E J E R C I C I O S R E S U E L T O S D E S U C E S I O N E S

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Rosa Morales del Río
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1 E J E R C I C I O S R E S U E L T O S D E S U C E S I O N E S EJERCICIO : Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones: a), 8 7, 5, 5,... b) 7, 7, 5 7, 7,... c),5, 0, 7 5,... a), 8 7, 5, 5,... Si consideramos numerador y denominador por separado, vemos que ambas son progresiones aritméticas. Si calculamos el término general de cada una de ellas tendremos también el término general de la sucesión original. Sea {b n } {, 8, 5,,...} la sucesión de los numeradores. Usando la fórmula del término general de las progresiones aritméticas tenemos que: b n b + (n-)d +(n-) (-) - n+ -n Del mismo modo, si {c n } {, 7,, 5...} es la sucesión de los denominadores: c n c + (n-)d +(n-) +n - n El término general de nuestra sucesión será a n n n b) 7, 7, 5 7, 7,... Los numerados están en progresión aritmétrica de diferencia -. Del mismo modo que en el apartado anterior, si consideramos la sucesión, -, -5, -,... y calculamos su término general: a n a + (n-)d +(n-) (-) - n+ 7 n El denominador es siempre 7. Por tanto, el término general de la sucesión original será: b n 7 n 7 c),5, 0, 7 5,... Podemos escribir la sucesión de la siguiente forma:, 5, 0, 7 5,... Los numeradores no están en progresión aritmética, pero los denominadores sí. Hemos de buscar una regularidad en los términos de la sucesión {a n }{, 5, 0, 7,...} ² + a 5 ² + a

2 0 ² + a 7 ² + a En general, a n n² + Sea la sucesión de los denominadores {b n } {-,,, 5,...}. Es una progresión aritmética de diferencia. b n b + (n-)d -+(n-) -+n - n. Por tanto, el término general de la sucesión original será: c n n ² + n EJERCICIO 6 : Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes: a) a 0, a, a a +a +0, a a +a +, a 5 a +a a 6 a +a 5 + 8, a 7 a +a Los primeros términos de la sucesión son: 0,,,, 5, 8, 6,... b) a, a, a a a, a a a, a 5 a a a 6 a a 5, a 7 a 6 a Los primeros términos de la sucesión son:,,,,,, 6,...

3 EJERCICIO 7 : Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones: a), 7,, -, -7,... b),,,,... a), 7,, -, -7,... a 7- a -a a - -7 a -a Cada término, a partir del tercero, es la diferencia entre los dos anteriores. Por tanto, podemos escribir la ley de recurrencia así: a, a 7, a n a n- -a n- para n b),,,,... b b, b b b, b b 5 b b Cada término, a partir del tercero, es el cociente entre los dos anteriores. Por tanto, podemos escribir la ley de recurrencia así: b, b, b n b n b n, n EJERCICIO 8 : Calcula la suma de todos los términos comprendidos entre el 0 y el 0, ambos inclusive, de estas sucesiones dadas por recurrencia: a) a 0, a n a n- + b) b 7, b, b n b n- + c) c 0,65 ; c n c n- d) d, d 6, d n d n- a) a 0, a n a n- + Cada término se calcula sumándole al anterior. Por tanto es una progresión aritmética de diferencia, de la que sólo nos interesan los términos entre el décimo y el vigésimo. Es decir: a 0 a + (0-) a 0 a + (0-)

4 Consideramos la sucesión 56, 60, 6, 68,..., 6,... Tenemos que sumar los primeros términos de esa sucesión: S (56+6) 5 86 La suma de todos los términos comprendidos entre el 0 y el 0 es 86. b) b 7, b, b n b n- + b b b b Es una progresión aritmética de diferencia 6. Al igual que en el apartado anterior, sólo nos interesan los términos entre el décimo y el vigésimo. Es decir: b 0 b + (0-) b 0 b + (0-) Consideramos la sucesión 6, 67, 7,...,,... y sumamos sus primeros términos: S (6+) 8 00 La suma de todos los términos comprendidos entre el 0 y el 0 es 00. c) c 0,65 ; c n c n- Cada término se calcula multiplicando el anterior por. Por tanto es una progresión geométrica de razón, de la que sólo nos interesan los términos entre el décimo y el vigésimo. Es decir: c 0 c 0-0,65 0 c 0 c 0-0, Consideramos la sucesión 0, 60, 80,..., 7680,... Tenemos que sumar los primeros términos de esa sucesión: S 0 ( ) La suma de todos los términos comprendidos entre el 0 y el 0 es d) d, d 6, d n d n- d d d d d 5 d 6 7 8

5 Cada término se calcula multiplicando el anterior por geométrica de razón vigésimo. Es decir: d 0 d ( ) ( ) Consideramos la sucesión. Por tanto es una progresión, de la que sólo nos interesan los términos entre el décimo y el , 50 56, 777 5,... Tenemos que sumar los primeros términos de esa sucesión: S 68 8 (( ) ) ,5067 La suma de todos los términos comprendidos entre el 0 y el 0 es 6,5067. EJERCICIO : En una progresión aritmética sabemos que d, a k y S k. Calcula k y a. a k a + (k-)d a + (k-) a + k- a 7 k Por otra parte, S k (a +a k ) k (7 k+) k (7 k) k 7k k 66 k Resolvemos la ecuación de º grado: - ± ± - ± k (-) ( ) ( 66) La solución no es válida, pues k tiene que ser un número natural Por tanto, la solución correcta es -6-6 Entonces k y a 7-0

6 EJERCICIO : Cuánto vale la suma de los 00 primeros múltiplos de 7? La sucesión empieza en 7, y cada término se calcula sumándole 7 al anterior. Por tanto es una progresión aritmética de diferencia 7. Tenemos que calcular el término que ocupa el lugar 00: a 00 a + (00-) La suma de los 00 primeros términos de esa sucesión es: S 00 (7+700) La suma es 550

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