Se tiene que la fórmula es media moda = 3(media - mediana)

Transcripción

1 Se tiene que la fórmula es media moda = 3(media - mediana) 91

2 Despejando la moda se tiene que es igual a la media menos el producto de 3 por la diferencia de la media menos la mediana 92

3 Por lo tanto, sustituyendo en la fórmula se tiene que la media es igual a , que es el resultado del ejemplo 5 de la media 93

4 Mediana es igual a , que es el resultado del ejemplo 3 de la mediana. 94

5 Como resultado se obtiene $

6 Inciso B). Comparar el resultado obtenido con el resultado del ejemplo 2 de la moda 96

7 El resultado del ejemplo 2 es $

8 El de la relación empírica entre media, mediana y moda es $

9 La diferencia entre ambos resultados es despreciable, por lo tanto se llegó al mismo resultado con ambas fórmulas. 99

10 Determinar el percentil 85 de los datos del salario inicial. Aplicando el método para calcular el p-ésimo percentil, se realiza lo siguiente: 100

11 Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos 101

12 102

13 Paso 2. Calcular el índice i 103

14 Aplicando la fórmula, se tiene: el percentil de interés igual a

15 la cantidad de observaciones igual a

16 Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a

17 Paso 3. Como i no es entero, se redondea. Esto es, como i es igual a 10.2, redondeado queda como

18 El lugar del percentil 85 es el del lugar

19 El valor en la posición 11 es

20 Ejemplo 2. Calcular el percentil 50 de los datos de salario inicial 110

21 Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos 111

22 112

23 Paso 2. Calcular el índice i 113

24 Aplicando la fórmula, se tiene: el percentil de interés igual a

25 la cantidad de observaciones igual a

26 Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 6 116

27 Paso 3. Como i es entero, el percentil 50 es el promedio de los valores de los datos que están en la posición 6 y

28 El promedio de los valores en tales posiciones son la suma de 2890 y 2920 entre 2 =

29 El percentil 50 es también la mediana. 119

30 Ejemplo 3. Determinar el primer cuartil Q1 y el tercer cuartil Q3 de los datos de salario inicial 120

31 Para Q 1 Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos 121

32 122

33 Paso 2. Calcular el índice i 123

34 Aplicando la fórmula, se tiene: el percentil de interés igual a 25 la cantidad de observaciones igual a

35 Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 3 125

36 Paso 3. Como i es entero, el primer cuartil o percentil 25 es el promedio del tercer y cuarto valor de los datos 126

37 Esto es, la suma de 2850 y 2880 entre 2 =

38 Para Q 3 Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos 128

39 129

40 Paso 2. Calcular el índice i 130

41 Aplicando la fórmula, se tiene: el percentil de interés igual a 75 la cantidad de observaciones igual a

42 Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 9 132

43 Paso 3. Como i es entero, el tercer cuartil o percentil 75 es el promedio del noveno y décimo valor de los datos 133

44 Esto es, la suma de 2950 y 3050 entre 2 =

45 Media Geométrica Ejemplo 1. Obtener la media geométrica del conjunto de números 135

46 Aplicando la fórmula de la media geométrica, se tiene 136

47 x 1 igual a 3 137

48 x 2 igual a 5 138

49 Y así sucesivamente hasta x7 igual a

50 Al producto del conjunto de números se le saca raíz séptima, ya que n es igual a 7 números 140

51 Dando como resultado, media geométrica =

52 Este mismo ejemplo se puede resolver utilizando logaritmos, en donde tenemos logaritmo de G es igual a 1 entre n por el logaritmo del producto de todos los números. 142

53 Aplicando la fórmula, tenemos que el producto de todos los números es

54 La media geométrica es igual a

55 Halla la media geométrica para los números x1, x2 hasta xk con frecuencia f1, f2 hasta fk. 145

56 La fórmula para obtener la media geométrica es igual a la raiz n del producto de x1 por f1 por x2 por f2 hasta xk por fk 146

57 A esto se llama a veces la media geométrica ponderada. 147

58 La siguiente fórmula utiliza logaritmos para calcular la media geométrica de datos agrupados: Logaritmo de G es igual a la suma de la frecuencia por el logaritmo de x entre n. 148

59 Para calcular la media geométrica de datos agrupados se toma x 1, x 2,, x k como punto medio de cada clase 149

60 Y f 1, f 2,,f k como las correspondientes frecuencias de clase. 150

61 Ejemplo 3 Durante un año la relación entre el precio de la leche (un cuarto de galón) y el de la hogaza de pan era 3.00, al año siguiente pasó a ser

62 Inciso a) Hallar la media aritmética de esas dos relaciones Relación media leche/pan es igual a

63 Inciso b) Ídem para la relación de precios pan/leche La relación pan/leche del primer año es

64 Y para el segundo

65 Por lo tanto, la relación media pan/leche es igual a

66 Inciso c) Ídem para la media geométrica 156

67 La media geométrica de las relaciones leche/pan es igual a La raíz cuadrada de 6 157

68 La media geométrica de las relaciones pan/leche es igual a Uno entre la raíz cuadrada de 6 158

69 Ya que de 1000 a 4000 es un 300% de crecimiento, se podría sospechar que el crecimiento medio diario es 300%/3 = 100%. Sin embargo, eso implicaría que el primer día subiría ya de 1000 a 2000, el segundo a 4000 y el tercero a 8000, contra lo dicho. 159

70 Denotemos el crecimiento medio diario por r. Entonces Población de bacterias para el primer día 160

71 Población de bacterias para el segundo día 161

72 Población de bacterias para el tercer día 162

73 Esta última expresión debe dar

74 Por lo tanto 1000 por el cubo de 1 más r igual a

75 Despejando r, se tiene: el cubo de 1 más r igual a 4 165

76 1 más r igual a raíz octava de 4 166

77 r igual a raíz octava de 4 menos 1 167

78 Por lo tanto, r igual a 0.587, lo que equivale al 58.7% 168

79 En general, si se arranca con una cantidad P y crece a razón constante r por unidad de tiempo, se tendrá, tras n unidades de tiempo, la cantidad A que es igual al producto de P por la suma de 1 más r elevado a la n. Esta es la fórmula del interés compuesto. 169

80 Media Armónica. Ejemplo 1. Hallar la media armónica del conjunto de números 170

81 Aplicando la fórmula de la Media Armónica, se tiene que 171

82 Las x son los valores de los números 172

83 n igual a 7 173

84 Por lo tanto, H igual a

85 Ejemplo 2. Durante cuatro años sucesivos, una familia compró el fuel para su calefacción a $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por galón (gal), respectivamente. Hallar el coste medio del fuel en ese periodo. 175

86 Aplicando la fórmula de la Media Armónica, se tiene que 176

87 n igual a 4 precios 177

88 Los valores de las x son 0.80, 0.90, 1.05,

89 Por lo tanto la media armónica igual a

90 Ejemplo 3. Hallar la velocidad media del viaje completo que realiza una persona que va de A a B con una velocidad media de 30 millas por hora y regresa de B a A con una velocidad media de 60 millas por hora. 180

91 Aplicando la fórmula de la media armónica se tiene que: 181

92 n igual a 2 velocidades 182

93 Los valores de las x son 30 y

94 Por lo tanto la media armónica igual a 40 millas por hora 184

95 185