TEMA 7: RENTAS CONSTANTES, ANUALES, TEMPORALES Y PERPETUAS 1.- INTRODUCCIÓN

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1 TEMA 7: RENTAS CONSTANTES, ANUALES, TEMPORALES Y PERPETUAS.- INTRODUCCIÓN..- CONCEPTO DE RENTA: Una renta es un conjunto de capitales financieros convencimientos equidistantes de tiempo. El concepto de renta exige, por tanto: La existencia de varios capitales Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada año, cada mes, cada trimestre, cada dos años, pero siempre con la misma periodicidad. Un ejemplo de renta es un plan de pensiones. En ellos, mediante un proceso de capitalización, por medio de pagos periódicos a instituciones financieras, éstas nos entregan determinadas cantidades en el momento de la jubilación, fruto de los pagos realizados y de los intereses generados por los mismos. A cada uno de los capitales se le denomina término. Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos periodo. El origen de una renta es la fecha de comienzo de la misma y la duración, el intervalo entre el principio y el final de la operación financiera. C C 2 C 3 C n n términos origen 2 3 n Periodo final Duración

2 .2.- CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS:. Según la naturaleza de los capitales que la componen: a. Constantes: aquellas en las que todos los capitales tienen la misma cuantía b. Variables: aquellas cuyos capitales son distintos unos respecto de otros. La variación puede seguir un orden preestablecido o no, destacando las rentas variables en progresión aritmética y las variables en progresión geométrica. 2. Según la duración de los periodos: a. Anuales: Los capitales vencen cada año b. Fraccionadas: los capitales vencen con periodicidad inferior al año. Ejemplo: renta mensual, trimestral, etc. c. Con periodicidad superior al año: el periodo que transcurre entre vencimiento y vencimiento es mayor que año. Ejemplo: renta bianual, trianual, etc. 3. Por el vencimiento de los términos: a. Pospagables: los términos vencen al final de cada periodo. b. Prepagables: los términos vencen al principio de cada periodo. 4. Por el comienzo y finalización de la renta: a. Inmediatas: El primer periodo de la renta comienza en el momento de constitución de la misma, y el último término se encuentra en el último periodo de la renta. b. Diferidas: el primer término comienza cierto tiempo después del momento de constitución de la renta. c. Anticipadas: el último periodo está cierto tiempo después del momento de vencimiento del último término de la renta. 5. Por la duración de la renta: a. Temporales: tienen un número finito de términos. b. Perpetuas: constan de infinitos términos. Por la naturaleza del término Por la duración de los periodos Por el vencimiento de los términos Por el comienzo y final de la renta Por la duración de la renta Constantes Variables Anuales Fraccionadas Con periodicidad superior al año Pospagables Prepagables Inmediatas Diferidas Anticipadas Temporales Perpetuas 2

3 2.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES INMEDIATAS 2..- POSPAGABLES: Estamos hablando de rentas:. ANUALES: cuyos términos vencen cada año. 2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía. 3. TEMPORALES: Tienen un número finito de términos. 4. INMEDIATA POSTAPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al finalizar el periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento Pospagable C C 2 C 3 C n 2 3 n Para calcular los valores actuales y finales de una renta de este tipo, vamos a tener en cuenta el caso de una renta cuyo término vale VALOR ACTUAL El valor actual será la suma de los valores actualizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama: 2 3 n Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente. Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula: donde: 3

4 En el numerador hemos sacado factor común a En el denominador hemos hecho la diferencia de fracciones Si observas la última expresión, en el denominador queda: que también podemos expresar de la siguiente forma:, de forma que podamos simplificar con el numerador: Valor actual de una renta temporal, constante, unitaria y pospagable Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor actual de la misma, sería: Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y pospagable de n términos de C unidades monetarias cada uno, valorados al tanto i de interés compuesto VALOR FINAL El valor final será la suma de los valores capitalizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama: 2 3 n 4

5 Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente. Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula: donde: Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor final de la misma, sería: Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y pospagable de n términos de C unidades monetarias cada uno, valorados al tanto i de interés compuesto RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL 2 n Ejercicios a 3 5

6 2.2.- PREPAGABLES:. ANUALES: cuyos términos vencen cada año. 2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía. 3. TEMPORALES: Tienen un número finito de términos. 4. INMEDIATA PREPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al comienzo del primer periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento prepagable C C 2 C 3 C n 2 n- n VALOR ACTUAL Seguiremos tomando como ejemplo una renta constante unitaria. El valor actual será la suma de los valores actualizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama: 2 n- n Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente. Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula: donde: 6

7 Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor actual de la misma, sería: Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y prepagable de n términos de C unidades monetarias cada uno, valorados al tanto i de interés compuesto. RELACIÓN ENTRE EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA POSPAGABLE Y UNA PREPAGABLE Como puedes observar, entre el valor actual de una renta unitaria constante anual pospagable y el de una prepagable: Existe la siguiente relación: De forma que bien podemos decir: 7

8 VALOR FINAL El valor final será la suma de los valores capitalizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama: 2 n- n Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente. Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula: donde: Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor final de la misma, sería: Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y prepagable de n términos de C unidades monetarias cada uno, valorados al tanto i de interés compuesto. 8

9 RELACIÓN ENTRE EL VALOR FINAL DE UNA RENTA POSPAGABLE Y UNA PREPAGABLE Como puedes observar, entre el valor final de una renta unitaria constante anual pospagable y el de una prepagable: Existe la siguiente relación: De forma que bien podemos decir: RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL: 2 n Ejercicios 4 a 7 Es decir que: 9

10 RELACIONES ENTRE LOS VALORES ACTUALES Y FINALES DE RENTAS UNITARIAS, CONSTANTES, TEMPORALES, INMEDIATAS, POSPAGABLES Y PREPAGABLES: Como se puede observar, si se conoce el valor actual de una renta unitaria, constante, temporal, inmediata y posgable: Se puede conocer el valor actual y final de cualquier otra renta: Valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y pospagable, cuyo término vale C Valor final de la renta anterior Valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y prepagable, cuyo término vale C Valor final de la renta anterior

11 3.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES DIFERIDAS Son rentas diferidas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos d anteriores al origen. A esos periodos se les denomina diferimiento y SÓLO afecta a los valores actuales 3..- POSPAGABLES: Diferimiento C C 2 C n 3 d d+ d+2 d+n Momento de valoración. Valor actual: Momento de valoración. Valor final: VALOR ACTUAL Para calcularlo sólo hemos de actualizar todos los términos al momento cero. Ese valor será el mismo de una renta inmediata pospagable pero actualizada durante los d periodos del diferimiento. Tomemos como ejemplo una renta unitaria: GRAFICAMENTE: Diferimiento 3 d d+ d+2 d+n ANALÍTICAMENTE: Esto es

12 Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen C unidades monetarias: VALOR FINAL El valor final de una renta diferida es el mismo que el de una renta inmediata pues el diferimiento no le afecta, por tanto: PREPAGABLES: VALOR ACTUAL Siguiendo con el ejemplo de una renta unitaria: Diferimiento 3 d d+ d+n- d+n Sacamos factor común a: Esto es Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen C unidades monetarias: 2

13 VALOR FINAL Al igual que en el caso de las pospagables, el diferimiento no afecta al valor final, que será el mismo que en el caso de las rentas inmediatas, es decir: RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE Y PREPAGABLE: Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes inmediatas, es decir: Ejercicios 8 a 23 Valor actual de una renta constante, temporal, pospagable y diferida, cuyo término vale C El valor final de la renta diferida coincide con el de una inmediata Valor actual de una renta constante, temporal, prepagable y diferida, cuyo término vale C El valor final de la renta diferida coincide con el de una inmediata 4.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES ANTICIPADAS Son rentas anticipadas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos h posteriores al final de la renta. A esos periodos se les denomina anticipación y SÓLO afecta a los valores finales 4..- POSPAGABLES: Periodo de anticipación C C 2 C n 2. n n+ n+2 n+h Momento de valoración. Valor actual: Momento de valoración. Valor final: 3

14 4...- VALOR ACTUAL El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el periodo de anticipación no le afecta VALOR FINAL Tal y como venimos haciendo hasta ahora, tomemos como ejemplo el caso de una renta unitaria: Periodo de anticipación 2. n n+ n+2 n+h Sacamos factor común a: Esto es Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale C u.m.: PREPAGABLES: VALOR ACTUAL El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el periodo de anticipación no le afecta. 4

15 VALOR FINAL 2 n- n Periodo de anticipación. n+ n+2 n+h Sacamos factor común a: Esto es Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale C u.m.: RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE Y PREPAGABLE: Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes inmediatas, es decir: Ejercicio 24 El valor actual de una renta constante, anticipada coincide con el de una inmediata. Valor final de una renta constante, temporal, pospagable y anticipada, cuyo término vale C El valor actual de una renta constante, anticipada coincide con el de una inmediata. Valor final de una renta constante, temporal, prepagable y anticipada, cuyo término vale C 5

16 5.- RENTAS ANUALES PERPETUAS Son rentas que tienen un número infinito de términos. En este tipo de rentas, el problema es calcular el valor final, ya que NUNCA se llega a él, es decir, no tienen valor final RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E INMEDIATAS VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES: Seguimos tomando como ejemplo el caso de una renta unitaria El valor actual será la suma de los valores actualizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama: 2 3 Como se trata de una renta perpetua, luego Por tanto: VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES: El valor actual será la suma de los valores actualizados de todos los términos de esta renta unitaria y se le llama:

17 Como se trata de una renta perpetua, luego Por tanto: RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES: Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta que una renta diferida se valora d periodos antes de su origen. Así pues si el valor actual de una renta diferida, temporal, constante, anual y pospagable era: En caso de que la renta fuera perpetua: Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen C unidades monetarias: 7

18 VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES: Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta que una renta diferida se valora d periodos antes de su origen. Así pues si el valor actual de una renta diferida, anual, constante, prepagable y temporal era: En caso de que la renta fuera perpetua: Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen C unidades monetarias: Ejercicios 25 y 26 8

19 . INTRODUCCIÓN..-Concepto de renta.2.-clasificación de las rentas. 2. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS POSPAGABLES...- Valor actual..2.- Valor final..3.- Relación entre el valor actual y final PREPAGABLES Valor actual Valor final Relación entre el valor actual y final. 3. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, DIFERIDAS POSPAGABLES Valor actual Valor final PREPAGABLES Valor actual Valor final 4. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, ANTICIPADAS POSPAGABLES Valor actual Valor final PREPAGABLES Valor actual Valor final 5. RENTAS ANUALES, PERPETUAS 5..- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E INMEDIATAS Valor actual de las pospagables Valor actual de las prepagables RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS Valor actual de las pospagables Valor actual de las prepagables. BIBLIOGRAFÍA: Edit Thomson Paraninfo Edit. McGrawHill Matematicas Financieras Teoría y 95 ejercicios de Concepción Delgado y Juan Palomero. 9