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Transcripción

1 PARÁBOLA Definición.- Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidista de una recta fija, llamada directriz, y un punto fijo, denominado foco, que no pertenece a la recta, es decir: { } Según esta definición y haciendo referencia al gráfico, se tiene: Elementos de una parábola.- 1. Vértice. Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. 2. Foco. Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a unidades del vértice. 3. Eje de simetría. Recta perpendicular a la directriz y que pasa por el vértice y el foco. 4. Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola. 5. Directriz. Recta fija, perpendicular al eje de simetría. 6. Cuerda focal. Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco. 7. Lado recto. Es una cuerda focal perpendicular el eje de simetría.

2 EJERCICIOS PARÁBOLA 1. Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que son equidistantes de un punto fijo llamado y una recta fija llamada de la parábola. 2. La gráfica de la ecuación es una parábola con foco y directriz Entonces el gráfico de es una parábola con foco y directriz. 3. La gráfica de la ecuación es una parábola con foco y directriz Entonces el gráfico de es una parábola con foco y directriz. 4. Identificar el foco, la directriz, y el vértice en los gráficos dados para las parábolas de los siguientes ejercicios. a. b. 5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas, con eje focal paralelo al eje y, y que pase por el punto. 6. Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto y directriz de la recta. 7. Encuentra la ecuación de la parábola con los siguientes datos. a. Foco ; Vértice. b. Foco ; Vértice. c. Foco ; Vértice. d. Foco ; Vértice. 8. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y con vértice y que pasa por el punto. 9. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x con vértice y que pasa por el punto. 10. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x con foco,.

3 11. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas con ecuación general: a. Solución Tenemos la ecuación, donde el término cuadrático está en función de, entonces el eje focal es paralelo al eje y. Por tanto la ecuación estándar de la parábola es: donde: : Vertice : Foco : Directriz : b. c. d. e. f. g. 12. Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio con centro en el vértice de la parábola cuyo foco es y cuya directriz es la recta. 13. Halla la ecuación general de la recta con pendiente que pasa por el foco de la parábola con vértice y directriz. 14. En cada caso, encuentre la intersección de la recta y la parábola. a. Recta ; parábola b. Recta ; parábola c. Recta ; parábola d. Recta ; parábola

4 APLICACIONES DE LA PARÁBOLA Una propiedad importante de la parábola es la de reflexión, la cual consiste en que cuando una onda viaja paralela al eje de la parábola y choca con esta, entonces se refleja hacia el foco y, de manera inversa, si del foco emana una onda, cuando esta choca con la parábola, se refleja paralelamente al eje. Gracias a esta propiedad es que se construyen faros, antenas y espejos con forma de paraboloide. Por ejemplo, estamos muy acostumbrados a escuchar sobre las antenas parabólicas. Un paraboloide se obtiene al girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Si lo cortamos con planos que contienen el eje de simetría, obtenemos parábolas que comparten el foco y el vértice. Antenas parabólicas Estas superficies tienen muchas aplicaciones, principalmente óptica y electrónica, ya que si un rayo de luz paralelo al eje choca contra el paraboloide, entonces se refleja hacia su foco, inversamente, si un rayo sale del foco y choca contra el paraboloide, entonces se refleja en la dirección de su eje (figura ). Esta propiedad, conocida como la propiedad de reflexión o propiedad óptica de la parábola, tiene muchas aplicaciones; por ejemplo, en los faros de los automóviles, las antenas parabólicas, los telescopios, los micrófonos direccionales, etcétera. en e Ejemplos 1. Una antena parabólica tiene diámetro de 1 metro. Si tiene una profundidad de 0.20 metros, a qué altura debemos colocar el receptor?; es decir, a qué distancia está el foco del vértice? 2. En una cocina solar la fuente de calor se encuentra 30 cm por encima del fondo del paraboloide. Cuánto debe medir la varilla que sostiene la parrilla?

5 Puentes colgantes Si un cable carga un peso homogéneo mucho mayor que el peso del propio cable, este toma la forma de una parábola (figura). Ejemplos Ejemplo 1. Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 metros y los cables están atados a ellas a 200 metros por arriba del piso del puente, qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre izquierda? Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio ubicado entre las dos torres. 2.

6 Tiro parabólico La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parábola que abre hacia abajo (figura). Ejemplos 1. Desde el origen de coordenadas, un jugador de béisbol lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por la parábola. Considerando que las unidades son metros, cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y a qué distancia cae esta del jugador?

7 EJERCICIOS 1. Un puente tiene una longitud de 160 metros. El cable que lo soporta tiene la forma de una parábola. Si el puntal ubicado en cada uno de los extremos tiene una altura de 25 metros, cuál es la ecuación de la parábola? 2. En un puente colgante, la distancia entre sus torres es de 300 metros y la altura de las torres es de 100 metros. Describe la ecuación de la parábola formada por el cable que soporta el puente. 3. Con los datos del problema anterior, encuentra la altura del puntal que se encuentra a 50 metros del centro del puente. 4. El cable de un puente colgante está dado por la ecuación = 400y. Si los postes del puente tienen una altura de 50 metros, cuál es la longitud del puente? 5. Con los datos del problema anterior, determina la longitud del puntal que se encuentra a 100 metros del centro del puente. 6. En un puente colgante, la distancia entre sus torres es de 200 metros y la altura de las torres es de 100 metros. Da la ecuación de la parábola que describe el cable que soporta el puente.