Cónicas, Ecuación, Simetrias, Extensión. 5.2 Ecuación, Simetrias y Extensión. 1. Ecuación. A partir de la denición, tenemos para (h, k) = (0, 0)

Transcripción

1 Cónicas, Ecuación, Simetrias, Extensión Circunferencia Es el conjunto de todos los puntos sobre un plano que son equidistantes de un punto jo sobre el plano. El punto jo se llama centro y la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. C = {(x, y) R 2 d((x, y), (h, k)) = r} 1. Ecuación. A partir de la denición, tenemos para (h, k) = (0, 0) d((x, y), (0, 0)) = r x 2 + y 2 = r A partir de la denición, tenemos para (h, k) (0, 0) Desarrolamdo esta última se tiene x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 r 2 = 0 d((x, y), (h, k)) = r (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 x 2 2xh + h 2 + y 2 2yk + k 2 = r 2 Podemos entonces dar una ecuación en forma general x 2 + y 2 2xh 2yk r 2 = 0 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 2. Simetrías. La circunferencia es simetrica con respecto al eje X, eje Y, el origen y cualquier recta al origen 3. Extensión. Se reere a los intervalos de variación para los cuales los valores x, y son valores reales. Lo cual indica si la curva es cerrada o abierta. 1

2 En este caso x 2 + y 2 = r 2 y = r 2 x 2 y R r 2 x 2 0 r 2 x 2 r x r x r x [ r, r] Procediendo de manera análoga y [ r, r] Elipse Denición 1. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos jos F 1 y F 2 es una constante denotada con 2a. En símbolos escribimos 1. Ecuación. Considerando la gura E = {(x, y) R 2 d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a} Y según la denición, tenemos d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a d((x, y), (c, 0)) + d((x, y), ( c, 0)) = 2a La última implicación según la gura (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = (2a ) 2 (x c) 2 + y 2 4cx + 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 ( 16a 2 16c 2) x a 2 y 2 = 16a 4 16a 2 c 2 (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) x2 a 2 + y2 a 2 c 2 = 1 x2 a 2 + y2 b 2 = 1 2

3 A partir de la denición, tenemos para (h, k) (0, 0) Desarrollando x2 a 2 + y2 = 1 se tiene b2 Desarrollando (x h) 2 (y k)2 a 2 + b 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 (x h)2 (y k)2 a 2 + b 2 = 1 se tiene b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 (x h) 2 (y k)2 a 2 + b 2 = 1 b 2 (x h) 2 + a 2 (y k) 2 = a 2 b 2 Podemos entonces dar una ecuación en forma general b 2 x 2 + a 2 y 2 2xhb 2 + b 2 h 2 2yka 2 + a 2 k 2 a 2 b 2 = 0 Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 2. Simetrías. Utilizando la Figura de la denición se deduce inmediatamente que la elipse es simétrica respecto a cada uno de sus ejes, y en consecuencia también respecto a su centro, es decir, los ejes son ejes de simetría y el centro es centro de simetría. 3

4 3. Extensión. Se reere a los intervalos de variación para los cuales los valores x, y son valores reales. Lo cual indica si la curva es cerrada o abierta. En este caso x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 y = b 1 x2 a 2 y R 1 x2 a x2 a 2 1 x a a x a x a x [ a, a] Procediendo de manera análoga y [ b, b] Parábola Denición 2. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta ja l y un punto jo F exterior a la recta. En símbolos escribimos P = {(x, y) R 2 d((x, y), l) = d(p, F )} 1. Ecuación. Para esta curva elegimos como eje X al eje focal (la perpendicular a la directriz l que pasa por el foco), y como eje Y a la paralela a la directriz que pasa por el vértice 4

5 Entonces a partir de la denición d((x, y), l) = d(p, F ) x ( p) = (x p) 2 + y 2 (x + p) 2 = (x p) 2 + y 2 x 2 + 2xp + p 2 = x 2 2xp + p 2 + y 2 2xp = 2xp + y 2 4px = y 2 A partir de la denición, tenemos para (h, k) (0, 0) 4p(x h) = (y k) 2 Desarrollando 4px = y 2 se tiene 4px = y 2 y 2 4px = 0 Desarrollando 4p(x h) = (y k) 2 se tiene 4p(x h) = (y k) 2 4px 4ph = y 2 2yk + k 2 y 2 + 2yk k 2 4px 4ph = 0 Podemos entonces dar una ecuación en forma general y 2 + Dx + Ey + F = 0 Procediendo de manra análoga con parábolas verticales, obtenemos una ecuación de la forma x 2 + Dx + Ey + F = 0 2. Simetrías. Utilizando la Figura de la denición se deduce inmediatamente que la parábola es simétrica respecto a su eje focal. 3. Extensión. Se reere a los intervalos de variación para los cuales los valores x, y son valores reales. Lo cual indica si la curva es cerrada o abierta. 5

6 En este caso 4px = y 2 y = 2 px y R px 0 p 0 y x 0 x [0, ) Procediendo de manera análoga y (, ) Hipérbola Denición 3. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuyas distancias a dos puntos jos F 1 y F 2 tienen una diferencia con valor absoluto constante, denotado por 2a. En símbolos escribimos: 1. Ecuación. Considerando la gura E = {(x, y) R 2 d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a} Y según la denición, tenemos d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a d((x, y), (c, 0)) d((x, y), ( c, 0)) = 2a (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a ( (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 ) 2 = 4a 2 (x + c) 2 2 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 4a 2 2 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 4a 2 2(x 2 + y 2 + c 2 ) ([(x + c) 2 + y 2 ] [(x c) 2 + y 2 ] = [ 2a 2 + (x 2 + y 2 + c 2 )] 2 4x 2 c 2 + 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 = 4a 2 4a 2 c 2 x 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) x2 a 2 y2 b 2 = 1 6

7 A partir de la denición, tenemos para (h, k) (0, 0) Desarrollando x2 a 2 y2 = 1 se tiene b2 Desarrollando (x h) 2 (y k)2 a 2 b 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 b2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 (x h)2 (y k)2 a 2 b 2 = 1 se tiene b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 (x h) 2 (y k)2 a 2 b 2 = 1 b 2 (x h) 2 a 2 (y k) 2 = a 2 b 2 Podemos entonces dar una ecuación en forma general Donde A y B tienen signos distintos. b 2 x 2 a 2 y 2 2xhb 2 + b 2 h 2 + 2yka 2 a 2 k 2 a 2 b 2 = 0 Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 2. Simetrías. La hipérbola es simétrica respecto a sus dos ejes, y que el centro de la hipérbola es un centro de simetría. 3. Extensión. Se reere a los intervalos de variación para los cuales los valores x, y son valores reales. Lo cual indica si la curva es cerrada o abierta. 7

8 En este caso x 2 a 2 y2 x b 2 = 1 y = b 2 a 2 1 y R x2 a x2 a 2 1 x a 1 x a x a y a x x (, a] [a, ) Procediendo de manera análoga y (, ) 8