Medidas de Posición Preparado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2007 Derechos de Autor Reservados Revisado 2010

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1 Medidas de Posición Preparado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2007 Derechos de Autor Reservados Revisado 2010

2 Objetivos de Lección 1. Conocer las medidas de posición o localización más comunes y cómo se calculan las mismas para datos crudos y para datos agrupados. 2. Conocer y aplicar el proceso para hallar cuartiles y percentiles en un grupo de datos. 3. Conocer el significado y proceso para hallar el rango percentil de una puntuación dada. 4. Utilizar la Ojiva para hallar percentiles y rango percentil en una distribución de datos.

3 Medidas de Posición

4 Medidas de Posición Son medidas que establecen la posición o localización exacta de un valor específico de un grupo de datos. Se utilizan para comparar la posición que ocupa un valor específico en relación a los demás valores del grupo de datos. Algunos ejemplos de las medidas de posición son: cuartiles, deciles y percentiles. Enfatizaremos solo los cuartiles y percentiles.

5 Cuartiles Los cuartiles dividen el grupo de datos en 4 partes iguales. Estos son: Q 1, Q 2, y Q 3 El primer cuartil (Q 1 ) es el punto tal que hasta él, se concentran una cuarta parte (1/4) de los datos y tres (3/4) cuartas partes de los datos se hallan por encima de él. 2% 2% 2% 2% L Q 1 Q 2 Q 3 H Recuerda que: ¼ = 0.2 = 2% L es valor menor H es valor mayor

6 Cuartiles El segundo cuartil (Q 2 ) es el punto tal que hasta él, se concentran dos cuartas partes (2/4) de los datos y dos cuartas partes (2/4) de los datos se hallan por encima de él. Observa que el segundo cuartil (Q 2 ) divide el grupo en dos partes iguales o sea, en la mitad. Por eso, Q 2 equivale a la mediana. 2% 2% 2% 2% L Q 1 Q 2 Q 3 H L es valor menor H es valor mayor Recuerda que: 2/4 = 1/2 = 0.0 = 0%

7 Cuartiles El tercer cuartil (Q 3 ) es el punto tal que hasta él, se concentran tres cuartas partes (3/4) de los datos y una cuarta parte (1/4) de los datos se halla por encima de él. 2% 2% 2% 2% L Q 1 Q 2 Q 3 H Recuerda que: 3/4 = 0.7 = 7%

8 Percentiles Los percentiles dividen el grupo de datos en 100 partes iguales. Estos son: P 1, P 2,..., P 100 El primer percentil (P 1 ) es el punto tal que hasta él, se concentra el 1% de los datos. El percentil 2 (P 2 ) es el punto tal que hasta él, se concentra el 2% de los datos. El percentil 0 (P 0 ) es el punto tal que hasta él, se concentra el 0% de los datos. Observa que P 2 = Q 1 1% 1% 1%... 1% 1% y P 0 = Q 2 = Mediana L P 1 P 2 P 3... P 98 P 99 H A qué percentil equivale el tercer cuartil?

9 Ejercicios de Cuartiles para Datos sin Agrupar

10 Cómo calcular un cuartil? Paso 1: Ordenar datos de menor a mayor Paso 2: Hallar la posición deseada usando la siguiente fórmula: Q 1 = (n+1) 4 Q 3 = 3(n+1) 4 Por qué no tenemos una fórmula para Q 4? Q 4 es el valor mayor. Por qué no tenemos una fórmula para Q 2? Q 2 es la mediana. La fórmula para hallar la posición de la mediana es: Q 2 = (n+1) 2

11 Continuación... Paso 3: Hallar el valor que representa el cuartil en la lista de datos Si el resultado de la fórmula es un número entero, se localiza la posición que representa este dato. Si es fraccionario y la fracción es igual a 0., se localizan los dos valores centrales que corresponden a la fracción y luego se halla el punto medio de estos dos valores. Si es fraccionario y la fracción no es 0., se redondea hacia arriba o hacia abajo, al entero más cercano, y se localiza la posición que representa este dato.

12 Ejemplo 1: Calcula Q 1 e interpreta el resultado. Las puntuaciones representan resultados del examen de estadística en un grupo de 0 estudiantes. Observa que ya están ordenados de menor a mayor y que n = 0. Datos ordenados: n = 0 39, 44, 47, 0,, 8, 8, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68, 70, 70, 70, 72, 72, 72, 72, 74, 74, 7, 76, 77, 77, 77, 78, 78, 80, 82, 82, 83, 8, 86, 86, 88, 88, 89, 90, 90, 91, 92, 94, 9, 9, 97, 98

13 Ejemplo 1: Calcula Q 1 e interpreta el resultado. Datos ordenados: n = 0 39, 44, 47, 0,, 8, 8, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68, 70, 70, 70, 72, 72, 72, 72, 74, 74, 7, 76, 77, 77, 77, 78, 78, 80, 82, 82, 83, 8, 86, 86, 88, 88, 89, 90, 90, 91, 92, 94, 9, 9, 97, 98 Q 1 = 0+1 = Como 12.7 es fraccionario y la fracción es distinta a 0., redondeamos al entero más cercano y obtenemos 13. Localizamos la posición 13. La posición 13 la ocupa el 67. Así que Q 1 es 67. Qué significa el valor obtenido en Q 1?

14 Ejemplo 2: Calcula Q 3 e interpreta el resultado. Datos ordenados: n = 17 10, 20, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 32, 32, 32, 33, 3, 37, 38 Q 3 = 3(17+1) = Como 13. es fraccionario y la fracción es igual a 0., se localizan los dos valores centrales que corresponden a la fracción 13., o sea, los valores que están en la posición 13 y 14, y se halla el punto medio de estos dos valores. La posición 13 la ocupa el 32 y la posición 14 la ocupa el 33. El punto medio es 32.. Así que Q 3 es 32.. (No se redondea) Qué significa el valor obtenido en Q 3?

15 Percentiles para datos agrupados en clases

16 Fórmula ( x% n) fa Px Finf i f F inf Frontera inferior de clase P ( x% n) x% del total n i fa f = frecuencia acumulada de clase anterior a P frecuencia de clase P intervalo x x Recuerda que para calcular el x% de n hay que convertir x% a decimal x

17 Pasos para calcular percentiles 1. El primer paso para calcular los percentiles es determinar las frecuencias acumuladas. 2. El segundo paso para calcular los percentiles es determinar la posición donde están localizados los percentiles. Para determinar la posición de los percentiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el percentil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano.

18 Pasos para calcular percentiles 3. El tercer paso es determinar la clase que corresponde al percentil deseado. Se localiza en la tabla de distribución de frecuencias donde se acumula la cantidad determinada por la posición obtenida en el paso anterior. 4. Ahora se tiene toda la información necesaria para aplicar la fórmula. Se aplica la fórmula con los datos de la tabla.. El último paso es contestar cuál es el percentil deseado de acuerdo al resultado obtenido en la fórmula.

19 Ejemplo 1 Calcular P 88. Qué se necesita para aplicar la fórmula? Añadir columna de frecuencias acumuladas. Puntuaciones en Prueba de Aptitud Sicológica para 200 estudiantes x Total 200 f

20 Ejemplo 1 Calcular P 88. P P 88 = % de 200 = 0.88 x 200 = 176 Puntuaciones en Prueba de Aptitud Sicológica para 200 estudiantes x f fa Total 200

21 Reflexión Por qué no hay una fórmula para cuartiles agrupados en clases? Observa que todo cuartil se puede convertir a percentil. Q 1 = P 2 Q 2 = P 0 Q 3 = P 7 Por tanto, solo se necesita una fórmula, la de percentiles

22 Ejercicios de cuartiles y percentiles

23 Ejercicio 1: Hallar Q 1, Q 3, y P 1 e interpretar los resultados. Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia x Total 80 f Recuerda que para poder calcular los cuartiles y percentiles necesitamos añadir la columna de frecuencia acumulada.

24 Ejercicio 1: Hallar Q 1, Q 3, y P 1 e interpretar los resultados. Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia x f Q 1 P Total

25 Ejercicio 1: Hallar Q 1, Q 3, y P 1 e interpretar los resultados. Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia x f 60 7 Q 3 P Total

26 Ejercicio 1: Hallar Q 1, Q 3, y P 1 e interpretar los resultados. Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia x f 60 7 P Total

27 Rango Percentil

28 Rango Percentil El rango percentil de una puntuación es el porcentaje de las puntuaciones menores o iguales que esa puntuación, o sea, el por ciento de las puntuaciones que se concentra hasta ese valor dado. Por ejemplo: El rango percentil de 63 es el por ciento de las puntuaciones en una distribución que caen bajo la puntuación de 63, incluyendo a 63. Diferencia entre rango percentil y percentil: El rango percentil de una puntuación es un punto en la escala percentil mientras que una percentila es una puntuación en la misma unidad que la escala de medición original.

29 Rango Percentil La fórmula para determinar el rango percentil de una puntuación x es: RP x fa x F i n inf f 100 x es la puntuación de donde se desea hallar el rango percentil fa es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene la puntuación x F inf es la frontera imferior de la clase que contiene a x i es el intervalo de las clases f es la frecuencia absoluta de la clase que contiene a x n es el total de puntuaciones en la muestra

30 Rango Percentil Ejemplo: Halla RP 61 de la distribución de frecuencias que está en la Tabla 3.2, pág. 47 del libro de Hinkle e interpreta el resultado. RP % de los datos de la distribución se concentran hasta la puntuación 61 (están en y bajo 61)

31 Ojiva Se puede utilizar una ojiva para hallar la percentila y el rango percentil de una puntuación. Mostrar ejemplo en Figura 3.1, pág. 49 del libro de Hinkle.

32 Reflexión El grupo de referencia es importante cuando se vayan a interpretar resultados de percentilas. La interpretación depende exclusivamente de la posición en un grupo dado. Las percentilas representan puntos nouniformes. Diferencias iguales en percentilas no significa diferencias iguales en los datos crudos. Las percentilas representan escala ordinal. Esto plantea una limitación en el uso de los percentiles. No están sujeto a manejo algebraico. No se pueden sumar, combinar o promediar.

33 Fin de la Lección

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