x 3 3 3x El área del último cuadrado es 100. Por tanto, su lado mide 10. Así: 2 + x + 2 = 10 8 x = 6 b) x x = x

Transcripción

1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 Pág. 1 PARA EMPEZAR Resolución de ecuaciones al estilo árabe Observa cómo resolvían los árabes, geométricamente, algunas ecuaciones de segundo grado: las del tipo + p = q. Por ejemplo, + 1 = : ÁREA: ÁREA: + 1(= ) ÁREA: + 9 = 100 El área del último cuadrado es 100. Su lado es = 10 8 = Revisa minuciosamente todos los pasos anteriores y resuelve del mismo modo estas ecuaciones: a) + 8 = 8 b) + 0 = 19 a) + 8 = 8 ÁREA: ÁREA: + 8(= 8) ÁREA: 8 + = 100 El área del último cuadrado es 100. Por tanto, su lado mide 10. Así: + + = 10 8 = b) + 0 = 19 ÁREA: ÁREA: + 0(= 19) ÁREA: 19 + = 9 El área del último cuadrado es 9. Por tanto, su lado mide 1,. + + = 1, 8 =,

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Traduce a lenguaje simbólico Según la mitología griega, un epitafio sobre la tumba de Diofanto de Alejandría reza, más o menos, así: Su juventud ocupó la seta parte de su vida. Durante la siguiente doceava parte, su mejilla se cubrió de vello. Pasó una séptima parte más antes de casarse. Cinco años después tuvo un hijo. Este murió a la mitad de la edad que alcanzó su padre. Diofanto aún vivió cuatro años después de la muerte de su hijo. Pág. Traduce, paso a paso, a lenguaje algebraico, la descripción de la vida de Diofanto y comprueba que murió con 8 años. Supongamos que la vida entera de Diofanto duró años. Entonces: Juventud: Su mejilla se cubrió de vello: + 1 Antes de casarse: + 7 Tuvo un hijo: + Su hijo murió a los años. Diofanto vivió luego: + Por tanto, Diofanto vivió: = = = = = 7 8 = 8 Diofanto vivió 8 años.

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 Pág. 1 1 Es solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Justifica tu respuesta: a) 8 + = 11 1 b) = 00 c) 7 = 10 d) 1 = e) 1 = 7 f) 1 = 1 g) = 11 h) 10 + = i) 0 = j) + 1 = 1 k) ( ) = 1 l) ( + ) 8 = 0 a) 8 + = 11 1 = 8 = es solución de la ecuación. b) = = es solución de la ecuación. c) 7 = 8 10 = 1 8 = no es solución de la ecuación. d) 1 = 1 8 = no es solución de la ecuación. e) 1 = 1 7 = 1 8 = es solución de la ecuación. f ) 1 = = es solución de la ecuación. g) = = es solución de la ecuación. h) 10 + = 7 = 1 8 = no es solución de la ecuación. i) 0 = = 8 = es solución de la ecuación. j) + 1 = 1 8 = no es solución de la ecuación. k) ( ) = = no es solución de la ecuación. l) ( + ) 8 = = es solución de la ecuación.

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y di cuál es su grado. Pág. a) 8 + = 11 1 Ecuación polinómica de grado 1. b) = 00 Ecuación polinómica de grado. c) 7 = 10 Ecuación polinómica de grado. e) 1 = 7 Ecuación polinómica de grado. g) = 11 Ecuación polinómica de grado. h) 10 + = Ecuación polinómica de grado. i) 0 = Ecuación polinómica de grado. k) ( ) = 1 Ecuación polinómica de grado. l) ( + ) 8 = 0 Ecuación polinómica de grado.

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 Tanteando, halla la solución entera de las siguientes ecuaciones: a) + = 10 b) = 187 c) = d) 7 + = 9 e) + 1 = 1 f) 1 = 8 a) Si =, entonces + = + 1 = 80. Por tanto, la solución no es válida. Sin embargo, si =, entonces + = 1 + = 10. Luego = es la solución. b) Si =, entonces =. Por tanto, la solución no es válida. Si =, entonces = 79. Por tanto, la solución no es válida. Sin embargo, si = 7, entonces 7 = 187. Luego = 7 es la solución. c) Si = 7, entonces 7 7 = 8. Por tanto, la solución no es válida. Si =, entonces =. Luego = es la solución. d) A esta solución es fácil llegar, ya que lo de dentro de la raíz debe valer 81 para que al hacer la raíz salga 9. Si probamos con = 10, tendríamos 7 dentro de la raíz, que no vale. Sin embargo, con = 11, obtenemos 77 + = 81, por lo tanto, = 11 es la solución. e) Si =, entonces + 1 = 7 = Por tanto, la solución no es válida. Si =, entonces + 1 = = 1. Luego = es la solución. f ) Lo primero que vemos es que > 1, ya que si no saldría la raíz de un número negativo, lo cual es imposible. Si probamos con = 1, tendríamos 1 =, que no vale. Si probamos con = 1, tendríamos = 8, que no vale. Podemos observar que según probemos con números más altos, más dispares van a ser las igualdades. Podemos concluir que esta ecuación no tiene solución. Pág. 1 Encuentra la solución, aproimando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo por tanteo, ayudándote de la calculadora. a) + 1 = 100 b) = 1 00 c) 0 = 1 0 d) + = 00 e) = 00 a) Es lo mismo que hallar = 99. Damos valores enteros a : = < 99 = 1 > 99 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,7, = 9,1 < 99, = 98, < 99,7 = 10,8 > 99 Por tanto, aproimando a las décimas, =,.

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe b) Damos valores enteros a : = 10 < 100 = 1 > 100 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,, = 10,91 < 100, = 170,08 < 100, = 19,1 > 100 Por tanto, aproimando a las décimas, =,. c) Es lo mismo que hallar = 100. Damos valores enteros a : = 79 < 100 = 09 > 100 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,, = 191,7 < 100, = 1,80 > 100 Por tanto, aproimando a las décimas, =,. d) Damos valores enteros a : + = 10 < 00 + = > 00 Por tanto, es mayor que y menor que. Damos a los valores,;,;,, +, = 17,97 < 00, +, = 18, < 00, +, = 19, < 00, +, = 0,97 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas, =,. e) Damos valores enteros a : = 180 < = 9 > 00 Por tanto, es mayor que y menor que 7. Damos a los valores,1;,;,,1,1 = 189,771 < 00,, = 199,888 < 00,, = 10,7 > 00 Por tanto, aproimando a las décimas, =,. Pág.

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 97 Pág. 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1 = + 9 c) + 8 e) + g) ( + ) 7 i) k) + (1 + ) 9( + ) = b) = d) = 1 f) + = = + m) ( )( + ) = a) 1 = = 9 l) ( 1) 1 = = 7 = 7 = 9 b) = = = = 11 = 1 c) = 8 + ( ) + + = 8( ) = = 1 + = 1 = = 10 + = h) = 9 1 j) 8 + n) ( 1)( + 1) + ( ) = 8 = ( + 1) 1 = + + ( 7)

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe d) = = (10 + ) + (1 1) = = = 9 = 1 e) + = 1 1 ( + ) = 1 = 1 = + 11 = = f ) + = 1 ( + ) = ( ) 1 = 1 = = 0 = g) ( + ) = 7 1 8( + ) = 7( ) = = = = h) = (1 ) 7 + 0( + 7) = = = = 188 = Pág.

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe i) (1 + ) = (1 + ) = (1 + + ) = = = 9 8 = 8 = 1 Pág. j) = 8 ( ) + (9 ) ( 7) + 10 = ( 8) = 19 = = = 1 k) + 9( + ) = 9 + 9( + ) = (9 ) = = 19 = 0 = 0 l) ( 1)( + 1) = ( + 1) 1 ( 1) = ( + 1) 1 1 = = + 1 = = 1 m) ( )( + ) = ( 1) + ( 9) = ( 1) + 18 = + = + 18 = 1 =

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe n) 7 + ( ) = + + ( 7) ( 7) + 100( ) = ( + ) + 0( 7) = = = 11 = Pág.

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 98 Pág. 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + = 0 b) = 0 c) = 0 d) 7 + = 0 e) + = 0 f) + 1 = 0 g) + 1 = 0 h) 0,1 + 0, = 0 a) = ± 1 = ± = ± = y = b) = ± = ± 18 = ± = 1 Solución doble. c) = ± = ± 0 18 = 1 Solución doble. d) = 7 ± 9 10 = 7 ± = 7 ± No tiene solución. e) = ± ( ) = ± + = ± = 1 y = f) = ± 1 1 = ± 1 = ± = 1 y = 1 g) = ± = ± 9 0 = ± 1 No tiene solución. h) = 0,1 ± 0,01 1 0, = 0,1 ± 0,01 0,8 = 0,1 ± 0,79 No tiene solución.

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 99 Pág. 1 Resuelve: a) 7 8 = 0 b) = 0 c) 9 = 0 d) + = 0 e) = f) 11 7 = 0 g) ( + ) + ( ) = 1( + ) h) 7 + = 8 a) 7 8 = 0 7 = 8 = = ± 8 1 = y = b) = 0 7 = 8 = = ± No tiene solución. c) 9 = 0 = 9 = 9 = ± = y = d) + = 0 ( + 1) = = 0 y = 1 e) = = 0 ( 1) = = 0 y = 1 f ) 11 7 = 0 (11 7) = = 0 y = 7 11

13 Soluciones a las actividades de cada epígrafe g) ( + ) + ( ) = 1 + ( ) + ( + 9) = = = 0 = 1 8 No tiene solución. Pág. h) 7 + = 8 7 = = 9 = ± = y =

14 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 100 Pág. 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + )( 7) = ( + 7) + b) c) ( + 1) ( 1) + ( + 1) = d) ( + 1) + = + 1 ( ) = ( + 1)( 1) + 1 a) ( + )( 7) = ( + 7) = = = 0 = 9 ± ( 10) = 9 ± = 9 ± 1 = = 9 ± = y = = 11 b) + = + 1 ( ) + 1 = = 0 10 = 0 8 ( 10) = = 0 y = 10 c) ( + 1) ( 1) + ( + 1) = ( + 1) ( 1) + ( + 1) = ( + + 1) = = = 0 = 7 ± 9 8 ( 1) 1 = 7 ± 81 1 = 7 ± = 1 8 y = 1 d) ( + 1) ( ) = ( + 1)( 1) ( ) = = = 0 = 10 ± 100 ( ) 8 1 = y = = 1 = 10 ± 8 = 10 ± 8

15 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 101 Pág. 1 1 La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 00 cm. Calcula las dimensiones de este rectángulo. + 9 ( + 9) = = 0 1 = 1 = 1 = 1 La altura es de 1 cm y la base es de = cm. = No es una solución válida, porque los lados no pueden tener una medida negativa. Al mezclar 0 kg de café de 7,0 /kg con café superior de 9,0 /kg, resulta una mezcla de 8,70 /kg. Cuánto café superior se ha utilizado? Coste café barato + Coste café superior = Coste de la mezcla 0 7,0 + 9,0 = (0 + ) 8,70 0,9 = 90 8 = 100 Se han utilizado 100 kg de café superior.

16 PÁGINA 10 Pág. 1 Practica Ecuaciones: soluciones por tanteo 1 Es ó solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) + = 1 b) = c) 1 = d) ( ) + = 1 a) = 8 = 8 ( ) +? ? 1 + = 1 = 1 8 no es solución. 8 sí es solución. b) = 8 + = = 8 es solución. = = ? 8 no es solución. c) = 8 1? 8 no es solución. = 8 1 ( ) = 1 = 8 es solución. d) = 8 ( ) + = = 8 1 = 8 8 es solución. = 8 ( ( )) + ( ) = = 8 ( ) 1 = 8 no es solución. Resuelto en el libro del alumno. Resuelve mentalmente y eplica el proceso que has seguido. a) ( ) = 100 b) 7 + c) 1 = d) + e) = f ) 7 = a) puede ser 10 o 10 b) + = = 10 8 = 1 = 10 8 = 8 = tiene que ser igual a 8 + tiene que valer 9 8 = 7 c) 1 tiene que ser igual a 1 8 tiene que ser igual a 8 =

17 d) + tiene que ser igual a 18 8 tiene que valer 1 8 = o = e) tiene que valer 1 8 tiene que ser igual a 0 8 = f ) 7 tiene que ser 8 = Pág. Busca por tanteo una solución eacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) = 7 b) + 9 = 1 c) ( + 1) = 1 d) = 1 a) = 8 b) = 10 c) = d) = Busca por tanteo una solución aproimada de las siguientes ecuaciones: a) = 81 b) = c) + = 0 d) 1 = 0,00 e) = 0, f ) 0,7 = 17 a) 7, b),1 c) d) e) 0,7 f ) Ecuaciones de primer grado Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución de cada una: a) ( + ) = ( + 1) b) + (1 ) + ( + ) = 0 c) + 7 ( 1) = ( + ) d) ( 7) ( + 1) = (7 ) a) ( + ) = ( + 1) 8 = 8 = 8 = 1 Comprobación: 1 (1 + ) = 1 (1 + 1) 8 = b) + (1 ) + ( + ) = = = 10 8 = 1 Comprobación: 1 (1 + 1) + ( 1) = = 0 c) + 7 ( 1) = ( + ) = = 8 = 0 Comprobación: (0 1) = (0 + ) 8 9 = 9 d) ( 7) ( + 1) = (7 ) = = 8 = 1 Comprobación: [( 1) 7] [( 1) + 1] = [7 ( 1)] = = 18

18 7 Comprueba si estas dos ecuaciones son equivalentes: ( 1) = ( 1) = ( ) ( 1) = = = 1 ( 1) = ( ) = 10 8 = 10 8 = Son equivalentes, porque tienen la misma solución. Pág. 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) = ( + 1) + ( ) b) c) 1 = + d) + e) 1 f ) = + 1 = + = = + a) ( ) ( ) = ( + 1) + ( ) 9 + = = 1 8 = 1 11 b) = ( ) = 1 ( + 1 ) ( ) = ( + 1) = = 8 = 8 c) 1 = = ( + 8 = ( + ) 8 ) 8 = + 8 = 0 d) + e) 1 f ) = + 8 ( ) = ( + ) 8 8 = = 18 = = ( 1 ) = 1 ( ) 8 8 ( 1) = ( + 8) + ( + 1) = = = 8 ( ) = ( + ) 8 8 ( ) = 18 ( + ) = = 1 8 =

19 9 Resuelve y comprueba la solución de cada una de las siguientes ecuaciones: a) + b) + c) = = = Pág. a) + + = ( + 0( + ) 0( + ) = 1( ) + 1( ) = = 0 8 = 0 Comprobación: 0 + b) = + 1 = ( + 8( + ) ( 1) + ( ) = 10( + 1) = = 0 8 = 0 Comprobación: = = 1 c) + + = ( + ( + ) ( + ) = 1( + ) + ( + ) = = 1 8 = Comprobación: = 1 1 = 19 0 = = ) = 0 ( = = ) + 8 ) = 0 ( + 1 ) + ) = 10 ( ) 10 Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus soluciones: a) ( )( + ) ( ) = b) ( + ) + ( ) = ( + 1) c) ( ) + ( ) = ( + 1) + ( 1) d) ( + 1) ( 1) =

20 a) ( )( + ) ( ) = (9 + 1) = = 8 = 8 = 1 Pág. b) ( + ) + ( ) = ( + 1) = = 8 = c) ( ) + ( ) = ( + 1) + ( 1) 8 d) = = = 1 8 = 10 1 = 7 ( + 1) 8 8 ( ( + 1) ( 1) 8 = ( 1) 8 ) = 8 ( ( 1) ( 1) = ( + 1) ) 8 8 ( + 1 ) = = = 8 = = 1

21 PÁGINA 10 Pág. 1 Ecuaciones de segundo grado 11 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución: a) 1 = 0 b) = 0 c) = 0 d) 8 = 0 e) 9 = 0 f ) = 0 g) 1 = 100 h) = 0 a) 1 = 0 8 ( ) = 0 b) = 0 8 (1 ) = 0 c) = 0 8 ( ) = 0 d) 8 = 0 8 = 8 8 = = 0 = = 0 = 1/ e) 9 = = 8 = 9 = 0 = / = = f) = 0 8 = 100 No tiene solución. g) 1 = = h) = 0 8 = 8 = = 10/ = / = 10 = / = = = / = / 1 Resuelve. a) + 1 = 0 b) = 0 c) = 0 d) + + = 0 e) = 0 f ) + = 0 g) 0 + = 0 h) + + = 0 a) + 1 = 0 8 = ± = ± 10 = = 7 b) = 0 8 = 9 ± 81 0 = 9 ± 1 = = c) = 0 8 = 1 ± = 1 ± 0 18 =

22 d) + + = 0 8 = 1 ± 1 No tiene solución. Pág. e) = 0 8 = 8 ± = 8 ± 0 8 = 7 f) + = 0 8 = ± No tiene solución. g) 0 + = 0 8 = 0 ± 00 8 = 0 ± 0 8 = h) + + = 0 8 = ± 9 ( ) = ± = / = 1/ = 1 Resuelve igualando a cero cada uno de los factores: a) ( 1) = 0 b) ( + ) = 0 c) ( + 1)( + ) = 0 d) ( )( + ) = 0 e) ( ) = 0 f ) ( ) = 0 a) = 0; 1 = 0 8 = 1 Soluciones: = 0; = 1 b) = 0; + = 0 8 = Soluciones: = 0; = c) + 1 = 0; + = 0 Soluciones: = 1; = d) = 0; + = 0 Soluciones: = ; = e) = 0 Solución: = f ) = 0 Solución: = 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + 1)( ) = ( + 1)( 1) 8 b) ( )( + ) ( + 1) = 0 c) ( + 1) = + ( + )( ) d) ( + ) ( 1) = 8 a) ( + 1)( ) = ( + 1)( 1) = = 0 8 = ± b) ( )( + ) ( + 1) = = ± 1 = = 8 9 = = = 1 ± 1 ( 1) = 1 ± 19 = 1 ± 1 = 7/ =

23 c) ( + 1) = + ( + )( ) 8 Pág = = = ± 1 1 = ± = ± = 1/ = 1 d) ( + ) ( 1) = ( + 1 ) 8 = = = = ± 1 ( ) 1 = ± 19 = ± 1 = / = 1 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ( )( + ) = ( 1) 9 b) ( 1) ( + 1) + + = 0 1 c) ( 1)( + ) 1 d) ( 1) e) + 1 a) ( 1) ( )( + ) 8 1 ( + 1)( ) = 0 + = ( 1) 9 1 = ( ) 8 = ( ) = = = 0 8 = 0 8 (7 + 1) = 0 = 1/7 b) ( 1) ( + 1) = ( ( 1) ( + 1) ) 8 8 ( 1) ( + 1) + + = = = 0 8 = ± 1 =

24 c) ( 1)( + ) ( + 1 ( + 1)( ) 1 = 1 = ) = 1 ( ) 8 Pág. 8 + ( ) 1 = ( ) = = = 0 8 = 1 ± 1 ( ) = 1 ± = 1 = d) ( 1) = [ ( 1) ] = = = 0 8 = ± 8 No tiene solución. e) + 1 ( 1) + + ( ) = ( + 1 ( 1) + + ( ) ) = ( + 1) ( + 1) ( + ) + ( + ) = = = 0 8 = = = Aplica lo aprendido 1 La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11. Cuáles son esos números? Llamemos, + 1, + a los números. Así: = = 8 = 7 Los números son 7, 8 y Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando a los 9/ de ese número. + = ( + ) = 10 ( 9 ) = = 8 = 0 El número es 0.

25 18 Halla tres números impares consecutivos tales que su suma sea 117. (Un número impar es + 1). Pág = = = 18 Los números son 7, 9 y He pagado 1,0 por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, cuál es el precio de cada artículo? Precio del bolígrafo, ; cuaderno, ; carpeta, = 1,0 8 1 = 1,0 8 = 1,1 El bolígrafo cuesta 1,1 ; el cuaderno,,, y la carpeta, Calcula la altura de un árbol que es 1 m más corto que un poste que mide el doble que el árbol. Altura del árbol: ; altura del poste, = 1 8 = 1 m. El árbol mide 1 m. 1 Una botella y un tapón cuestan 1. La botella cuesta 90 céntimos más que el tapón. Cuál es el precio de cada uno? Precio del tapón: ; precio de la botella: + 0, ,9 = 1 8 = 1 0,9 8 = 0,1 8 = 0,0 El tapón cuesta 0,0, y la botella, 0,9. El precio de unos zapatos ha subido un 1% en diciembre y ha bajado un 0% en enero. De esta forma, el precio inicial ha disminuido en,9. Cuál era el precio inicial? 1,1 0,8 =,9 8 0,9 =,9 8,9 = 0,08 8 = 87 El precio inicial era 87. Álvaro y Yago han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 1% y del 19%, respectivamente. Si Álvaro pagó 1, más que Yago, cuál era el precio que tenía el videojuego? Luis pagó 0,8 y Miguel pagó 0,81. 0,8 = 0,81 + 1, 8 0,0 = 1, 8 = El precio del videojuego era.

26 Calcula el capital que, colocado al % de interés compuesto durante dos años, se ha convertido en 9. Pág. es el capital inicial. 1,0 = 9 8 = 9 1,0 90,7 El capital inicial era 90,7. Con, más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,. Cuánto dinero tengo? es el dinero que tengo. +, = 7, 8, + 7, = 8 8 = 10,7 es el dinero que tengo. Tres amigos trabajan 0, 0 y 0 días en un negocio. Al cabo de tres meses se reparten los beneficios, correspondiendo al tercero 00 más que al segundo. Cuál fue la cantidad repartida? son los beneficios = 100 días de trabajo. Las partes que corresponden a cada uno son: 100 0; y = = 8 00 = = 1 00 es la cantidad repartida.

27 PÁGINA 10 Pág. 1 7 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 10. Cuál es el número? es el número buscado. = = 0 = ± = ± = 1 = 10 El número puede ser 1 o 10. Hay dos soluciones. 8 Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 1. Los números son y ( + 1) = = = = = 1 ± = Son 8 y 9, o bien, 9 y 8. Hay dos soluciones. 1 ± 17 = 8 = 9 9 Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 1, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. De qué número se trata? es el número que buscamos. ( + 1) 1 = ( + + 1) = = = 9 ± 81 + El número puede ser 1, o bien,. Hay dos soluciones. = 9 ± 1 = 1 = Resuelve problemas 0 Resuelto en el libro del alumno. 1 Del dinero de una cuenta bancaria retiramos 1/7; ingresamos después /1 de lo que quedó y aún faltan 1 para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? es el dinero de la cuenta.

28 Retiramos quedan 7 Ingresamos 1 7 = = = 8 Pág. 8 1 = 1 8 = 0 había en la cuenta. De un depósito de agua se sacan un /7 de su contenido; después, 0 litros, y por último, /11 del agua restante, quedando aún 0 l. Cuánta agua había en el depósito? son los litros que hay en el depósito. Sacamos 7 8 quedan 7 Sacamos 0 l 8 quedan 7 0 Sacamos 11( 7 0 ) 8 quedan 11( 7 0 ) Quedan Resuelto en el libro del alumno. = = = 10 litros de agua había en el depósito. Un padre de años tiene dos hijos de 9 y 11 años. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? son los años que tienen que pasar. (9 + ) + (11 + ) = = + 8 = Han de transcurrir años. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 1 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? es la edad del hijo 8 es la edad del padre. Dentro de 1 años la edad del hijo será + 1, y la del padre, + 1. ( + 1) = = = 1 El hijo tiene 1 años, y el padre, años. Estamos haciendo bocadillos de chorizo para llevar de ecursión. Si ponemos rodajas en cada uno, sobran 1, y si ponemos, nos faltan 8. Cuántos bocadillos queremos preparar? Número de bocadillos que queremos preparar: + 1 = 8 8 = 0 Queremos preparar 0 bocadillos.

29 7 En una fiesta celebrada en un restaurante gallego se sirvieron cigalas (un plato para cada dos personas), almejas (un plato para cada ) y percebes (un plato para cada ). Si en total se sirvieron platos, cuántas personas había? Pág. Número de personas que había en la fiesta: + + Había 0 personas. = 8 1 = 8 = 1 = Cuántos litros de aceite de orujo de 1, /l tenemos que añadir a 0 l de aceite de oliva de,8 /l para obtener una mezcla de, /l? Mira el problema resuelto de la página 101. son los litros de aceite de orujo. CANTIDAD PRECIO COSTE ORUJO 1, 1, OLIVA 0,8,8 0 MEZCLA + 0,,( + 0) Tenemos que añadir 0 litros. 1, + 18 =, = 0,9 8 = 0 l 9 Al mezclar 0 kg de pintura con 0 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a,0 /kg. Si el precio de la barata es la mitad que el de la otra, cuál es el precio de cada pintura? CANTIDAD PRECIO COSTE PINTURA I 0 0 PINTURA II 0 0 MEZCLA 80,0 80, = = 8 8 =, /kg La pintura cara vale,8 /kg, y la pintura barata,, /kg.

30 PÁGINA 10 Pág. 1 0 Una marca de café de 1,1 /kg se elabora con un 0% de café colombiano de 18 /kg, y el resto, con otro. Cuál es el precio de ese otro? Para obtener 1 kg de mezcla, ponemos 0, kg de café colombiano y 0,7 kg del otro café. 0, ,7 = 1 1,1 8 0,7 = 8,7 8 = 1, /kg El precio del café barato es 1, /kg. 1 Un centro escolar contrató un autobús para una salida al campo. Con todas las plazas ocupadas, el precio del billete es 1 ; pero quedaron plazas libres, por lo que el viaje costó 1,. Cuántas plazas tiene el autobús? Con plazas a 1 se obtiene lo mismo que con plazas a 1,. es el número total de plazas. 1 = ( ) 1, 8 1 = 1, 8 = 1, 8 8 = es el número de plazas que tiene el autobús. Resuelto en el libro del alumno. Un ciclista que va a 1 km/h tarda tres cuartos de hora en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de, km. Qué velocidad lleva el que va delante? La velocidad con la que se acercan es la diferencia de las velocidades absolutas. es la velocidad del que va delante. La velocidad con que se acercan es 1. Con esa velocidad, deben recorrer, km en 0,7 h., = (1 ) 0,7 8, 0,7 = 1 8 = 1 8 = 18 km/h La distancia entre dos ciudades, A y B, es 80 km. Un tren sale de A a 80 km/h, y media hora más tarde sale un coche de B hacia A que tarda 1, horas en cruzarse con el tren. Qué velocidad lleva el coche? Ten en cuenta que el tren ha recorrido 0 km cuando sale el coche. El tren ha recorrido 80 0, = 0 km antes de que salga el coche. La distancia que hay entre los dos es ahora 0 km. Si es la velocidad del coche, se acercan a (80 + ) km/h. (80 + )1, = = 0 1, = 00 8 = 10 km/h

31 Calcula los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide cm más que la altura. Mira el problema resuelto 1 de la página 101. Pág ( + ) = = = = = La altura mide cm, y la base, 8 cm. ± ( 8) = ± 1 = = 8. No vale. Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 17 cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? A + 17 cm A Área del mayor: () Área del menor: El lado del cuadrado mide 7 cm. = 17 8 = = 9 = 7 = 7. No vale. 7 Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 0 cm. Halla los catetos de este triángulo. Si un cateto mide cm, el otro medirá (18 ) cm. Área: (18 ) = = = = 18 ± 80 = 18 ± = 11 = 7 18 Los catetos miden 7 cm y 11 cm, respectivamente.

32 8 La base de un rectángulo mide cm más que la altura. Si disminuimos la altura en cm, el área del nuevo rectángulo será 0 cm. Cuánto miden los lados del rectángulo? Pág. + + ( + )( ) = = = = ± 9 ( 70) La altura mide 7 cm, y la base, 1 cm. = ± 17 = 10 = 7. No vale. 9 Resuelto en el libro del alumno.

33 PÁGINA 10 Pág. 1 0 Dos grifos llenan un depósito en horas. Si solo se abre uno de ellos, tardaría horas. Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito? Los dos grifos juntos, en 1 hora, llenan 1 del depósito. Uno de los grifos llena, en 1 hora, 1 del depósito. El otro grifo, en 1 hora, llena 1 del depósito = = 1 8 = 1 = 7, h El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito. 1 Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez, tardan 8 horas. Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo? Un grifo llena, en 1 h, 1 del depósito, y el otro grifo llena, en 1 h, 1 del depósito. Los dos juntos, en 1 hora, llenan = = = 8 = 1 h Uno de los grifos tarda 1 h, y el otro, horas en llenar el depósito. Regalé la mitad de mis discos a mi novia y la mitad del resto a mi hermano. De los que regalé, la tercera parte eran de pop, y los otros, de rock. Cuántos discos regalé y cuántos tenía? Tenía discos. Regalé 8 quedan 8 regalo la mitad En total regalé + = La tercera parte 1 = 1 eran de pop. Los otros = 1 son los de rock. 1 = 8 = 1 discos son los que tenía y 1 = 9 discos son los que regalé.

34 Problemas + Pág. La cuarta parte de los clientes de un hotel están en régimen de pensión completa, y el resto, en media pensión. De estos últimos, 1/ almuerzan y el resto cenan. Los / de pensión completa y la mitad de los que cenan toman vino, y son 180. Cuántos clientes hay en el hotel? Cuántos cenan en él? En el hotel hay clientes. están en pensión completa 8 = toman vino. están en media pensión 8 = cenan = = = clientes hay en el hotel. 1 toman vino. Cenan en el hotel 1 = 1 clientes. Ana, en su camino diario al colegio, ha comprobado que si va andando a km/h, llega minutos tarde, pero si se da prisa y va a km/h, llega 10 minutos antes de la hora. Cuál es la distancia al colegio? Llegará puntual si hace la mitad del camino a km/h y la otra mitad a km/h? a) = = 1 8 = km Si va a km/h tarda 1, 8 1 h y 1 min Si va a km/h tarda 1 h Tiene que tardar 1 h y 10 min b), v = km/h, v = km/h Llega un poco antes de la hora. 8, +, = 0, + 0, = 1,1 8 1 h 7' 0'' Luis y Miguel van a visitar a sus abuelos. Como solo tienen una bicicleta, acuerdan que Miguel la lleve hasta la mitad del camino y la deje allí hasta que Luis, que sale andando, la recoja. La segunda mitad, Miguel caminará y Luis irá en bicicleta. De esta forma, tardan una hora en llegar a su destino. El que camina va a km/h, y el que va en bicicleta, a 1 km/h. Cuál es la distancia que han recorrido? Cuánto tiempo estuvo parada la bicicleta? t: tiempo que emplea Miguel en recorrer la mitad del camino en bicicleta. 1t = (1 t) 8 1t = 8 t = 1 h Andando tarda h. Distancia: = + = km Tiempo de bicicleta parada: La deja cuando ha pasado 1 h y el otro la recoge a los h. Está parada 1 hora.

35 Carmen hace cuentas sobre las compras que ha hecho y observa que el abrigo le ha costado el triple que el bolso; el bolso, menos que la camisa; la camisa, más que los deportivos; los deportivos, el doble que el estuche; el estuche, la mitad que el pantalón, y este, 10 menos que la suma de todos los demás artículos. Calcula el precio de cada compra y el dinero que se gastó Carmen. Pág. A = B; B = C ; C = D + ; D = E; E = P P = A + B + C + D + E 10 A = (C ) = (D + ) = (D + 1) = (E + 1) = (P + 1) = P + B = D + = D + 1 = E + 1 = P + 1 C = E + = P + D = P P = P + + P P + + P + P 10 8 P + P = P = P = 0 precio pantalón. E = 10 estuche; D = 0 deportivos; C = camisa B = 1 bolso; A = abrigo Gasto total: 10 7 Estas dos figuras representan dos terrenos de la misma superficie. En cada una se ha construido una vivienda y el resto de la parcela se ha dedicado a jardín. a) Escribe las epresiones algebraicas para la superficie de cada parcela. b) Escribe las epresiones algebraicas para la superficie del jardín en cada caso. c) Cuál debe ser el valor de para que el área de las dos parcelas sea la misma? d) Halla, para ese valor de, la superficie de cada casa y la superficie de cada jardín CASA CASA 1 8 A B a) Superficie A: ( + 8). Superficie B: ( + 8)( 1) b) Jardín A: ( + 8) = = 1 + Jardín B: ( + 8)( 1) ( 1) = = + 1 9

36 c) ( + 8) = = 0 8 Pág = = = ± + 0 Debe ser = 10 m. = ± 18 = 10 = 8. No vale. d) A = Casa = 100 m Jardín = m B = Casa = 10 9 = 90 m Jardín = = m 8 En una empresa disponen de dos modelos de cajas sin tapa para empaquetar. Los dos tienen la altura fija y base variable, como las de la figura. Los directivos dudan entre elegir el valor de para el cual las cajas tengan el mismo volumen, o elegirlo de forma que la cantidad de cartón empleada para su fabricación sea la misma. Es posible encontrar un valor de que cumpla las dos condiciones? + V A = ( + ) V B = ( ) Si V A = V B 8 + = = = 0 = 0 no vale. = cm S A = ( + ) + + ( + ) = S A = S B = ( ) + + ( ) = S B = Si S A = S B = = = 8 = cm 9 Para saldar una deuda, un banco me ofrece dos opciones: pagarla dentro de años con un 8% de interés anual o pagarla dentro de 9 meses al 1% de interés anual. Con la segunda opción pago 77, menos que con la primera. Calcula el dinero que debo. es el dinero que debo; 1% anual 1 = 1, mensual 1 Con la 1. a opción pago 1,08. Con la. a opción pago (1,01) 9. 1,08 (1,01) 9 = 77, 8 0,08 = 77, = es el dinero que debo.

37 PÁGINA 107 Pág. 1 0 En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 0 codos; la otra, 0 codos, y la distancia entre ambas es de 0 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo. A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez? 0 d d 0 d = 0 + (0 ) d = 0 + La distancia a P es la misma desde las dos palmeras. P (0 ) = = A 0 m de la palmera más alta = = 0 m 1 Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, el resultado es 18. Averigua cuál es el número sabiendo que la cifra de las unidades es. es la cifra de las decenas. El número es (10 + ) (0 + ) = = = 8 = El número buscado es. Un pintor tarda horas más que otro en pintar una pared. Trabajando juntos pintarían la misma pared en horas. Calcula cuánto tarda cada uno en hacer el mismo trabajo en solitario. Un pintor, en 1 hora, pinta 1 de la pared. El otro pintor, en 1 hora, pinta 1 + de la pared. Entre los dos, en 1 hora, pintan 1 de la pared.

38 = 1 8 ( + ) ( ) = ( + )1 8 Pág. 8 ( + ) + = ( + ) = + 8 = = 1 ± 1 + = 1 ± = =. No vale. Uno tarda h y el otro tarda horas en hacer el trabajo en solitario. Refleiona sobre la teoría Si al resolver una ecuación de primer grado llegamos a 0 =, cuántas soluciones tiene la ecuación? Y si llegamos a 0 = 0? 0 = La ecuación no tiene solución, porque ningún número multiplicado por 0 puede ser igual a. 0 = 0 La ecuación tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0. Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución y otras tienen infinitas soluciones. Resuélvelas y comprueba los resultados (recuerda que, en realidad, estas igualdades no son ecuaciones, ya que no tienen término en ). a) ( + 1) ( + ) = ( ) b) ( ) + 1 = ( 1) ( + ) c) + 1 d) + 7 = 1 = + 1 a) ( + 1) ( + ) = ( ) = = 8 No tiene solución. b) ( ) + 1 = ( 1) ( + ) = 8 0 = 0 8 Tiene infinitas soluciones. c) + 1 = 1 8 ( + 1 ) = ( 1 ) = = Tiene infinitas soluciones. d) + 7 = ( + 7 ) = ( + 1 ) = = 9 8 No tiene solución. Resuelto en el llibro del alumno

39 Inventa ecuaciones de segundo grado con: Pág. a) Dos soluciones: = y = b) Dos soluciones: = y = c) Dos soluciones: = 0 y = d) Una solución: = e) Ninguna solución. a) ( + )( ) = 0 8 = 0 b) ( ) ( + ) = = = 0 c) ( + ) = = 0 d) ( ) = 0 e) = 0 7 Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es D =, qué podemos decir del número de soluciones de la ecuación? Y si D = 0? Si D =, el número de soluciones es. Si D = 0, el número de soluciones es 1. 8 En la ecuación 1 + m = 0: a) Qué valor debe tomar m para que tenga dos soluciones iguales? b) Y para que sean distintas? c) Y para que no tenga solución? a) 1 + m = 0 D = 1 m = m = 0 8 m = 9 b) Para que sean distintas, m? 9 y m < 9. c) Para que no tenga solución, 19 m < < m 8 m > 9. 9 Cuál debe ser el valor de a para que = sea solución de la ecuación ( ) + a = 0? Justifica tu respuesta. ( ) + a = 0 8 ( ) + a = a = 0 8 a = 7 70 Son equivalentes las ecuaciones = 0 y = 0? Justifica tu respuesta. = = 0 8 ( ) = 0 = 0 = 0 8 = No son equivalentes, porque no tienen las mismas soluciones.

40 71 La ecuación + b + = 0, puede tener por soluciones y? Razona tu respuesta. Pág. + b + = 0 + b + = 0 8 b = + b + = 0 8 b = 1 No, porque para que sea solución tiene que ser b =, y para que sea solución, b = 1. Solo sería posible si obtuviéramos el mismo valor para b en ambos casos. 7 Epresa en función de m la solución de la ecuación m = m. Para qué valor de m la ecuación no tiene solución? m = m 8 (m 1) = m 8 = m m 1 No tiene solución para m = 1.

41 Soluciones a Y para terminar PÁGINA 108 Pág. 1 Investiga El timo del genio Cuenta una vieja leyenda china que un genio vivía en un desfiladero y ofrecía a los viajeros el siguiente trato: Para pasar por mi morada has de permitir, como peaje, que coja de tu bolsa tantas monedas como quepan en mi mano (cantidad fija). Después, como prueba de amistad, utilizaré mi magia para doblar tu capital y te irás en paz. Un campesino algo ambicioso desenterró sus ahorros y se empeñó en pasar tres veces por el desfiladero. Sin embargo, se encontró al final con la bolsa vacía. Sabiendo que el campesino desenterró más de 10 pero menos de 0 doblones, cuántas monedas cabían en la mano del genio? Intenta, primero, resolverlo a tu aire. Ayuda: quizá te resulte más fácil si utilizas el lenguaje algebraico. ENTRA CON PEAJE TRAS EL PEAJE SALE CON PRIMERA VEZ a a a SEGUNDA VEZ a a a a TERCERA VEZ a a 7a 0 El campesino lleva 1 doblones. El genio se queda cada vez con 8 doblones antes de multiplicar por la cantidad. 1 8 (1 8) = 1 8 (1 8) = 8 8 (8 8) = 0

42 Soluciones a Y para terminar PÁGINA 109 Pág. 1 Utiliza tu ingenio En perfecto equilibrio Si cada bola pesa un kilo, cuánto pesa una caja? Las poleas sirven para restar peso. Teniendo esto en cuenta, las balanzas y los juegos de poleas dan lugar a la siguiente ecuación (llamamos al peso de la caja): + 1 ( ) = 8 + ( + ) Su solución es =. La caja pesa kilogramos. Usa la equis Has de completar esta tabla, de forma que sumando los números de dos casillas consecutivas obtengas el número de la siguiente = 81 La solución de la ecuación es = 7. Por tanto, la tabla queda así: Ingéniatelas como puedas para buscar una solución de esta ecuación: = 8 = 1

43 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 109 Pág. 1 Puedes saber, en algunos casos, cuál es la solución de una ecuación sin despejar la incógnita? 1 Resuelve mentalmente: a) 7 = 0 b) ( ) = 0 c) + = a) = b) = c) = Cuáles de los números 1, 0, son soluciones de la ecuación = 0? 1 + = 0 = 1 es solución. 0 0? 0 = 0 no es solución. 8 = 0 = es solución Resuelve por tanteo, con ayuda de la calculadora: a) = b) ( 1) = + 10 a) = 1,8 b) = 17 Resuelves con soltura ecuaciones de primer grado e identificas las ecuaciones que no tienen solución y las que tienen infinitas soluciones? Resuelve: a) ( ) + = 8 (1 + ) b) ( 1) + = c) 8 ( ) = 9 + d) ( + 1) = a) 1 + = = 7 1 = 8 8 No tiene solución. b) + = 0 8 = = 0 8 Infinitas soluciones. c) 8 + = = 8 = 0 8 No tiene solución. d) 0 ( + 10 ) = 0 ( 9 10) 1 8 = = = 11 8 = 1 Dominas la resolución de ecuaciones de segundo grado, tanto completas como incompletas? Resuelve: a) = 0 b) 9 = 0 c) ( + ) = 0 d) + = 0 a) = 0 8 ( ) = 0 = 0 = /

44 Soluciones a la Autoevaluación b) 9 = 0 8 = 9 c) ( ) = 0 8 = = / = / Pág. d) + = 0 8 = ± No tiene solución. Resuelve: ( )( ) ( 1) = = = = = 0 8 = 8 ± 0 = 8 ± = = Sabes traducir problemas a ecuaciones y resolverlos? 7 Un poste tiene 1/ de su longitud clavado en el suelo; 1/ del resto está sumergido en agua y la parte emergente mide m. Cuál es la longitud del poste? en suelo; 1 en agua; m emergido + + = = = 0 8 = 7, m 8 Una lancha de vigilancia marítima persigue a un barco con un cargamento ilegal que le lleva millas de ventaja y lo alcanza al cabo de media hora. Si la velocidad de la lancha es de 1 nudos, cuál es la velocidad del barco? 1 nudos ÄÄÄ8 millas de ventaja LANCHA: t = e v 8 1 = = 7, 8 =, 1 BARCO: 1 =, 8 v =, = 11 nudos v 9 Con una cuerda de m de longitud hacemos un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos mide m. Cuánto miden el otro cateto y la hipotenusa? + = (18 ) 18 + = + 8 = 88 8 = 8 Catetos: y 8 m; hipotenusa: 10 m.