Manual de Matemáticas Financiera

Transcripción

1 Manual de Matemáticas Financiera Matemáticas financieras, dirigido tanto a estudiantes universitarios como a profesionales del sector financiero, que estén interesados en conseguir una base de conocimiento sólida y extensa de esta materia. 1. Valor temporal del dinero 2. Capitalización simple (I) 3. Capitalización simple: Ejercicios 4. Capitalización compuesta 5. Capitalización compuesta vs capitalización simple 6. Capitalización compuesta: Ejercicios 7. Descuento comercial 8. Descuento comercial: Ejercicios 9. Descuento racional 10. Descuento racional: Ejercicios 11. Descuento compuesto 12. Repaso de los tres tipos de descuento 13. Descuento compuesto: Ejercicios 14. Rentas financieras 15. Renta temporal constante pospagable (I) 16. Renta temporal constante prepagable (II) 17. Renta temporal constante prepagable (I) 18. Renta temporal constante prepagable (II) 19. Renta perpetua constante 20. Renta diferida y anticipada (I) 21. Renta diferida y anticipada (II) 22. Rentas constantes: Ejercicios (I)

2 23. Rentas variables 24. Rentas con distintos tipos de interés 25. Ejercicios 26. TAE 27. TAE: Ejercicios 28. Descuento bancario de efectos comerciales 29. Descuento bancario y depósito en garantía 30. Descuento por "pronto-pago" 31. Letras del Tesoro 32. Cuenta de crédito 33. Compra-venta de acciones (I) 34. Compra-venta de acciones (II) 35. Préstamos 36. Préstamos con cuotas de amortización constantes (Método francés 37. Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios 38. Présamos con amortización de capital constante 39. Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio 40. Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano simple) 41. Préstamo con periodo de carencia 42. Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios 43. Préstamos con distintos tipos de interés (I) 44. Préstamos con distintos tipos de interés (II) 45. Préstamo con distintos tipos de interés Ejercicios 46. Préstamos hipotecarios 47. Préstamos con intereses anticipados 48. Préstamos con intereses anticipados (II) 49. Valoración de préstamos 50. Empréstitos: Introducción

3 51. Deuda del Estado 52. Deuda del Estado: Ejercicios 53. Empréstitos con amortizaciones parciales de capital 54. Empréstitos sin vencimiento 55. Empréstitos: amortización por sorteo (I) 56. Empréstitos: amortización por sorteo (II) 57. Emprédtitos: cupón cero (I) 58. Empréstitos: cupón cero (II) 59. Obligaciones convertibles 60. Rentabilidad de un empréstito 61. Obligación con bonificación fiscal 62. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I) 63. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II) 64. Valoración de una inversión (I) 65. Valoración de una inversión (II) 66. Valoración de una inversión (Ejercicio)

4 1. Valor Temporal del Dinero El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 millón de pesetas hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Por lo tanto, 1 millón de pesetas en el momento actual será equivalente a 1 millón de pesetas más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo. Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras: Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financiera. Ejemplo: Qué es preferible disponer de 2 millones de pesetas dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?. Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción.

5 Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la elección habría sido la misma. Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan Leyes de Descuento. Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos momentos. Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesetas dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces si se podrán sumar.

6 2. La Capitalización Simple La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección. La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes: I = Co * i * t " I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año. I = * 0,15 * 1 I = ptas. Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

7 Cf = Co + I Cf = Co + ( Co * i * t ) Cf = Co * ( 1 + ( i * T )) " Cf " es el capital final (sustituyendo "I" por su equivalente) (sacando factor común "Co") x Ejemplo: Cual era el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co + I Cf = Cf = Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc.). Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. Base temporal Calculo Tipo resultante Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 %

8 Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 % El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc. Base temporal Intereses Año * 0,15 * 1 = Semestre * 0,075 * 2 = Cuatrimestre * 0,05 * 3 = Trimestre * 0,0375 * 4 = Mes * 0,0125 * 12 = Día * 0,0041 * 365 = Veamos ahora un ejemplo: Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses: Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

9 Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t I = * 0,0125 * 3 =

10 3. Capitalización simple: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el interés que generan ptas. durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%. Ejercicio 2: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos ptas. durante 6 meses al 12%. Ejercicio 3: Recibimos ptas. dentro de 6 meses y ptas. dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año. Ejercicio 4: Qué es preferible recibir ptas. dentro de 3 meses, ptas. dentro de 6 meses, o ptas. dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12%? Ejercicio 5: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual. SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t Como el tiempo está expresado en meses, tenemos que calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende que es anual)

11 Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual equivalente) Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. Luego, I = * 0,0083 * 4 Luego, I = ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más intereses) Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de interés en base anual (12%) y hemos expresado el plazo en años (0,5 años)) Luego, I = ptas. Ya podemos calcular el capital final. Luego, Cf =

12 Luego, Cf = ptas. x Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses (0,5 años), ya que recibimos el capital dentro de 6 meses y lo tenemos invertido hasta dentro de 1 año) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25 años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se invierte hasta dentro de 1 año) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año

13 Luego, Ct = = ptas. x Ejercicio 4: Entre la 1ª y 2ª opción (recibir ptas. dentro de 3 meses o dentro de 6 meses), está claro que es preferible la primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que comparar la 1ª con la 3ª (recibir dentro de 1 año). Como estos importes están situados en momentos distintos, no se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto). 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75 años)) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas.

14 3er importe: Cf = (no se calculan intereses, ya que el importe ya está situado dentro de 1 año) Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa. Ejercicio 5: Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (expresamos por "i(2)" el tipo semestral y por "i" el anual) Luego, 4% = i /2 Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%) b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (expresamos por "i(3)" el tipo cuatrimestral y por "i" el anual) Luego, 3% = i /3 Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%) c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (expresamos por "i(4)" el tipo trimestral y por "i" el anual) Luego, 5% = i /4 Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%)

15 d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (expresamos por "i(12)" el tipo mensual y por "i" el anual) Luego, 1,5% = i / 12 Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%)

16 4. Capitalización compuesta. La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses. Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo. La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente: I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ") " I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año. I = * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1) I = * (1,1-1) I = ptas.

17 Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final: Cf = Co + I (sustituyendo "I" por su Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1) equivalente) Cf = Co * (( 1 + i) ^ t) (sacando factor común "Co") " Cf " es el capital final Ejemplo: Cual será el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co + I Cf = Cf = ptas. Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal. El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente: 1 + i = ( 1 + im ) ^ m (m se refiere a la base temporal que se utiliza) (m = 1, para años) (m = 2, para semestres) (m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres) (m = 12, para meses) (m = 365, para días)

18 Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual. Base temporal Calculo Tipo equivalente Semestre 1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2 i2 = 7,24 % Cuatrimestre 1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3 i3 = 4,76 % Trimestre 1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4 i4 = 3,56 % Mes Día 1 + 0,15 = (1 + i12) ^ i12 = 1,17 % ,15 = (1 + i365) ^ i365 = 0,038 % 365

19 5. Capitalización compuesta vs capitalización simple Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos: a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1) Luego, I = * (1,029-1) Luego, I = ptas. Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta.

20 b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1) Luego, I = * (1,15-1) Luego, I = ptas. Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales. c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)

21 Luego, I = ptas. a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1) Luego, I = * (1,21-1) Luego, I = ptas. Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado. No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.

22 6. Capitalización compuesta: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta. Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta. Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de ptas. dentro de 6 meses y otro capital de 0,5 millones ptas. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?. Ejercicio 4: Qué intereses serían mayor, los de un capital de invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de ptas. invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta? Ejercicio 5: Si un capital de 1 millón de pesetas genera unos intereses durante 6 meses de ptas, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple?, y la capitalización compuesta?. SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

23 Luego, I = * 0,16 * 1,5 Luego, I = ptas. b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) Luego, I = * (1,249-1) Luego, I = ptas. Ejercicio 2: Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual: a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 Luego, 1,0124 = 1 + i12 Luego, i12 = 0,0124 b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3 Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 Luego, 1,0507 = 1 + i3

24 Luego, i3 = 0,0507 c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2 Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2 Luego, 1,0770 = 1 + i2 Luego, i2 = 0,0770 Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas.

25 Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año Luego, Ct = = ptas. Ejercicio 4: a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = * (1,249-1) Luego, I = ptas. Luego en la 2ª opción los intereses son mayores. Ejercicio 5: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

26 Luego, = * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, i = / Luego, i = 0,3 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30% b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, = * (((1 + i) ^ 0,5) - 1) Luego, = * ((1 + i) ^ 0,5) Luego, = * (((1 + i) ^ 0,5) Luego, / = (1 + i) ^ 0,5 Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5 Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i Luego, 1,322 = 1 + i Luego, i = 0,322 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2%

27 7. Descuento comercial La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Descuento comercial Descuento racional Descuento económico Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial. A) DESCUENTO COMERCIAL La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente: D = Co * d * t " D " son los intereses que hay que pagar

28 " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año. D = * 0,15 * 1 D = ptas. Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento): Cf = Co D (sustituyendo "D" por su Cf = Co - ( Co * d * t ) equivalente) (sacando factor común Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) "Co") " Cf " es el capital final Ejemplo: Cual era el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co D Cf = Cf = ptas. Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma

29 medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple. Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. Base temporal Calculo Tipo resultante Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 % Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de pesetas al 15% anual durante 3 meses: Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12) Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t D = * 0,0125 * 3 = ptas. La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).

30 8. Descuento comercial: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de ptas. por 7 meses a un tipo de descuento del 12%. Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior. Ejercicio 3: Se descuentan ptas. por 6 meses y ptas. por 5 meses, a un tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones. Ejercicio 4: Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar ptas. por 6 meses al 12%, o el de descontar ptas. por 9 meses al 15%? Ejercicio 5: Se descuentan ptas. por un plazo de 4 meses, y los interese del descuento son ptas. Calcular el tipo del descuento. SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t Como el plazo está expresado en meses, tenemos que calcular el tipo de descuento en base mensual equivalente al 12% anual. Luego, d (12) = 12 / 12 = 1,0 (es el tipo de descuento mensual equivalente)

31 Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (7 meses) en base anual (= 0,583 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. Luego, D = * 0,01 * 7 (un tipo del 1% equivales a 0,01) Luego, D = ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co - D (capital inicial menos descuento) Luego, Cf = Luego, Cf = ptas. Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones 1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año: 6 meses equivale a 0,5 años. Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular

32 el tipo de descuento mensual equivalente) Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166 años). Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. Ya podemos sumar los dos importes Luego, Cf = = ptas. Ejercicio 4: 1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = * 0,12 * 0,5 Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,75 Luego, D = ptas.

33 Luego, Cf = = ptas. Por lo tanto, la opción 2ª es mayor. Ejercicio 5: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t Luego, = * d * 0,333 Luego, d = / (ya que = * 0,333) Luego, d = 0,1502 Por lo tanto, hemos aplicado un tipo anual del 15,02%

34 9. Descuento racional. La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final: Cf = Co D Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) (sustituyendo "D") Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) (sacando factor común "Co") Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d *(operando en el t)) paréntesis) luego, Cf = Co / (1 + d * t) " Cf " es el capital final Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

35 Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) luego, D = ( * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = ptas. Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras: a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento): luego, Cf = luego, Cf = ptas. b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = / (1 + 0,14 * 0,666) luego, Cf = / 1,09324 luego, Cf = ptas. La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

36 Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida. Veamos un ejemplo: Descontar un capital de ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial. a) Aplicando el descuento racional Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = / (1 + 0,1 * 0,5) luego, Cf = ptas. Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t)) (El capital descontado, ptas, pasa a ser ahora "Co") luego, Cf = * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = ptas. Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

37 b) Aplicando el descuento comercial Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) luego, Cf = * (1-0,1 * 0,5) luego, Cf = ptas. Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t)) luego, Cf = * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = ptas. No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial

38 10. DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial. Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de ptas. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a ptas. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional). Ejercicio 3:Se descuentan ptas. al 12% y los intereses de descuento ascienden a ptas. Calcular el plazo del descuento (descuento racional). Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a Calcular el importe del capital inicial (descuento racional). Ejercicio 5: Se descuentan ptas. por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo. SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, D = ( * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333)

39 Luego, D = ptas. b) Aplicando el descuento comercial: D = Co * d * t Luego, D = * 0,12 * 0,333 Luego, D = ptas. Ejercicio 2: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, = ( * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25) Luego, = ( * d) / (1 + d * 0,25) Luego, * d = * d Luego, d = / Luego, d = 0,1666. Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66% Ejercicio 3: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, = ( * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t) Luego, = ( * t) / (1 + 0,12 * t)

40 Luego, * t = * t Luego, t = / Luego, t = 0,67567 Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses. Ejercicio 4: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666) Luego, = (Co * 0,0666) / 1,06666 Luego, Co = * 1,06666 / 0,0666 Luego, Co = ptas. Ejercicio 5: Primero vamos a calcular a cuanto ascienden los intereses de descuento aplicando la fórmula del descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, D = ( * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333) Luego, D = ptas.

41 Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver que tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial para obtener el mismo resultado La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t x Luego, = * d * 0,333 Luego, d = / Luego, d = 0, Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%. Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial son mayores que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.

42 11. Descuento compuesto La ley financiera de descuento compuesto viene definida de la siguiente manera: D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) El signo " ^ " significa "elevado a". Recordemos que "(1+d)^-t" es lo mismo que "1/(1+d)^t" " D " son los intereses de descuento " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión El capital final queda definido de la siguiente manera: Cf = Co D Cf = Co - ( Co * (1 - (1 + d) ^ -t )) (sustituyendo "D") (sacando factor Cf = Co * (1 - (1 - (1 + d) ^ -t )) común Co) luego, Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t x x Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%. Aplicamos la fórmula D = Co * (1 - ((1 + d) ^ -t ))

43 luego, D = * (1 - (1,14) ^ -0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = * (1-0,9164) luego, D = ptas. Calculamos ahora el capital final, utilizando dos procedimientos: a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento): luego, Cf = luego, Cf = ptas. b) Aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t luego, Cf = * (1,14) ^ -0,666 luego, Cf = * 0,9164 luego, Cf = ptas. La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.

44 Veamos un ejemplo: Descontar un capital de ptas., por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t luego, Cf = * (1 + 0,15) ^ -0,5 luego, Cf = ptas. Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización compuesta Cf = Co * ( 1 + i) ^ t (El capital descontado, ptas, pasa a ser ahora "Co") luego, Cf = * (1 + 0,15) ^ 0,5 luego, Cf = * 1, luego, Cf = ptas. Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo.

45 En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.

46 12. Repaso de los tres tipos de descuento Hemos estudiado tres leyes de descuento: x a) Ley de descuento comercial x Intereses de descuento D = Co * d * t Capital final Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) x b) Ley de descuento racional x Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Capital final Cf = Co / (1 + d * t) x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) Capital final Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t x La ley de descuento comercial y racional sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses). Mientras que la ley de descuento compuesto se puede utilizar en operaciones de corto y largo plazo. La ley de descuento racional es inversa de la ley de capitalización simple, mientras que la ley de descuento compuesto es la inversa de la ley de capitalización compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se vuelve al capital inicial. La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.

47 El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente: x La mayor carga de intereses Descuento comercial x La 2ª mayor carga de intereses Depende del plazo x Operaciones < 1 año (*) Descuento racional Operaciones > 1 año (*) Descuento compuesto x La menor carga de intereses x Operaciones < 1 año (*) Descuento compuesto Operaciones > 1 año (*) Descuento racional xxx (*) El plazo de 1 año es en el caso de que se aplique un mismo tipo de interés anual. Si el mismo tipo de interés que se aplica es trimestral, entonces el plazo sería 3 meses, y así sucesivamente. x Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses de descontar un capital de ptas., a un tipo de interés del 16%, por un plazo de 8 meses. a) Ley de descuento comercial x Intereses de D = Co * d * t descuento Luego, D = * 0,16 * 0,66

48 Luego, D = ptas. x b) Ley de descuento racional x Intereses de D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) descuento D = Luego, ( *0,16*0,66)/(1+0,16*0,66) Luego, D = ptas. x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) descuento Luego, Cf = *(1-(1+0,16)^-0,66) Luego, Cf = ptas. x Cual de estas leyes se utiliza?. Se puede utilizar cualquiera, con la limitación que hemos señalado antes entre operaciones de corto y mediolargo plazo. Lo importante para el cliente de una entidad financiera es conocer el importe de los intereses de descuento según la ley elegida, y decidir si la operación planteada le resulta aceptable o no.

49 13. Descuento compuesto: Ejercicios Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año. Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio. Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el descuento comercial. Ejercicio 5: Los intereses de descontar ptas. a un tipo del 10% ascienden a ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto. SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Ley de descuento comercial x Intereses de D = Co * d * t descuento Luego, D = * 0,12 * 0,33 Luego, D = ptas.

50 x b) Ley de descuento racional x Intereses de D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) descuento D = Luego, ( *0,12*0,33)/(1+0,12*0,33) Luego, D = ptas. x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) descuento Luego, Cf = *(1-(1+0,12)^-0,33) Luego, Cf = ptas. Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son superiores a los del descuento compuesto. Ejercicio 2: a) Ley de descuento comercial x x Intereses de D = Co * d * t descuento Luego, D = * 0,12 * 1 Luego, D = ptas.

51 b) Ley de descuento racional x Intereses de D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) descuento Luego, D = ( *0,12*1)/(1+0,12*1) Luego, D = ptas. x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) descuento Luego, Cf = *(1-(1+0,12)^-1) Luego, Cf = ptas. Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del descuento compuesto. Ejercicio 3: a) Ley de descuento comercial x Intereses de D = Co * d * t descuento Luego, D = * 0,12 * 1,5 Luego, D = ptas. x b) Ley de descuento racional x

52 Intereses D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) de descuento Luego, D=( *0,12*1,5)/(1+0,12*1,5) Luego, D = ptas. x c) Ley de descuento compuesto x Intereses D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) de descuento Luego, Cf = *(1-(1+0,12)^-1,5) Luego, Cf = ptas. Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son superiores a los del descuento racional. Ejercicio 4: En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los intereses de descuento han ascendido a ptas. El tipo de interés ha sido del 12% a) Aplicando la ley de descuento racional Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, = ( *d*0,33)/(1+d*0,33) Luego, = ,3*d/(1+d*0,33) Luego, *d = ,3*d Luego, d=0,125

53 Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento racional para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 12,5% b) Aplicando la ley de descuento compuesto Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) Luego, = *(1-(1+d)^-0,33) Luego, / = 1-(1+d)^-0,33 Luego, 0,04 = (1-(1+d)^-0,33) Luego, (1+d)^-0,33 = 0,96 Luego, 1+d = 1,13028 Luego, d = 0,13028 Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento compuesto para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 13,028% Ejercicio 5: a) Ley de descuento comercial Intereses descuento Luego, de D = Co * d * t = * 0,10 * t

54 Luego, t = 0,75 Por lo tanto, el plazo sería de 0,75 años, o lo que es lo mismo, 9 meses b) Ley de descuento racional Intereses de D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) descuento Luego, =( *0,10*t)/(1+0,10*t) Luego, *(1+0,10*t)= *t Luego, *t= *t Luego, = *t Luego, t = 0,8108 Por lo tanto, el plazo sería de 0,8108 años, o sea, 9,7 meses c) Ley de descuento compuesto Intereses D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) de descuento Luego, = *(1-(1+0,10)^-t) Luego, = *(1-(1,1)^-t) Luego, / =1-(1,1)^-t Luego, 0,075=1-(1,1)^-t Luego, (1,1)^-t=0,925

55 Luego, (1,1)^t =1/0,925 Luego, (1,1)^t =1,08108 x x ln (1,1)^t =ln 1,08108 (aplicamos Luego, logaritmos neperianos) Luego, t= ln 1,08108 / ln 1,1 Luego, t = 0,8180 Por lo tanto, el plazo sería de 0,8180 años, o sea, 9,8 meses

56 14. Rentas financieras Una renta financiera es una sucesión de capitales distribuidos a lo largo de un periodo temporal. Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento, por un periodo de 5 años, con pagos anuales de ptas. En una renta financiera distinguiremos los siguientes elementos: a) Termino de la renta: importe del capital que se paga (o se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las ptas. de alquiler mensual). b) Periodo de maduración: cada sub-periodo en el que se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el mes). c) Duración de la renta: el periodo total de vigencia (en el ejemplo, 5 años). En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe, en un momento dado, equivalente al total de la renta: En el ejemplo anterior (pago mensual de ptas. durante un periodo de 5 años), aplicando leyes financieras, puedo calcular que esta renta es equivalente a un sólo pago de ptas. en el momento actual. El "valor capital" de una renta se puedo calcular en cualquier momento: momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los importes calculados varían según el momento, pero son equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalización para llevarlos a un mismo periodo, coinciden). Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor actual". Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor final". Dos rentas son equivalentes cuando sus valores de capital son los mismos en cualquier momento en que se calculen: Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de durante 5 años, coincide en cualquier momento con el de una renta de ptas. trimestral durante 7 años, diríamos que ambas rentas son equivalentes. Las rentas cumplen las siguientes propiedades:

57 a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de ptas., mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de ptas., mensual, por el mismo periodo. b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales). Las rentas se pueden clasificar: Según la duración de la renta: Temporales: duración finita Perpetuas: no tienen fin Según el importe del término de la renta: Constantes: siempre es la misma cantidad Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro Según los subperiodos en los que se divide: Discreta: número de periodos finitos Continua: flujo continuo de capital Periódica: todos los subperiodos tienen la misma duración No periódicas: la duración de los subperiodos varia Según el momento del subperiodo en que se generan el cobro o el pago: Prepagable: se genera al comienzo del subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a comienzo de cada mes) Postpagable: se genera al final de cada subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a final de cada mes)

58 15.Renta constante temporal pospagable (I) Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales. Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades: Renta temporal pospagable Renta temporal prepagable Renta perpetua pospagable Renta perpetua prepagable Renta diferida Renta anticipada Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable: RENTA TEMPORAL POSPAGABLE Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes). Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta. Periodo n-2 n-1 n Importe (ptas) Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

59 que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo Importe Importe descontado / ( 1 + i ) / ( 1 + i )^ / ( 1 + i )^ n / ( 1 + i )^n-2 n / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n )/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n )/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7 )/0,16 luego, Ao = 0,6461/0,16 luego, Ao = 4,0386 ptas. Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.

60 IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral. Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S f, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta: Cf = Co * ( 1 + i) ^ t Veamos el ejemplo: Periodo Importe Importe capitalizado * ( 1 + i )^n * ( 1 + i )^n * ( 1 + i )^n n * ( 1 + i )^2 n * ( 1 + i )^1 n 1 1 Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a: S f = ((1 + i)^n - 1) / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula S f = ((1 + i)^n - 1) / i

61 luego, S f = ((1 + 0,16)^7-1) / 0,16 luego, S f = 1,8262/0,16 luego, S f = 11,4139 ptas. Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas. Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final S f, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula: S f = Ao (1 + i)^n Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo: Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas. y que S f = 11,4139 ptas. Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7 Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262 Luego 11,4139 = 11,4139 Se cumple, por tanto, la relación

62 16. Renta temporal constante pospagable (II) Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a estudiar como se valora una renta de importes constantes. Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad. Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior. Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria. El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de cuantía "C" será: Vo = C * Ao Por lo que: Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n )/ i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%: Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, Vo = * ( (1 - (1 + 0,12)^-5 )/0,12) luego, Vo = * 3,60477 luego, Vo = ptas. El valor actual de esta renta es ptas. Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria Vn = C * S f

63 Por lo que: Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) luego, Vn = * ( ((1 + 0,12)^5-1) / 0,12) luego, Vn = * 6,3528 luego, Vn = ptas. Luego el valor final de esta renta es ptas.