1Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 20

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1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 0 RACIONALES Q ENTEROS Z NO RACIONALES 8,, 8,, NATURALES N ENTEROS NEGATIVOS FRACCIONARIOS (racionales no enteros) 8 0, 7,,, 8, 8,, 7 8 8,9;,8; ) 7 ; 87 ; Pág. Conocemos y manejamos varios conjuntos numéricos. Todos ellos están bien estructurados: Los naturales, N. Si a estos les añadimos sus opuestos (negativos), obtenemos el conjunto de los enteros, Z. Si a los enteros les añadimos los fraccionarios, obtenemos el conjunto de los racionales, Q. Si a los racionales les añadimos los no racionales, conseguiremos un conjunto bien estructurado? Escribe tres números naturales y tres números enteros que no sean naturales. Por ejemplo: NATURALES ENTEROS NO NATURALES,,, 7, Escribe tres números racionales que no sean enteros y tres números que no sean racionales. Por ejemplo: RACIONALES NO ENTEROS NO RACIONALES,, π; ; 0, Sitúa los números anteriores en un esquema como este: 7 Unidad. Números reales

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. ANTES DE COMENZAR, RECUERDA Halla la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales y descompón en factores primos sus denominadores: a),88 b)0,0087 a), b) 0, Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales exactos: a) 7 b) 7 c) 7 9 d) a) b) c) d) Son equivalentes a números decimales exactos porque en sus fracciones irreducibles los denominadores solo tienen factores y. Halla la fracción generatriz de: a), 8 ) b)0,0 ) c), ) d)7, ) a), 8 ) 8 9 b) 0,0 ) c), ) d)7, ) Unidad. Números reales

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales periódicos: a) b) 0 c) 7 d) a) es una fracción irreducible y su denominador, 7, es distinto de y de. 7 b) 0. Hay un en el denominador de su fracción irreducible. 00 c) 7. Es una fracción irreducible, y hay un 7 en su denominador. 7 d). En el denominador de su fracción irreducible hay un 9 9 factor distinto de y de, el 9. Pág. PÁGINA Hazlo tú Prueba que es irracional. Supongamos que es racional. En este caso lo podemos escribir así: a a 8 8 b a b b Al ser b un cuadrado perfecto, contiene el factor un número par de veces. Por tanto, b contiene el factor un número impar de veces, lo cual es contradictorio con que a (a b ), por ser cuadrado perfecto, lo contendría un número par de veces. Hazlo tú Prueba que 7 + es irracional. Veamos primeramente que 7 es irracional. Si no lo fuese, podríamos escribir: 7 a 8 7b a b Razonando de forma similar al ejercicio anterior, llegaríamos a una contradicción, probando que, efectivamente, 7 es irracional. Ahora llamamos N N Si fuese N racional, N también lo sería. Es decir, 7 sería racional, y no lo es. Por tanto, N 7 + es un número irracional. Unidad. Números reales

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. Jusitifica que las construcciones siguientes: F / F dan un segmento de medida igual al número de oro: + F + F a / b a (radio de la circunferencia) Aplicando el teorema de Pitágoras: b + ( ) + F a + b + F b a F a + b + Queremos demostrar que el número de oro, F, es irracional. Sabemos que lo es (por lo mismo que ). Observa que: Si F +, entonces: F + 8 F De la igualdad F, qué deduciríamos si F fuera racional? Si F fuese racional, F también sería racional, lo que contradice el que es irracional. Unidad. Números reales

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Representa, y en la recta real Pág. /7 0 /7 / Justifica la construcción de, y 0. Representa y 7 (7 + ). es la diagonal de un cuadrado de lado, el cual podemos construir. es la diagonal de un rectángulo de lados y, que podemos construir. 0 es la diagonal de un rectángulo de lados y, y lo podemos construir. 0 7 PÁGINA Representa en la recta real los números: a) ;,7; ; 0, de forma exacta. + b)f de forma exacta ( ) y aproximada (,8 ). a) 0,7 0, ) Unidad. Números reales

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe b) 0 Pág.,,7 0 / F,,,8,9 PÁGINA 7 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) Comprendidos entre y, ambos incluidos. b)mayores que 7. c) Menores o iguales que. a) [, ] b) (7, +@) 7 c) ] Escribe en forma de intervalo y representa: a) {x / Ì x < } b){x / x Ó 0} c) {x / < x < } d){x / x < 8} a) [, ) b) [0, +@) c) (, ) d) 8) Unidad. Números reales

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Escribe en forma de desigualdad y representa: a) (, ] b)[0, ] c) ) d)[9, +@) Pág. 7 a) {x / < x Ì } b) {x / 0 Ì x Ì } c) {x / x < } d) {x / x Ó 9} 0 9 PÁGINA 8 Cálculo mental Di el valor de k en cada caso: a) k b) k c) k d) 0 a) k 8 b) ( ) 8 k c) k d) k 0 k Calcula las raíces siguientes: a) 8 b) c) 8 d) 0 e) 8 f) a) b) c) d) 0 e) f) Expresa en forma exponencial. a) x b) ( x ) c) a a d) a e) x n f) m ak a) x / b) x 0/ c) a / d) (a ) / a 7/ e) (x / ) / x / f) (a k/m ) /n a k/m n Unidad. Números reales

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Calcula. a) / b) / c) / d)8 / e) / f) / a) / b) / c) / d) 8 / 8 e) / f) / Pág. 8 Expresa en forma radical. a) x 7/9 b)(m n ) / c) a / b / d)[(x ) / ] / 9 a) x 7 b) (m n) c) a b a b d) x x PÁGINA 9 Halla con la calculadora: a) b)7 c) 8, a),90 b) c) 8,,07 a) 8, b) 8 c) 79, a) 8,,70 b) 8,89787 c) 79,,9879 a) 7 b), c) 0,008 a) 7,98 b),,7988 c) 0,008 0,0 Unidad. Números reales

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. 9 Simplifica. a) x 9 b) x 8 c) 9 d) 8 e) f) a) x 9/ x / x 9 x b) x 8/ x / x 8 x y 0 c) y d) 8 / e) /9 / 8 f) 8 / y Cuál de los dos es mayor en cada caso? a) y 9 b) y 0 a) > 9 9 b) 9 0 > 9 0 Reduce. a) b) c) 0 a b a) 8 b) c) 0 a b a b Saca del radical los factores que sea posible. a) x b) 8a b c c) a) x x x x b) 8a b c a b c ab b c c) Unidad. Números reales

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Simplifica. 9 a) b) c) d) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) 8 a x x a b c ab c Pág a) 0 b) a a a c) b c b c ab a c b c bc d) ( a ) a / a e) ( x ) x x / x / x / x f) ( ) 8 ((( / ) / ) / ) 8 ( /8 ) 8 a c bc Efectúa PÁGINA 7 Racionaliza los denominadores. a) b) 7 c) d) e) + f) 7 a) b) 7 7 c) d) ( ) e) ( ) + ( + ) f) + Unidad. Números reales

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. Cálculo mental Expresa en notación científica los siguientes números: a) b) 0, c) 0 d)0,0 0 9 e) f) 0,0 0 8 a) 0 000, 0 b) 0,000009,9 0 c) 0, 0 7 d) 0, e) ,8 0 f) 0, PÁGINA Toma, como valor aproximado de π. Da una cota del error absoluto y otra del error relativo de este número irracional. E.A. < 0,00 E.R. < 0,00 < 0,009,9 0, Da el valor de 00F (recuerda que F es el número de oro) con cifras significativas y acota el error absoluto y el error relativo que se comete. F, Con seis cifras significativas, 00F,80 E.A. (00F) < 0,000 E.R. (00F) < 0,000 < 0, ,09 0,80 La distancia de la Tierra al Sol es km. a) Exprésala en notación científica. b)exprésala en cm con dos cifras significativas. c) Exprésala en cm con cuatro cifras significativas. d)acota los errores absoluto y relativo en los tres casos anteriores. a),9 0 8 km b), 0 cm c),90 0 cm Unidad. Números reales

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe d) CASO a) E.A. < 0,00 cientos de millones de kilómetros. E.R. < 0,00 < 0,00,9 Pág. CASO b) CASO c) E.A. < 0,0 decenas de billones de centímetros. E.R. < 0,0 < 0,0, E.A. < 0,000 decenas de billones de centímetros. E.R. < 0,000 < 0,000,90 Unidad. Números reales

13 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA Pág. P RACTICA Números reales a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? ;,7; ;, ; ),7; ) π; b)expresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son racionales? a) No pueden expresarse como cociente: ; π y. b) ;,7 ;, ) ;,7 ) c) Son racionales: ;,7;, ) 9 y,7. ) a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números: ; 0,87; ) ; 7 ; ; π b)ordénalos de menor a mayor. c) Cuáles son números reales? a) Racionales: 0,87; ) ; 7 Irracionales: ; ; π b) 7 < < < < 0,87 ) < π c) Todos son números reales. Sitúa los siguientes números en el diagrama adjunto: ; 7, ; ) ;, ; ; ; π ; , ), 9 π Unidad. Números reales

14 Soluciones a los ejercicios y problemas Indica a cuáles de los conjuntos N, Z, Q, Á pertenece cada uno de los siguientes números: N: ; ; ; ; ; ; ; + Pág. Z:,, Q : ; ; ; ; Á: ; ; ; ; ; y + Intervalos y semirrectas Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas: A [, ] B (, ) C [ 7, ) D (0, ] E ] F (, +@) A B 0 C 7 0 E D 0 F Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) Ì x Ì b) < x < c) 0 < x Ì 7 d)x > a) [, ] b) (, ) c) (0, 7] d) (, +@) Unidad. Números reales

15 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados. a) 0 b) c) 0 d) 0 a) [, ] b) (, ] Ì x Ì < x Ì c) [, +@) ) x Ó x < Pág. 8 Representa en una misma recta las semirrectas: A ] y B [, +@) Cuáles son los números que pertenecen a A y a B (A» B)? Exprésalo como un intervalo. 9 Resuelto en el libro de texto. 0 Representa en la recta real: a) ) «(, +@) 0] «[, +@) A 0 B A»B [, ] a) b) 0 0 Números aproximados. Notación científica Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de cada una de las aproximaciones siguientes sobre los presupuestos de algunos equipos deportivos: a) 8 mil euros b) millones de euros c) 8 00 d) 00 a) Error absoluto < 00 b) Error absoluto < Error relativo < 0,009 Error relativo < 0,0 c) Error absoluto < 0 d) Error absoluto < 0 Error relativo < 0, Error relativo < 0,0 Unidad. Números reales

16 Soluciones a los ejercicios y problemas Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des. a) Oyentes de un programa de radio: 8 7 b)precio de un coche: 8 78 c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,07 segundos. d)gastos de un ayuntamiento: a) oyentes Error absoluto < 000 Error relativo < 0,009 Pág. b) Error absoluto < 00 Error relativo < 0,07 c) 0,0 segundos d) Error absoluto < 0,00 Error relativo < 0, Error absoluto < Error relativo < 0,0 Escribe en notación científica. a) b) 0,0000 c) 0, d) a) 7, 0 8 b), 0 c) 7 0 d), 0 0 PÁGINA 7 Expresa en notación científica. a) 0 b)7 0 c) d)8 0 7 e) 0,0 0 f) 0,00 0 a), 0 b) 7, 0 c) 8, 0 9 d),8 0 e) 0 f), 0 8 Da una cota del error absoluto de cada una de las siguientes aproximaciones y compara sus errores relativos. a) 8 0 b), 0 c),7 0 7 d), 0 e),7 0 f) 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 8 f) 0 El menor error relativo se da en c) y el mayor, en f). Unidad. Números reales

17 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula mentalmente. a) (, 0 7 ) ( 0 ) b)( 0 ) : ( 0 ) c) ( 0 7 ) : ( 0 ) d) 0 8 a) 0 b), 0 c) 0 d) 0 Pág. 7 Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora. a) (, 0 7 ) ( 0 8 ) b)( 0 8 ) (, 0 ) c) (, 0 7 ) : ( 0 ) d)( 0 7 ) a) 0, 0 b), 0, 0 c) 0, 0, 0 d) 0, 0 8 Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora. a), 0 0 b) 0 + 8, 0 c) d)7, 0 8 +, 0 0 a) b) , 0 8, 0,8 0 c) , 0 8 d) 7, , 0 8, Expresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica con cifras significativas como máximo: a) (,8 0 ) : (, 0 ) b)(7, 0 ) : (, 0 9 ) c) 7,8 0, 0 +, 0 d)( ) : (7 0 0 ) a), 0 b) 7,0 0 8 c), 0 d), 0 Potencias y raíces 0 Expresa en forma exponencial. a) x b) c) 0 d) 0 e) ( ) f) a g) ( x ) h) a a) x / b) / c) 0 d) 0 / e) ( ) / f) a / g) x / h) a / Unidad. Números reales

18 Soluciones a los ejercicios y problemas Pon en forma de raíz. a) / b)( ) / c) / ( ) d)(a ) / e) (a / ) / f)(a ) / a) b) ( ) c) d) a e) a f) a Pág. Obtén con la calculadora. a) 7 b) 0, c) d) / e) f) ( ) a) 7,0 b) 0,, c), 9 d) / 0,9 e) 0, f) ( ) 0, Resuelto en el libro de texto. ( ) 9 ( ) Expresa como potencia única. a) b) 9 c) : d) a a e) a f) m : (m m ) a) / / 7/ b) / / c) / : / / d) a / a / a 9/0 e) a /0 f) m / :(m m / ) m / Radicales Simplifica. a) b) a 8 c) 8 d) a b e) a 8 f) a) b) a c) a d) ab e) a 8 a f) a b Multiplica y simplifica. a) b) a a a c) a a a) b) a a c) a a a a b 9 Unidad. Números reales

19 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Extrae del radical los factores que sea posible. a) a b) 8a b c) 8a Pág. 7 9 d) e) f) a 7 a) a b) a ab c) a a d) e) 9 f) 9 a a 8 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los radicales siguientes: 7, 0, 0, 8 mín.c.m. (,,, ) < 0 < 7 < 0 9 Introduce dentro de la raíz y simplifica. 8 a) b) 7 c) d) e) 9 f) a) 8 b) c) 7 0 d) e) f) 9 Unidad. Números reales

20 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 8 Pág. 8 0 Divide y simplifica. a) 7 : b) : c) : a) 7 : 7 : 9 b) : : c) : : 7 Reduce a índice común y efectúa. a) b) : c) 0 : 0 d) ( ) : ( ) a) b) c) d) ( ):( ) 0 0 :0 Resuelto en el libro de texto. Efectúa. a) 8 + b) 8 c) d) + e) / a) + + b) c) d) e) Unidad. Números reales

21 Soluciones a los ejercicios y problemas Efectúa. a) ( + )( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) a) b) c) 7 d) + Pág. 9 Racionaliza y simplifica. a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) f) Racionaliza y simplifica si es posible. + a) b) + c) + d) e) + f) 0 g) h) i) + + ( + ) + 8 a) ( ) b) ( + ) + c) ( + )( + ) + + d) ( ) e) Unidad. Números reales

22 Soluciones a los ejercicios y problemas ( + ) + f) 9 Pág. 0 0 ( + ) g) + ( ) h) + ( )( ) + 8 i) P IENSA Y RESUELVE 7 Halla el área total y el volumen de un cilindro de cm de radio y cm de altura. Da su valor exacto en función de π. cm cm Área lateral πr h π 0π cm Área base πr π π cm Área total 0π + π 70π cm Volumen πr h π 00π cm 8 En un círculo cuya circunferencia mide 0π m, cortamos un sector circular de 0 de amplitud. Halla el área de ese sector dando su valor exacto en función de π. 0 Radio del círculo: πr 0π 8 R m 0 8 π 0 8 x Área 0 π 7π m 0 9 Calcula el área total y el volumen de un cono de cm de radio y 0 cm de generatriz. Da el valor exacto. cm 0 cm Altura 0 7 cm Área lateral πrg π 0 0π cm Área base πr π cm Área total 0π + π 7π cm Volumen πr h π π cm Unidad. Números reales

23 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales. u A D G Pág. C I B F E H ABC AC + 0 ; AB + ; BC + Perímetro de ABC u DFE DF + ; DE + ; FE Perímetro de DFE u GHI GH + 0 ; GI GH ; HI + Perímetro de GHI u Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es cm. Expresa el resultado con radicales. Altura cm ( ) ( ) Área cm Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Da su valor exacto. H V h 8 A Altura del tetraedro: h 7 cm 8 ( ) x 8 Altura de una cara: x 8 cm 8 AH cm Unidad. Números reales

24 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide cm. Da su valor exacto. Pág. h d d + cm d cm Altura de la pirámide ( ) ( ) cm Volumen del octaedro ( ( ) ) cm Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces: a) x 7 b) x c) x d) x + a) x 7 Ó 0 8 x Ó 7 8 x é[7, +@) b) x Ó 0 8 x Ó 8 x Ì 8 x ] c) x Ó 0 8 x Ì 0 8 x 0] d) x + Ó 0 8 x +@) Comprueba que los números + y son soluciones de la ecuación x x ( + ) ( + ) ( ) ( ) Cuál de los números + o es solución de la ecuación x x 0? ( ) ( ) ( + ) + 8 +? 0 El número no es solución de la ecuación ( ) ( ) ) ( + 0 El número + sí es solución de la ecuación. Unidad. Números reales

25 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 9 Pág. 7 Halla el valor exacto de las siguientes expresiones en el caso en que m : a) ( m) b) m c) + m m ( ) + a) b) ( ) + / + ( + )( + ) + + c) 7 + / 8 Calcula utilizando la notación científica. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto cometido en cada caso: a) (7 800) : ( 000) b) ,000 0,0000 c) (0,007) (0,000) d)(, 0 ) : (0,00087) a) (,0 0 9 ) : (, 0 8 ),9 0 Error absoluto < 0 8,70 0 b), ,8 0 0,0 0 0 Error absoluto < 0 7 c) (,88 0 ) (, ),9 0 Error absoluto < 0 d) (, 0 ) : (8,7 0 ),8 0 Error absoluto < 0 9 Simplifica las expresiones siguientes: a) ( + ) + ( ) b) ( + ) ) ( + + c) ( + ) ( + )( + ) ( )( ) a) + + Unidad. Números reales

26 Soluciones a los ejercicios y problemas [ ] ( )( ) b) ( + ) 9 8 ( + ) ( + )( + ) 8 + c) + Pág. R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 0 Qué números representan los puntos A y B? 0 A B A + B + Explica un procedimiento para construir un segmento que mida exactamente: a) 8 b) a) b) 0 A 8 0 B A 8 + B + Cuáles de las siguientes raíces no existen? 0; ; ; 0,00; No existen ni ni 8. 8 Cuántos números racionales hay entre 0, 7 ) y 0, 8? ) Y cuántos irracionales? Pon ejemplos. Hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Racionales entre 0, 7 ) y 0, 8: ) 0,79; 0,78; 0,78; 7 Irracionales: 0, ; 0,888 ; ; ; Unidad. Números reales

27 Soluciones a los ejercicios y problemas Cuáles son los números que pertenecen a ) «(, +@)? Todos los números reales excepto el. Pág. Escribe, en cada caso, un número racional y otro irracional comprendidos entre los dos que se dan: a) y b), ) y, ) c), ) y, ) d) y a) Racional:, Irracional: 0 b) Racional:, Irracional: c) Racional:, Irracional:, d) Racional:, Irracional: + Escribe dos números racionales uno mayor y otro menor que que se diferencien de él en menos de una milésima. Menor que 8, Mayor que 8, 7 Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen soluciones irracionales? a) x 0 b)9x 0 c) x + 0 d)x 8 0 e) x x 0 f) x 0 a) x, x son irracionales. b) x ± son racionales. c) No tiene solución. d) x ± 8 ± son irracionales. ± + 8 ± e) x ± son irracionales. f) x ± son racionales Justifica que,, y / representan el mismo número irracional. Es posible que + represente ese mismo número? ; ; ; / Unidad. Números reales

28 Soluciones a los ejercicios y problemas ( + )( ) Pág. 9 Cuáles de los siguientes números no están expresados en notación científica?, 0 7 ;, ; ; 0,8 0 No están en notación científica:, ; ; 0,8 0 P ROFUNDIZA 0 Ordena de menor a mayor en el caso a é (0, ) y en el caso a é (, +@). a; ; a a ; a Si a é (0, ), a < a < a < Si a é (, +@), < a < a < a a a Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces: a) (x )(x +) b) x ( x) c) x + x d) (x + )(x ) a) ] «[, +@) b) [0, ] c) ] «[, +@) ] «[, +@) Prueba que. Elevamos al cuadrado. ( ) ( ) + 8 x x x Justifica que. x x 8 x 8 x / x x x 8 x Unidad. Números reales