Material para el docente de aula Semana 4

Transcripción

1 Material para el docente de aula Semana 4

2 Profundización: En este momento el maestro de aula toma un rol activo, dando continuidad a la actividad, desarrollando ejercicios y orientando otras actividades, diseñadas por la Universidad, que permitan el logro de los objetivos propuestos. Durante este espacio el docente coordinador estará acompañando para retroalimentar o dar respuesta a las inquietudes generadas en el desarrollo del ejercicio, cada vez que sea necesario. A continuación presentaremos a los docentes los contenidos que desarrollaremos ejercicios a desarrollar en el aula de clase con los estudiantes. Clase 7: Progresiones aritméticas Temas Definición de progresión Definición de progresión aritmética o Cálculo de un término de una progresión aritmética o Cálculo de la suma de los términos de una progresión aritmética Problemas de aplicación de progresiones Objetivo Caracterizar sucesiones de números reales. Ejercicios a desarrollar con los alumnos 1. Halle el término de lugar 7 de la progresión aritmética 10, 6,, La diferencia común es dd = 6 10 = 4. El término n-ésimo de una progresión aritmética está dado por aa nn = aa 1 + (nn 1) dd

3 El término que está en el lugar 7 es aa 7 Respuesta: aa 7 = 14. aa 7 = aa 1 + (7 1)dd = 10 + (6)( 4) = 10 4 = 14. Encuentre la suma de todos los números impares entre el 51 y el 99, inclusive ambos. Los números impares entre 51 y 99 se pueden ver como una progresión aritmética con las siguientes características. dd = ; aa 1 = 51; Desde el 51 hasta el 99, se tienen en total 5 números impares, por ende, aa 5 = 99. La suma de la primera n términos de una progresión aritmética es: ss 5 = 5 (aa 1 + aa 5 ) = 5 ( ) = 5 (150) = 3750 = 1875 Respuesta: Un auditorio tiene 50 filas de asientos con 30 lugares en la primera fila, 3 en la segunda, 34 en la tercera y así sucesivamente. a. Encuentre el número de asientos que hay en la fila 50. b. Encuentre el número total de asientos que hay en el auditorio.

4 Este problema pertenece a una progresión aritmética, ya que las sillas aumentan de en, por tanto la diferencia (d) es. aa nn = aa 1 + (nn 1)dd = 30 + (nn 1) Para encontrar el número de asientos en la fila 50 debemos calcular aa 50 = 30 + (50 1) = = 18 Respuesta a): hay 18 asientos en la fila 50. Respuesta b): El número total de asientos es 1450 SS 50 = 50 ( ) = 5(30 + 8) = Una deuda puede ser pagada en 30 semanas pagando $180 la primera semana, $175 pesos la segunda semana, $170 la tercera semana y así sucesivamente. a. Qué cantidad de dinero se pagará la última semana? b. Qué cantidad de dinero se pagará en total? Este problema pertenece a una progresión aritmética, ya que la deuda es pagada en semanalmente que disminuyen de 5 en 5, por tanto la diferencia (d) es -5. aa nn = aa 1 + (nn 1)dd = (nn 1) ( 5) Para encontrar el valor pagado en la última semana debemos calcular aa 30 = (30 1) ( 5) = ( 5) = 35 Respuesta a): debe pagar 35 en la última semana. Respuesta b): la deuda total fue de 35 SS 30 = 30 ( ) = 15( ) = Cuántos términos de la progresión 5, 7, 9, hay que sumar para obtener 57 Debemos encontrar un nn tal que SS nn = 57, para esta progresión aritmética dd = y aa 1 = 5. De la fórmula SS nn = nn [aa 1 + (nn 1)dd]

5 Se tiene, 57 = nn [(5) + (nn 1)] 57 = nn [8 + nn ] 1144 = nn [8 + nn] 1144 = 8nn + nn 0 = nn + 8nn = (nn + 4nn + 57) 0 = (nn + 6)(nn ) Las soluciones son nn = 6 y nn =, Como el número de términos no puede ser negativo, la única solución es nn =. Respuesta: Se necesitan nn = términos para que la suma sea 57.

6 Clase 8: Progresiones geométricas Temas Definición de progresión geométrica o Cálculo de un término de una progresión geométrica o Cálculo de la suma de los términos de una progresión geométrica Problemas de aplicación de progresiones Objetivos Caracterizar sucesiones de números reales. Ejercicios a desarrollar con los alumnos 1. Dada una progresión geométrica donde rr = 4 y aa 1 =, halle el sexto término. El término n-ésimo de una progresión geométrica viene dado por: aa nn = aa 1 rr nn 1 Para aa 1 = y rr = 4, El sexto término es aa 6 y está dado por aa 6 = (4) 6 1 = (4 5 ) = 048 Respuesta: el sexto término es aa 6 = Encuentre la suma de los primeros 0 términos de una progresión geométrica, si el primer término es 1 y la razón es. La suma de todos los términos entre aa 1 y aa nn esta dada por: SS nn = aa 1[1 rr nn ] 1 rr rr 1

7 Reemplazando obtenemos Respuesta: 0 1 SS 0 = aa 1[1 rr 0 ] 1 rr = (1)[1 ()0 ] 1 = [1 0 ] 1 = Encuentre el séptimo término de la progresión geométrica 1, 1, 1 4, La razón de esta progresión geométrica es rr = aa nn aa nn 1, así rr = aa aa 1 = 1 1 = 1 rr = aa 3 aa = = 4 = 1 EL séptimo término es: aa 7 = = 1 6 = 1 6 = 1 64 Respuesta: Una mujer muy paciente quiere ser millonaria. Se apega a un esquema sencillo: ahorra un peso el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero y así sucesivamente. Cuánto dinero tendrá en un mes? La sucesión de lo que ahorra diariamente es 1,, 4, 8, 16,, esta es una progresión geométrica con rr = y aa 1 = 1. Si ahorra por un mes (con 1 mes=30 días) debemos hallar SS 30 SS 30 = (1)[1 30 ] 1 = 30 1 =

8 Respuesta: En un mes ya tendría ahorrado pesos. 5. Si en una progresión geométrica el noveno término es 64 y el cuarto es, halle los cuatro primeros términos. aa 9 = 64; aa 4 = Usando la fórmula para el término n-ésimo aa nn = aa 1 rr nn 1, Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones aa 9 = aa 1 rr 9 1 (1) aa 4 = aa 1 rr 4 1 () 64 = aa 1 rr 8 (1) = aa 1 rr 3 () Despejando aa 1 de la ecuación () obtenemos aa 1 = rr 3 (3) Reemplazando (3) en (1) 64 = rr 3 rr8 64 = rr 5 rr 5 = 3 5 rr = 3 rr =. Y usando la ecuación (3) aa 1 = 3 = 8 = 1 4 Respuesta: Los primeros cuatro términos son 1 4, 1, 1,

9