Asimetría Coeficiente de Asimetría de Fisher

Transcripción

1 Asimetría Si los valores de la serie de datos presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética) se dice que es simétrica de lo contrario será asimétrica. Para medir el nivel de asimetría se utiliza el llamado Coeficiente de Asimetría de Fisher, que viene definido: g 1 (1/ n)( i n 1 3 s ( x i x) 3

2 Asimetría Los resultados pueden ser los siguientes: g 1 = 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media) g 1 > 0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda) g 1 < 0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha)

3 3-26 Distribución simétrica sesgo cero moda = mediana = media

4 3-27 Distribución con asimetría positiva sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda. moda < mediana < media

5 3-28 Distribución con asimetría negativa sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda. media < mediana < moda

6 3-29 Nota Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar. moda = media - 3(media - mediana) media = [3(mediana) - moda]/2 mediana = [2(media) + moda]/3

7 Curtosis El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores alrededor de la zona central de la distribución. Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

8 Curtosis Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

9 Curtosis El Coeficiente de Curtosis viene definido por la siguiente fórmula: g 2 (1/ n)( i n 1 4 s ( x i x) 4 3

10 Curtosis Los resultados pueden ser los siguientes: g 2 = 0 (distribución mesocúrtica). g 2 > 0 (distribución leptocúrtica). g 2 < 0 (distribución platicúrtica).

11 Curtosis

12 Distribuciones de probabilidad Continuas Uniforme Exponencial Gamma Normal Ji-cuadrada t de Student F Weibull Discretas Bernoulli Binomial Poisson Geométrica Binomial negativa

13 Distribución normal

14 Distribución Ji-cuadrada

15 1.0 Distribución exponencial

16 Ejemplo: departamentos en renta Abajo encontrara una muestra de los valores de renta mensuales para un departamento de una recamara. Los datos son una muestra de 70 apartamentos en una ciudad de los Estados Unidos. Los datos se presentan en orden ascendente

17 Ejemplo: departamentos en renta Promedio x n x i 34,

18 Percentiles Un percentil provee información de cómo los datos están dispersos sobre un intervalo desde el valor mas pequeño hasta el valor mas grande. Los exámenes de admisión para las universidades (en USA) es frecuente que se reporten en términos de percentiles.

19 Percentiles El p-èsimo percentil de un conjunto de datos es un valor tal que al menos p por ciento de los elementos toma este valor o menor y al menos (100 - p) por ciento de los elementos toman este valor o mas. 1. Acomode los datos en orden ascendente. 2. Calcule el índice i, la posición de el percentil p-esimo. i = (p/100)n 3. Si i no es entero, redondee hacia arriba. El percentil p-esimo es el valor en la posición i. 4. Si i es un entero, el percentil p-esimo es el valor en la posición+1

20 Ejemplo: departamentos en renta Percentil de 90 i = (p/100)n = (90/100)70 = 63 Se toman el valor de los dato : Percentil de 90 = ( ) =

21 Ejemplo: departamentos en renta Tercer Cuartil Tercer cuartil = Percentil de 75 i = (p/100)n = (75/100)70 = 52.5 = 53 Tercer cuartil =

22 Ejemplo: departamentos en renta Mediana Mediana = percentil 50 i = (p/100)n = (50/100)70 = 35.5 Mediana =

23 Ejemplo: departamentos en renta Moda 450 ocurre más frecuentemente (7 veces) Moda =

24 Ejemplo: departamentos en renta Rango Rango = valor mayor valor menor Rango = =

25 Rango Intercuartil El rango intercuartil de un conjunto de datos es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil. Es el rango donde se encuentra el 50% central de los datos. Elimina la sensibilidad de los valores de datos extremos.

26 Ejemplo: departamentos en renta Rango intercuartil 3er. Cuartil (Q3) = er. Cuartil (Q1) = Rango intercuartil = Q3 - Q1 =

27 Coeficiente de Variación El coeficiente de variación indica que tan grande es la desviación estándar rn relación al promedio. Si un conjunto de datos es una muestra, el coeficiente de variación se calcula como sigue: s x ( 100) Si un conjunto de datos es una población, el coeficiente de variación se calcula como sigue: ( 100)

28 Ejemplo: departamentos en renta Varianza s Desviación estándar 2 ( x i x ) 2 n 1 2, s s Coeficiente de Variación s x

29 Medidas de localización relativa y detección de valores atípicos Valores z Teorema de Chebyshev La Regla Empírica Detección de Valores Atípicos

30 Valores z El valor z es frecuentemente llamado el valor estandarizado Denota el numero de desviaciones estándar que el valor de un dato x i está de la media. z i x Un dato con valor menor que la media de la muestra tendrá un valor de z menor que cero. Un dato con valor mayor que el promedio de la muestra tendrá un valor de z mayor que cero Un dato con valor igual que el promedio de la muestra tendrá un valor de z igual a cero i s x

31 Ejemplo: departamentos en renta Valor z del menor valor (425) z xi x s Valores estandarizados para departamentos en renta

32 Teorema de Chebyshev Al menos (1-1/k 2 ) de los elementos en un conjunto de datos estará dentro de las k desviaciones estándar del promedio donde k es cualquier valor mayor que 1. Al menos 75% de los elementos deben estar entre k = 2 desviaciones estándar de la media. Al menos 89% de los elementos deben estar entre k = 3 desviaciones estándar de la media. Al menos 94% de los elementos deben estar entre k = 4 desviaciones estándar de la media.

33 Ejemplo: departamentos en renta Teorema de Chebyshev Sea k = 1.5 con = y s = al menos (1-1/(1.5) 2 ) = = 0.56 o 56% de los costos de renta deben estar entre x x - k(s) = (54.74) = 409 y x + k(s) = (54.74) = 573

34 Ejemplo: departamentos en renta Teorema de Chebyshev (continúa) realmente, 86% de los costos de renta están entre 409 y

35 La Regla Empírica Para los datos que tienen una distribución tipo campana: Aproximadamente 68% de los valores de los datos estarán entre una desviación estándar de la media

36 La Regla Empírica Para los datos que tienen una distribución tipo campana: Aproximadamente 95% de los valores de los datos estarán entre dos desviaciones estándar de la media

37 La Regla Empírica Para los datos que tienen una distribución tipo campana: Casi todos (99.7%) los elementos estarán entre tres desviaciones estándar de la media

38 Ejemplo: departamentos en renta Regla empírica Intervalo % Intervalo Entre +/- 1s a /70 = 69% Entre +/- 2s a /70 = 97% Entre +/- 3s a /70 = 100%

39 Detección de Valores Atípicos Un valor atípico es un valor inusualmente muy pequeño o muy grande para el conjunto de datos. Un dato con valor de z menor que -3 o mas grande que +3 puede ser considerado como un valor atípico. Puede ser un valor de dato registrado incorrectamente. Puede ser un valor de dato que fue incorrectamente incluido en el conjunto de datos. Puede ser un valor de dato correctamente registrado y que pertenece al conjunto de datos.

40 Ejemplo: departamentos en renta Detectando valores atípicos Los valores extremos más atípicos son y Usando z > 3 como el criterio para un dato atípico, no hay valores atípicos en este conjunto de datos Valores estandarizados para departamentos en renta

41 Covarianza La covarianza es una medida de la asociación lineal entre dos variables. Valores positivos indican una relación positiva. Valores negativos indican una relación negativa

42 Covarianza Si el conjunto de datos es una muestra, la covarianza se denota por s xy. s xy ( xi x )( yi y) n 1 Si el conjunto de datos es una población, la covarianza se denota por xy. xy ( x )( y ) i x i y N

43 Coeficiente de correlación El coeficiente puede tomar valores entre -1 y +1. Valores cercanos a -1 indican un relación lineal negativa fuerte. Valores cercanos a +1 indican un relación lineal positiva fuerte. Si el conjunto de datos es una muestra, el coeficiente es r xy. r xy Si el conjunto de datos es una población, el coeficiente es. xy s xy s s x y x xy y

44 Datos no agrupados Son datos no agrupados cuando se consideran y analizan todos los valores observados tal como se obtuvieron. Es conveniente y mas sencillo trabajar a estos datos como no agrupados cuando la muestra no es muy grande. De preferencia que sea una cantidad menor de 30 datos. También resulta conveniente trabajarlos así cuando se quiere que el peso de cada observación se vea reflejado en el resumen de los datos.

45 Ventajas y desventajas VENTAJAS Resulta más fácil y rápido trabajar con los datos no agrupados. DESVENTAJAS Solo se puede aplicar en pequeñas cantidades de datos, ya que en grandes cantidades resultaría un tanto tedioso y por lo mismo existiría más probabilidad de equivocarse.

46 Datos agrupados Son datos que están organizados (formando grupos). Podemos formar más o menos grupos, dependiendo de que tan exacto queramos trabajar, a cada grupo le llamamos clase. Rara vez se emplean menos de seis clases o más de quince.

47 Ventajas Facilidad y rapidez en el manejo de datos. Se notan rápidamente el valor mayor y el valor menor de los datos Se puede dividir fácilmente los datos en secciones. Se puede observar si algún valor aparece más de una vez en el ordenamiento. Se observa la distancia entre los valores sucesivos de los datos.

48 Media ponderada y manejo de datos agrupados Media ponderada Media para datos agrupados Varianza para datos agrupados Desviación estándar para datos agrupados

49 Media ponderada Cuando la media es calculada dándole a cada valor de dato un peso que refleja su importancia, es referido como una media ponderada. En el calculo de promedio de calificaciones (tipo USA), el peso es el número de créditos obtenidos para cada grado. Cuando los valores de los datos varían en importancia, el analista debe escoger el peso que refleje la importancia de cada valor.

50 Media ponderada x = w i x i w i donde: x i = valor de observación i w i = peso de observaciòn i

51 Datos agrupados El calculo de la media pondera puede ser usado para obtener aproximaciones al promedio, varianza, y desviación estándar de datos agrupados. Para calcular la media ponderada, tratamos el punto medio de cada clase como si fuera la media de todos los elementos en la clase. Calculamos una media ponderada de los puntos medios utilizando las frecuencias de la clase como pesos. Similarmente, al calcular la varianza y desviación estándar las frecuencias de las clases son utilizadas como pesos.

52 Media para datos agrupados Muestra x f i M f i i Población f i N M i donde: f i = Frecuencia de la clase i M i = punto medio de la clase i

53 Ejemplo: departamentos en renta Abajo está la muestra de las rentas mensuales para departamentos de una recamara presentados aquí como datos agrupados en la forma de distribución de frecuencias Renta ($) Frecuencia

54 Ejemplo: departamentos en renta Media para datos agrupados Renta ($) f i M i f i M i Total x 34, Esta aproximación difiere en $2.41 de la media real de la muestra de $

55 Varianza para datos agrupados Muestra s 2 fi ( Mi x ) n 1 2 Población 2 f i ( Mi ) N 2

56 Ejemplo: departamentos en renta Varianza para datos agrupados s 2 3, Desviación Estándar para datos agrupados s 3, Esta aproximación difiere en solo $.20 de la desviación estándar de $54.74.

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