6 8 ± 6 Soluciones:, Pág. 5 c) ( 5) 0 Soluciones: 0, 5, 5 d) Cambio de variable: y y 8 ± 0 8y y Soluciones:, e) Cambio de variable: y y y y ± 9 8 y 8 ± y 8 ± Soluciones:,,, f) ( + ) no tiene solución. La solución de la ecuación es 0. 7 Resuelve. a) b) c) + + d) + a) ( + ) + (5 +6) ( ) 0 8 Comprobamos sobre la ecuación inicial la validez de la solución. Solución:. b) ( ) ( ) ± 8 ± /8 5/ Se comprueba sobre la ecuación inicial que las dos soluciones son válidas. Soluciones:, 5

23 Soluciones a los ejercicios y problemas c) ( ) + ( + ) ( ) 0 8 Se comprueba que la solución es válida. Solución: Pág. 6 d) ( + ) ( ) ( )( +) ± 6 ± Se comprueba que las dos soluciones son válidas. Soluciones:, 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) + + c) d) a) ( +) ( ) ( )( ) ± Se comprueba la validez de las dos soluciones. Soluciones:, b) ( + ) ( + ) ( + ) ± 6 ± 6 6 Las dos soluciones son válidas. Soluciones:, / c) ( + ) ( + ) Solución: 7 d) ( + ) Solución: 7

24 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Resuelve. a) b) c) d) Pág. 7 a) ± ± 7 Comprobación: es solución ? + 8 no vale. Solución: b) ± 6 ± Comprobación: ?5 5 no vale Válida. Solución: 9 c) Comprobación: Válida Válida. Soluciones: 0, 0 d) ( +7 ) ± Comprobación: es solución es solución. Soluciones:,

25 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Dos de las siguientes ecuaciones no tienen solución. Averigua cuáles son y resuelve las otras. a) 7 69 b) + 0 c) d) Pág. 8 a) ± 9 7 ± 7 5 Comprobación: vale vale. tiene solución. b) Comprobación: Es solución. 8 8 Es solución. Soluciones: 0, 0 c) Comprobación: 5 7? 8 vale. La ecuación no tiene solución. d) (5 ) (5 ) ± ± 6 5/ / Comprobación: es solución es solución. Soluciones: 5,

26 Soluciones a los ejercicios y problemas Di cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) ( )( ) 0 b)( )( + ) 0 c) ( + 5)( ) 0 d)( + ) 0 e) ( )( ) 0 f) ( + + ) 0 a) 0 8 ; 0 8 Soluciones:, b) Soluciones: 0; ; Pág. 9 c) 5; 8 ; Soluciones: 5; ; d) 0; +? 0 Solución: 0 e) ; ± Soluciones: ; ; f) 0; ± Soluciones: 0; ; ± ± Descompón en factores y resuelve. a) 0 b) c) + 0 d) 5 0 a) ( ) 0 Soluciones: 0; ; b) ( + 6) 0 8 0; ± 5 Soluciones: 0; ; c) ± 0 Soluciones: ; ; d) ± 0 Soluciones: (doble);

27 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 75 Pág. 0 Sistemas de ecuaciones Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las soluciones: y + y 0 a) b) y 5 y 6,5 +,y 58,7 y + y + 0 c) d) y + y y 7 a) 8 y 0 7y 5 8 y Si y Solución: ; y y 0 b) 6,5 +,(0 ) 58,7 8 6,5 + 96, 58,7, 6,7 8 9 y 0 9 Solución: 9; y y y c) 8 y 8 + y 8 y 6 8 y Solución: 0; y 8 + y d) y y 5 5 0y 0 ( ) + y 8 y 8 y Solución: ; y +y 8 6y 6 +y y 5 5 8

28 Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve los siguientes sistemas aplicando dos veces el método de reducción: y 7 a) + 7y 96 8,6 + 5,y b) 5 y 5 Pág. a) 7 5y y 8 7y 9 8 y 0y y Solución: 7, y b) 5 5y ,y 07 8,y 8 8 y 0 0, + 6,8y 5 6,8y 8, Solución: 5, y 0 5 Averigua cuál de los siguientes sistemas no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones: + y y a) 5 7 6y 5 + y b) 7 y y + y a) Tiene infinitas soluciones. +6y y 5 b) tiene solución. y 7

29 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: + 5 (y + ) + y a) b) 7 + y + y Pág. ( + 5) + (y + ) 8 a) 8 6(7 ) ( y) 6 +y y 5 6 y 5 6 y 5 8y 0 8 y Solución: 0, y 5 ( + ) y + y 8 + y 8 b) 8 + +y + 9 +y +y y Solución:, y 7 Resuelve. y y a) b) + y 5 y + y 5y 0 + y + y 0 c) d) y y 0 ( y) y 8 y a) (y ) + y 5 8 y 6y +9 +y y 6y + 0 y y y ± + 0 y y 6 Soluciones:, y ;, y y b) ( y)y +y 8 y y +y 8 y y + 0 y ± y 8 0 y 8 Soluciones: 0, y ;, y y c) ( ) ( ) Si 8 y Si 8 y 6 Soluciones:, y ;, y y 8 y 8 5 ±

30 Soluciones a los ejercicios y problemas y d) 5 9 ( + ) ( ) y 8 y ( ) Soluciones:, y ;, y Pág. 8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones: a) + y b) + y 5 y 9 y c) + y + + y d) + y y + y 8 y a) c) ±5 Si y 8 y 6 8 y ± Si y 8 y 6 8 y ± Soluciones: 5, y ; 5, y ; 5, y ; 5, y b) +y 5 y ± Si y 5 8 y 8 y ± Si y 5 8 y 8 y ± Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y + y y 9 + y + + y y + y ± + 0 ± 6 5 Si y 6 + y 8 y + y 0 ± + 8 y ± Si y +5 +y 8 y + y 0 8 y Soluciones: 6, y ; 6, y ; 5, y ; 5, y

31 Soluciones a los ejercicios y problemas d) + y y ( +) 0 8 Si 8 + y y 8 tiene solución. Pág. Inecuaciones 9 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) + 7 < b) Ì 9 c) Ì + d) Ó 9 a) < 8 < Solución: ) b) Ì 9 8 Ì 6 8 Ó 6 Solución: [ 6, +@) c) Ó 8 Ó Solución:, +@ [ ) d) Ó 9 8 Ó 8 Ì 8 Ì Solución: ] 0 Resuelve. a) 7 < + b) + + Ó c) ( 5) < d) < 0 a) 7 < < > 5 8 > Solución: (, +@) b) Ó Ó 6 Solución: [ 6, +@) c) < 8 5 < > 0 8 > Solución: (, +@) d) + < 0 8 < 0 8 < Solución: )

32 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones: > 0 5 Ì + a) b) + > Ó < < 6 8 c) d) 5 < < 5 Pág. 5 a) > 0 8 > 8 < + > 0 8 > Solución: (, ) b) 5 Ì + 8 Ì 8 Ì +6 Ó + 8 Ó tiene solución. +5 < 8 +5 < 8 < 8 8 > 8 c) < < 6 8 < 8 > 5 8 Solución: (8, +@) d) + 9 < < 0 8 < 0 5 < 8 < 8 < / 0 / Solución: 0) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) Ì 0 b) 9 > 0 c) < 0 d) + > 0 a) Ì ( + )( ) 0 Solución: [, ]

33 Soluciones a los ejercicios y problemas b) 9 > ( + )( ) 0 Pág. 6 Solución: ) «(, +@) c) < ( ) Solución: (0, ) d) + > ( + ) Solución: ) «(0, +@) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) ( )( 5) < 0 b)( + )( ) > 0 c) ( )( + ) Ó 0 d)( ) Ì 0 a) ( )( 5) < 0 ( )( 5) 0 5 b) ( + )( ) > 0 ( + )( ) 0 5 Solución: (, 5) Solución: ) «(, +@)

34 Soluciones a los ejercicios y problemas c) ( )( + ) Ó 0 ( )( + ) 0 Pág. 7 Solución: [, ] d) ( ) Ì 0 ( ) Solución: 0] «[, +@) Traduce a lenguaje algebraico: a) La mitad de un número menos 0 unidades es menor que 7. b)si a los tres cuartos de un número le resto, obtengo más que si a su mitad le sumo 5. c) El producto de dos números consecutivos no supera a 8. d)el perímetro de un rectángulo cuya base mide cm más que la altura es menor que 50 m. a) 0 < 7 b) > +5 c) ( +)Ì8 d) +6 < 50 PÁGINA 76 P IENSA Y RESUELVE 5 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despejar la incógnita: a) 6 0 b) 65 0 c) d) a) Solución: b) ± 65 ±5 Soluciones: 5, 5

35 Soluciones a los ejercicios y problemas c) Solución: Pág. 8 d) ± Soluciones:, 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) 9 6 c) d) a) ( ) + ( + ) ± 5 ± Solución: 8 vale. / b) ( 9) 6 ( + ) ± 5 ± 5 Solución: 8 vale. c) ( )( + ) ( + +) Soluciones: 0, d) + +( + )( 5) ± Soluciones:,

36 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Resuelve. a) + 7 b) + c) d) Mira los ejercicios resueltos de la página 6. a) ± 9 5 ± 7 6 Comprobación: ? 8 vale. Solución: 6 b) ( ) (6 ) ± 8 9 Comprobación: ? 8 vale. 8 + Solución: c) (8 ) ( ) ± /9 8 Comprobación: ? 8 vale Solución: d) Comprobación: 0 8 0? 8 vale. 8 6 Solución: Pág. 9

37 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Resuelve. a) (9 )( ) b) 0 c) d) Pág. 0 a) (9 )( ) ; 9 ( ) b) Soluciones:,, tiene solución. La solución es. c) d) Soluciones: ; ; ± 5 6 / / Soluciones:,, 5

38 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Resuelve y comprueba las soluciones. + y + a) b) y 0 + y + y Pág. y + y + c) y + d) + y 5 y y y a) y + y ( ) + ( ) ± 8 y + 8 y Soluciones:, y ;, y b) 0y +0 y 8 0y + 0( y) ( y)y y 0y y y y 8 y y y Si y Si y Soluciones: 5, y ;, y y c) y + + y 5 8 y y + + y 5 8 (y ) + y y 6 8 y Solución:, y + y + d) 8 y y ( ) ( + ) +8 + ( ) ± 9 8 Si 8 y Si 8 8 y 6 5 Soluciones:, y ; 8, y 5 5 ± 7 5/

39 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Resuelve. y 5 y a) b) + y 5y 6 8 y + y c) d) 9 ( + y) 5 y 5 y a) 5 + ( ) Hacemos el cambio z 8 z z z ± 6 Si z y 5 8 y Si z 9 8 y 5 8 y 5 Soluciones: 5, y ; 5, y ;, y 5;, y Pág. y b) 70 Cambio: z 8 z 6z z 6 ± 56 Si z y 6 8 y Soluciones: 6, y ; 6, y 5 ( ) (no vale) y c) ( + + ) 5 8 ( ) Hacemos el cambio z: z 7 ± 7 7z z 6 7 ± 5 6 Si z 6 8 y 8 y Si z 8 y 8 y Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y

40 Soluciones a los ejercicios y problemas d) y + ( ) Pág. Cambio: z 9z 8 ± 6 7 8z z 8 ± /9 Si z 9 8 y / 8 y / Si z 9 / 8 y / 8 y Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y Resuelve. y a) b) + y + 0 y + + y y 0 y a) ( + ) Si 9 8 y Solución: 9, y b) + y + 0 y + y 0 + y 0 8 y (lo sustituimos en la. a ecuación) + ( ) (5 + ) 0 Si 0 8 y 0 Si 8 y Soluciones: 0, y 0;, y /5

41 Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve las siguientes inecuaciones: a) < + b) + > c) ( +) ( ) + Ó 0 d)( ) ( ) Ì ( + ) a) (5 6) + ( + 8) < ( +) < < 8 8 < Solución: ) b) ( ) 6( + ) > ( + 7) ( +5) 6 6 > > < 7 8 < Solución: ) c) Ó 0 + Ó 0 8 Ó 8 Ó Solución: [, +@) d) +9 Ì Ì 6 8 Ó 6 8 Ó Solución: [, +@) Pág. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) + > 0 b) 0 Ì 0 c) 5 < 0 d) Ó 0 a) + > 0 ± ± Solución: ) «(, +@) b) 0 Ì 0 ± Solución: [, 5] c) 5 < 0 ± ± Solución: (, 5)

42 Soluciones a los ejercicios y problemas d) Ó 0 9 ± ± 5 / / 5 Solución: 5] «, +@ [ ) Pág. 5 Resuelve. a) + Ó 0 b) + + Ì 0 c) 7 > 5 d) < a) + Ó 0 ± ± Solución: [, ] b) + + Ì 0 ± ± Solución: ] «[, +@) c) 7 > 5 8 > 0 ± ± 7 Solución: ) «(, +@) d) < < < ± ± 7/6 7/6 Solución:, 7 ( 6)

43 Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Resuelve las inecuaciones siguientes: a) ( + ) ( ) < 5 b)( + ) ( + 5) + > 0 c) 9 < 5 5 a) < < 0 ± ± 7 5/ Solución: 5, ( ) 5/ Pág. 6 b) > > 0 ± ± 9 5/ ( 5/ 5 ) «(, +@) c) 7 + < < < 0 5 ± ± 9 7 Solución: ( 7, ) 6 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: < + > 6 a) b) < + < a) + < 8 < 8 > 6 < < 5 8 > 9/5 9/5 Solución: (, +@) b) + + > 7 8 > 8 8 > + 8 < < 8 8 < Solución: (, )

44 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Algunas inecuaciones no tienen solución y otras tienen por solución cualquier número. Busca entre las siguientes las que son de estos tipos. a) + > b) + + < 0 c) + 7 < 5 d) + + > 0 a) + > 8 > Solución: +@) b) + + < 0 tiene solución. c) + 7 < < 0 tiene solución. d) + + > 0 8 ( +) > 0 Solución: +@) Pág. 7 8 Comprueba que estos dos sistemas de inecuaciones no tienen solución. + 5 < < 6 a) b) < < 7 a) < < 9 8 < +5 < 8 5 < 5 8 > tiene solución. b) + 5 < 8 < 8 + < 7 8 < 6 8 > 8 tiene solución. PÁGINA 77 Problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 60 por días y 00 km, y otro pagó 75 por 5 días y 00 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. 5 días y 5 kilómetros recorridos + 00y y y y 55 00y 75 8 y 0,5 + 0, La empresa cobra 0 por día y 0,5 por cada kilómetro recorrido.

45 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Un inversor compra dos cuadros por 650. Al cabo de dos años, los vende por ganando en uno de ellos un 0% y en el otro un 5%. Cuánto le costó cada cuadro? + y 650, +,5y 650 y,( 650 y) +,5y ,05y 8 y El valor de los cuadros es de 50 y de 0. Pág. 8 Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza? 0,8 + 0,95y 0,86( + y) + y y 0,8(5 y) + 0,95y 0,86(5 y + y) 8 0,8y + 0,95y, 8 8 0,5y 0, 8 y 8 Debe fundir kg del de 80% de pureza con kg del lingote que tiene un 95% de pureza. Un comerciante compra dos motocicletas por 000 y las vende por 0. Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un 5% y en la de la segunda perdió un 0%. + y 000,5 + 0,9y 0 y 000,5 + 0,9( 000 ) 0, , , y Por una pagó 800, y por la otra, 00. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería y 69 + y 5 5 +y 69 y 5 8 y 5 8 y 5 La pintura verde cuesta el kilogramo, y la blanca,.

46 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, m, y su área, 60 m. y + y 7 y 60 7 ± ± 7 Si 8 y 5 Si 5 8 y Las dimensiones del rectángulo son 5 m y m. y 7 (7 ) Pág. 9 5 Un triángulo isósceles mide cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8 cm. Calcula los lados del triángulo. 8 cm y + y y 6 y + ( ) cm y 0 cm Los lados iguales miden 0 cm, y el lado desigual, cm. 6 El área total de un cilindro es π cm, y entre el radio y la altura suman cm. Halla su volumen. h R πrh + πr π R + h πrh + πr 56π 8Rh + R 56 h R R( R) + R 56 8 R R + R 56 8 R cm h 0 cm V CILINDRO πr h π 0 60π cm 7 Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por. Cuál era el lado inicial del cuadrado? ( +5) ± ± / no vale La longitud del lado inicial es de 5 cm. 5

47 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la hipotenusa es cm menor que la suma de los dos catetos. Calcula el cateto desconocido. Pág cm ( + ) Los catetos miden cm y 8 cm, y la hipotenusa, 5 cm. 9 El perímetro de un triángulo rectángulo es 6 m y un cateto mide cm menos que el otro. Halla los lados del triángulo. +( ) + ( ) ± ± vale. Hipotenusa +9 5 Los catetos miden cm y 9 cm, y la hipotenusa, 5 cm. 50 Una persona tarda horas más que otra en hacer el mismo trabajo. Si lo hacen entre las dos, tardan horas. Cuánto tarda cada una por separado? Si una tarda horas en hacer todo el trabajo, en hora hará / de este. + 8 ( + ) + ( + ) ± + ± 5 8 vale. Una tarda h, y otra, 6 h. 5 Un grifo tarda el doble de tiempo que otro en llenar un cubo de agua. Si abrimos los dos, el cubo se llena en minutos. Cuánto tarda cada uno por separado? ,5 Uno tarda,5 minutos, y el otro, 9 minutos.

48 Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 90 para hacer un viaje. A última hora se apuntan dos más y así se devuelven 8 a cada uno de los otros. Cuántos fueron de ecursión y cuánto pagó cada uno? 8 número de amigos y 8 cantidad que paga cada uno y 90 ( + )(y 8) 90 y 90 y 8 +y y 56 0 Pág. y 90 y 8 + (8 + ) ± + ± vale. Al principio eran 5 amigos. Ahora son : 7 70 Son 7 amigos y cada uno paga Un comerciante quiere vender por los ordenadores que tiene en su almacén. Pero se le estropean dos y tiene que vender los otros 50 más caros para recaudar lo mismo. Cuántos ordenadores tenía y a qué precio los vendió? 8 número de ordenadores y 8 precio de cada ordenador y ( )(y + 50) y y + 50 y y 00 0 y y 50 0 (5 50) y 5 50 ± ± (Ahora serán 8 ordenadores). 8 vale : 8 50 Vende 8 ordenadores a 50 cada uno. PÁGINA 78 5 Un transportista va a una ciudad que está a 00 km de distancia. Al volver, su velocidad media ha sido superior en 0 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados a la ida y a la vuelta. vt 00 (v + 0)(t ) 00 vt + 0t v 0 00

49 Soluciones a los ejercicios y problemas vt 00 0t v 0 0 (0t 0)t t 0t t t 0 0 v 0t 0 Pág. ± + 0 t ± 6 5 vale. 00 : 6 50; 00 : 5 60 A la ida va a 50 km/h y tarda 6 horas. A la vuelta va a 60 km/h y tarda 5 horas. 55 Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80 m y su altura aumenta en 0 m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60 m su base y su altura aumenta en 0 m, entonces su área disminuye en 00 m. Cuáles son las dimensiones de la parcela? 80 y + 0 y 80 y + 0 ( 60)(y + 0) y 00 y + 0 y 60y y 00 60y + 0(y + 0) y y La parcela tiene 60 m de base y 0 m de altura. 56 Halla las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide m, y su área, 60 m. + y y 60 y 60/ Cambio: z z 69 ± z z 69 ± 9 z 8 8 y 5 z y Las dimensiones del rectángulo son 5 m y m. 5

50 Soluciones a los ejercicios y problemas 57 El lado de un rombo mide 5 cm, y su área, cm. Calcula la longitud de sus diagonales. Pág. 5 cm A cm y 5 cm y + y 5 y (cambio z) z 5z ± 9 z 5 ± z y z y Las diagonales del rombo miden 6 cm y 8 cm. 58 La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 8 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? Número 8 y Número inverso 8 8 y + 0 y 8 + 0y + y 8 y y 8 y 9y + 9(8 y) y 90 8 y 5 y 5 8 El número es el 5.

51 Soluciones a los ejercicios y problemas 59 Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es,. Cuál es el número? Número 8 y 8 y + 0 Número inverso 8 +0y y 0 + y, 0y + y + 0(y + ) + y,(0y + y + ) Pág. 0y y y +,y +, 8,y 8,8 8 y 8 5 El número buscado es el Halla el radio y la generatriz de un cono que tiene 5 cm de altura y cuya área lateral es de 6π cm. 5 cm y y 5 πy 6π y Cambio: z z + 5z ± z 5 ± vale. z y El radio del cono mide 8 cm, y la generatriz, 7 cm. Problemas de inecuaciones 6 En un eamen de 0 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada fallo. Cuántas preguntas hay que contestar bien para obtener como mínimo 0 puntos, si es obligatorio responder a todas? Aciertos 8 ; fallos 8 0 0,5(0 ) Ó ,5 Ó 0 8,5 Ó 60 8 Ó Hay que responder bien, como mínimo, a preguntas.

52 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 El producto de un número entero por otro, dos unidades mayor, es menor que 8. Cuál puede ser ese número? ( ) < < < 0 ± ± 6 Pág. 5 (, ) El número puede ser:,,, 0 ó. 6 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos más de. Qué podemos decir de ese número? > 8 > 0 ± ± 5 El número está en ) «(, +@), es decir, puede ser menor que o mayor que. 6 Un grupo de amigos han reunido 50 para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6, les sobra dinero, pero si cuesta 7, les falta. Cuántos amigos son? 6 < 50 7 > 50 < 8, > 7, El precio de la entrada está entre 7, y 8,. Puede ser 7,50 u Cuántos kilos de pintura de,5 /kg debemos mezclar con 6 kg de otra de 5 /kg para que el precio de la mezcla sea inferior a /kg?, < 8,5 + 0 < < 0,5 8 > +6 Hay que mezclar más de kg de la pintura de,5 /kg.

53 Soluciones a los ejercicios y problemas 66 Dos ciudades A y B distan 60 km. De cada una de ellas sale un coche a la misma hora. Si el que sale de A lleva una velocidad de 75 km/h, qué velocidad puede llevar el otro para que tarden en encontrarse menos de una hora, respetando la limitación de 0 km/h que marca la ley? Pág km/h? t e. Se acercan, el uno al otro, a una velocidad v v 60 < v +75 v Ì 0 A 60 < v v > 85 v Ì 0 60 km La velocidad debe ser mayor que 85 km/h y no superar los 0 km/h. B PÁGINA 79 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 67 Cómo se puede saber si una ecuación de segundo grado, a + b + c 0, tiene dos, una o ninguna solución, sin resolverla? Estudiando el signo del discriminante. Si b ac > 0 tiene dos soluciones. Si b ac 0 tiene una solución. Si b ac < 0 no tiene solución. 68 Determina para qué valores de k, la ecuación k 0: a) Tiene solución única. b)tiene dos soluciones. c) tiene solución. b ac ( 6) 9 k 6 6k a) 6 6k 0 8 k (solución única) b) 6 6k > > 6k 8 k < (dos soluciones) c) 6 6k < < 6k 8 k > (no tiene solución) 69 Una de las soluciones de la ecuación + + k 0 es. Calcula k y la otra solución. + + k ( + k 0 8 k 6 ) ± + 8 / ± 7 La otra solución es, y k 6.

54 Soluciones a los ejercicios y problemas 70 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean y. Por ejemplo: ( ) ( ) Pág. 7 7 Cuántas soluciones puede tener una ecuación bicuadrada? Comprueba tu respuesta resolviendo estas ecuaciones: a) b) 0 c) 6 0 d) + 0 e) f) + 0 Puede tener,,, o ninguna soluciones. a) Cambio z z 0 ± z z 0 ± 8 z 9 8 ± z 8 ± Cuatro soluciones:,, y 9 b) 0 8 ( ) 0 Tiene tres soluciones: 0, y 0 8 ± c) ( no vale) 8 ± Tiene dos soluciones: y d) ( + ) 0 Tiene una solución: tiene solución. e) Cambio z z ± z z tiene ninguna solución. ± vale. vale. f) Cambio z z ± 6 6 z z z 8 ± Tiene dos soluciones: y

55 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Observa la representación gráfica de las rectas y e y. Contesta sin hacer operaciones: para qué valores de es Ó? Para Ó, es decir, en el intervalo [, +@). y y Pág. 8 7 Observa la representación de la recta y y la de la parábola y. y y Responde sin hacer operaciones: Para qué valores de es <? Para < <, es decir, en el intervalo (, ). P ROFUNDIZA 7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: y 0 z a) z 6 b) + y 7 y + z + y z a) y 0 z 6 y + z y y z 6 y + z y 6 + z 6 + z + z 8 z 8 z y 6 + ( ) ; Solución:, y, z b) z + y 7 + y z z + z +8 +y 7 z + +y z y z z + z 0 8 z 8 z y z ; z + 5 Solución: 5, y, z

56 Soluciones a los ejercicios y problemas 75 Un deportista está en A, en el mar, a 0 m de la playa BD, que mide 50 m. A Pág. 9 B0 m C 50 D Para ir hasta el etremo D, nada hasta C con una velocidad de 0 m/min y camina de C a D a 90 m/min. Calcula las distancias que recorrió nadando y andando, si el tiempo que empleó en total fue de 0 minutos. t e v Llamamos: tiempo andando t a tiempo nadando t n AC t a + t n 0 minutos ( 50 ) ( 00 + ) ± ± / vale. Andando: m Nadando: m 76 Un barco hace un servicio regular entre dos ciudades, A y B, situadas a la orilla de un río. Cuando va de A a B en sentido de la corriente del río tarda horas y a la vuelta tarda horas. Cuánto tardará un objeto que flota en ir desde A hasta B? Llama v a la velocidad del barco y v' a la de la corriente. VELOCIDAD DISTANCIA TIEMPO IDA v + v' d VUELTA v v' d OBJETO QUE FLOTA v' d t v + v' v v' Elimina v entre las dos primeras ecuaciones y sustituye v' en la tercera. Así obtendrás t. t d v' d d

57 Soluciones a los ejercicios y problemas d v + v' d v v' d v + v' d v + v' v' d 8 v' d t d d v' d/ El objeto tardará horas en ir desde A hasta B. Pág Subo una colina a una velocidad de km/h y pretendo que la velocidad media entre el ascenso y el descenso sea de 6 km/h. A qué velocidad debo descender? SUBIDA: v e 8 e 8 t e t t BAJADA: v' e 8 t' e t' v' V MEDIA 6 e e e ev' 8 t + t' e e ev' + e + ev' +e v' v' 8 (ev' + e) ev' 8 ev' +e ev' 8 ev' e 8 v' e e Debe descender a km/h. 78 Una ambulancia recibe el aviso de un accidente de tráfico y sale del hospital A hacia el punto B a una velocidad de 60 km/h. La vuelta al hospital la hace escoltada por la policía y consigue hacerla a 00 km/h. Cuál fue la velocidad media del recorrido? IDA: e 60t 8 t e 60 VUELTA: e 00t' 8 t' e 00 V MEDIA e e e 00e 75 t + t' e e 60e + 60e La velocidad media del recorrido fue de 75 km/h.