Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2
|
|
|
- Asunción Segura Aranda
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Introducción a y Notación d
2 Tabla de Contenido 1 Definición Sumas Parciales Introducción a y Notación d
3 Tabla de Contenido 1 Definición Sumas Parciales 2 Introducción a y Notación d
4 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión Introducción a y Notación d
5 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión notación factorial Introducción a y Notación d
6 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión notación factorial sucesión recursiva Introducción a y Notación d
7 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión notación factorial sucesión recursiva sumas parciales de sucesiones Introducción a y Notación d
8 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión notación factorial sucesión recursiva sumas parciales de sucesiones notación de sumatoria Introducción a y Notación d
9 Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión notación factorial sucesión recursiva sumas parciales de sucesiones notación de sumatoria ejercicios y aplicaciones Introducción a y Notación d
10 Definición Sumas Parciales Definición 1: Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados en un orden específico. Introducción a y Notación d
11 Definición Sumas Parciales Definición 1: Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados en un orden específico. Ejemplo: 5, 10, 15,... (Suponga que el patrón continúa.) Introducción a y Notación d
12 Definición Sumas Parciales Definición 1: Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados en un orden específico. Ejemplo: 5, 10, 15,... (Suponga que el patrón continúa.) Definición 2: Definición 2: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Los valores f(1), f(2), f(3),... son los términos de la sucesión.... Introducción a y Notación d
13 Definición Sumas Parciales Definición 1: Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados en un orden específico. Ejemplo: 5, 10, 15,... (Suponga que el patrón continúa.) Definición 2: Definición 2: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Los valores f(1), f(2), f(3),... son los términos de la sucesión.... Ejemplo: f(n) = 5n Introducción a y Notación d
14 Definición Sumas Parciales Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... Introducción a y Notación d
15 Definición Sumas Parciales Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... a 1 primer término de la sucesión Introducción a y Notación d
16 Definición Sumas Parciales Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... a 1 primer término de la sucesión a 2 segundo término de la sucesión Introducción a y Notación d
17 Definición Sumas Parciales Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... a 1 primer término de la sucesión a 2 segundo término de la sucesión... Introducción a y Notación d
18 Definición Sumas Parciales Notación: Se denota por a 1, a 2, a 3,.... a 1 primer término de la sucesión a 2 segundo término de la sucesión... a n n-ésimo término de la sucesión Introducción a y Notación d
19 Definición Sumas Parciales Ejemplos: Introducción a y Notación d
20 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... Introducción a y Notación d
21 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... Introducción a y Notación d
22 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n Introducción a y Notación d
23 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n Introducción a y Notación d
24 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n 5 tn = Introducción a y Notación d
25 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n 5 tn = bn = 2n 1+n Introducción a y Notación d
26 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n 5 tn = bn = 2n 1+n 7 an = ( 1) n Introducción a y Notación d
27 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n 5 tn = bn = 2n 1+n 7 an = ( 1) n 8 cn = n2 n+1 Introducción a y Notación d
28 Definición Sumas Parciales Ejemplos: 1 Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,... 2 Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,... 3 an = 1 1 n 4 cn = 3 + ( 1) n 5 tn = bn = 2n 1+n 7 an = ( 1) n 8 cn = n2 n+1 9 Sucesión de los dígitos del número π Introducción a y Notación d
29 Definición Sumas Parciales Ejercicio: Suponga que el patrón continúa y escriba una fórmula para definir el término n-ésimo de las sucesiones siguientes: 1 1 2, 3 4, 5 6, 7 8, , 4, 8, 16, 32, , 25, 125, 625, , 4 5, 5 6, 6 7,.. 5 1, 4, 7, 10,... Introducción a y Notación d
30 Definición Sumas Parciales Algunas sucesiones importantes en matemáticas incluyen términos que se definen con tipos especiales de productos denominados factoriales. Notación Factorial Definición de Factorial: Si n es un número entero positivo, entonces n factorial se define como sigue: Casos especiales: 1 0! = 1 2 1! = 1 n! = n, n 2. Introducción a y Notación d
31 Definición Sumas Parciales Ejercicio 1: Evalúe cada expresión factorial. 1 8! 2! 6! 2 2! 6! 3! 5! 3 n! (n 1)! Ejercicio 2: Escriba los primeros cinco términos de la sucesión dada. 1 an = 2n n! Introducción a y Notación d
32 Definición Sumas Parciales Definición: Definición: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el n-ésimo término depende de algunos o todos los términos anteriores. Introducción a y Notación d
33 Definición Sumas Parciales Definición: Definición: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el n-ésimo término depende de algunos o todos los términos anteriores. Ejemplos: 1 Sucesión de Fibonacci: Fn = F n 1 + F n 2 ; F 1 = 1 y F 2 = 1 Introducción a y Notación d
34 Definición Sumas Parciales Definición: Definición: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el n-ésimo término depende de algunos o todos los términos anteriores. Ejemplos: 1 Sucesión de Fibonacci: Fn = F n 1 + F n 2 ; F 1 = 1 y F 2 = 1 2 a1 = 1, a n = 3(a n 1 + 2) Introducción a y Notación d
35 Definición Sumas Parciales Definición: Definición: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el n-ésimo término depende de algunos o todos los términos anteriores. Ejemplos: 1 Sucesión de Fibonacci: Fn = F n 1 + F n 2 ; F 1 = 1 y F 2 = 1 2 a1 = 1, a n = 3(a n 1 + 2) Introducción a y Notación d
36 Definición Sumas Parciales Ejercicio: Incrementos al Salario A un vendedor recién contratado se le prometió un salario inicial de $ , con un aumento de $ cada año. Sea s n su salario en su n-ésimo año de empleo Determine una definición no recursiva para s n. Determine una definición recursiva para s n. Determine el salario del vendedor en el quinto año de empleo usando cada una de las dos definiciones anteriores Introducción a y Notación d
37 Definición Sumas Parciales Sumas Parciales: Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 primera suma parcial Introducción a y Notación d
38 Definición Sumas Parciales Sumas Parciales: Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 primera suma parcial segunda suma parcial Introducción a y Notación d
39 Definición Sumas Parciales Sumas Parciales: Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 primera suma parcial segunda suma parcial tercera suma parcial Introducción a y Notación d
40 Definición Sumas Parciales Sumas Parciales: Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 primera suma parcial S 2 = a 1 + a 2 segunda suma parcial S 3 = a 1 + a 2 + a 3 tercera suma parcial S n = a 1 + a a n n-ésima suma parcial Introducción a y Notación d
41 Definición Sumas Parciales Sumas Parciales: Nota: Para la sucesión a 1, a 2, a 3,..., las sumas parciales son: S 1 = a 1 primera suma parcial S 2 = a 1 + a 2 segunda suma parcial S 3 = a 1 + a 2 + a 3 tercera suma parcial S n = a 1 + a a n n-ésima suma parcial S 1, S 2, S 3,..., S n sucesión de sumas parciales Introducción a y Notación d
42 Definición Sumas Parciales Ejercicios: 1 Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial de la sucesión representada por a n = 1 2 n. 2 Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial de la sucesión representada por a n = 1 n 1 n+1. Introducción a y Notación d
43 Nota: La suma de los primeros n términos de la sucesión dada por a 1, a 2, a 3,... se puede denotar por n k=1 a k = a 1 + a 2 + a a n donde k es el índice de suma o variable de la sumatoria. Introducción a y Notación d
44 Nota: La suma de los primeros n términos de la sucesión dada por a 1, a 2, a 3,... se puede denotar por n k=1 a k = a 1 + a 2 + a a n donde k es el índice de suma o variable de la sumatoria. La expresión anterior también se puede escribir de otras formas equivalentes tales como: 1 n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n Introducción a y Notación d
45 Nota: La suma de los primeros n términos de la sucesión dada por a 1, a 2, a 3,... se puede denotar por n k=1 a k = a 1 + a 2 + a a n donde k es el índice de suma o variable de la sumatoria. La expresión anterior también se puede escribir de otras formas equivalentes tales como: 1 2 n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n n j=1 a j = a 1 + a 2 + a a n Introducción a y Notación d
46 Ejemplos: 1 8 i=1 i = Introducción a y Notación d
47 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = Introducción a y Notación d
48 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = 36 Introducción a y Notación d
49 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = Introducción a y Notación d
50 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = Introducción a y Notación d
51 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = 100 Introducción a y Notación d
52 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = Introducción a y Notación d
53 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = Introducción a y Notación d
54 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = Introducción a y Notación d
55 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = k=4 5 = Introducción a y Notación d
56 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = k=4 5 = = Introducción a y Notación d
57 Ejemplos: 1 8 i=1 i = = k=1 k3 = = r=3 1 r = = k=4 5 = = (7)5 = 35 Introducción a y Notación d
58 Ejercicios: Exprese cada suma en notación de sumatoria n 3 2 n x + 3x 2 4x 3 + 5x 4 100x 99 Introducción a y Notación d
59 Propiedades de las Sumas: 1 n i=1 (a i + b i ) = n i=1 a i + n i=1 b i Introducción a y Notación d
60 Propiedades de las Sumas: 1 n i=1 (a i + b i ) = n i=1 a i + n i=1 b i 2 n i=1 (a i b i ) = n i=1 a i n i=1 b i Introducción a y Notación d
61 Propiedades de las Sumas: 1 n i=1 (a i + b i ) = n i=1 a i + n i=1 b i 2 n i=1 (a i b i ) = n i=1 a i n i=1 b i 3 n i=1 (ca i) = c( n i=1 a i) Introducción a y Notación d
62 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = Introducción a y Notación d
63 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = Introducción a y Notación d
64 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 Introducción a y Notación d
65 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 2 Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) Introducción a y Notación d
66 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 2 Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) = 10 i=1 (2x i) 10 i=1 ( 1 2 y i) 10 i=1 3 2 Introducción a y Notación d
67 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 2 Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) = 10 i=1 (2x i) 10 i=1 ( 1 2 y i) 10 i=1 3 2 = 2 10 i=1 x i i=1 y i 10 i=1 3 2 Introducción a y Notación d
68 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 2 Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) = 10 i=1 (2x i) 10 i=1 ( 1 2 y i) 10 i=1 3 2 = 2 10 i=1 x i i=1 y i 10 i=1 3 2 = 2(15) ( 1 2 )(33) (10) 3 2 Introducción a y Notación d
69 Ejemplos: 1 10 i=1 (1 + ( 1)i ) = 10 i= i=1 ( 1)i = = 10 2 Dado que 10 i=1 x i = 15, 10 i=1 y i = 33, 10 i=1 (2x i 1 2 y i 3 2 ) = 10 i=1 (2x i) 10 i=1 ( 1 2 y i) 10 i=1 3 2 = 2 10 i=1 x i i=1 y i 10 i=1 3 2 = 2(15) ( 1 2 )(33) (10) 3 2 = 3 2 Introducción a y Notación d
70 Ejercicio: 1 Dado que 10 i=1 y i = 33, y 1 = 4, y 10 = 2, determine: 9 i=2 (2y i 3) Introducción a y Notación d
Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2
y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Introducción a y Tabla de Contenido Introducción a y Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de números, en nuestro caso números reales, considerados
Exponentes, Raíces y Radicales. Números Reales
Exponentes y Exponentes Fraccionarios, Raíces y Exponentes, Raíces y en los Números Reales Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Exponentes, Raíces y Tabla de Contenido Contenido Exponentes y Exponentes
SUCESIONES. sucesiones 1
www.matebrunca.com Profesor Waldo Márquez González sucesiones SUCESIONES Definición Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto
11 Secuencias, Series y Probabilidad
Programa Inmersión, Verano 06 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 303 Clase #0: lunes, 7 de junio de 06. Secuencias, Series y Probabilidad. Continuación:
Mó duló 18: Sumatória
INTERNADO MATEMÁTICA 2016 Guía del estudiante Mó duló 18: Sumatória Objetivo: Familiarizarse con la notación matemática de sumatoria. En ocasiones es necesario escribir y calcular algunas sumas de números
UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES
UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES Llegamos a la última unidad de la asignatura correspondiente a Sucesiones y Series, recuerde mantener la motivación hasta el final, el tema que vamos a tratar aquí es de especial
MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Sucesiones, Series y Series de Potencias. Departamento de Matemáticas. Convergencia. Resultados.
y y MA3002 y Una sucesión, representada matemáticamente como {z n }, es una función cuyo dominio son los enteros positivos (1, 2, 3, 4,...); en otras palabras, a cada entero n = 1, 2, 3... se le asigna
Departamento de Matemáticas. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.1/15
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Departamento de Matemáticas Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias p.1/15 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Inducción
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista
Cap 9 Sec 9.1 9.3 Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista a 1, a 2, a 3, a n, Donde cada a k es un término
Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2
Objetivos Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Tabla de Contenido Objetivos Objetivos 1 Sumas Parciales de Objetivos: Contenido Objetivos Discutiremos: definición de sucesión o progresión aritmética Objetivos:
Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo I
Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: función inversa : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa : Contenido Discutiremos:
Inducción y recursividad
Capítulo Inducción y recursividad.. Proposiciones Definición (Proposición) Una proposición es una colección de símbolos sintácticos a la cual se le puede asignar uno y solo un valor de verdad: verdadero
PAIEP. Sucesiones, Sumatoria y Progresiones
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Sucesiones, Sumatoria y Progresiones Definición: Una sucesión de números reales es una función a : N R, definida
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos
Series numéricas y de potencias. 24 de Noviembre de 2014
Cálculo Series numéricas y de potencias 24 de Noviembre de 2014 Series numéricas y de potencias Series numéricas Sucesiones de números reales Concepto de serie de números reales. Propiedades Criterios
Capítulo 11. Progresiones aritméticas y geométricas
Capítulo 11 Progresiones aritméticas y geométricas Si a un conjunto de números se le da un cierto orden, entonces tal conjunto se conoce como sucesión, y a los elementos que la constituyen se les denomina
Material Suplementario
Material Suplementario Introducción a la teoría de conjuntos Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Original: Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptación: Prof. Caroline Rodríguez
Sucesiones, inducción y sumatorias
Capítulo 3 Sucesiones, inducción y sumatorias 3.. Sucesiones Definición Una sucesión es una función definida de N R que se acostumbra a denotar por a n en lugar de fn), costumbre que también adoptaremos
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y FISICA Matemáticas Discreta
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y FISICA Matemáticas Discreta SUCESIONES Y RELACIONES DE RECURRENCIA Esta última sección la dedicamos a presentar el concepto de recurrencia, que esta muy ligado al axioma de
Números naturales y recursividad
Números naturales y recursividad Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 12 de abril de 2004 Números naturales Cuál es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria? Se sabe que los números
Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos
Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O D E P A R T A M E N T O DE M A T E M Á T I C A S P R O F A. Y U I T Z A T. H U M A R Á N M A R
Matemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003 Inducción Matemática: Sucesiones y s Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 1/19
Matemáticas aliadas a la salud MATE3035
Matemáticas aliadas a la salud MATE3035 TEMA: Introducción a la teoría de conjuntos Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Profa. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptado por Profa.
Recurrencias. Si a 0, a 1, a 2, es una progresión geométrica, entonces a 1 /a 0 = a 2 /a 1 = = a n+1 /a n = r, la razón común.
Recurrencias Def. Progresión geométrica. Es una sucesión infinita de números, como: 5, 45, 135, donde el cociente de cualquier término entre su predecesor es una constante, llamada razón común. (Para nuestro
Programación-Tarea 14: Ocampo Venegas Josué
Programación-Tarea 14: Integrantes del Equipo: Álvarez Quesada Claudia Eréndira Ocampo Venegas Josué Parte 1 (condiciones if- else, sentencias, secuencia) Secuencia!! Valor expresión aritmética Fórmulas
Programación I Recursividad.
Programación I Recursividad http://proguno.unsl.edu.ar proguno@unsl.edu.ar Recursividad Técnica de resolución de problemas particulares. La definición de un concepto es recursiva si el concepto es definido
MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Sucesiones y Series. Departamento de Matemáticas. lim z n. Resultados. Series. Geométrica.
P MA3002 Una sucesión, representada matemáticamente como {z n }, es una función cuyo dominio son los enteros positivos (1, 2, 3, 4,...); en otras palabras, a cada entero n = 1, 2, 3... se le asigna un
Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.
Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos
Teoría de Conjuntos DEFINICION DE CONJUNTO
Teoría de Conjuntos Teoría de Conjuntos Teoría de conjuntos es un instrumento matemático adecuado para la sistematización de nuestra forma de pensar, y permitir nuestra capacidad de análisis y comprensión
Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos
Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O D E P A R T A M E N T O DE M A T E M Á T I C A S P R O F A. Y U I T Z A T. H U M A R Á N M A R
Listas y Recursión. Taller de Álgebra I. Primer Cuatrimestre de 2015
Listas y Recursión Taller de Álgebra I Primer Cuatrimestre de 2015 Un nuevo tipo: Listas Tipo Lista Las listas pueden contener elementos de cualquier tipo (incluso listas) [1] :: [Integer] [1, 2] :: [Integer]
Diseño y Análisis de Algoritmos
1. Recursividad 2. "Dividir para Reinar" 3. Recursividad y Tabulación (Programación Dinámica) 4. Métodos Matemáticos Funciones discretas Notación O Ecuaciones de recurrencia 5. Casos de Estudio Breve descripción
Series, Sucesiones y recursiones
Series, Sucesiones y recursiones Entrenamiento #3 para el nacional -5 de septiembre del 016 Por: Lulú y Argel Resumen En el presente material les presentaremos las series y sucesiones, es posible que en
Unidad IV. La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :
Unidad IV Series. 4.1 Definición de seria. Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a 1 + a 2 +
Sucesiones y Suma Finita
Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingeniería Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21 CONTENIDO Convergencia de una sucesión
a b 2 a 2 2ab b 2 a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b 4 a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4 a b 5 a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5
0. El teorema del binomio 77 0. El teorema del binomio Un binomio es una suma a b, donde a y b representan números. Si n es un entero positivo, entonces una fórmula general para epandir (a b) n (esto es,
EXPRESIONES VARIABLES
EXPRESIONES VARIABLES.1.1.1. Un variable es un símbolo que se usa para representar uno o más números. Es común usar letras del alfabeto como variables. El valor del variable que se usa varias veces en
Capítulo. Los Enteros. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Capítulo 5 Los Enteros Representaciones de los Enteros El conjunto de los enteros se denota Z. Los enteros negativos son los inversos aditivos de los enteros positivos. 4 es el opuesto de 4 3 es el opuesto
Univ. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Marzo 8, Soluciones Taller 5
Univ. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Marzo 8, 00 Soluciones Taller 5. Pruebe por inducción que n 3 = 3 + 3 + 3 3 + + (n ) 3 + n 3 = = ( ) n(n + ) Caso base:
Taller Matemático. Sucesiones. Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid
Taller Matemático Sucesiones Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid 1. Sucesiones Sucesión: Lista de términos, ordenados: a 1, a 2,
Inecuaciones Lineales en una Variable Real
en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Matemática Preuniversitaria Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: resolver inecuaciones lineales en una variable real. : Contenido Discutiremos:
Inducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es una sucesión de
EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS
EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS Arte, finanzas y sucesiones en EXCEL MATH 2252 Calculus II Dra. Carmen Caiseda Copyright 2015 Arte, Finanzas y sucesiones en Excel Engage: MSEIP Engineering
3. Elementos neutros axb N. Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a 2. Asociatividad:
INTRODUCCIÓN Las primeras ideas de número aparecen en los albores de la civilización. Los antiguos babilonios y egipcios conciben las fracciones. Con Pitágoras, los griegos descubren la necesidad de adoptar
Exponencial, lineal y logarítmico
Exponencial, lineal y logarítmico Se verán en este apartado ejemplos de procesos que cursan en un número de pasos exponencial, lineal o logarítmico en la talla de la entrada. Para ilustrar estos procesos
Guía N 2 Desigualdades e Inecuaciones. p < 0 E) x E) N.A IV) > 2 x C) x > 4 B) 4
Colegio Raimapu Departamento de Matemática Guía N Desigualdades e Inecuaciones Nombre del Estudiante: π ) Para el conjunto de números reales A = R / es verdadero que: I) A II), A III) A ) Qué condición
Caracterización de los números reales
Grado 11 Matematicas - Unidad 1 Operando en el conjunto de los números reales Tema Caracterización de los números reales Nombre: Curso: Breve historia de los reales A continuación se da una brevísima historia
Recursividad Definición
Recursividad Definición Un procedimiento o función se dice recursivo si durante su ejecución se invoca directa o indirectamente a sí mismo. Esta invocación depende al menos de una condición que actúa como
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto se
Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97
Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97 Note que a i representa a una suma desde el primer término de la sucesión i a para i hasta el último término que en este caso es a n para i n. Es decir,
BOLETÍN DE EJERCICIOS: PROGRAMACIÓN EN C++ Ejercicio 1.- escribir un programa que calcule el factorial de un número:
Ejercicio 1.- escribir un programa que calcule el factorial de un número: Ejercicio 2.- determinar si un número es primo: Ejercicio 3.- escribir un programa que calcule la velocidad de un cuerpo sabiendo
Tema 7: Recursividad
Tema 7: Recursividad Objetivos: en este tema estudiaremos funciones recursivas; esto es, funciones que se invocan a sí mismas. Estas funciones son equivalentes a estructuras tipo bucle pero permiten especificar
Ecuaciones: Aplicaciones
Carlos A. Rivera-Morales Métodos Cuantitativos I Tabla de Contenido Contenido ales en una variable real dráticas en una variable real : Contenido Discutiremos: modelado matemático mediante ecuaciones lineales
Ecuaciones en diferencias lineales Sucesiones. Outline. 1 Ecuaciones en diferencias lineales. 2 Sucesiones
Outline Ecuaciones en diferencias lineales 1 Ecuaciones en diferencias lineales 2 Outline Ecuaciones en diferencias lineales 1 Ecuaciones en diferencias lineales 2 Un caso real! Ecuaciones en diferencias
Estructuras de Repetición
1 Estructuras de Repetición 2013 Transversal de Programación Básica Proyecto Curricular de Ingeniería de Sistemas 2 Objetivos Aprender a construir grandes y complejos problemas a través de la ejecución
Sucesiones parte 1. Denición 1. Para cada n N denimos el conjunto
parte Denición. Para cada n N denimos el conjunto N n = {,,,,..., n} Estos conjuntos reciben el nombre de segmentos de N. Denición. Un conjunto E es nito si existe n N y una función ϕ : E N n tal que ϕ
EXPONENETES ENTEROS Y RACIONALES
EXPONENETES ENTEROS Y RACIONALES Los exponentes enteros y racionales (raíces) aparecen en múltiples problemas del álgebra, en especial en aquellos en donde debes simplificar expresiones algebraicas. Por
Lista de problemas: ciclos y funciones en el lenguaje MATLAB
Lista de problemas: ciclos y funciones en el lenguaje MATLAB Esta lista de problemas está compuesta para probar si el estudiante tiene ciertas habilidades básicas de programación con arreglos, funciones
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe: x A.
Conjuntos. Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos
PLAN DE UNIDAD 5.1. Fecha: Día_4_ Ejercicios de practica
ETAPA ACTIVIDADES PARA EL LOGRO DE LAS DESEMPEÑO DESEMPEÑO U OTRA EVIDENCIA Antes (Dirigen la instrucción hacia la exploración del conocimiento previo del estudiante) Durante(El estudiante se compromete
Funciones: Límites y continuidad.
Límites finitos de sucesiones. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Funciones: Límites y continuidad. + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite r R y se escribe =r o de forma
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS
Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D R con D Œ R, es decir, a cualquier correspondencia que asocia
1. Problemas de inducción.
Proyecto I: Más sobre números reales Objetivos: Profundizar el estudio de los números reales. 1. Problemas de inducción. Ejercicio 1.1 Sea n. Definiremos los coeficientes binomiales ( n ) mediante la expresión
Aritmética en Haskell
Aritmética en Haskell Taller de Álgebra I Primer cuatrimestre de 2014 Algoritmo de división Para obtener el cociente y resto entre dos números enteros, tenemos las funciones div y mod, respectivamente.
Tema 5: Recursión. de la siguiente forma: Recursión (Sustantivo) Ver recursión. n Qué es la recursión? Cierto diccionario malévolo la define
Tema 5: Recursión n Qué es la recursión? Cierto diccionario malévolo la define de la siguiente forma: Recursión (Sustantivo) Ver recursión. n En efecto, usamos la recursión para definir algo en términos
Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.
NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida
El rincón de los problemas
Junio de 008, Número 14, páginas 113-11 ISSN: 1815-0640 El rincón de los problemas Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@pucp.edu.pe Problema Proponer una actividad lúdica que ilustre que si
Sea la definición de la función f dada en Discusión 4: f: N -> N -> Bool f(n) = f1 donde f1: N -> Bool f1(m) = (odd mod1) (n,m).
Definiciones currificadas en ISetL Sea la definición de la función f dada en Discusión 4: f: N -> N -> Bool f(n) = f1 donde f1: N -> Bool f1(m) = (odd mod1) (n,m). Para definirla en ISetL, necesitamos
Álgebra y Trigonometría
Álgebra y Trigonometría Conceptos fundamentales del Álgebra Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas 1. Números Reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases
A) B) C) 5 D) 5 9 E) A) 0 B) 9 9 C) D) E) no está definido 6. ( ) : 4 ( ) 0 A) B) 5 C) 8 D) 9 E) 0 7. Si n Z, entonc
GUÍA Nº 5 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS REALES POTENCIAS EN Q DEFINICIONES a a a a a a a a a n, con a Q {0} y n Z n factores a 0, a 0 a -n a n, a Q {0} y n Z + OBSERVACIONES 0 n 0, si n >
Sucesiones. Concepto de sucesión. Determinación de una sucesión: Por el término general. Por una ley de recurrencia. a 1, a 2, a 3,...
Concepto de sucesión Sucesiones Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. a 1, a 2, a 3,..., a n 3, 6, 9,..., 3n Los números a 1, a 2, a 3,...; se llaman términos
Para el Segundo Parcial
Para el Segundo Parcial Ejercicios Del libro Introducción a la Programación con Python realice los siguientes ejercicios en cada da una de las secciones indicadas. Tiras de Caracteres Sección 5.1.6 167,
Alfredo González. Beatriz Rodríguez Pautt. Carlos Alfaro
Alfredo González Beatriz Rodríguez Pautt Carlos Alfaro FERNANDO DAVID ANILLO 1 1. Números reales... 03 2. Transformación de un decimal a fracción 05 3. Propiedades de los números reales. 6 4. Propiedades
Actividades para el logro de las tareas de desempeño Día:1 Día: 2 Día:3 Día:4 Día:5
Semana 1 ES.F22.4, ES.F23.2, ES.E.44.1, (+)ES.A.19.1, (+)ES.F.21.2 Enfoque de contenido Actividades para el logro de las tareas de desempeño Día:1 Día: 2 Día:3 Día:4 Día:5 Investiga la razón de cambio
Julio Deride Silva. 6 de agosto de 2010
Repaso Matemático Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 6 de agosto de 2010 Tabla de Contenidos Repaso Matemático Julio Deride Silva Área
Complejidad de algoritmos recursivos
Tema 3. Complejidad de algoritmos recursivos 1. INTRODUCCIÓN... 1 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES RECURSIVAS... 1 DISEÑO DE FUNCIONES RECURSIVAS... 2 2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA RECURSIVIDAD... 4 3.
Taller 7 Matemáticas Discretas
Taller 7 Matemáticas Discretas 1. Pruebe que para todo entero n 1, alguno de los números π, 2π, 3π,..., nπ está dentro de 1/n de un entero. Más precisamente, existe entero J, 1 J n, y un entero N tal que
Tema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2016
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2016 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2016 1
Progresiones Geométricas. tal que. a n+1 a n. = r. para todo entero positivo n.
www.matebrunca.com Profesor Waldo Márquez González Progresiones Geométricas 1 Progresiones Geométricas Una sucesión a 1, a 2, a,..., a n,... es una progresión geométrica si y sólo si si existe un número
TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES 2.1.1 Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto
Conjuntos y Conjuntos Numéricos
Conjuntos y Conjuntos Numéricos Alguna Nociones Básica Sobre Conjuntos Definición: Un conjunto es una colección de objetos o cosas, llamados los elementos o miembros del conjunto. Formas de expresar un
La Tabla 1 muestra los valores de los dígitos de un número binario.
Título: Sistema de los Números Binarios Autor: Luis R. Morera González Luego de muchos años dictando cursos de matemáticas he encontrado que muchos de los libros que he utilizado no explican de una manera
Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile
5. Principio de inducción Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Álgebra 08-1 5.1. Principio de inducción: Primera forma Importante: Visita
Matemáticas Empresariales I. Funciones y concepto de ĺımite
Matemáticas Empresariales I Lección 3 Funciones y concepto de ĺımite Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 22 Concepto de función Función de
Introducción. Las gramáticas definen las reglas que definen a los lenguajes Las reglas pueden tener una diversa variedad de esquemas
Gramáticas Introducción Las gramáticas definen las reglas que definen a los lenguajes Las reglas pueden tener una diversa variedad de esquemas En algunos lenguajes, una sucesión de símbolos depende del
Tipos de datos algebraicos
Tipos de datos algebraicos Taller de Álgebra I Segundo cuatrimestre de 2013 Programación funcional Recordemos que un tipo de datos es un conjunto dotado con una serie de operaciones sobre los elementos
RELACIONES DE RECURRENCIA
Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta. Objetivos específicos
Taller: Introducción a las Relaciones de Recurrencia.
Taller: Introducción a las Relaciones de Recurrencia. Déboli Alberto. Departamento de Matemática. F.C.E. y N. Universidad de Buenos Aires. Semana de la Enseñanza de la Ciencia. Buenos Aires 15 de julio
Unidad II. Conjuntos. 2.1 Características de los conjuntos.
Unidad II Conjuntos 2.1 Características de los conjuntos. Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y
Análisis de algoritmos. Recursividad
Análisis de algoritmos Recursividad 1 Matrushka La Matrushka es una artesanía tradicional rusa. Es una muñeca de madera que contiene otra muñeca más pequeña dentro de sí. Ésta muñeca, también contiene
TEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden
La recursividad forma parte del repertorio para resolver problemas en Computación y es de los métodos más poderosos y usados.
RECURSIVIDAD La recursividad forma parte del repertorio para resolver problemas en Computación y es de los métodos más poderosos y usados. Los algoritmos recursivos ofrecen soluciones estructuradas, modulares
Introducción a la Matemática Discreta
Introducción a la Matemática Discreta Recursión Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 15 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica
Lección 5. Punto flotante
Lección 5. Punto flotante MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida En esta lección aprenderemos lo
3.3. TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS Utilizar tablas de verdad para comprobar la equivalencia lógica p q p q.
3.3. TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS 83 a) p q b) p q c) q p 7. Sabiendo que la proposición compuesta ( q) (q p) es falsa, indicar cuál es el valor de verdad de las proposiciones p y q. 8. Utilizar tablas de
Permutaciones. (Ejercicios)
Permutaciones (Ejercicios Objetivos Conocer la definición de permutación y revisar algunos ejemplos Calcular el número de las permutaciones del conjunto { n} Conocer los conceptos de transposición y ciclo;
Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
![Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones](/thumbs/49/25360651.jpg "Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones")
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
TEMA 4. Sucesiones de números reales.
Cálculo I E.T.S.I. de Minas Curso 2008-2009 TEMA 4. Sucesiones de números reales. Definición. Una sucesión de números reales es una aplicación que a cada número natural n 1leasignaunúnico número real x