En consecuencia una progresión aritmética, nos quedaría de la siguiente manera:

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1 1.4. Progresiones Progresiones Aritméticas Introducción Es una sucesión de números llamados términos por ejemplo: 1) 2, 4, 6, 8,10, 2) 27, 24, 21,18, En estos dos ejemplos podemos observar que ha partir del primer número, podemos obtener los términos sucesivos mediante la suma de una cantidad constante llamada razón, así tenemos que en el primer caso el número a sumarse es dos, mientras que en el segundo caso es menos tres. Llamemos: a= Primer Término r= Razón l= Último Término n= Número de Términos Escribamos una progresión aritmética. De forma general: 1) a 2) a+r 3) (a+r) +r 4) (a+2r) +r= a+3r En consecuencia una progresión aritmética, nos quedaría de la siguiente manera: a, a+r, a+ ar, a + 3r, En consecuencia el último término sería l= a+ (n-1) r

2 Ejemplo: Calcular el último término de la siguiente progresión geométrica formada por diez términos: 3, 6, 9,... DATOS a= 3 r=3 n=10 l=? DESARROLLO l= a+(n-1) r l=3+ (10-1)3 l=3+9 3 l=3+27 l= Fórmula de la suma de una progresión aritmética de n términos Formemos una progresión aritmética que contenga n términos A, a+r, a+2r.., a+(n-3) r, a+(n-2) r, a+ (n-1) r Esta expresión también la podemos poner de la siguiente manera A, a+r, a+2r,.., l-2r, l-r, l Representemos por S a la suma de los términos de una progresión aritmética 1. S= a+ (a+r) + (a+2r) (l-2r) + (l-r) +l Vamos a esta expresión a invertir 2. S= l+ (l-r) + (l-2r) +., + (a+2r) + (a+r) +a

3 Sumemos el uno y el dos: S= a+ (a+r) + (a+2r) +..+ (l-2r) + (l-r) +l S= l+(l-r)+(l-2r)+.+(a+2r)+(a+r)+a 2S= (a+l)+(a+l)+(a+l)+.+(a+l)+(a+l)+(a+l) 2S= n (a+l) Cuando se conoce el último término Existen ocasiones en que no se conoce el último término, en tal caso procedemos de la siguiente manera: 1 2 Cuando no se conoce el último término EJERCICIOS DE APLICACIÓN Encontrar el dúo décimo término y la suma de los 12 primeros términos de la siguiente progresión aritmética: 6, 11, 16, 21, DATOS a= 6 r= 5 n= 12 l=? DESARROLLO l= a+(n-1) r l= 6+ (12-1) 5 l= 6+ (11)5 l= 6+55 l= 61

4 S= 6(67) S= S= 6(67) S= 402 DEBER Nº Hallar el quinceavo término y la suma de los primeros 15 de las siguientes progresiones: a) 2, 8, 14, 20, b) 3, 8, 13, 18, 2.- Hallar la suma de: a) Los 10 primeros términos: 160, 148, 136, 124, b) Los 12 primeros términos: 600, , ; 3.- Hallar la suma de: a) Los primeros doscientos enteros positivos b) Los primeros cien números pares 4.- Demostrar que 1

5 Aplicación de las progresiones aritméticas al crecimiento empresarial Supongamos que una empresa crece en periodos cortos en forma de progresiones aritméticas, esto significa que la progresión de la empresa crece o decrece cada año, el mismo número de unidades, este supuesto no es rigurosamente cierto, pero con frecuencia es una buena aproximación a la realidad DEBER Nº Una empresa comienza primero produciendo 100 unidades en el primer año, y la producción crece en 20 unidades cada año. Cuánto producirá la firma en el cuarto año. Cuál será la suma total de la producción en los tres primeros años 2.-Una empresa produce 200 unidades en el primer año, incrementa su producción 50 cada año. Cuánto producirá en el quinto año? Cuanto producirá la empresa en el décimo año Cuál es la suma total de su producción en los siete primeros años? 3.-Una empresa produjo en el primer año y baja su producción en 500 unidades cada año a) Cuánto producirá en el quinto año? b) Cuando producirá cero unidades? c) Cuál es la suma total producida hasta que la firma deje de funcionar? 4.-Una empresa comienza produciendo 700 unidades, en el primer año, produce 1500 unidades, en el quinto: a) En cuánto incrementa la producción cada año? b) Cuándo producirá la empresa 2100 unidades? c) Encontrar la producción total en los 10 primeros años Progresión Geométrica Es una sucesión finita de números llamados términos Ejemplo: 1) 4, -8, 16, -32, 64, -128, 2) 729, 486, 324, En este caso tenemos que cualquiera de los números posteriores se obtiene multiplicando el número anterior por una cantidad constante llamada razón; en el primer caso la razón es menos dos y en el segundo caso la razón es dos tercios.

6 Llamemos: a= Primer Término r= Razón m= Números de Términos l= Último Término Escribamos ahora una progresión geométrica en términos generales 1º T= a 2º T= a 3º T=a. r. r= a. 4º T=. r = a. 5º T=. r = a. La progresión podría quedar de la siguiente manera:,.,.,.,.,. Si tuviéramos una progresión geométrica de n términos el último término sería: Suma de n términos de una progresión geométrica Formemos una progresión geométrica que contenga n términos,,,. a, a Si representamos por S a la suma de todos los términos de una progresión geométrica tendremos: +a Multipliquemos por r a los dos miembros de la progresión anterior: 1) 2) +a +. +a

7 Restemos término a término la expresión 1 y la expresión 2 S-rs= a -a 1 r< 1 r>1 l= a rl= a. r rl= a r<1 r>1

8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Encontrar el décimo término y la suma de los 10 primeros términos de la siguiente progresión aritmética. 4, -8, 16, -32,. DATOS a= 4 n=10 r=-2 l=? DESARROLLO l= a. l= l= S=

9 DEBER Nº 4 Encontrar el noveno término y la suma de los 9 primeros términos, de las siguientes progresiones geométricas: a) 243, 81, 27, b) (1);(1.05);(. ;.. C) 6, 2,2/3,. d) 1, 5, 25,.