UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS PARÁBOLA

Transcripción

1 ARÁBOLA efinición Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales. d (x,y) d Eje de la parábola o eje focal Vértice p Foco (F) () Figura 1.. dist (, F)= dist (, ) F = Características geométricas y ecuaciones Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la. Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola. Abril e 11 1 de 8

2 . Línea recta donde la dist (, F)= dist (, ); F =. Ver figura 1. Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. arámetro p. istancia del foco al vértice. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia la derecha es: y = 4px F(p,) x= -p x = -p Figura. con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia la derecha. Abril e 11 de 8

3 La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia la izquierda es: y = 4px F(-p,) x= p x = p Figura 3. con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia la izquierda. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia abajo es: F(,-p) y = p x = 4py y= p Figura 4. con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia abajo La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia arriba es: Abril e 11 3 de 8

4 F(,p) y = -p x = 4py y= -p Figura 5. con vértice en el origen y eje focal sobre el eje que abre hacia arriba Ejemplo: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje. Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación y = 4px: 16 = 4p(3) 16 4 p= = y = x 3 4 Foco: F, 3 ; 4 : x=- 3 Abril e 11 4 de 8

5 de una parábola con eje focal paralelo o coincidente con el eje A continuación se muestra la representación gráfica de parábolas con eje paralelo al eje y vértice en V(h,k) (y - k) = 4p(x-h) V(h,k) F(h+p,k) x= h - p Figura 6. con vértice en (h, k) y eje focal paralelo al eje. (y k) = 4p(x - h) F(h-p,k) V(h,k) x= h - p x = h+p Figura 7. con vértice en (h, k) y eje focal paralelo al eje. Abril e 11 5 de 8

6 de una parábola con eje focal paralelo o coincidente con el eje. A continuación se muestra la representación gráfica de parábolas con eje paralelo al eje y vértice en V(h,k) (x - h) = 4p(y - k) F(h,p+k) V(h,k) y= k - p y = k-p Figura 8. con vértice en (h, k) y eje focal paralelo al eje con p >. Abril e 11 6 de 8

7 V(h,k) y = k+p (x - h) = 4p(y - k) F(h, k-p) y= k - p Figura 9. con vértice en (h, k) y eje focal paralelo al eje con p <. Ejemplo: eterminar las coordenadas del Vértice, Foco y calcular el lado recto de la parábola de ecuación y y + 4x + 5 = Resolución: Completando el trinomio al cuadrado perfecto y y + + 4x + 5= 4 1 factorizando al trinomio al cuadrado perfecto y y + se obtiene 4 1 y 1 1 = 4x 5+ 4 simplificando y factorizando el miembro derecho de la ecuación 1 19 y = 4x y = 4 x + 16 Abril e 11 7 de 8

8 El lado recto de una parábola es 4p, para el ejemplo se tiene que p = -1 ya que p = -4, vértice V, 16, Foco 35 1 F, 16 Ejemplo: eterminar la ecuación ordinaria, vértice y foco de la parábola de ecuación 3x y + 6x + = Resolución: Agrupando y completando el trinomio al cuadrado perfecto 3( x + x) = y 3( x + x + 1) = y + 3 simplificando y factorizando el miembro derecho de la ecuación 3( x + 1) = y + 1 multiplicando por 1 3 a la ecuación ( x + 1) = y Si el lado recto es 4p y en este caso 4p = 1 3, se tiene que 1 p = 1 or lo que la parábola tiene ecuación paralelo al eje, con vértice en V( 1, 1) y foco y + 1 ( x + 1) = y tiene su eje focal 3 11 F 1, 1 Abril e 11 8 de 8