Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Anexo de Ingeniería División de Ciencias Básicas Departamento de Cálculo

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de Méico Facultad de Ingeniería Aneo de Ingeniería División de Ciencias Básicas Departamento de Cálculo Curso de: Cálculo Geometría Analítica Primer semestre Presentación mediante PowerPoint Desarrolló: Prof. Ing. Gregorio Ríos Vilchis. Revisó: Profa. M.I. María Sara Valentina Sánchez Salinas. Aprobó: Profa. M.I. María del Rocío Ávila Núñez.

2 1. C Ó N I C A S OBJETIVO: EL ALUMNO REAFIRMARÁ LOS CONOCIMIENTOS DE LAS SECCIONES CÓNICAS. Bibliografía: Antecedentes de Geometría Analítica. Ing. Rodolfo Solís Ubaldo. Ing. Jesús Patiño Ramírez. Ing. José A. Ceballos Soberanis. Ing. Armando Guerrero Soto. Ing. Felipe Oregel Sánchez. Ing. Enrique tort Nuncio.

3 C O N T E N I D O 1.1 Definición de sección cónica Clasificación de las cónicas. 1. Ecuación general de las cónicas. 1.3 Identificación de los tipos de cónicas a partir de los coeficientes de la ecuación general del indicador I = B - 4AC. 1.4 Ecuaciones de las cónicas en forma ordinaria. 1.5 Rotación de ejes.

4 FORMAS FÍSICAS DE LAS CÓNICAS La geometría analítica se ocupa principalmente de determinar las características de un lugar geométrico cuando se conoce su representación analítica o de determinar la representación analítica de un lugar geométrico cuando se conocen sus características.

5 SECCIONES CÓNICAS Definición: Son secciones cónicas (o simplemente cónicas) las curvas que resultan de las intersecciones de planos con el cono, sin pasar por el vértice de este último. Los ángulos que forman los planos con el eje o con la generatriz del cono determinan las distintas clases de cónicas. Se clasifican en cuatro tipos: círculo, elipse, parábola e hipérbola (Apolonio de Pérgamo a. C.). Generatriz Si B 0, los ejes de las cónicas no son paralelos ni coincidentes con los ejes coordenados, o sea, son las rotadas. Eje Si B = 0, los ejes de las cónicas son paralelos o coincidentes con los ejes coordenados. INDICADOR O DISCRIMINANTE I = B 4AC Ecuación cartesiana general de segundo grado de las cónicas. A + B + C + D + E + F = 0 Si Si Si I < 0 la ecuación representa un tipo de elipse (un punto o ningún lugar geométrico). I = 0 la ecuación representa un tipo de parábola (dos rectas paralelas, dos rectas coincidentes o ningún lugar geométrico). I > 0 la ecuación representa un tipo de hipérbola (dos rectas que se interceptan en un punto).

6 A + C + D + E + F = 0 Si A 0, C 0 A = C del mismo signo la ecuación representa una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico. (h, k) = = = 0 r > 0 o N > 0 r = 0 o N = 0 r < 0 o N < 0 Donde N = D + E - 4F Si A 0, C 0, A C del mismo signo, la ecuación representa una elipse, un punto o ningún lugar geométrico = = = = 0 I < 0 o N > 0 N = 0 N < 0 Donde N = CD + AE - 4ACF

7 A + C + D + E + F = 0 Si A = 0 ó C = 0 la ecuación representa una parábola, dos rectas paralelas, dos rectas coincidentes o ningún lugar geométrico = = 0-10 = = 0 I = 0 Si A 0, C 0, A C de signo diferente, la ecuación representa una hipérbola, dos rectas que se intersectan en un punto, un punto o ningún lugar geométrico. Donde N = CD + AE - 4ACF = 0 I > 0 o N = = 0 N = 0

8 EJEMPLOS Cada una de las siguientes ecuaciones representa una cónica; determinar de que tipo de cónica se trata. a) = 0 Si A = 1, C = 1 A = C del mismo signo, entonces la ecuación representa un tipo de circunferencia, de igual forma si: N = (-) + (- 6) - 4(-3) = 5 > 0 c) = 0 Si A = 0, C = 1 A C del mismo signo, entonces la ecuación representa un tipo de parábola, de igual forma si: I = 0-4(0) (1) = 0 Es tipo parábola. Es tipo circunferencia. d) = 0 b) = 0 Si A = 1, C = - 9 A C de signos contrarios, entonces la ecuación representa un tipo de a hipérbola, de igual forma si: I = 0-4(1) (-9) = 36 > 0 Si A =, C = 1 A C del mismo signo, entonces la ecuación representa un tipo de elipse, de igual forma si: I = 0-4() (1) = - 8 < 0 Es tipo elipse. Es tipo Hipérbola. Resolver los siguientes ejercicios. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) = 0

9 1.- Dada la siguiente ecuación de segundo grado, determinar si se trata de una circunferencia en su caso graficarla = 0 Solución. Partiendo de A + C + D + E + F = 0 LA CIRCUNFERENCIA.- Dada la siguiente ecuación de segundo grado, determinar si se trata de una circunferencia en su caso graficarla = 0 Solución. Partiendo de A + C + D + E + F = 0 A = 1, B = 0, C = 1, D = - 4, E = 6 F = -1 Como A = C, del mismo signo N = D + E - 4F > 0 N = (-1) = 100 > 0 resulta una circunferencia. Con C ( - D, - E ) r = 1 D + E - 4 F Sustituendo C (- ( -4 ), - (6 )) = (, - 3) r = (-1) = 5 A = 1, B = 0, C = 1, D = 0, E = 0 F = -9 Como A = C, del mismo signo N = D + E - 4F > 0 N = (-9) = 36 > 0 resulta una circunferencia. Con C ( - D, - E ) r = 1 D + E - 4 F Sustituendo C ( - 0), - 0 ) = (0, 0) r = (-9) = 3-3 o c 5 O 3 GRV1

10 Y p (, ) LA CIRCUNFERENCIA Y p (, ) r r c ( h, k) c ( 0, 0) X Fig. 1 O X De la Fig. 1 sustituendo valores en el teorema de Pitágoras. d = ( ) + ( ) 1 1 Teorema de Pitágoras. Fig. De la fig. sustituendo valores en la ecuación del circulo: r = ( h ) + ( k) Ecuación del circulo con centro en un punto. r = ( 0 ) + ( 0) Con valores al azar r = 1 ; h = 1 ; k = 1 desarrollando. 1 = ( 1 ) + ( 1) 1 = Ordenando = 0 r = + Ecuación del circulo con centro en el origen = = 0 Ecuación general de la circunferencia

11 LA CIRCUNFERENCIA CONDICIÓN GEOMÉTRICA Y REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Definición Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un plano, que equidistan de un punto fijo C llamado centro. r P ( X, Y ) Centro en el origen (0, 0) X + Y = r C ( h, k ) Centro en un punto (h, k) ( X - h) + ( Y - k) = r ECUACIÓN GENERAL A X + C Y + D X + E Y + F = 0 Donde A = C Circunferencia Real Si N = D + E - 4F > 0 Con C ( - D, - E ) r = 1 D + E - 4 F Un punto Ningún lugar geométrico (h, k) = 0 r = = 0 r < 0

12 Ejemplo Dada la ecuación general = 0, determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia graficar. Ordenando = 0 Completando cuadrado en Ejemplo Dada la ecuación general (5/) - 19/16 = 0, determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia graficar. Ordenando (5/) - 19/16 = = 0 ( - ) + ( + 3) - 5 = 0 Factorizando. Completando cuadrado / / + 5/16-1/4-5/16-19/16 = 0 ( - ) + ( + 3) = 5 ( - ) + ( + 3) = 5 C (, -3) r = 5 Y Factorizando. ( + 1/) + ( - 5/4) - ( )/16 = 0 ( + 1/) + ( - 5/4) - 3 = 0 ( + 1/) + ( - 5/4) = 3 ( + 1/) + ( - 5/4) = ( 3 ) C (-1/, 5/4) Y r = 3-3 C r X C r 5/4-1/ X

13 Determinar la ecuación general de la circunferencia mediante: a.- El centro C(, - 3) el radio r = 5. Sustituendo en la ecuación ordinaria de la circunferencia. ( - ) + ( - (-3)) = 5 desarrollando = = = 0 (Forma general de la circunferencia) b.- Mediante formulas. A = 1 C = 1 D = - h = - () = - 4 E = - k = - (-3) = 6 F = h + k - r = + (-3) - 5 = = -1 Sustituendo en fórmula general A + C + D + E + F = = 0 (Forma general de la circunferencia) Dados el centro C(-1/, 5/4) el radio r = 3 determinar la ecuación general de la circunferencia. a.- Sustituendo en la ecuación particular. ( + 1/) + ( - 5/4) =( 3 ) Factorizando + (1/) + 1/4 + + (-5/4) + 5/16 = / + 1/4 + 5/16-3 = / + 16/(16)(4) + 5/16 - (16)(3)/16 = / + 4/16 + 5/16-48/16 = / + ( )/16 = / - 19/16 = 0 (Forma gral. de la circunferencia) b.- Mediante formulas. D = - h = - ( -1/) = 1 E = - k = - (5/4) = -5/ F = h + k - r = (-1/) + (5/4) - ( 3 ) = - 19/16 Sustituendo en fórmula general A + C + D + E + F = / - 19/16 = 0 (Forma gral. de la circunferencia)

14 TAREA. 1. Obtener las ecuaciones de las circunferencias graficarlas. a) Centro en (0, 0) radio 1 b) Centro en (3, -1) radio 5 c) Centro en (0, -4) radio 9 d) Centro en (1, 0) radio 3. Obtener las ecuaciones de las circunferencias graficarlas. e) = 0 f ) = 0 5) Obtener las ecuaciones de las circunferencias que contenga los puntos. a) (4, 5), (3, - ) (1, - 4) b) (5, 3), (6, ) (3, -1) a) Centro en (4, -1) punto (-1, 3) b) Centro en (0, 0) punto (4, 3) c) Centro en (5, -) punto (-1, 5) 3. Obtener las ecuaciones de las circunferencias para lo cual uno de sus diámetros son los segmentos que unen los puntos graficarlas. a) Puntos (-3, 5) (7, -3) b) Puntos (5, -1) (-3, 7) 4. Dadas las siguientes ecuaciones, decir si representan o no una circunferencia, obteniendo su centro su radio, de ser posible. Aplicar las fórmulas comprobar completando cuadrados. a) + = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0

15 LA ELIPSE Definición: La suma de las distancias de cualesquiera de sus puntos geométricos a dos puntos fijo F1 F (focos) es constante. P ( X, Y ) B b F1 P + P F = Cte. V1 F1 C(h, k ) F L ( Eje focal ) V DE LA ECUACIÓN CARTESIANA GENERAL DE do. GRADO B1 Para B=0 AX + CY + DX + EY + F = 0 Ecuación Cartesiana General. de la elipse con eje focal paralelo o coincidentes con los ejes X o Y. L a Indicador o discriminante: I = B 4AC Si I < 0 la ecuación representa un tipo de elipse. De la ecuación general de la elipse. Si A 0, C 0, A C de signos iguales, con N > 0 e I < 0 representa una elipse. Si A < C representa una elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje X. Si A > C representa una elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje Y. GRV3

16 LA ELIPSE Ejemplo Dada la siguiente ecuación cartesiana general de segundo grado, determinar si se trata de una elipse. Solución. Si I = B - 4AC < 0 ; = 0 Partiendo de: A + C + D + E + F = 0 I = (0) - 4(1)(4) = - 16 < 0 Por lo que la ecuación representa una cónica del tipo elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje. Reacomodando desarrollando: = 0 Completando cuadrado. ( - 3) + 4( + ) = Dividiendo toda la ecuación entre 4 ( - 3) + ( + ) = 1 Por lo que es una elipse con c(3, -), semieje maor paralelo al eje X, a = semieje menor b = ( + 4) + 1 = ( ) + 1 = 0 ( - 3) + 4( + ) = 4 ( - 3) + ( + ) = 1 4 Ejemplo Dada la siguiente ecuación cartesiana general de segundo grado = 0, determinar si se trata de una elipse. Solución. Multiplicando toda la ecuación por menos, = 0 Partiendo de: Donde Por lo que A + C + D + E + F = 0 A =, B = 0, C = 3, D = - 6, E = - 6 F = - 5 I = (0) 4(-)(-3) = -48 < 0 A 0, C 0, A < C, de signos iguales, Reacomodando desarrollando: = 0 ( /4) - 18/4 + 3( - + 1) = 0 ( - 3/) + 3( - 1) = 18/ ( - 3/) + 1( - 1) = ( - 3/) + ( - 1) = 1 (.5) (.04) Por lo que es una elipse con c(1.5, 1), semieje maor paralelo al eje X, a =.5 semieje menor b =.04. La ecuación representa una cónica del tipo elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje. ( - 3) + 3( - ) - 5 = 0 ( - 3/) + 3( - 1) = ( - 3/) + ( - 1) = 1 50/8 50/1 50 4

17 CONDICION GEOMETRICA Y REPRESENTACION ANALITICA P ( X, Y ) B Lado recto b V1 F1( foco ) C(h, k ) F ( foco ) L ( Eje focal ) V B1 c a L ECUACIONES DE LA ELIPSE Centro en el origen (0, 0) Centro en un punto (h, k) Eje focal en el eje X Eje focal en el eje Y Eje focal paralelo o coincidente al eje X Eje focal paralelo o coincidente al eje X X Y a b X Y b a (X h) a (X h) b = 1 ; a > b = 1 ; a > b + (Y k) = 1 ; b (Y k) = 1 ; a a > b a > b

18 Ejemplo. Dada la ecuación cartesiana gral = 0 determinar la ecuación cartesiana en forma ordinaria de la elipse graficar. Solución = 0 Factorizando 4( - 1) + 9( + 8) = 0 Completando cuadrados 4( ) + 9( ) = 0 4( - 6) + 9( + 4) = 0 4( - 6) + 9( + 4) = 144 Dividiendo entre 144 4( - 6) + 9( + 4) = ( - 6) + ( + 4) = 1 (a > b elipse coincidente con eje X) Ejemplo. Dada la ecuación cartesiana en forma ordinaria de la elipse, determinar la ecuación cartesiana general. ( - 6) + ( + 4) = ( - 6) + 36( + 4) = (16)(36) Dividiendo entre 4 4( - 6) + 9( + 4) = (16)(9) Desarrollando productos 4( ) + 9( ) = (16)(9) 4 - (4)(1) + (4)(36) + 9 +(9)(8) + (9)(16) - (16)(9 = = 0 16( - 6) + 36( + 4) Ordenando (16)(36) = 1 ( - 6) + ( + 4) = Gráfica = 0 Con I = B - 4AC I = (0) - 4(4)(9) = < 0 Ecuación cartesiana general de la elipse.

19 L (Directriz) LA PARÁBOLA Definición: Todos sus puntos P equidistan de un punto fijo F(foco) de una recta fija L(Directriz) d = P F d d p (, ) De la Ec. Cart. Gral. A + B + C + D + E + F = 0, Para B =0 P V P F L (Eje focal) AX + DX + EY + F = 0 Ecuación cartesiana general de la parábola con vértice eje focal paralelo al eje Y. Lado recto І4pІ CY + DX + EY + F = 0 Ecuación cartesiana general. de la parábola con vértice eje focal paralelo al eje X. AX + EY = 0 Ecuación cartesiana general de la parábola con vértice en el origen eje focal coincidente al eje Y. CY + DX = 0 Ecuación cartesiana general de la parábola con vértice en el origen eje focal coincidente al eje X. Indicadores o discriminantes: I = B 4AC Si I = 0, la ecuación representa una parábola, dos rectas paralelas o coincidentes, o ningún lugar geométrico. GRV4

20 De la ecuación cartesiana general de la parábola. Para B = 0 Si A = 0 ó C = 0 representa una parábola, dos rectas paralelas o coincidentes o ningún lugar geométrico. Si A = 0, C 0, D 0 representa una parábola cuo eje es paralelo o coincidente con el eje X. Si A 0, C = 0, E 0 representa una parábola cuo eje es paralelo o coincidente con el eje Y. Si A = 0, C 0, D = 0 ó A 0, C = 0, E = 0 ningún lugar geométrico. Ejemplos. 1. Demostrar que la ecuación = 0 representa una parábola. Solución Como B = 0 los ejes de las cónicas son paralelos o coincidentes con los ejes coordenados. Como A 0, C = 0, D 0, E 0 F 0 representa una parábola cuo eje es paralelo al eje Y.. Demostrar que la ecuación + 8 = 0 representa una parábola. Solución Como B = 0 los ejes de las cónicas son paralelos o coincidentes con los ejes coordenados. Como A = 0, C 0, D 0, E = 0 F = 0 representa una parábola cuo vértice esta en el origen el eje es coincidente con el eje X.

21 L (Directriz) CONDICIÓN GEOMÉTRICA Y REPRESENTACIÓN ANALITICA DE LA PARÁBOLA d P (, ) d P V P F (foco) L (Eje focal) Lado recto І4pІ ECUACIONES DE LA PARÁBOLA Vértice en el origen Vértice en el punto (h, k) Eje focal en el eje X Eje focal en el eje Y Eje focal paralelo en el eje X Eje focal paralelo en el eje Y = 4p = 4p ( - k) = 4p( h) ( h) = 4p( k) P > 0 Abre hacia la derecha P < 0 Abre hacia la izquierda P > 0 Abre hacia arriba P < 0 Abre hacia abajo P > 0 Abre hacia la derecha P < 0 Abre hacia la izquierda P > 0 Abre hacia arriba P < 0 Abre hacia abajo

22 Ejemplos 1. Dada la ecuación general = 0 determinar la ecuación particular de la parábola graficar. Solución Parábola con vértice eje focal paralelo al eje X. Como B = 0 C 0, D 0, E 0 F 0 Representa una parábola Ordenando = 0 Completando cuadrados ( ) = 0 ( - 5) = 0 ( - 5) = 1-4 Factorizando ( - 5) = 1( - ) descomponiendo el lado recto 1 ( - 5) = (4)(3)( - ) por lo tanto V(, 5), como P = 3 > 0 abre hacia la derecha Coordenada del foco en = + 3 = 5, así que F(5, 5) Lado recto 4p = 1 Ec. de la directriz X= - P = -3 = -1.- Dada la ecuación general = 0 determinar la ecuación ordinaria de la parábola graficar. Solución Parábola con vértice eje focal paralelo al eje Y. Como B = 0 A 0, D 0, E 0 F 0 Representa una parábola Ordenando = 0 Completando cuadrados ( + + 1) = 0 producto notable fact. ( + 1) = 0 Factorizando ( + 1) - 1( - 4) = 0 ( + 1) = 1( - 4) descomponiendo el lado recto 1 ( + 1) = (4)(3)( - 4) por lo tanto V(-1, 4), como P = 3 > 0 abre hacia arriba Coordenada del foco en = = 7, así que F(-1, 7) Lado recto 4p = 1 Ec. de la directriz Y= 4- P = 4-3 = 1 Lado recto 4P F(foco) Gráfica p V F(foco) Lado recto 4P L (Eje focal) Gráfica V p Directriz X = -1 Directriz Y = 1 L (Eje focal)

23 LA HIPÉRBOLA Definición: La diferencia envalor absoluto de las distancias de cualesquiera de sus puntos a dos puntos fijos F1 F (Focos) es constante d = V V1 = F1 P F P Semi eje conjugado b F1 V 1 B C V F P ( X, Y) L (Eje focal) De la Ec. de A + B + C + D + E + F = 0, Para B = 0 B 1 Lado recto A + C + D + E + F = 0 Ecuación cartesiana general de la hipérbola. A 1 c a A Distancia focal Semi eje transverso Indicador o discriminantes: I = B 4AC L (Eje `normal) Si I > 0, la ecuación representa una hipérbola o dos rectas que se interceptan en un punto. Indicador N = CD + AE - 4ACF Si A 0, C 0 con signos contrarios N 0 Si A 0, C 0 con signo contrario N = 0 Hipérbola con eje focal paralelo o coincidente con el eje X o con el eje Y Dos rectas que se encuentran en un punto. GRV5

24 CONDICION GEOMETRICA Y REPRESENTACION ANALITICA Longitud del lado recto = b a Eje transverso V1 V = a Eje conjugado B1 B = b Longitud entre focos = C, donde C = a + b b F1 V 1 B C B 1 V F P ( X, Y) L (Eje focal) Lado recto A 1 A c a L (Eje `normal) ECUACIONES DE LA HIPERBOLA Centro en el Origen Eje focal en el eje X Asíntotas A1 A Eje focal en el eje Y - = a b Y = b Y = - b a a - = a b Centro en un Punto Eje focal paralelo o coincidente al eje X Eje focal paralelo o coincidente al eje Y ( - h) - ( - k) = a b ( - h) - ( - k) = a b Asíntotas A1 A Y = a b Y = - a b

25 - = a b Eje focal en el eje X Conjugada Centro en el origen (0, 0) Eje focal en el eje Y - = a b - = a b a b - = a b c Eje focal en el eje X - = a ; a = b (Equilátera) centro en el Origen Eje focal en el eje Y - = a ; a = b Eje focal girado 45 con respecto a los ejes = K; K = cte. 0

26 EJEMPLOS 1.- Dada la Ec. Cartesiana Gral = 0 determinar si es una hipérbola. Hipérbola con vértice eje focal paralelo al eje X. Como B = 0, A = 9, C = -16, D = -18, E = -64 F = Dada la ecuación cartesiana general = 3600 determinar si es una hipérbola. Hipérbola con vértice eje focal coincidente al eje Y. Como B = 0, A = -144, C = 5, D = 0, E = 0 F = 0 I = B - 4AC = 0-4(9)(-16) = 576 > 0 Es una ecuación del tipo hipérbola I = B - 4AC = 0 4(-144)(5) = > 0 Es una ecuación del tipo hipérbola Ordenando = 0 + = 3 ( 1) 4 + = - 3 ( -1) 4 Factorizando 9( - ) - 16( + 4) = 0 Completando cuadrados 9( - + 1) - 16( ) = 0 9( - 1) - 16( + ) = 144 Dividiendo entre 144 9( - 1) - 16( + ) = ( - 1) - ( + ) = Ecuación de la Hipérbola ( - 1) - ( + ) = LR = b = 4.5 a c(1, -) a = 16, a = 4; b = 9, b = 3 C = = 5; C = 10 V1( 5, -); V(-3, -) F1(6, -); F(-4, -) GRV10 Con A 0 C 0 de signos diferentes = 3600 Dividiendo entre = = = c(0, 0). a = 144, a = 1; b = 5, b = 5 C = = 13; C = 6 V1( 0, -1); V(0, 1) F1(0, 13); F(0, -13) LR = 4.17 = a =1 b 5 Ecuación de la Hipérbola GRV11 Representa una Hipérbola.

27 ROTACION DE EJES Y R α De la figura se obtiene X = O Q = O S - Q S Y = O R = O S + S R donde OS = cos α QS = sen α OS = sen α SR = cos α Y S α sustituendo X = cos α sen α X = cos α sen α O α Q S X Y = sen α + cos α Y = - sen α + cos α X 1 Para α = X = (-----) (-----) = Y = (-----) + (-----) = Para α = X = (-----) (-----) = Y = (-----) + (-----) = Para α = X = (-----) (-----) = Y = (-----) + (-----) =

28 Ejemplo: Solución: Dada la ecuación = 0, transformarla a un sistema rotado a 45 X = - Y = + Sustituendo en ecuación = 0 ( - ) - ( - )( + ) + ( + ) + ( - ) - (4 + 4 ) + 3 = 0 ( - ) - ( - )( + ) + ( + ) + (4-4 ) - (8 + 8 ) + 6 = ( - ) (4-4 ) - (8 + 8 ) + 6 = ( ) + 6 = (- 4-1 ) + 6 = 0 dividiendo entre + (- - 6 ) + 3 = = 0 Racionalizando = = = 0 Ecuación rotada a 45 Multiplicando por dos Factorizando 6 = 6 = 3

29 EJEMPLO: Hallar el ángulo de rotación para que se elimine el termino de la ecuación = 16 X = cos α - sen α Y = sen α + cos α Sustituendo en Ec. 7( cos α - sen α) ( cos α - sen α)( sen α + cos α) + 13( sen α + cos α) = ( cos α cos α sen α + sen α) ( cosα senα + cos α - sen α - cos α sen α) 13( sen α + cos α sen α + cos α) = 16 Multiplicando cos α - 14 cos α sen α + 7 sen α cosα senα 6 3 cos α sen α cos α sen α 13 sen α + 6 cos α sen α + 13 cos α) = 16 Agrupando (7cos α 6 3 cos α sen α + 13 sen α ) + (7 sen α cos α sen α + 13 cos α) (-14 cos α sen α 6 3 cos α sen α + 6 cos α sen α) = 16 para que se elimine, se iguala a cero el termino () cos α sen α 6 3 cos α sen α + 6 cos α sen α = 0 reduciendo 1 cos α sen α (sen α - cos α) = 0 6( sen α cos α ) (sen α - cos α) = 0 Por identidades trigonométricas sen α = senα cosα cos α = cos α - sen α 6 sen α cos α = 0 = - (sen α - cos α 6 sen α = 6 3 cos α sen α = 6 3 = 3 tg α = 3 α = ang tg 3 α = 60 α= 30 cos α 6

30 Obtener una ecuación de la elipse rotada, con dos puntos cualesquiera P1(-3, ) P(3, - 4) con el eje de foco aproimado a 10. ( + 3) + ( - ) + ( - 3) + ( + 4) = 10 ( + 3) + ( - ) = 10 - ( - 3) + ( + 4) elevando al cuadrado para eliminar raíces ( + 3) + ( - ) = 10 - ( - 3) + ( + 4) ( + 3) + ( - ) = 10 (10) ( - 3) + ( + 4) + ( - 3) + ( + 4) ( + 3) + ( - ) = ( - 3) + ( + 4) + ( - 3) + ( + 4) = ( - 3) + ( + 4) ( - 3) + ( + 4) = dividiendo entre 4 para minimizar epresión 5 ( - 3) + ( + 4) = elevando al cuadrado 5 ( - 3) + ( + 4) = (3 + 8) 5( ) = 9-6(3 + 8) + (3 + 8) = = 0

31 Del ejemplo anterior rotar a 45 la ecuación = 0 Para 45 = - ; = + sustituendo en ecuación ( - )( + ) ( - ) - 3( + ) = 0 16( - ) + 18( - )( + ) + 16( + ) + 18( - ) - 3( + ) = 0 8( - ) + 9( - )( + ) + 8( + ) + 18( - ) - 3( + ) = 0 8( - + ) + 9( - ) + 8( + + ) + (18-18 ) - (3 + 3 ) = = = = 0 Racionalizando los términos 3er 4to. 14. = 14 = 7 ; 50. = 50 = = = 0 GRV