2. Determine cuántos términos consecutivos a partir de ), en la progresión #ß %ß ' 11 ß )ß "!ß â se deben considerar para que la suma sea %*%.
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- Juana Molina Correa
- hace 7 años
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1 1. Halle el décimo término de la progresión: %ß (ß "!ß Þ Þ Þ 2. Determine cuántos términos consecutivos a partir de ), en la progresión ß %ß ' 11 ß )ß "!ß â se deben considerar para que la suma sea %*%. 3. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es (Þ), y que el décimo octavo término más el doble del décimo término es!þ)', determine: a) El trigésimo término. b) Si "'Þ*& es un término de la progresión aritmética. c) Cuántos términos se deben sumar para obtener ('*Þ")? 4. En una progresión aritmética el sexto término es?( y la suma de sus ocho primeros términos es? )Þ Determine: a) El término general de la progresión aritmética. b) D tal que W œ? (). c) La ubicación del término de valor? *. 5. Una persona comienza un trabajo en el cual el monto de su pago mensual está en progresión aritmética Þ Sabiendo que el décimo mes recibió 'Þ%% y el décimo quinto mes recibió &%Þ determine: a) El monto del pago correspondiente al décimo sexto mes. b) En qué número de mes recibe un pago de )'("? c) Cuántos años trabajó, si en total recibió "Þ')Þ!!*? 6. Una persona se compromete en pagar una deuda en! cuotas, las cuales están en progresión aritmética. Si la primera cuota es de Þ&!! y la tercera de %Þ&!. Determine: a) El valor de la décima cuota. b) El monto de la deuda. c) Qué cuota tiene un valor de ""Þ&(&? d) Cuántas cuotas le faltan por pagar si en la actualidad debe ")Þ)(&?
2 7. El segundo término de una progresión geométrica es y el quinto término es )". Determine el noveno término.. En una progresión geométrica, el tercer término es %) y la suma del primer y del segundo términos es?*. Determine los tres primeros términos de dicha P.G. 9. Una persona decide donar una cierta cantidad de dinero mensualmente a una fundación benéfica. Estos montos mensuales se encuentran en progresión geométrica. Se sabe que el séptimo mes donó (') y el décimo mes 'Þ"%%. a) Determine el monto donado en el vigésimo segundo mes. b) Determine el monto total de dinero donado, después de transcurrido un año. 10. Los términos que ocupan el séptimo y cuarto lugar en una P.G. son? &Þ"! y? ")*, respectivamente. a) Determine el término que ocupa el lugar %". b) Calcule la suma de los )! primeros términos de esta P.G. 11. De una progresión geométrica se sabe que todos sus términos son positivos, que la suma del primer y segundo términos es "!&, y además el segundo término más el tercero es igual a %!. a) Determine la suma de los cuarenta primeros términos de dicha progresión. b) Determine la suma de los cuarenta primeros términos de posición impar.
3 RESOLUCIÓN Actividad N 1 Como (?%œ"!?(œœ., entonces la progresión es una Progresión Aritmética. Además. Actividad N 2 +œ%, por lo tanto: + "! œ%>* œ" Se puede apreciar que la sucesión es un Progresión aritmética de primer término +œ y de diferencia. œ Para determinar la cantidad de términos a sumar, se considerará una nueva Progresión Aritmética de primer término ) y manteniendo la diferencia. Luego: W œ )> a?" b œ%*% )>?" œ%*% > ( œ %*% > (? %*% œ! œ "* œ? ' Luego, deben sumarse * términos para que, a partir del ), la suma sea %*%.
4 Actividad N 3 Sean + y. el primer término y la diferencia de la progresión, respectivamente. Luego: + œ (Þ) + > %. œ (Þ) & + > + œ!þ)' + > "(. > + > "). œ!þ)' ") "! + > &. œ!þ)' Del sistema de ecuaciones + > %. œ (Þ) se obtiene que + œ &Þ(ß + > &. œ!þ)'. œ (% a) + œ &Þ( > * (% œ "'Þ&()! b) Sea D tal que + œ "'Þ*&. Luego: + > a? " b. œ "'Þ*& &Þ( > (% a? " b œ "'Þ*& (% a? " b œ ""Þ!?" œ! œ " Por lo tanto, "'Þ*& es el trigésimo primer término de la progresión.
5 c) Sea la cantidad de términos a sumar, luego W œ ('*Þ") &Þ(> a?" b (% œ ('*Þ") &Þ( > ")( a? " b œ ('*Þ") ")( > &Þ&%& œ ('*Þ") ")( > &Þ&%&? ('*Þ") œ! La única solución natural de esta ecuación es œ&", luego, deben sumarse &" términos para obtener ('*Þ"). Actividad N 4 Sean + y. el primer término y la diferencia de la progresión, respectivamente. Luego: + œ?( +>&.œ?( ' W) œ?) +>(. œ?) ) )+ > ). œ?) % + > "%. œ?"* Del sistema de ecuaciones +>&.œ?( % + > "%. œ?"* se obtiene que + œ ß.œ? "
6 " a) + œ > a?" b ˆ? b) W œ? () " > a? " b ˆ? œ? () "? > œ? "Þ%&' &? > œ? "Þ%&' &? > œ? "Þ%&' Î a? b? &? Þ*" œ! *" œ œ?  D Luego œ * c) Si? está en el lugar, entonces: + œ? * " * > a?" b ˆ? œ? œ "" * Luego? está en el lugar "".
7 Actividad N 5 Sean + y. el primer término y la diferencia de la progresión, respectivamente. Luego: + œ 'Þ%% + > *. œ 'Þ%% "! + œ &%Þ + > "%. œ &%Þ "& Del sistema de ecuaciones + > *. œ 'Þ%% + > "%. œ &%Þ se obtiene que + œ %Þ%*ß. œ Þ&&' a) + œ %Þ%* > "& &&' œ &(Þ((* "' Luego, el décimo sexto mes se pago &(Þ((*Þ b) Sea el número del mes, luego + œ %Þ%* > a? " b &&' œ )Þ'(" a? " b &&' œ ()Þ?" œ œ Luego, en el mes recibió c) Sean los meses que trabajó, luego: W œ "Þ')Þ!!* %Þ%* > a? " b &&' œ "Þ')Þ!!* %Þ%* > a? " b "(() œ "Þ')Þ!!* "(() > ''" œ "Þ')Þ!!*
8 "(() > ''"? "Þ')Þ!!* œ! &!Þ''( œ ( œ? "(()  D Luego, trabajó ( meses para obtener "Þ')Þ!!*, es decir, años y meses. Actividad N 6 En la progresión aritmética, + œ Þ&!!. Sea. la diferencia de esta. Luego: + œ %Þ&! Þ&!! >. œ %Þ&!. œ %& a) + "! œþ&!!>* %&œ(&. Luego, la décima cuota es de (Þ&. b) El monto de la deuda es W œ!! &!! > * %& œ )*Þ)(& c) Sea la cuota cuyo valor es ""Þ&(&. Luego: + œ ""Þ&(& Þ&!! > a? " b %& œ ""Þ&(& a? " b %& œ )!(&?" œ "* œ! Luego, la vigésima cuota tiene un valor de ""Þ&(&.
9 d) Si la deuda total es de )*Þ)(&, y en la actualidad debe ")Þ)(&, entonces ha pagado "!(Þ!!!. Sean la cantidad de meses en los cuales pagó esta cantidad, luego: W œ "!(Þ!!! Þ&!!> a?" b %& œ "!(Þ!!! Î (Þ!!! > %&? %& œ "%Þ!!! %& > 'Þ&(& œ "%Þ!!! %&) > 'Þ&(&? "%Þ!!! œ! && œ "' œ? "(  D Luego, lleva cuotas. "' cuotas pagadas, por lo cual le faltan por pagar "% Actividad N 7 Sean + y < el primer término y la razón de la progresión, respectivamente. Luego: + œ +< œ % + & œ +< œ )" Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: % +< )" +< œ < œ ( < œ Luego + œ +œ" ) Por lo tanto: + * œ" œ'þ&'"
10 Actividad N Sean + y < el primer término y la razón de la progresión, respectivamente. Luego: + œ %) +< œ %) + >+ œ?* +>+<œ?* " Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: +< %) +<?"' +>+< œ?* + a">< b œ Simplificando + en la parte izquierda de la ecuación y multiplicando, se obtiene: < œ? "'? "'< < > "'< > "' œ! <œ?% <œ? % Si <œ?% entonces + a?% b œ%) es decir +œ. Por lo tanto, los tres primeros términos de la progresión son: ß? "ß %) % Si <œ? entonces + ˆ %? œ%) es decir +œ(. Por lo tanto, los tres primeros términos de la progresión son: (ß? 'ß %)
11 Actividad N 9 Sean + y < el primer término y la razón de la progresión, respectivamente. Luego: ' + ( œ (') +< œ (') * + "! œ 'Þ"%% +< œ 'Þ"%% Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: * +< 'Þ"%% +< ' œ (') < œ ) < œ ' Reemplazando en +< œ (') se obtiene: + œ (') ' +œ" a) El monto donado en el vigésimo segundo mes es " + œ " œ &Þ"'&Þ)% b) El monto total de dinero donado, después de transcurrido un año es: W œ œ %*Þ"%! " " a"? "? " b
12 Actividad N 10 Sean + y < el primer término y la razón de la progresión, respectivamente. Luego: ' + ( œ? &Þ"! +< œ? &Þ"! + % œ? ")* +< œ? ")* Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: ' +<?&Þ"! +<?")* œ < œ ( Reemplazando en + œ?( < œ +< œ? ")* se obtiene: + œ? ")* a) El término que ocupa el lugar %" es + œ?( b) La suma de los )! primeros términos es W œ œ )! )! )!?( a"? b ( a"? b "? %" %!
13 Actividad N 11 Sean + y < el primer término y la razón de la progresión, respectivamente. Luego: + > + œ "!& + > +< œ "!& " + > + œ %! +< > +< œ %! Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: +< > +< %! + > +< "!& +<>< a b +">< a b œ œ % Simplificando + en la parte izquierda de la ecuación y multiplicando, se obtiene: <>< œ%>%< <?<?% œ! <œ% <œ?" Como la progresión tiene sólo términos positivos, entonces en +>+<œ"!&, se obtiene: <œ%. Reemplazando + > %+ œ "!& &+ œ "!& +œ" a) La suma de los cuarenta primeros términos es: W %! œ " a"? % "?% %! b b) Los términos de posición impar de la progresión, forman una nueva progresión geométrica, donde su primer término es +œ" (el primer término de la antigua progresión), y razón % œ "'. Luego, la suma es: W %! œ " a"? 16 "? 16 %! b
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