ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE

Transcripción

1 ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE Hasta aquí hemos presentado las ecuaciones de elipses en la forma que llamamos ordinaria, donde los cuadrados de los binomios se quedan indicados. Esta forma nos fue muy útil para identificar con rapidez los valores de parámetros a y b, así como las coordenadas del centro (h, k). Ahora obtendremos la llamada forma general de la ecuación de la elipse, desarrollando los cuadrados indicados en la forma ordinaria y reagrupando algunos términos. Para la elipse horizontal con centro C(h, k) ( x h) a ( y k) b 1 Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores, desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a cero, obtenemos la ecuación: b x a y b hx a ky b h a k a b 0 En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así: Ax Cy Dx Ey F 0, que es la buscada ecuación general de una elipse horizontal con centro C(h, k). Para la elipse vertical con centro C(h, k) ( x h) b ( y k) a 1. Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la elipse horizontal, llegamos a la ecuación: a x b y a hx b ky a h b k a b 0 En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así: Ax Cy centro C(h, k). Dx Ey F 0, que es la ecuación general de una elipse vertical con De lo anterior se puede concluir que la ecuación de una elipse con centro en un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados, siempre puede expresarse en la forma general: Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4-8

2 Ax Cy Dx Ey F 0 Donde los coeficientes A y C serán diferentes de cero y del mismo signo. Sugerencias para quien imparte el curso Recomendamos preguntar a los alumnos cómo distinguir, si la elipse es horizontal o vertical teniendo solamente la ecuación en su forma general. Dependiendo de las combinaciones de valores con los otros coeficientes, la ecuación general podría representar sólo un punto o ningún lugar geométrico real. Inversamente: una ecuación de segundo grado que carece del término xy, en la que los coeficientes de los términos en x y y tienen el mismo signo, representa una elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, un punto o ningún lugar geométrico real. Ejercicio 1 Expresar en forma general cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma ordinaria. ( x 5) ( y ) ( x 1) ( y 4) x ( 3) y Intentemos el problema inverso. Cómo expresar en forma ordinaria la ecuación de una elipse dada en forma general? 4-9 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

3 Ejemplo 5 Dada la ecuación 4x 9y 40x 54y 145 0, Indicar de qué curva se trata, obtener sus elementos y graficarla Expresémosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener más información sobre esta posible elipse (centro, focos, vértices, etc.), para lograrlo realiza el procedimiento siguiente: 1. Dejar en el primer miembro los términos que tienen x y los que tienen y, agrupándolos según la variable. 4x 40x 9y 54y 145. Factorizar el 4 para los términos en x y el 9 para los de y 4( x 10 x) 9( y 6 x) Completar trinomios cuadrados perfectos dentro de cada paréntesis, sumando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad 4( x 10x 5) 9( y 6x 9) Factorizar los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cuadrado y reducir términos semejantes 4( x5) 9( y3) Dividir la ecuación entre 36, obteniendo x5 y3 9 4 Así, llegamos a una ecuación con la que estamos más familiarizados. De qué curva se trata, es horizontal o vertical? Dar las coordenadas del centro, el valor de cada una de las constantes a, b y c, las coordenadas de los focos, de los vértices, la excentricidad, la longitud de los ejes mayor, menor y del lado recto. La elipse es horizontal. 1 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4-30

4 Las coordenadas del centro son C5, 3. El valor de cada una de las constantes es a 3, b, c Las coordenadas de los focos son F 5 5, 3 y F 5 5, 3 Las coordenadas de los vértices son V 8, 3 y V, 3 La excentricidad es e 5 3 La longitud del lado recto es 8 3 Y su gráfica es: Ejemplo 6 Dada la ecuación x + 8y 1x 16y 36 = 0, encontrar todas las características de la curva que representa. Hagamos las transformaciones algebraicas necesarias para llevar esta ecuación general a la forma ordinaria. 1. x 1x + 8y 16y = 36. (x - 1x) + 8 (y y) = Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

5 3. Completando los trinomios cuadrados perfectos. (x - 1x + 36) + 8 (y y + 1) = 36 + (36) + 8 (1) 4. Factorizando: ( x - 6) + 8 (y - 1) = 5. Dividiendo entre : x 6 8y 1 Esta ecuación puede escribirse en la forma con la que estamos más familiarizados: a) De qué curva se trata? x 6 y 1 b) Es horizontal o vertical? Es horizontal C 6,1 c) Las coordenadas del centro son C 10 1 d) El valor de cada una de las constantes es: a, b 10, c e) Las coordenadas de los focos son F 6 70,1 y F 6 70,1 f) Las coordenadas de los vértices son V 6,1 y V 6,1. g) La excentricidad es 70 e. h) La longitud de los ejes es: eje mayor =, eje menor = 10 y 0 i) La longitud del lado recto es Y su gráfica se muestra enseguida: Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4-3

6 Ejemplo 7 Dada la ecuación de segundo grado, en dos variables y sin término en xy:,realizar lo siguiente: a) Identificar el tipo y posición de la curva. b) Obtener las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices. c) Escribir las longitudes de los ejes y del lado recto. d) Calcular la excentricidad de la curva. Expresémosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener más información sobre esta elipse (centro, focos, vértices, etc.). 1. Dejamos en el primer miembro los términos que tienen x y los que tienen y, agrupándolos según la variable: 49x 196x + 5y - 300y = 19.. Factorizamos el 49 para los términos en x y el 5 para los de y: x x y y Completamos trinomios cuadrados perfectos dentro de cada paréntesis, sumando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad: x x y y (4) 5(36) 4. Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cuadrado y reduciendo términos semejantes: x y Dividimos entre 15 toda la ecuación: 6. Reduciendo las fracciones: x y x y Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

7 Observamos que se trata de una elipse y es vertical Las coordenadas del centro son: C, 6 El valor de cada uno de los parámetros a 7, b 5, c Las coordenadas de los focos son F, 6 4 y F, 6 4 Los vértices son los puntos V,1 y V, 13 b) La excentricidad es 4 e. 7 c) La longitud de los ejes el mayor mide 14 y el menor 10 d) La longitud del lado recto es 50 7 Y su gráfica es: Ejercicio Llevar a la forma ordinaria cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma general: x + 49y + 00x 686y 399 = 0. x + 4y 10x + 16y 7 = 0 3. y + 5x + 1y 150x 14 = 0 4. x + 81y + 16y = 0 Para cada una de las ecuaciones anteriores: a) Identificar el tipo y posición de la curva. b) Obtener las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices. c) Escribir las longitudes de sus ejes ( mayor y menor) y su lado recto. d) Calcular la excentricidad. Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4-34

8 Ejercicio 3 La intención de esta sección se alcanzará plenamente sólo si reflexionamos detenidamente cada una de las ideas incluidas en los problemas, la forma en que se relacionan los conceptos que maneja cada ejercicio con los desarrollos teóricos que hemos efectuado. Una figura te será de mucha utilidad en cada caso. 1. La distancia mínima del planeta Mercurio al Sol es km y su excentricidad es e. 1 5 a) Calcular la distancia máxima de Mercurio al Sol. b) Comparar la diferencia entre las distancias máxima y mínima de Mercurio al Sol con la misma diferencia de la Tierra al Sol, expresarlas en porcentaje.. Dos vértices de un triángulo son los puntos A(5,0) y B(-5,0), si el tercer vértice puede moverse en el plano por todas las posiciones posibles, siempre que el perímetro del triángulo sea 6 unidades, qué lugar geométrico describe el tercer vértice?. Obtener su ecuación. 3. Un arco de forma semielíptica subtiende un claro de 104 m. Si la altura del arco es de 15 metros a una distancia de 4 m medida desde un extremo, cuál es su altura máxima? 4-35 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas