Matemáticas Financieras. Leyes de Descuento

Transcripción

1 Matemáticas Financieras Lección 4 Leyes de Descuento Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 27

2 Leyes de Descuento Recordatorio: Son aquellas en las que p < t Se estudiarán tres fundamentales: 1 Ley de Descuento comercial 2 Ley de Descuento Racional 3 Ley de Descuento compuesto M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 27

3 Descuento Comercial Expresión Matemática A 1 (t) = C [1 d (t p)] para d > 0 A 1 (t) = 1 d t para d > 0 1 u.m. en el instante t equivale a 1 d t u.m. en el instante inicial d es el tanto de descuento = disminución del valor por unidad de cuantía y de tiempo Subestimación de capitales futuros = d > 0 t mide el tiempo. La frecuencia temporal de d y t ha de ser la misma. M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 27

4 Descuento Comercial - Valor descontado y descuento Valor descontado (o efectivo) de (C, t) = capital equivalente en inicio (V 0, 0). (Si tiempo inicial=actual = Valor actual: V 0 = C (1 d t) = C C d t Descuento = disminución del capital de cuantía C al adelantar su disponibilidad en t períodos. D = C V 0 = C d t d mide la disminución unitaria anual = tiempo en años (Si inferior = fraccion de año; ejemplo k meses k 12 ); Valor descontado será: ( V 0 = C 1 d k ) 12 M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 27

5 Descuento Comercial - Ejemplo Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento comercial El valor descontado se obtiene, con C = 75000, d = 0,06 y k = 120 de la expresión ( ) ( k V 0 = C 1 d = , ) = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 1500 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C d k 1 = , = 1500 M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 27

6 Descuento Comercial - Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto de descuento es el 5 %. M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 27

7 Descuento Comercial - Tantos equivalentes Misma frecuencia del tiempo y el tanto (opcion 2) = Pasar tanto a frecuencia inferior: d m = d m d = m d m Con d el tanto anual y d m el tanto asociado a la unidad de tiempo 1 m M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 27

8 Descuento Comercial - Tantos equivalentes - Ejercicio Teórico Demostrar la igualdad d m = m d m M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 27

9 Descuento Comercial - Tantos equivalentes - Ejemplo Calcular el valor descontado de un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento mensual es del es el 0.5 %. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d t) Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y vale 0.005, t es el número de periodos (que en este caso se debe especificar en meses) y por lo tanto vale = 4. Por lo tanto: V 0 = (1 0,005 4) = M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 27

10 Descuento Comercial - Tantos equivalentes - Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto de descuento trimestral es el 1 %. Haga los cálculos tomando como medida de referencia: El día. El trimestre. El año. M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 27

11 Descuento Comercial - Relación entre los tantos d e i Los tantos d e i no tienen el mismo significado financiero y por lo tanto no son equiparables. Si se descuenta 1 u.m. a un tanto d y se capitaliza a un tipo i = d: (1 d t)(1 + d t) = 1 d 2 t 2 < 1 Para que i y d sean equivalentes se tiene que cumplir que: Despejando se obtiene que: (1 d t)(1 + i t) = 1 i = d 1 d t d = i 1 + i t M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 27

12 Descuento Comercial - Relación entre los tantos d e i - Ejemplo Suponga un capital que vence dentro de dos años y que se ha descontado a un tanto de descuento del 3 % utilizando el descuento comercial. Si, posteriormente se quiere capitalizar con la ley de capitalización simple para obtener el mismo capital, cual debe ser el tipo de interés al que debe hacerse? Utilizando la expresión para el tipo de interés anterior se obtiene que i = 0,03 1 0,03 2 = 0,03 0,94 = 0,0319 M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 27

13 El descuento racional o matemático Expresión Matemática [ ] 1 A 2 (t) = C 1 + d (t p) A 2 (t) = d t para d > 0 para d > 0 d es el tanto de descuento racional = disminución del valor por unidad de cuantía y de tiempo Descuento racional es inverso capitalización simple = misma denotación d = i y por lo tanto: A 2 (t) = i t para i > 0 M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 27

14 Descuento Racional - Valor descontado y descuento Valor descontado (o efectivo) de (C, t) = capital equivalente en inicio (V 0, 0). (Si tiempo inicial=actual = Valor actual: V 0 = C 1 + i t Descuento = disminución del capital de cuantía C al adelantar su disponibilidad en t períodos. D r = C V 0 = C i t 1 + i t Frecuencia tiempo = Frecuencia tipo Fracciones de año = V 0 = C 1+i k m Tantos equivalentes = capitalizacion simple M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 27

15 El descuento racional o matemático - Ejemplo Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento racional. El valor descontado se obtiene, con C = 75000, i = d es el tanto de descuento y vale 0.06, t = 120 de la expresión: V 0 = C 1 + i n 360 = , = ,02 = 73529,41 El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = ,41 = 1470,59 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C i n , = i n , = ,2 = 1470,59 M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 27

16 El descuento racional o matemático - Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 dias si se utiliza la ley de descuento racional y el tanto de descuento es el 5 % mensual. M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 27

17 Descuento Compuesto Expresión Matemática A 3 (t) = C(1 + i) (t p) = C(1 d) (t p) para d > 0 A 3 (t) = (1 + i) t = (1 d) t con i, d > 0 i es el parámetro constante de capitalización d el parámetro de descuento Relación entre d e i: d = i 1 + i i = d 1 d M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 27

18 Descuento Compuesto - Ejercicio Teórico Demuestre que entre las leyes compuestas se cumple: d = i 1 + i M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 27

19 Descuento Compuesto - Valor descontado y descuento Valor descontado En términos de i En términos de d V 0 = C(1 + i) t V 0 = C(1 d) t Descuento = disminución del capital de cuantía C al adelantar su disponibilidad en t períodos. D = C V 0 = C [ 1 (1 + i) t] D = C C(1 d) t = C [ 1 (1 d) t] M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 27

20 Descuento Compuesto - Ejemplo Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 2 años si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento compuesto. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d) t, con C = 75000, d = 0,06 y t = 2: V 0 = (1 0,06) 2 = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 8730 o directamente a partir de su formula: D = C [ 1 (1 d) t] = [ 1 (1 0,06) 2] = (0,1164) = 8730 M. León Matemáticas Empresariales I 20 / 27

21 Descuento Compuesto - Ejemplo (cont.) Además se puede calcular el tanto de capitalización equivalente, que toma la forma i = d 1 d = 0,06 1 0,06 = 0,06 0,94 = 0,0638 Ahora, si se calcula el descuento utilizando dicho tanto de capitalización se obtiene: D = C [ 1 (1 + i) t] = [ 1 (1 + 0,0638) 2] = ,1163 = 8730 M. León Matemáticas Empresariales I 21 / 27

22 Descuento Compuesto - Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el tanto de descuento es el 5 %. M. León Matemáticas Empresariales I 22 / 27

23 Descuento Compuesto - Tantos equivalentes Frecuencia tiempo = Frecuencia tipo = Periodos de amplitud 1 m (1 d) = (1 d m ) m Proyección aritmetica = Tanto de descuento nominal de frecuencia m (j m): j m = m d m d m = j m m M. León Matemáticas Empresariales I 23 / 27

24 Descuento Compuesto - Tantos equivalentes - Ejercicio Teórico Demuestre que en la ley de descuento compuesto se cumple (1 d) = (1 d m ) m M. León Matemáticas Empresariales I 24 / 27

25 Descuento Compuesto - Tantos equivalentes - Ejemplo Encontrar el tanto de descuento anual equivalente a uno mensual del 2 %. Dicho tanto se obtiene de la expresión con (1 d) = (1 d m ) m d = 1 (1 d m ) m = 1 (1 0,02) 12 = 1 (0,98) 12 = 0,21528 es decir un %. Es importante notar que dicho tanto de descuento es distinto al tanto de descuento nominal de frecuencia 12 que sería j12 = 12 0,02 = 0,24, es decir un 24 % M. León Matemáticas Empresariales I 25 / 27

26 Descuento Compuesto - Tantos equivalentes - Ejercicio 1 Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el tanto de descuento trimestral es el 1 %. Haga los cálculos tomando como medida de referencia: El día. El trimestre. El año. M. León Matemáticas Empresariales I 26 / 27

27 Descuento Compuesto - Tantos equivalentes - Ejercicio 2 Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de 1000 euros que vence dentro de 2 años y tres meses si se utiliza la ley de descuento compuesto en los casos siguientes: Se descuenta a un tipo de interés trimestral del 3.5 % Se descuenta a un tipo de interés nominal de frecuencia semestral del 6 % Se descuenta a un tanto de descuento mensual del 2 % Se descuenta a un tanto de descuento nominal de frecuencia diaria del 15 % M. León Matemáticas Empresariales I 27 / 27