2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Transcripción

1 2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos. Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión. 1; 8; 27; 64; 125; 216; n 3 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a n En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo), que es la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa. En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;, el término general de la sucesión es an=n 3. Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma, reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general. Si el término general de una sucesión es a n = 1 n, entonces la sucesión será: 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 6 ; ; 1 n ; Por lo tanto una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f: N R EJERCICIOS: 1. Escribir 3 términos más para cada sucesión y el término general cuando sea posible. Matemática - Cuarto Año - 1

2 a) 3, 9, 15, 21, 27, ; ; ; Término general: b) 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, ; ; ; Término general: c) 9,- 9, 9, -9, 9, ; ; ; Término general: d) 1; 2 ; 3; 2 ; 5 ; 6 ; ; ; ; Término general: e) 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, ; ; ; Término general: f) 0, 3, -1, -4, -25, 1000,,,, Término general: 2. Escribir los 5 primeros términos de estas sucesiones y también el término de orden 60. Matemática - Cuarto Año - 2

3 Término General Primeros 5 términos Término de orden 60 a n = 3n 2 n 2 bn= - n 3 cn= 5 + (-1) n (*) d n = n n Progresiones (sucesiones) aritméticas Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética Sucesión aritmética con r = Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a2 a1 = a3 a2 = = an an-1 = r Progresiones (sucesiones) geométricas Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica Sucesión geométrica con q = -3 3.(-3) -9.(-3) 27.(-3) -81. (-3) Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: a 2 a 1 = a 3 a 2 = = a n a n 1 = q a 1 0 Matemática - Cuarto Año - 3

4 EJERCICIO: 3. Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. Escribir el valor de la razón según corresponda. Sucesión Clasificación Razón 2, 10, 18, 26, 34, 0,5; 0,25; 0,125; a n= 9-5n 3, 7, 10, 17, 27, 44, b n = 3. 1 n 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, Más características de las sucesiones aritméticas En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r. a1= a1 + 0r a2= a1 + r a3= a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4= a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r.. an= an-1 + r = a1 + r + r + + r = a1 + (n-1). r n 1 vvvvv Por lo tanto el término general de una sucesión aritmética es: an = a1 + (n-1). r EJEMPLO DE APLICACIÓN: Hallar el término general de una sucesión aritmética cuyo primer término es -2 y el quinto término es 10. Luego hallar el noveno término. Sabemos que a1= -2 y que a5= 10 y que además se puede calcular como: a5 = a1 + (5-1). r (*) Matemática - Cuarto Año - 4

5 Entonces sustituyendo los datos a1 y a5 en (*), tenemos que 10 = r Despejando r, obtenemos que la razón de la sucesión es r = 3. Por lo tanto, el término general es an= -2 + (n-1).3 Y el noveno término es: a9 = -2 + (9-1). 3= 22 Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética Historia de Carl Fiedrich Gauss Esta historia tiene que ver con alguien que pensó diferente. Y en el camino, resolvió un problema en forma inesperada (para la docente). La historia se sitúa alrededor de 1784, en Brunswick, Alemania. Una maestra de segundo grado de la escuela primaria de nombre Buttner estaba cansada del lío que hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente problema: calculen la suma de los primeros cien números. La idea era tenerlos callados durante un rato. El hecho es que un niño levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera darle tiempo a la maestra de acomodarse en su silla. - Si? preguntó la maestra mirando al niño. - Ya está, señorita respondió el pequeño -. El resultado es La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque la respuesta fuera falsa, que no lo era, sino porque estaba desconcertada ante la rapidez. - Ya lo habías hecho antes? preguntó. - No, lo acabo de hacer. Mientras tanto los otros niños recién habían llegado a escribir en el papel los primeros dígitos, y no entendían el intercambio entre su compañero y la maestra. - Vení y contanos a todos cómo lo hiciste. El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el papel que tenía adelante se acercó humildemente hasta el pizarrón y comenzó a escribir los números: Bien - siguió el jovencito -. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o sea, el 1 y el 100). Esa suma da Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99). Esta suma vuelve a dar De esta forma, apareando los números así y sumándolos, se tienen 50 pares de números cuya suma es 101. Luego 50 veces 101 da que es lo que usted quería. Matemática - Cuarto Año - 5

6 La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Fiedrich Gauss. Nació en Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió en 1855 en Gottinger, Hanover, Alemania. Gauss es considerado el Príncipe de la Matemática y fue uno de los mejores, si no el mejor, matemático de la historia. Tomado de: Matemática estás ahí? Adrián Paenza Se calcula de la siguiente manera: S n = (a 1+a n ).n 2 EJEMPLO: Dada la sucesión an= -2 + (n-1).3, hallar la suma de los primeros 5 términos. Una opción es escribir los primeros 5 términos y sumarlos. Pero otra es aplicar directamente la fórmula vista más arriba. En ambos casos llegaremos a la misma respuesta. Pero si queremos hallar la suma de mucho más términos, hallarlos uno por uno y sumarlos no resulta práctico, por eso convendrá utilizar la fórmula Sn. a1= -2 ; a2= 1 ; a3= 4 ; a4= 7 ; a5= 10 S5 = = 20 S 5 = ( 2+11).5 = 20 2 EJERCICIOS: 4. Completar con el dato que falta en cada caso. a) a 1 = 12 5 ; r = 5 ; a 12 = b) a 120 = 1345 ; r = -9 ; a 1 =.. c) a n = 153,32 ; a 1 = 83 ; r = 25; n =.. 25 Matemática - Cuarto Año - 6

7 5. Calcular la suma de los 30 primeros términos: a) Dada la sucesión aritmética cuyo término general es an= n b) Dada la sucesión: -4, -10, -16, -22, 6. Sabiendo que la suma de los 13 primeros términos de una sucesión aritmética es 429 y que a 11 =63, hallar el término general de la sucesión. 7. Resolver teniendo en cuenta que en una sucesión aritmética a1 + a3 = 18 y a5 a2 = - 6 a) Cuál es la razón? b) Calcular a1, a2 y a3. c) Hallar la suma de los primeros 10 términos. 8. Tener en cuenta los siguientes datos y responder los ítems a y b. a1= x ; r = x-3 con x ϵ R a) Cuál es la expresión correspondiente a S10? I) (9x+27).5 II) 9x -135 III) 55x -135 b) Calcular S10 si la diferencia entre dos términos consecutivos es 13. Más características de las sucesiones geométricas En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor constante q. a 1 = a 1. q 0 a 2 = a 1. q 1 a 3 = a 2. q = a 1. q. q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = a 1. q 2. q = a 1. q 3 a 5 = a 4. q = a 1. q 3. q = a 1. q 4. Matemática - Cuarto Año - 7

8 a n = a n 1. q = a 1. q. q. q. q n 1 vvvvv = a 1. q n 1 Por lo tanto el término general de una sucesión geométrica es: a n = a 1. q n 1 Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica Se calcula de la siguiente manera: S n = a 1. q n 1 q 1 con q 1 EJERCICIOS: 9. Completar con el dato que falta en cada caso. a) a 1 = 9; q= 2 ; a 11 = b) a 25 = 122 ; q = 1/3 ; a 1 =.. c) a n = 2048; a 1 = 4; q = 2; n = Calcular la suma de los 11 primeros términos. a) Sea la sucesión geométrica de término general an=3. 2 n-1 b) Dada la sucesión geométrica: 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; 768; 11. Resolver teniendo en cuenta que las sucesiones son geométricas a) Encontrar 4 términos entre el término de valor 2 y el término de valor 486 de una sucesión. b) En una sucesión de razón 1,5 ; la suma de los dos primeros términos es 1,7. Calcular la suma de los 5 primeros términos. c) El producto entre el segundo y el tercer término de una sucesión es Calcular la razón y la suma de los 12 primeros términos, si el primer término es 5. Matemática - Cuarto Año - 8

9 12. Elegir la opción correcta en cada caso. a) Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y su razón 0,5, cuál es el producto a 20. a 21? II) 2. 0,5 39 II) 2. 0,25 39 III) 4. 0,5 39 b) Si en una sucesión geométrica a 1 = x con x >1 y q = a 1, Cuál es la expresión de S5? I) x 5 1 x 1 II) x 6 x x 1 III) x 5 x x 2 x Análisis de sucesiones Cotas superiores e inferiores Una sucesión está acotada superiormente, si k R / para todo n N; k a n. Se dice que k es cota superior en la sucesión. Una sucesión está acotada inferiormente, si k R / para todo n N; k a n. Se dice que k es cota inferior en la sucesión. El supremo es la menor de las cotas superiores de una sucesión y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores de una sucesión. Una sucesión es monótona creciente, si para todo n N; a n a n 1. Una sucesión es monótona decreciente, si para todo n N; a n a n 1. EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es a n = 2, entonces la sucesión será: n Matemática - Cuarto Año - 9

10 2; 1; 2 3 ; 1 2 ; 2 5 ; 1 3 ; 2 7 ; En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión: Esta sucesión está acotada superior e inferiormente. En este ejemplo, 2, 4, 8, 100, e, π, son cotas superiores y 0, -1, -3, -3/4, son cotas inferiores. El supremo es 2 y el ínfimo es 0. También se afirma que esta sucesión es monótona decreciente, al ser cada término menor que el anterior. OTRO EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es an=2-(-1) n, entonces la sucesión será: 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión: Matemática - Cuarto Año - 10

11 Esta sucesión está acotada; admite cotas superiores e inferiores. El supremo es 3 y el ínfimo es 1. Esta sucesión no es ni monótona decreciente ni monótona creciente. 3 ss n ee iiiii Otra manera de definir esta sucesión es a n = 1 ss n ee ppp EJERCICIOS: 13. Indicar si las sucesiones son monótonas crecientes o decrecientes. Explicar las respuestas. a) a n = n 1 n b) a n = 2n c) a n = ( 1) n. n d) a 1 = 2 y a n = a 1 a n 1 pppp n Indicar si las sucesiones están acotadas. Escribir tres cotas inferiores y/o tres superiores, el infímo y el supremo, cuando sea posible. (Puede ayudar realizar un gráfico). a) 1; 0,8; 0,5; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;. b) 4, 0, -4, -8, -12, -16, -20, c) 5, -5, 5, -5, 5, -5, 15. Tener en cuenta la sucesión definida por la fórmula bn= (1 + n) 1/n, completar la tabla y responder. b 1 b 2 b 3 b 4 b 10 b 101 b 1000 b a) La sucesión es monótona creciente, monótona decreciente o ninguna de ellas? Matemática - Cuarto Año - 11

12 b) Si n crece infinitamente, los términos de esta sucesión a qué número se aproxima? c) Está acotada? Entre qué valores están comprendidos todos los términos de la sucesión? Clasificación de sucesiones Sucesiones convergentes Cuando a medida que n crece, los términos de la sucesión se van acercando a un número, se dice que la sucesión es convergente. EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es a n = 1 2 n 1, entonces la sucesión será: 1; ½; ¼; 1/8; 1/16; A medida que crece, la sucesión se va acercando a 0. Se dice que la sucesión converge a 0 o que su límite es 0. Sucesiones divergentes Cuando a partir de un n natural, los módulos de los términos de la sucesión son mayores que cualquier número positivo k, la sucesión es divergente. EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es an=2n, entonces la sucesión será: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, La sucesión diverge porque para cualquier número positivo k, existe un n tal que an >k. Para k= , existe n = , tal que an = >k. A medida que crece, la sucesión se va tomando a valores cada vez más altos. Se dice que la sucesión diverge a + o que su límite es +. Sucesiones oscilantes Matemática - Cuarto Año - 12

13 Cuando una sucesión no es convergente ni divergente, es oscilante. EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es an=2-(-1) n, entonces la sucesión será: 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; Esta sucesión oscila entre los números 1 y 3. En este caso, la sucesión no tiene límite. Por lo tanto, es oscilante. EJERCICIOS: 16. Clasificar las sucesiones en convergentes, divergentes u oscilantes. Si es posible, calcular su límite. a) 5 ; 4,5 ; 4 ; 3,5 ; 3,3 ; 3,1 ; 3,01 ; 3,001 ; 3,0001 ; b) 10; 100; 1000; 10000; ; c) -2; 3; -2; 3 ;-2 ; 3 ;-2 ; d) a n = 2 3 n e) b n = n 2 3n f) c n = 2n 1 n+1 3 ss n ee ppp g) d n = 5 ss n ee iiiii 17. Indicar para qué valores de t las sucesiones son convergentes, divergentes u oscilantes. a) t; t 2 ; t 3 ; t 4 ; t 5 ; b) t 2 ; t 6 ; t 10 ; t 14 ; c) t -1 ; t -2 ; t -3 ; t -4 ; 18. Proponer para cada caso, si es posible, el término general de una sucesión que cumpla las condiciones pedidas. Matemática - Cuarto Año - 13

14 a) Una sucesión de términos negativos que sea divergente. b) Una sucesión de términos positivos que sea convergente a 2. c) Una sucesión oscilante que cumpla que para todo n: 2 a n 2 d) Una sucesión convergente en. 3 y que sea monótona decreciente. e) Una sucesión convergente a 0 que cumpla que para todo n: 0 < a n Responder Verdadero o Falso justificando la respuesta. a) Una sucesión de términos negativos siempre es convergente. b) La sucesión a n = 2 es convergente a 0. n3 c) Una sucesión oscilante tiene todos sus términos positivos. 20. Dada la sucesión: 6400 ; 3200 ; 1600 ;... ; 22 4 a) Determinar la razón. b) Escribir la expresión correspondiente del término a n. c) Calcular cuántos términos tiene la sucesión. d) Hallar la menor cantidad de términos que debe tener la sucesión para que: S n > e) Calcular la suma de sus infinitos términos. 21. Dada la sucesión aritmética: 32 ; 38 ; 44 ;... ; k a) Siendo k el término 11º, hallar el valor de k. b) Calcular la suma de los 11 primeros términos 22. Los 3 primeros términos de una sucesión geométrica son: 33 5 ; m ; 4 5. Sabiendo que es convergente calcular la suma de sus infinitos términos. 23. Considere la progresión aritmética 3, 9, 15,..., 1353 Matemática - Cuarto Año - 14

15 a) Escriba la razón común. b) Encuentre el número de términos en la secuencia. c) Encuentre la suma de la secuencia. 24. Considere la progresión geométrica infinita 25, 5, 1, 0.2,... a) Encuentre la razón común. b) Encuentre: i. El décimo término; ii. Una expresión para el n-ésimo término. c) Encuentre la suma de los infinitos términos de la progresión. PROBLEMAS RESUELTOS: 1. Enrique le compra una computadora a su amigo Lucas. Acuerdan el precio de $ y el pago en 6 cuotas mensuales de modo que cada una sea el doble de la anterior. Cuál es el monto de cada cuota? Enrique determina que cada cuota será el doble de la anterior; por lo tanto, la sucesión formada por las 6 cuotas es una progresión geométrica de razón 2. Para respetar el precio que acordaron, la suma de las seis cuotas debe dar $ Utilizamos entonces la fórmula de la suma para los primeros 6 términos de una progresión geométrica de razón 2. Cuota 1 a 1 $ 15.- Cuota 2 a 2 = a 1. 2 q n 1 S n = a 1. q 1 $ 30.- Cuota 3 a 3 = a 2. 2 = a $ = a Cuota 4 1. a 4 = a 3. 2 = a $ Cuota 5 a 5 = a 4. 2 = a a 1. = = 15 $ Cuota 6 a 6 = a 5. 2 = a $ Total $ Matemática - Cuarto Año - 15

16 2. Para saldar una deuda Agustín propone pagarla en cuotas durante un año, de tal manera que cada mes paga $ 70.- más que el mes anterior. Si la undécima cuota es de $ 780.-, cuánto paga en total Agustín? Si definimos como a n la sucesión de las cuotas que debe pagar Agustín, y dado que cada cuota es de $ 70.- más que la anterior, se trata de una progresión aritmética de razón 70. Lo que el problema requiere es encontrar la suma de todas las cuotas. Usaremos entonces la fórmula para la suma de los 12 primeros términos de la sucesión aritmética de razón 70. a 11 = a = 780 Resulta así a 1 = 80 y a 12 = a = 850 S 12 = (a 1 + a 12 ) ( ). 12 S 12 = 2 S 12 = 5580 Por lo tanto Agustín en un año pagará $ Esteban pide un préstamo de $ en un Banco, y pacta pagarlo en 5 cuotas anuales de la siguiente manera: al finalizar cada año paga un quinto del capital y los intereses correspondientes al capital no devuelto durante ese año, con una tasa de interés del 12% anual. A cuánto asciende cada cuota? 1 Año C 1 = ,12 C 1 = Como los 4 5 nuevo año. Así cada año queda sin pagar del capital no se pagaron, sobre este importe se cobrará el interés del 1 5 menos. 1 Año C 1 = ,12 C 1 = Matemática - Cuarto Año - 16

17 2 Año C 2 = ,12 C 2 = Año C 3 = ,12 C 3 = 9520 Las cuotas forman una progresión aritmética, ya que cada año se paga una quinta parte menos de ,12; por lo tanto, la razón es: r = , Año C 4 = C 3 r = C 4 = Año C 5 = C C 5 = 7840 $ En consecuencia, las cuotas son de: $ ; $ ; $ ; $ y 4. Se define la sucesión que cuenta la cantidad de puntos necesarios para realizar los siguientes cuadrados. a) Escriba el término general. b) Represente gráficamente la sucesión generada. a) a n = (n + 1) 2 b) 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;... Matemática - Cuarto Año - 17

18 5. Se define la sucesión que cuenta la cantidad de puntos necesarios para dibujar los siguientes triángulos. Encuentre el término general de la sucesión y realice el gráfico cartesiano correspondiente: Definimos la sucesión: a n = cccccccc dd pppppp dd uu tttánnnnn Triángulo 1 a 1 = 3 a 1 = 3 Triángulo 2 a 2 = a 2 = 6 Triángulo 3 a 3 = a 3 = (n + 1). (n + 2) Triángulo n a n = (n + 1) a n = 2 Matemática - Cuarto Año - 18

19 hasta el n+1. Para calcular el término general se calculó la suma de los números naturales desde 1 Grandes temas de la matemática: Capítulo 4: Fibonacci Por Dr. Adrián Paenza (*) Grandes temas de la matemática: Capítulo 5: El número e Por Dr. Adrián Paenza BIBLIOGRAFÍA: ACTIVADOS MATEMÁTICA 5 Ed. Puerto de Palos MATEMÁTICA POLIMODAL - Números y Sucesiones - Longseller Ejercicios de pruebas aplicadas para el programa del Diploma BI Matemática - Cuarto Año - 19