Potencias, radicales y logaritmos

Transcripción

1 Potencias, radicales y logaritmos 1. Potencias de exponente natural y entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) 8 b) 8 c) 8 d) 8 1 Calcula mentalmente los cinco primeros cuadrados perfectos. 0, 1,, 9, 1 Calcula mentalmente: a) b) ( ) c) d) ( ) Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a), b), c) 0,9 1 d), 10 8, 10 a) 1,89 b) 1, c) 0,8 d), A P L I C A L A T E O R Í A a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 Escribe en forma de potencia de base : a) b) c) 1 d) 1/ Calcula mentalmente: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) b) c) d) Calcula mentalmente: a) 0 b) ( ) 0 c) 1 d) ( ) 1 a) 0 b) 1 c) 1 d) a) b) 1 c) 0 d) Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) (1, + 8), b) (,,,) :, c) (,, :,), a) 1 8, b),91 c) 1, 10 SOLUCIONARIO

2 8 Calcula mentalmente: a) ( + ) b) + c) ( ) d) a) x b) x c) x d) x a) 9 b) c) d) 1 9 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x x b) x :x c) (x ) d) x x :x 10 Una pecera tiene forma cúbica y su arista mide cm. Si está llena, cuántos litros de agua contiene? V = = 1 8 cm = 1,8 litros.. Radicales Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) 1000 = x b) x = 10 c) 81 = d) 1 = x x P I E N S A Y C A L C U L A a) x = 10 b) x = c) x = d) x = ± 11 Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: a) b) 8 c) 1 d) 1 A P L I C A L A T E O R Í A Escribe en forma de potencia los radicales: 1 1 a) b) a c) d) a a) ± b) c) ± d) No tiene raíces reales. a) 1/ b) a / c) a 1/ d) / 1 Utilizando la calculadora, halla las siguientes raíces. Redondea los resultados a dos decimales. a), b) 89, c) 89, d) 1000 a) 18,9 b) 9, c),08 d),98 1 Escribe en forma de radical las potencias: a) 1/ b) x 1/ c) a / d) / a) b) 1 c) a d) 1 x 1 Simplifica los siguientes radicales: 8 a) b) x c) d) a) b) x c) d) a 1 Introduce dentro del radical el factor que está delante: a) b) a c) a d) x a x a) b) a c) 1 a d) 8 x 1 1 a 8 TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 10

3 1 Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) 0 b) a c) 81a 11 b d) x 1 y 11 z a) b) a a c) a b a b d) x y x yz 18 El volumen de un cubo es m. Cuánto mide la arista? Redondea el resultado a dos decimales. V = m a = = 1, m. Operaciones con radicales Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones: a) b) c) 9 d) 9 P I E N S A Y C A L C U L A a) b) c) d) 19 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales: a) b) a) = = ( ) = 1 b) = = ( ) = 0 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma y resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: 8 + 0, 1 Realiza los siguientes productos: a) b) 0 8 c) d) a) 1 = b) 0 = c) m.i.c.(, ) = = = 00 d) m.i.c.(, 8) = = = 10 1 A P L I C A L A T E O R Í A Realiza los siguientes cocientes: a) : b) 0 : c) : d) 9 : 18 a) b) 8= c) m.i.c.(, ) = : = : = 1 : 1 = : = d) m.i.c.(, ) = 9 9 : 18 = 9 :18= 81 : 18 = 9 : = 10 SOLUCIONARIO

4 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) ( ) b) a) = b)? Racionaliza: 10 a) b) c) + d) e) f) 1 a) = = b) = = ( ) ( ) c) = = ( + )( ) ( ) = = d) = = 1 1 e) 1 = = ( + ) ( + ) f) = = ( )( + ) = ( ) = 10. Logaritmos Halla el valor de x en los siguientes casos: a) 10 = x b) 10 x = c) x = 100 d) x 1 = 10 e) 10 x = 1 P I E N S A Y C A L C U L A a) x = b) x = c) x = ± 10 d) x = 10 e) x = 0 Halla el valor de x en los siguientes casos: a) = x b) x = c) x = 1/ A P L I C A L A T E O R Í A Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 100 b) log 10 c) log 0,001 a) x = 9 b) x = c) x = 1 a) b) 1 c) Halla el valor de x en los siguientes casos: a) = x b) x = 8 c) x = 1/ a) x = 1/8 b) x = c) x = 8 Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log b) log 1 c) log 1/8 a) b) 0 c) TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 10

5 9 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log, b) log c) log 0,0 a) 1,11 b), c) 1,10 0 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L, c) L 0, a) 1,098 b),1 c) 0,91 1 Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 1 b) log c) log (0, 0 ) a) 1 log =,18 b) (log )/ = 0,19 c) 0 log 0, + log = 10,0 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) log ( + ) log + log b) log log c) log log log d) log log a)? b) = c) = d)? Sabiendo que log = 0,990, halla: a) log b) log 0 10 log = log 10 log = 1 0,990 = = 0,010 log ( ) = log + log = = 0, ,990 = 1, SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas 1. Potencias de exponente natural y entero Calcula mentalmente los cinco primeros cubos perfectos. 0, 1, 8,, Calcula mentalmente: a) b) ( ) c) d) ( ) a) 81 b) 81 c) 81 d) 81 Calcula mentalmente: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) b) c) d) Calcula mentalmente: a) 0 b) 1 c) 1 d) a) 0 10 b) ( ) 0 c) 1 d) ( ) 1 b) (1, +,8 1,) : 91 c) (1,, :,8), a) 89,9 b) 1,18 c),0 1 Calcula mentalmente: a) ( + ) b) + c) (10 8) d) 10 8 a) 11 b) 1 c) d) Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x x b) x :x c) (x ) d) x x :x a) x b) x c) x 1 d) x 8 0 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) 0, b),1 c) 1, 10 d), : 9, 10 a) 0,0 b), c),19 d), Escribe en forma de potencia de base : 1 a) 81 b) c) 1 d) a) b) 1 c) 0 d) Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) (,,),. Radicales Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: a) b) c) 81 d) 9 a) ± 8 b) c) ± d) No tiene raíces reales. Utilizando la calculadora, halla las siguientes raíces. Redondea los resultados a dos decimales. a) 1000 b) 100 c) 1, d), a) 1, b), c) 1,0 d),0 TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 109

7 Ejercicios y problemas Escribe en forma de radical las siguientes potencias: a) x 1/ b) 1/ c) a / d) / a) x b) 1 c) a d) 1 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: 1 1 a) a b) c) d) a a) a 1/ b) / c) a 1/ d) / Simplifica los siguientes radicales: 9 a) b) x c) a d) a) 8 b) x c) a d) 8 Introduce dentro del radical el factor que está delante: a) b) a c) a d) x a y x y a) 0 b) a c) a 1 d) 9 x 11 y 9 Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) 18 b) 81x 1 c) a 1 b 9 d) 18x 19 y 1 x 10 a) b) x c) a b ab d) x y z x 1 9. Operaciones con radicales 0 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales: a) b) a) = = ( ) = 1 b) = = ( ) = 1 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma y resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: ,8 Realiza los siguientes productos: a) b) 1 10 c) d) a) 18 = b) 10 = 1 c) m.i.c.(, ) = = = 108 d) m.i.c.(, ) = = 1 = 1 11 Realiza los siguientes cocientes: a) : b) 0 : c) 9 : 1 d) : a) b) 8= c) m.i.c.(, ) = 1 9 : 1 = 9 :1 = = d) m.i.c.(, ) = 1 1 : 1 = 1 : = 1 / Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) ( ) b) a)? b) = 110 SOLUCIONARIO

8 Racionaliza: 8 a) b) c) a) = = 8 8 b) = ( + ) ( + ) c) = = ( )( + ) ( + ) = = ( + ) Racionaliza: 10 1 a) b) c) a) = = b) = = = 1( + ) 1( + ) c) = = ( )( + ) 9 1( + ) ( + ) = =. Logaritmos Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) = x b) x 1 = c) x = 1/ a) x = b) x = 1/ c) x = 8 1 Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) = x b) x = 1 c) x = 1 a) x = 1/1 b) x = c) x = 0 9 Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log b) log 1 c) log 10 a) b) 0 c) 0 Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 9 b) log 1/ c) log 1 a) b) c) 0 1 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales: a) log 0, b) log 1,9 c) log 0,000 a),08 b) 0,88 c),010 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L,8 c) L 0,0 a) 1,09 b),0 c),81 Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 10 8 b) log c) log ( :, 1 ) a) 10 log =,01 b) log 8 log =,09 c) log 1 log, = 8,101 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) log (1 : 19) log 1 log 19 b) log log c) log ( + 8) log + log 8 d) log ( + 8) log 0 a) = b)? c)? d) = TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 111

9 Ejercicios y problemas Sabiendo que log = 0,010, halla: a) log b) log log = log = log 100 log = = 0,010 = 1, log = log 100 log = 0,010 = = 1,990 Para ampliar Escribe en forma de radical las siguientes potencias y halla mentalmente el resultado: a) 8 1/ b) 9 1/ c) / d) 8 / a) 8= 1 1 b) = ± 9 c) ( ) = (± ) = ± 1 d) ( 8 ) = = Efectúa las siguientes operaciones: 8 a) ( + ) b) ( ) ( + )( ) = 1 a) + + = + b) + = 1 a) b) : a) m.i.c.(, ) = = 1 b) m.i.c.(, ) = 1 1 : 1 = 1 Escribe con un solo radical: a) a b) x a) a b) 8 x Racionaliza: a) b) 8 8 a) = = ( 1 + ) + b) = = = 1 0 a) b) : a) 0 b) 1 a) b) a) = = ( 1 ) b) = = 1 11 SOLUCIONARIO

10 a) b) a) = = 9 9 b) = = 9 log ( ) = log 1 81 log a + log b log c a b log c 1 a) b) 1 1 a) = = b) = = a) b) + ( ) a) = = ( + )( ) ( + ) + b) = = + ( )( + ) 8 8 log x log y + log z x z log y 1 log x + Con calculadora log y log ( x y ) = log x y Utilizando la calculadora, halla el valor de la siguiente expresión. Redondea el resultado a dos decimales. 8 (,,,8) 1, Solución 1 0, a) b) ( + ) + a) + = = + ( )( + ) ( ) b) + = = ( + )( ) Reduce al logaritmo de una sola expresión: 9 log + log log log = log 1 80 log + log + a) π, 8 b) π, Solución a) 0,8 b) 1,1 8 8 a), b),, Solución a),8 b) 9,1 a) π e b) e π Solución a), b),1 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 11

11 Ejercicios y problemas a) log π b) log c) log e 89 a) L π b) L c) L 10 Solución a) 0,91 b) 0,090 c) 0, Solución a) 1,1 b) 0,81 c),0 Problemas 90 Calcula el volumen de un cubo de área m a = ò a = = 0,91 m V = a V = 0,91 = 0, m 91 Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificio. Si la escalera mide 1 m de longitud y el pie de la escalera está a m de la pared, a qué altura de la pared llega la escalera? h = 1 = 1 m 9 9 La cantidad de madera de un bosque crece según la función y = x 1,0 t, donde t es el tiempo en años y x es la cantidad de madera inicial.si en el año 000 el bosque tiene km de madera, cuánta madera tendrá en el año 100? y = 1, = 11 81, km Halla el volumen de un cono en el que el radio de la base mide m, y la generatriz, m 1 m h m H 9 m Una población crece según la función dada por P(t) = p 1,00 t, donde t es el tiempo en años. Si en el año 000 tenía un millón de habitantes, siendo p la población inicial, cuántos habitantes tendrá en el año 00? m H = = m 1 V = π =,0 m P(0) = ,00 0 = habitantes. 9 Halla la arista de un cubo cuyo volumen es m. Redondea el resultado a dos decimales. V = a a = ò a = = 1,91 m 9 La fórmula del capital final en el interés compuesto es C = c(1 + r) t, donde C es el capital final, c es el capital inicial, r es el tanto por uno y t es el tiempo en años. Calcula en cada caso la incógnita que falta: a) c = , r = 0,0, t = años b) C = 1 000, r = 0,0, t = 8 años c) C = 0 000, c = 1 000, t = 10 años d) C = 0 000, c = 000, r = 0,0 11 SOLUCIONARIO

12 a) C = ,0 = 1 01 b) c 1,0 8 = ò c = 11 81,1 c) (1 + r) 10 = (1 + r) 10 = 10 log (1 + r) = log log log (1 + r) = 10 log (1 + r ) = 0, r = 1,0 r = 0,0 =,% d) 000 1,0 t = ,0 t = t log 1,0 = log t = 10, años. 9 Las medidas de las tarjetas de crédito están en proporción áurea, es decir, el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es 1 + f =. Si miden mm de ancho, cuánto miden de largo? Para profundizar 100 Racionaliza: a+ b a) b) a b ( a+ b ) a + ab + b a) = = ( a b )( a+ b ) a b 101 a + b + ab = a b ( a b ) a ab + b b) = = ( a b )( a+ b ) a b a + b ab = a b Una moto se devalúa un 1% cada año. Si nos ha costado 000, qué valor tendrá al cabo de 10 años? 000 0,8 10 = 98, a b a+ b 1 + Longitud = = 8 mm Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 000 amebas que se reproducen cada hora, cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 10 1 amebas? 000 t = 10 1 t =, 10 9 t log = 9 + log, t = 1, horas. Supongamos que, en cada uno de los 10 años siguientes, el IPC es de un %. Si un producto cuesta actualmente 100, cuánto costará al cabo de los 10 años? 100 1,0 10 = 11,90 10 Halla el área y el volumen de una esfera de radio R =, m Área = π R Área = π, = 1,9 m Volumen = π R Volumen = π, = 19,9 m 10 Se ha obtenido experimentalmente que la presión atmosférica viene dada por la función p(x) = 0,9 x, donde x es la altura sobre el nivel del mar. La altura se mide en kilómetros, y la presión, en atmósferas. a) Halla la presión en lo alto de una montaña de 00 m b) Halla la altura a la que hay que subir para que la presión sea de 0,8 atmósferas. a) P(,) = 0,9, = 0,9 atmósferas. TEMA. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 11

13 Ejercicios y problemas b) 0,9 x = 0,8 x log 0,9 = log 0,8 x =,118 km = 18 m 10 La masa de un cuerpo radioactivo viene dada por la función M = m(1/) t, donde t es el número de períodos. Un período de semidesintegración es el tiempo necesario para que la masa se convierta en la mitad. Si tenemos 0 g de un cuerpo radioactivo que tiene un período de años, cuántos años tienen que transcurrir para que tengamos g de dicho cuerpo? 0(1/) t = (1/) t = 1/ t log 1/ = log 1/ t =,8 Nº de años =,8 =, años. 11 SOLUCIONARIO