Unidad II PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO FINANCIERO Y COMERCIAL II

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1 Unidad II PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO FINANCIERO Y COMERCIAL II CONTEXTO, OBETIVOS Y SITUACIÓN Contexto Vidrieras, S. L., dedicada a la rehabilitación y diseño de vidrieras clásicas tiene depositado su dinero en una cuenta corriente de la entidad BCHarte, y ha comprobado que hay otras entidades con nuevas condiciones respecto a la tasa de interés, ausencia de gastos y comisiones. Además, se pueden hacer depósitos del dinero sin un importe previo. Vidrieras, S. L., encarga a Felipe que analice estas nuevas condiciones y valore si son rentables para la empresa. También aprenderá a calcular el valor actual y final de los depósitos de dinero, o de los pagos periódicos que realice, y de ingresos habituales por la actividad de la empresa, en todas y cada una de las situaciones anteriores, son identificadas como rentas financieras. En esta unidad se van tratar todas aquellas operaciones financieras que forman parte de la capitalización compuesta. Para ello debemos conocer los procedimientos de cálculo financiero en el interés compuesto, en el descuento compuesto, la equivalencia de capitales en operaciones a medio y largo plazo y las diferentes modalidades de rentas financieras que se dan cuando realizamos una serie de movimientos de capitales de forma periódica mediante la duración de la operación que puede ser temporal o perpetua. Para cursar esta unidad se necesita tener una formación básica de matemáticas para aplicar las técnicas de cálculo financiero. Con este fin, te recomendamos repasar o conocer la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, de progresiones aritméticas y geométricas y de potencias, principalmente. Objetivos En esta unidad se pretenden alcanzar los siguientes objetivos: Comprender el concepto de capitalización compuesta. Aplicar el interés compuesto en operaciones financieras tipo. Comprender el concepto de descuento compuesto. Aplicar el descuento compuesto en operaciones financieras tipo. Utilizar la equivalencia de tantos en operaciones de capitalización compuesta. Calcular el vencimiento medio y común en la capitalización compuesta. Identificar los diferentes tipos de rentas. Calcular el valor actual y final de una renta constante prepagable e inmediata temporal anual o fraccionada. Calcular el valor actual y final de una renta constante pospagable e inmediata temporal anual o fraccionada. Calcular el valor actual y final de una renta variable en progresión aritmética pospagable y prepagable, inmediata y temporal anual o fraccionada. Calcular el valor actual y final de una renta variable en progresión geomética pospagable y prepagable, inmediata y temporal anual o fraccionada.

2 Calcular el valor actual y final de una renta perpetua, diferida o anticipada prepagable o pospagable constante o variable en progresión aritmética o geométrica. Situación Felipe tiene que decidir si a Vidrieras S.L., le conviene mantener su cuenta corriente en Echarte, pues ha comprobado que otras entidades ofrecen otras condiciones como diferentes tipos de interés, ausencia de gastos y comisiones, etc., que pueden ser más interesantes para la empresa. Para que Felipe pueda tomar dicha decisión debe adquirir los conocimientos necesarios para realizar los procedimientos de cálculo financiero básicos en operaciones a largo plazo: el interés compuesto, el descuento compuesto, conceptos de interés nominal, nominal efectivo y tasa anual equivalente, las rentas. Es decir, Felipe tiene que controlar l flujo de los movimientos dinerarios y rentabilizarlos a la tasa de interés más conveniente. Estos conocimientos permitirán en la empresa familiar de Felipe decidir cuáles son las mejores condiciones a la hora de depositar el dinero y realizar aquellos movimientos de dinero con los menores gastos posibles, aplicando los descuentos e intereses más rentables de cada entidad. El contenido relacionado con el planteamiento de esta situación es: Tema 1: Operaciones de capitalización compuesta: el interés y el descuento compuesto, la equivalencia de los tantos y el vencimiento común y medio. Tema 2: Rentas financieras (I): concepto y tipos de rentas. Rentas constantes inmediatas, temporales pospagables y prepagables. Tema 3: Rentas financieras (II): rentas variables en progresión aritmética y geométrica, inmediatas, temporales, pospagables y prepagables. Tema 4: Rentas financieras (III): rentas perpetuas, diferidas, anticipadas y fraccionadas. Tema 1 OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA: EL INTERÉS Y EL DESCUENTO COMPUESTO Felipe debe de comprobar si en la entidad en que Vidrieras, S. L., tiene su cuenta corriente, el dinero depositado y disponible está en las mejores condiciones, por lo que tiene que conocer en qué operaciones comerciales o financieras se aplica la capitalización compuesta. Para ello tendrá que saber cuál es la tasa de interés más conveniente para la operación y calcular la equivalente en el tiempo fraccionado. La capitalización compuesta se caracteriza porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en la capitalización simple, pasan a formar parte del capital de partida a medida que se van generando: se van acumulando y producen a su vez intereses, de manera que los intereses generados en cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores.

3 A fin de decidir en qué entidad dan mayor tasa de interés al hacer un depósito, calculará la Tasa Anual Equivalente, conocida como TAE y podrá comparar las opciones de distintas entidades y elegir la que más favorezca a la empresa. Además, también debe saber en qué operaciones financieras deberá aplicar el descuento compuesto, ya que depende de si conviene anticipar los pagos o los cobros que tiene la empresa, llegando a un acuerdo entre la entidad o los proveedores o los clientes. También aplicará los procedimientos de cálculo del vencimiento común y medio en las operaciones de capitalización compuesta. Para comprender el contenido de este tema, Felipe debe seguir los pasos que se indican a continuación: Paso 1.1. El interés compuesto: concepto y variables que intervienen en su cálculo. Paso 1.2. Equivalencia de tantos en el interés compuesto. Paso 1.3. El descuento compuesto: concepto y variables que intervienen en su cálculo. Paso 1.4. Cálculo del vencimiento común y medio en la capitalización compuesta. Paso 1.1. El interés compuesto: concepto y variables que intervienen en su cálculo El interés compuesto es una operación de capitalización compuesta porque los intereses obtenidos se acumulan al capital inicial, formando nuevos capitales con los que se generan nuevos intereses durante el periodo de la operación. Ésta es la gran diferencia entre el interés compuesto y el interés simple, ya que este último se calcula siempre sobre el mismo capital inicial y nunca se acumulan los intereses. Tipo de interés compuesto efectivo anual. Este tipo en una operación financiera se realiza al 5% de interés efectivo anual. Tipo de interés efectivo de fracción de año Este tipo en una operación financiera se realiza al 7% de interés efectivo mensual. Tipo de interés nominal anual Este tipo en una operación financiera se realiza al 8% de interés nominal capitalizable en trimestres o meses o semestres.

4 Cálculo del capital final o montante Si tenemos un capital inicial Co, en régimen de capitalización compuesta durante n años, a una tasa de interés anual i, para calcular el capital final o montante al final de cada año siempre habrá que acumular los intereses que genera dicho capital a lo largo del periodo, por lo tanto tendremos: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 (1+i) C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 (1+i) = C0 (1+i) (1+i) = C0 (1+i)2 C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 (1+i) = C0 (1+i)2 (1+i) = C0 (1+i)3 Cn = C0 (1+i)n Por lo tanto deducimos que Cn e In para cualquier momento del tiempo se calculará con las fórmulas siguientes: In = Cn - C0 = C0 (1+i)n - C0 = C0 [(1+i)n -1] Despejando de la fórmula anterior, podremos calcular el capital inicial: Para Despejar n tendremos que aplicar logaritmos: Por último despejamos la tasa de interés compuesto i:

5 Indica la respuesta correcta: El abuelo de Felipe, fundador de Vidrieras, S. L., le abrió una libreta de ahorro con 50 al 12% de interés compuesto anual. Ahora dispone de un saldo de 123,80. Cuántos años han transcurrido? Paso 1.2. Equivalencia de tipos en el interés compuesto Dos tipos son equivalentes cuando producen el mismo montante o capital final aunque la capitalización se haya hecho en fracciones de tiempo distintas, partiendo del mismo capital inicial y durante el mismo periodo de tiempo. Se obtiene el mismo montante si se pone un capital inicial a un tanto efectivo anual durante un año que si ese mismo capital inicial se pusiera a un tanto efectivo mensual durante doce meses ya que la duración de la operación es la misma: 1 año = 12 meses, por lo que es equivalente un tanto efectivo anual a un tanto efectivo mensual durante doce meses. Equivalencia entre el tanto de interés efectivo anual con el tanto efectivo fraccionado Como el montante o capital final debe ser el mismo para ambos intereses, tal y como hemos definido anteriormente, tenderemos que: Ambos capitales finales se igualan: Despejando tenemos la equivalencia entre los tantos efectivos anual y fraccionado: Siguiendo el ejemplo Cuenta de ahorro al 7% efectivo anual: i 12 = 1,07 1/12-1 = 0, = 0,56541% Sustituimos en

6 Cuenta de ahorro al 7% efectivo anual Una empresa deposita en una cuenta de ahorro al 7% de interés compuesto efectivo anual durante 18 meses. Cuál será el importe final? Se puede resolver de dos maneras: 1. Vemos que 18 meses es equivalente a un año y medio, luego igualamos el tiempo de la operación al tiempo del tanto. Lo expresamos en años. Cn = (1+0,07)1,5 = , También se puede pasar el tiempo del tanto efectivo anual al tanto efectivo mensual. Para ello debemos de buscar la equivalencia de ambos tantos, que lo veremos más adelante. Depósito a dos años En la empresa Vidrieras, S. L., se depositan en una cuenta de ahorro durante 2 años al 5% de interés efectivo anual. Qué montante habrá obtenido durante ese tiempo, si se acumulan los intereses mensualmente? Hay que calcular el tanto mensual i12: i12 = 1,051/12-1 = 0, años=24 meses El montante será: C12 = (1+0, )2 12 = , = 3.307, Vemos que se ha buscado la equivalencia de la misma unidad del tiempo del tanto como de la duración de la operación, que es en meses. Equivalencia entre el tanto de interés nominal y el efectivo fraccionado Este tipo de tanto es muy utilizado por las entidades financieras para establecer las condiciones de los préstamos. El tanto nominal es igual al tanto fraccionado efectivo por la frecuencia de la capitalización: Este tanto es reconocido porque se expresa como tanto nominal capitalizable por meses o trimestres o semestres, o sea, según la frecuencia de la operación financiera. La Tasa Anual Equivalente (TAE) El Banco de España reguló en la Circular 8/90 de 7 de septiembre que todas las entidades tendrían obligatoriamente que informar al ciudadano del tipo de interés, comisiones u otros gastos derivados de las operaciones financieras de depósitos en cuentas corrientes o de ahorro, aperturas de cuentas de créditos, concesión de préstamos, descuento de efectos y todos aquellos establecidos en la normativa.

7 Cuando, en una operación, la entidad no aplica gastos o comisiones de apertura o de mantenimiento, entonces la tasa de interés efectiva anual coincide con la TAE: Cuando en una operación existen comisiones o gastos, la Circular 8/90 de 7 de septiembre del Banco de España, modificada por Circular 13/1993, de 21 de diciembre, establece que la TAE no coincidirá con el interés efectivo anual (i) y se aplicará la fórmula siguiente para obtener i m : Explicación D n = disposiciones realizadas por la entidad. R c = pagos por amortización, intereses u otros gastos incluidos en el coste o rendimiento efectivo de la operación ingresados por el cliente. n = número de pagos simbolizados por D. K= número de pagos simbolizados por R. t n = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la de la disposición n. t c = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la del pago K. i m = tanto efectivo fraccionado. Préstamo al 6% nominal BCHarte ofrece a Vidrieras, S. L., un préstamo a un 6% nominal capitalizable por semestres, sin cargar gastos ni comisiones en la operación. Felipe calculará la Tasa Anual Equivalente para conocer el tipo de interés real que se aplicará en el pago de las cuotas. Si j(2) = 0,06, despejamos en la fórmula: 0,06 = i(2) 2 i(2) = 0,06/2 = 0,03 efectivo semestral. TAE = i, porque no hay gastos ni comisiones. i = [(1+0,03)2-1] 100 = 6,09 % TAE. Depósito Bankinter Durante el verano de 2005 Bankinter ha realizado la campaña publicitaria siguiente:

8 Vemos que nos dan el tanto nominal capitalizable diariamente porque según nos indica el anuncio publicitario es el 7% nominal a 30 días. Si lo expresamos en términos financieros es el j(360). Debemos de calcular el tipo de interés efectivo diario: Si decidimos depositar un importe de , vemos que se puede porque está entre y que son el importe mínimo y máximo. Los intereses se liquidan al vencimiento, es decir, después de 30 días, luego el montante final aplicando el interés efectivo mensual será: C 30 = (1+0, ) 30 = , Luego los intereses obtenidos en 30 días son 87,77. Calculando el tanto efectivo anual también podemos obtener el montante final, sustituiremos en: Vemos que el montante es el mismo, ya que se cumple la ley de equivalencia financiera, pues, partiendo del mismo capital inicial y en el mismo periodo de tiempo e igualando, se igualan los tiempos del tanto y del periodo de cada operación, ya que hemos obtenido el mismo montante partiendo de una tasa de interés efectiva diaria de acuerdo con los días que dura la operación que partiendo de una tasa de interés efectiva anual en la proporción anual de 30 días/360 días que en este caso dura la operación. Depósito de Bankinter (II) En la oferta de Bankinter vemos que indican una TAE del 6,78% cuando el interés efectivo anual que hemos calculado es del 7,25%. Hay un 0,47% que nos quitan por los gastos y comisiones que genera el depositar el dinero. Eso quiere decir que antes se calculaba la TAE y al ciudadano no se le informaba que la entidad descontaba dichas comisiones, por ello desde que es oficial la TAE, al menos sabemos la tasa real que se nos aplica. Calcularemos los intereses reales que se obtendrían con la TAE, en el caso anterior, en que decidiéramos depositar durante un mes en este banco: C = (1+0,0678)30/360 = , I = , = 82,2251. Comparando con el interés efectivo anual, obtenido en el apartado anterior en un importe de 87,77 y el actual de 82,22, vemos que nos deducen por gastos o comisiones 5,55.

9 Cálculo de la TAE cuando hay gastos En la entidad financiera BCHarte, Felipe comprueba que si depositamos durante 30 días, nos ofrecen una tasa de interés del 7% efectivo anual. Cuántos intereses obtendrá si se liquida la operación a los 30 días? Cuál será la TAE si no se cobra ninguna comisión? Cuál será la TAE en caso de que se cobre un dos por mil de comisión en el montante? 1. Debemos de obtener el tanto efectivo diario: i360 = (1+0,07)1/360-1 = 0, C30 = 3.000(1, )30 = 3.016, I = 3.016, = 16, Se aplica la fórmula del Anexo V establecida en la Circular 8/90: 3. Calcularemos la TAE teniendo en cuenta la comisión. Explicación La entidad nos propone un 7% efectivo anual con el que, sin gastos, supone unos intereses de 16,96, pero con gastos los intereses obtenidos son de 10,92. La diferencia de intereses indica que la tasa efectiva anual es mucho menor, pues se convierte en el 4, %, luego el cliente de la entidad percibe muchos menos intereses y es necesario que sepa la TAE que, en definitiva, es la tasa efectiva anual real que se le va a aplicar.

10 Paso 1.3. El descuento compuesto: concepto y variables que intervienen en su cálculo El descuento compuesto se utiliza en operaciones de descuento a largo plazo; los intereses que se descuentan se calculan sobre el valor nominal de la operación. Vamos a obtener la fórmula del descuento compuesto comercial: - Para el primer año, el efectivo resultante de descontar del valor nominal (N) a un tanto de descuento compuesto (d c ) sería: E 1 = N - N dc = N (1 - dc) - Para el segundo año, el efectivo sería: E 2 = E 1 - E 1 dc = E 1 (1 - dc) = N (1 - dc) (1 - dc) = N (1 - dc) 2 - Luego para n años, el valor efectivo y el descuento compuesto sería: Mediante un ejemplo veremos cómo se calcula el valor efectivo y el descuento compuesto: Felipe comprueba que la empresa Vidrieras, S. L., tiene una deuda contraída con un proveedor por importe de a pagar dentro de 2 años, y acuerda con él anticipar el pago al momento actual. Éste aplica una tasa de descuento compuesto del 4% anual. Qué importe pagará y cuánto dinero se ahorra? Sustituyendo en la fórmula: E = N (1 - dc) n = (1-0,04) 2 =3.686,4. Dc = ,4= 313,6. Descuento compuesto Indica la respuesta correcta: Una empresa de muebles asiste a la Feria Anual de la Decoración, en el stand realiza una promoción de muebles de diseño moderno para decorar un loft para jóvenes por un importe de Todos aquellos que adquieran los muebles en la feria pueden pagarlos dentro de dos años, o tienen un descuento del 20% si pagan en la feria. Si se pagan los muebles en la feria qué importe sería? Paso 1.4. Cálculo del vencimiento común y medio en la capitalización compuesta Al igual que en la capitalización simple, la equivalencia de un conjunto de capitales con otro conjunto de capitales con vencimientos en distintos momentos del

11 tiempo se produce en la capitalización compuesta cuando la suma de los valores actuales de los primeros capitales es igual a la suma de los valores actuales de los segundos capitales. Esto lo podemos ver en la siguiente igualdad: C 1 (1+i) -n1 + C (1+i) -n2 + + C n (1+i) -nt = K 1 (1+i) -t1 + K 2 (1+i) -t2 + + K t (1+i) -tt El vencimiento común consiste en averiguar el momento en que un capital es equivalente a un conjunto de capitales con unos vencimientos dados: K 1 (1+i) -t1 + K 2 (1+i) -t2 + + K t (1+i) -tt = C(1+i) -n El vencimiento medio es la particularidad del vencimiento común en que la suma de capitales es igual al capital único. Partiendo de la igualdad del vencimiento común: K 1 (1+i) -t1 + K 2 (1+i) -t2 + + K t (1+i) -tt = C(1+i) -n Teniendo en cuenta que en el vencimiento medio C = K 1 + K K t, calcularemos n exactamente igual que en el vencimiento común. Equivalencia de capitales La empresa Vidrieras, S. L., tiene que cobrar a un cliente los siguientes importes: dentro de 1 año; dentro de un año y medio; y dentro de 2 años. Felipe acuerda con el cliente que adelante el pago de los dos primeros importes en el momento actual y el restante dentro de 3 años a una tasa de interés del 5%. Cuál será el importe restante? (1+0,05) (1+0,05) -1, (1+0,05) -2 = =7.000 (1+0,05) 0 + K 3 (1+0,05) , , , = K 3 0, K 3 = ,84432 Explicación Recuerda que una potencia a -n = 1/a n Vemos que le interesa más disponer en el momento actual de y dentro de 3 años ,84432, que no recibir los importes equivalentes a un año, año y medio y dos años, ya que aumenta su liquidez. Vencimiento común Vidrieras, S. L., tiene que adquirir materia prima a la empresa Cristales Mayoral, S. A., el importe total es de o en tres pagos de a 6 meses, a 1 año y a 1 año y medio. Si decide hacer un pago único, cuál será la fecha de vencimiento a una tasa de interés 5%?

12 nlog 1,05 = Log 0, n= años 5 meses y 12 días. Aplicamos logaritmos n Log 1,05 = Log 0, n = 0, años 5 meses y 12 días. Vencimiento medio Vidrieras, S. L., ha rehabilitado las vidrieras de la catedral de Astorga, cuyo cobro se realizará de la forma siguiente: a un año y a dos años. El obispo de Astorga le comunica a Felipe que ha recibido una donación del Ayuntamiento por el importe total de la deuda y acuerdan que se haga un único pago al 4% de interés compuesto anual. En qué momento del tiempo se realizará el pago? 1, =1,04 n Log 1, =n Log1,04 n=1, años Vencimiento medio Indica la respuesta correcta: Una empresa de chocolates adquiere cacao importado de Sudamérica, a pagar en el momento de recibir la mercancía o en dos plazos, el primero de al trimestre de recibir la mercancía y otros al siguiente trimestre. Si decide hacer un único pago por todo el importe, en qué fecha pagará si la operación se realiza al 3% de interés efectivo trimestral?

13 Evaluación 1 Jugueterías Bambi, S. L., ha obtenido de una cuenta de ahorro durante 3 años al 4% de interés compuesto anual. Qué cantidad depositó en su momento? Evaluación 2 Identifica correctamente cada una de las fórmulas para obtener lo que indica en la primera columna: Evaluación 3 Tableros G, S. A., ha comprado materias primas para hacer tarimas a Maderas Mdegur, por un importe de se acuerda realizar los pagos de dentro de un año y la parte pendiente dentro de dos años al 6% de interés nominal capitalizable por semestres. Qué importe corresponde a la parte pendiente? Evaluación 4 Indica la respuesta correcta: Calcular la tasa efectiva fraccionada del 9% de interés nominal capitalizable por cuatrimestres.

14 Tema 2. LAS RENTAS FINANCIERAS (I): RENTAS INMEDIATAS, TEMPORALES, POSPAGABLES Y PREPAGABLES CONSTANTES Felipe, ya sabe cómo calcular los intereses que reportan al depositar dinero en periodos superiores al año, así como obtener el importe del descuento por anticipar pagos o cobros en periodos superiores al año. Para ello ha tenido que calcular las tasas de interés compuesto efectivo anual o interés compuesto fraccionado en periodos inferiores al año, sabe que debe buscar la equivalencia de los tiempos ante distintos periodos dados entre la tasa de interés sea nominal o efectiva con la duración de la operación sea anual o mensual o trimestral o semestral. Además, Felipe sabe cómo se calcula la TAE que tienen obligación de indicarla las entidades ante cualquier operación, ya sea, por ejemplo, de depósitos o de créditos o de préstamos. Ahora tendrá que aplicar estos conocimientos a las rentas, que se conocen vulgarmente como sucesión de cobros o pagos que se realizan con cierta periodicidad y generan un rendimiento, y éstas podrán ser de distintos tipos según la cuantía, según sea constante o variable, si se realiza al principio o al final del vencimiento, o si es fraccionada o si es perpetua, etc. Para que Felipe pueda calcular las rentas, deberá seguir estos pasos: Paso 2.1. Conocer el concepto de rentas financieras y sus tipos. Paso 2.2. Saber calcular el valor actual y final de una renta financiera pospagable, inmediata, temporal y constante. Paso 2.3. Saber calcular el valor actual y final de una renta financiera prepagable, inmediata, temporal y constante. Paso 2.1. Concepto de rentas financieras y sus tipos 1/2 Se entiende por renta financiera una sucesión de capitales que se producen de forma periódica en el tiempo Un ejemplo de renta financiera es la pensión de jubilación que se cobra desde los 65 años, que es la edad legal. Ésta es una modalidad de renta que tiene la característica de que su periodicidad es de carácter perpetuo, y variable ya que suben conforme al IPC (Índice de Precios al Consumo). En la vida real nos podemos encontrar con muchos ejemplos de diferentes tipos de rentas, pero la característica más importante para identificar una renta financiera es que sus términos deben ser periódicos en el tiempo.

15 Compra de un coche a plazos Felipe ha propuesto a Vidrieras, S. L., la adquisición de un coche para realizar los desplazamientos necesarios en cada una de sus gestiones fuera de la empresa. Las condiciones de venta que ha visto anunciadas sobre un Daewoo Kalo son muy buenas, pues no hay que dar un importe inicial, se pagan cuotas de 96 al principio de cada mes, desde el momento de la entrega del coche durante 42 cuotas. Estamos ante una renta financiera?

16 Si, porque los pagos son cuotas en periodos de vencimiento mensuales, de tres años y medio de duración, con un valor financiero actual que se corresponde con el precio de adquisición y con un valor financiero final que es el importe final de capitalizar las cuotas a un tipo de interés compuesto. Paso 2.1. Concepto de rentas financieras y sus tipos 2/2 Es muy importante tener claro, el concepto de cada uno de los criterios por los que se producen los diferentes tipos de rentas financieras, ya que es la base para entender bien el cálculo de las mismas y muchas de las operaciones financieras que nos encontramos en la vida real (préstamos, depósitos a plazo fijo, ingresos en cuentas de ahorro, planes de pensiones, inversiones ). Todos los criterios utilizados para conocer los diferentes tipos de rentas no son independientes entre sí. En la vida real nos encontramos con rentas que atienden a varios criterios a la vez. Pongamos por ejemplo el sueldo de una secretaria que cobra al final de cada mes durante un año sin ninguna variación. Cuántos criterios contemplan este tipo de renta? Si partimos de que el año empieza el 1 de enero (estamos ante el momento cero), y cobra al final de cada mes, es una renta pospagable e inmediata; si percibe el mismo importe en cada cuota salarial de cada vencimiento y durante todo el periodo, estamos ante una renta constante, pero al pagarse por meses durante un año (que son los periodos de vencimiento), estamos también ante una renta temporal. Por lo tanto, se trata de una renta temporal, inmediata, constante y pospagable. Tipos de renta Identifica en cada caso de qué tipo de renta se trata:

17 Paso 2.2. Cálculo del valor actual y final de una renta financiera constante, pospagable, inmediata y temporal Felipe ya conoce el significado de lo que es una renta y los distintos tipos de rentas que hay, ahora va a aprender cómo se calculan. Lo primero que tiene que saber Felipe, es calcular el valor actual y final de una renta financiera constante, ya hemos visto que atendiendo a según qué criterios podemos encontrarnos con distintos tipos de rentas financieras constantes: Rentas financieras constantes, pospagables, inmediatas y temporales. Rentas financieras constantes, prepagables, inmediatas y temporales. Lo primero que debemos de hacer es calcular el valor actual y valor final de esta renta financiera constante, pospagable, inmediata y temporal. Valor actual de la renta pospagable (a). Vamos a partir del cálculo del valor actual de una renta unitaria pospagable, inmediata y temporal donde el periodo del tipo de interés es el mismo al de los periodos de los vencimientos de las cuotas unitarias. Gráficamente representamos una renta unitaria, inmediata, pospagable y temporal: Su valor actual o valor inicial de una renta unitaria, simbólicamente representada por se calcula aplicando el principio de equivalencia financiera de capitales en el origen o momento cero por lo que: Si sustituimos en la fórmula de la suma de la progresión geométrica: Donde, a 1 = primer término, 1(1+i) -1 en la suma del valor actual. a n = último termino, 1(1+i) -n en la suma del valor actual. r = razón de la progresión; (1+i) -1 en la suma del valor actual. La expresión anterior nos da el valor actual de la renta unitaria pospagable, inmediata, temporal y constante Si generalizamos para cualquier renta constante, temporal, inmediata y pospagable de un término C durante n periodos a un interés efectivo compuesto i, ésta será:

18 Compra de maquinaria Vidrieras, S. L., tiene que comprar una máquina para cortar los vidrios, Felipe consulta con una entidad financiera la forma de financiarse para su adquisición. Las condiciones son a pagar cuotas al año, durante 5 años al 12% efectivo anual. A cuanto asciende el importe del capital concedido para que Vidrieras, S. L., pueda adquirir la máquina? Vemos que es una renta constante porque se pagan en todas sus cuotas; es pospagable e inmediata porque la primera cuota es un año después de la concesión del crédito; y es temporal porque la duración es de 5 años. El tanto es el 12% de interés efectivo anual que es equivalente con los periodos de vencimientos de las cuotas, que son anuales. Obtener el importe del capital o cantidad prestada para poder adquirir la maquinaria es calcular el valor actual de la renta. Y cuál sería el montante o valor final que Vidrieras, S. L., pagaría por la adquisición de esa maquinaria al terminar de pagar la última cuota dentro de cinco años? La solución está en capitalizar el valor actual, es decir, obtener el montante o valor final. Si aplicamos la fórmula del interés compuesto, el montante resultante será: C5 = C0 (1+i)5 = ,3286 (1+0,12)5 = ,54207 I = C5 - C0 = , ,3286 = 8.244,21347 Gracias al curso de Gestión Financiera que está realizando, Felipe puede comprobar que financiar la adquisición de la máquina en 5 años supondrá un aumento del valor de la misma en un 76,23% más que si la pagamos en el momento de la compra o al contado. Le interesaría a Vidrieras, S. L., acogerse a esta financiación para poder comprar la maquinaria? Todo dependerá de la liquidez de la empresa. Es evidente que debe adquirirse, porque se necesita para el desarrollo de la actividad empresarial. Tal vez, Felipe deba consultar con más entidades para ver si se reduce el coste final, todo depende de las demás condiciones que le propongan, como cuotas a pagar, tipo de interés efectivo o TAE y el periodo de financiación entre otros. Valor final de la renta pospagable (S). A partir del valor actual podemos calcular el valor final de una renta unitaria, ya que aplicando las leyes financieras de capitalización compuesta, debemos capitalizar el valor actual al último periodo del vencimiento de la operación, igual que lo hemos hecho en el apartado anterior. Gráficamente: Sustituimos en el valor final: De la formula anterior podemos obtener el valor actual en función del valor final:

19 También el valor final de una renta unitaria se obtiene capitalizándola al momento n a una tasa de interés efectivo compuesto: También el valor final de una renta unitaria se obtiene capitalizándola al momento n a una tasa de interés efectivo compuesto: Adquirir una nueva máquina Felipe propone a Vidrieras, S. L., que el próximo año haga un depósito anual de 1.000, pues sabe que dentro de siete años se tendrá que adquirir nuevamente una máquina y, de esta manera, se genera un fondo equivalente a la depreciación que recibe la actual año tras año. Cuál será el fondo de depósito obtenido si la entidad se lo pone a un 5% efectivo anual? Plan de pensiones Indica la respuesta correcta: Vidrieras, S. L., quiere destinar una parte de los beneficios obtenidos a ayudas sociales para sus empleados, por lo que ha decidido hacer un plan de pensiones global para todos ellos. Decide firmar un contrato con Vitalicio Seguros, S. A., cuyos pagos se realizarán a partir del próximo año, en cuotas de anuales durante 20 años, al 5% de interés efectivo anual. A cuánto asciende la ayuda social anual, destinada a los planes de pensiones? Paso 2.3. Cálculo del valor actual y final de una renta financiera constante, prepagable inmediata y temporal Se entiende por renta prepagable aquella cuyos términos vencen al principio del periodo. Valor actual de una renta prepagable (ä ) Gráficamente representamos una renta prepagable:

20 El valor actual de una renta prepagable unitaria será: Vemos también que la renta prepagable es la suma de una progresión geométrica de razón (1+i) -1. Sustituimos en la Spg, que vimos en el paso anterior, y tendremos que: Al sustituir y despejar en la fórmula de la progresión geométrica, vemos que el valor actual de una renta unitaria prepagable es igual a una renta unitaria pospagable multiplicada por (1+i). Despejando el valor actual de una renta pospagable, obtendremos que es igual a la renta prepagable multiplicada por (1+i): Para cualquier renta constante C, su valor actual será: Alquiler de una nave I Vidrieras, S. L., ha alquilado una nave de su propiedad, Felipe ha hecho el contrato y en las cláusulas indica que se alquila por 10 años y a principios de cada año se ingresará en la cuenta de ahorro de BCHarte, , si está la cuenta a un interés del 4% de interés efectivo compuesto. Felipe tiene que calcular el valor actual. Según vemos, pagar a principios de cada año, nos indica que estamos ante una renta prepagable e inmediata; que la duración del alquiler sea a 10 años, nos indica que es temporal; y que se pague todos los años nos indica que estamos ante una renta constante. Así, sustituimos en la fórmula del valor actual de la renta prepagable:

21 Valor final de una renta prepagable ( Š ) El valor final siempre es igual al valor actual multiplicado por (1+i) n. Gráficamente representamos ambos valores: Tendremos que el valor final de una renta unitaria prepagable será: También el valor final se obtiene de capitalizar la renta al momento n: Recordemos que estamos ante la suma de una serie en progresión geométrica de razón (1+i). En ambas igualdades el valor final de una renta unitaria prepagable es igual al valor final de una renta pospagable multiplicado por (1+i): Para cualquier C, el valor final de la renta prepagable será: Entonces para una renta prepagable, inmediata, constante y temporal de una serie de términos C, el valor final será en definitiva el valor final de una renta pospagable multiplicado por (1+i): El valor final de una renta prepagable se puede obtener a partir de su valor actual: Sustituyendo en el valor actual de la renta prepagable, veremos que el valor final de ésta puede depender del valor actual de una renta pospagable: Es muy importante que aprendamos a interrelacionar unos valores con otros, ya que todos se fundamentan en los conceptos que ya conocemos de la equivalencia

22 financiera de actualización y capitalización y nos permite saber deducir y no tener que memorizar todas y cada una de las fórmulas. Alquiler de una nave II Felipe, tras haber aprendido a calcular el valor final de una renta prepagable, aplica estos conocimientos a la operación efectuada por Vidrieras, S. L., al alquilar la nave, ya que quiere conocer el montante final que se obtendrá con el dinero depositado a diez años en la cuenta de ahorro en la entidad BCHarte. Partimos del valor actual calculado en el ejercicio anterior: Sustituimos en la fórmula del valor final de la renta prepagable inmediata, constante, temporal: Valor actual y valor final Haz corresponder la fórmula con el concepto: Alquiler de apartamentos Una cadena hotelera percibe unos ingresos anuales por alquiler de apartamentos por un valor de Calcular el valor final de 5 años, si tiene una rentabilidad del 4% de interés efectivo anual. Solución:

23 Evaluación 1 Completa la siguiente expresión arrastrando las palabras correctas: Evaluación 2 Indica la respuesta correcta: Una empresa de transportes de viajeros, crea un depósito de anuales, a ingresar a finales de cada año, para dotar de fondo suficiente para la renovación de autocares que a criterio de la compañía se realiza cada 5 años. Si se deposita a un interés del 7% de interés efectivo anual en el BBVA, a cuánto ascenderá el importe del fondo depositado?

24 Evaluación 3 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: Tema 3. LAS RENTAS FINANCIERAS (II): RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA POSPAGABLES Y PREPAGABLES Felipe ha comprobado lo útil que es saber calcular el valor actual y valor final de las rentas constantes, inmediatas, temporales, sean pospagables o prepagables, pues le ha permitido valorar financieramente cualquier operación de adquisición de maquinaria, o de realizar un fondo que capitalice el dinero, y poder disponer de él en un momento determinado. Pero no siempre las rentas son constantes; existen situaciones en la vida real en que lo constante se convierte en variable. Por eso Felipe va a aprender a calcular las rentas financieras variables en función de un comportamiento matemático, es decir, si las rentas varían en progresión aritmética o en progresión geométrica, aunque no por ello dejen de ser temporales, inmediatas pospagables o prepagables. En ambos casos conoceremos el valor actual y el valor final de dichos tipos de rentas variables. Para que Felipe pueda comprender estos nuevos aspectos, deberá seguir los pasos que se indican a continuación: Paso 3.1. Saber calcular el valor actual y final de una renta financiera inmediata, temporal, pospagable y prepagable variable en progresión aritmética.

25 Paso 3.2. Saber calcular el valor actual y final de una renta financiera inmediata, temporal, pospagable y prepagable variable en progresión geométrica. Paso 3.1. Cálculo de los valores actual y final de una renta financiera inmediata, temporal, pospagable y prepagable variable en progresión aritmética Rentas pospagables, inmediatas, temporales y variables en progresión aritmética. Se entiende que una renta varía en progresión aritmética porque sus términos varían siguiendo la ley de la progresión aritmética, es decir, cada término (C) es igual al anterior más el valor de la razón de la progresión aritmética (d), que hace que cada término siguiente vaya aumentando de forma sumativa, mediante periodos de vencimientos entre los términos de igual amplitud y a una tasa de interés constante (i) a lo largo de la duración de la operación financiera (n). Gráficamente la renta inmediata, pospagable, temporal, variable en progresión aritmética será: Valor actual de una renta pospagable variable en progresión aritmética. Aplicando la ley de equivalencia financiera, el valor actual de esta renta será igual a la actualización de todos los términos en el momento cero, tendremos: Si realizamos la demostración siguiente que consiste en multiplicar al valor actual de esta renta por su razón y luego se restan ambos valores actuales, obtendremos la fórmula siguiente: Fundación Vidrieras Vidrieras, S. L., ha crecido mucho, y ha creado una fundación para financiar los estudios de unos niños de ocho años hasta que éstos cumplan la mayoría de edad, huérfanos de padres trabajadores de la empresa. Felipe se encargará de que durante ese periodo la fundación reciba por Navidad la ayuda correspondiente, aumentando el fondo cada año en un importe de El primer año se donan, sin embargo, Si este fondo se deposita en una cuenta con una rentabilidad del 5% de interés efectivo compuesto anual, a cuánto asciende el fondo de orfandad creado por la empresa? Renta pospagable = se paga en navidades, que es al final del año. Renta variable en progresión aritmética= aumenta en cada año. Duración de la operación = 10 años. i = 0,05 d = C = Sustituimos en el valor actual de la renta variable en progresión aritmética:

26 Valor final de una renta pospagable en progresión aritmética. El valor final de esta renta se puede obtener capitalizando al momento n el valor actual. Gráficamente queda representado el valor final de esta renta: La fórmula será: Simplificamos quitando paréntesis: Si sustituimos el valor final por su fórmula en el multiplicador n d, podemos simplificar más esta expresión, obteniendo la siguiente igualdad: Fondo para situaciones extraordinarias Felipe abre una cuenta de ahorro para realizar depósitos anuales que generen un fondo de dinero para situaciones extraordinarias que puedan surgir en la empresa: se realizará después de obtener los resultados del ejercicio económico. Se acuerda iniciar el mismo con 6.000, que se aumentarán en cada año, durante cinco años, a un interés efectivo compuesto anual del 9%. Qué importe se obtendrá al cabo de ese tiempo?. Interpretando los datos del ejercicio: Es una renta inmediata y pospagable: porque se realiza al final del ejercicio económico anual. Es una renta variable en progresión aritmética: porque el importe aumenta cada año en Es una renta temporal: porque se realizará durante cinco años. i = 0,09. C = d = Sustituimos en la fórmula del valor final de la renta variable:

27 Rentas prepagables, inmediatas, temporales variables en progresión aritmética Por lo que hemos visto anteriormente, los valores actuales y finales de una renta prepagable son siempre iguales a los valores actuales y finales de una renta pospagable multiplicados por (1+i), aunque las rentas sean variables. Vamos a obtener el valor actual y final de dichas rentas. Valor actual de una renta inmediata, temporal, prepagable y variable en progresión aritmética. La fórmula para hallar el valor actual de una renta inmediata, temporal, prepagable y variable en progresión aritmética es la siguiente: Veámoslo con un ejemplo: Vidrieras, S. L., decide acordar con uno de los proveedores que el precio de las materias primas sea aumentado a principios de año sólo en 100 cada año durante seis años; que el importe de compra establecido a pagar a partir de enero sea de , si el interés efectivo anual es del 3%. Felipe tiene que calcular el valor actual de dicha operación. Para ello, sustituirá estos valores en la fórmula del valor actual de una renta prepagable variable en progresión aritmética como se describe a continuación: Valor final de una renta inmediata, temporal, prepagable y variable en progresión aritmética. Partiendo del valor final de la renta pospagable en progresión aritmética, multiplicado por (1+i), el valor final de la renta prepagable será: Recordemos que el valor final también es igual a su valor actual multiplicado por (1+i) n : Imaginemos que Felipe tiene que calcular el valor final del ejemplo anterior, cuyo valor actual era ,31574, la duración del acuerdo de seis años y el interés efectivo anual del 3%: S n i = Ã n i (1+i) n =68.303, ,03 6 =81.557,73102

28 Fondo de amortización I Indica la respuesta correcta: Una empresa debe de crear un fondo de amortización por depreciación del equipamiento por un importe de a principios de año, aumentando en 300 cada año, durante 8 años al 7% de interés efectivo anual. Qué valor tendra ese importe en el día de hoy? Fondo de amortización II Indica la respuesta correcta. Tomando los datos de la actividad anterior, tienes que calcular el fondo constituido al cabo del tiempo. * C = * d = 300 *i = 0,07 *n = 8 * Paso 3.2. Cálculo del valor actual y final de una renta financiera inmediata, temporal, pospagable y prepagable variable en progresión geométrica Rentas pospagables, inmediatas, temporales, variables en progresión geométrica Estas rentas se caracterizan porque sus términos varían en progresión geométrica. Gráficamente se representa: Valor actual de una renta inmediata, temporal, pospagable y variable en progresión geométrica. El valor actual o valor inicial de la renta (Å), se obtendrá aplicando el principio de equivalencia financiera para cada término de la renta en el momento cero:

29 Estamos ante la suma de una progresión geométrica de razón q (1+i)-1 y aplicando la fórmula de la suma de la progresión geométrica ( )será el valor actual igual a: Vemos que el numerador y el denominador están multiplicados por (1+i)-1 y en el numerador se puede sacar como factor común C. Haciendo las correspondientes simplificaciones tendremos que el valor actual será: Qué pasaría si q = 1+i? Si vamos a la igualdad del valor actual tendremos: Valor actual de un depósito a 10 años Felipe realiza un depósito de a finales de cada año, e ingresará un 3% más cada año, durante 10 años. Si tiene una rentabilidad del 4% de interés efectivo anual, cuál será el valor del importe en el momento actual? Si con los mismos datos, q = 1,04, cuál sería su valor actual? Valor final de una renta inmediata, temporal, pospagable y variable en progresión geométrica. Gráficamente se representa: Ya sabemos que el valor final de una renta es igual al valor actual multiplicado por (1+i)n, por lo que tendremos: Simplificando la expresión anterior, el valor final de la renta será: En el caso de que q = 1+i, el valor final será:

30 Cuenta de ahorro Vidrieras, S. L., hace 4 años abrió una cuenta de ahorro en la entidad BCHarte, ingresando a finales de año , aumentándolo en un 6% cada año, a una tasa de interés efectiva anual del 5%. Decide cancelar la misma. Qué importe se ha obtenido? Rentas prepagables, inmediatas, temporales variables en progresión geométrica Sabemos que el valor actual y final de una renta prepagable, inmediata y temporal siempre está en función del valor actual y final de una renta pospagable, inmediata y temporal multiplicada por (1+i), ya sea constante o variable en progresión aritmética o geométrica. A continuación vamos a obtener dichos valores: Valor actual de una renta prepagable, inmediata, temporal y variable en progresión geométrica. Gráficamente esta renta se representa: La fórmula es: Valor final de una renta prepagable, inmediata, temporal y variable en progresión geométrica. El valor final de esta renta es igual a su valor actual multiplicando por (1+i) n o también es igual al valor final de una renta pospagable multiplicando por (1+i): En el caso de que q = 1+i, veremos como será el valor actual y final de una renta prepagable, inmediata, temporal y variable en progresión geométrica: - Partimos de que el valor actual de una renta pospagable es igual al valor actual de renta prepagable multiplicado por (1+i): - Partimos de que el valor final de una renta pospagable es igual al valor final de renta prepagable multiplicado por (1+i) o a su valor actual multiplicado por (1+i) n : Podemos comprobar que llegamos al mismo resultado.

31 Libreta joven Indica la respuesta correcta: Un padre abre una Libreta Joven para que su hijo de cinco años, hasta su mayoría de edad, se acostumbre a ahorrar. En el primer regalo de Reyes Magos le dio 100 para ingresarlo en la libreta, y cada año le aumenta en un 1% más por año cumplido. Si da una rentabilidad del 4% de interés efectivo anual, qué dinero obtendrá en su mayoría de edad? Compra de maquinaria a crédito Indica la respuesta correcta. Una empresa compró una máquina hace siete años y se financió con un crédito cuyo primer pago se realizó al año de su adquisición por un importe de 1.500, aumentándose el pago anual en un 5% acumulativo al 5% de interés efectivo anual. Cuánto era el importe de la máquina hace siete años? Evaluación 1 Indica la respuesta correcta: Una empresa de publicidad consigue una concesión administrativa de 15 años para hacer publicidad de la Ciudad de Madrid a los turistas extranjeros. La empresa cobrará a finales de año un importe de , que aumentará en cada año, por ajustarse al índice del coste de la vida, si la operación tiene un 8% de interés efectivo anual, cuál es el importe final que supone dicha concesión al final de la misma?

32 Evaluación 2 Establece la correspondencia entre cada concepto y su fórmula: Tema 4. LAS RENTAS FINANCIERAS (III): RENTAS PERPETUAS, RENTAS DIFERIDAS, RENTAS ANTICIPADAS Y RENTAS FRACCIONADAS Felipe ha visto que las rentas pueden ser constantes y variables, pero todas reúnen las mismas características, son inmediatas y temporales, ya sean prepagables o pospagables. Ahora, Felipe va a conocer otros tipos de rentas que se caracterizan por circunstancias especiales, las rentas perpetuas, ya que sus términos son muy pequeños o el tiempo es infinito. También Felipe se encontrará con un tipo de rentas que no son inmediatas, pues existe un tiempo anterior al principio de la serie, entonces la renta es diferida o al contrario que la serie finaliza antes que la duración del periodo luego estamos ante una renta anticipada. Lo más habitual es que Felipe se encuentre con rentas fraccionadas, cuya serie de términos esté dividida en periodos inferiores al año, es decir fraccionados en meses, semestres, trimestres, cuatrimestres, bimestres, diarios. Entonces, Felipe, aplicando los conocimientos adquiridos anteriormente, aprenderá lo sencillo que es realizar el cálculo del valor actual y final de estas rentas y se encontrará con situaciones parecidas en la empresa que podrá resolver y valorar sus resultados. Paso 4.1. Conocer las rentas perpetuas, inmediatas, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica. Paso 4.2. Conocer las rentas anticipadas, temporales o perpetuas, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica.

33 Paso 4.3. Conocer las rentas anticipadas, temporales o perpetuas, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica. Paso 4.4. Conocer las rentas fraccionadas. Paso 4.1. Rentas perpetuas inmediatas, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica Una renta perpetua, o renta a perpetuidad, es aquella que tiene infinitos periodos. Este tipo de rentas no tienen valor final. Vamos a ver como se calcula el valor actual de las mismas, según sean rentas prepagables o pospagables con términos constantes o variables. Rentas perpetuas, inmediatas, pospagables y prepagables constantes. El valor actual de estas rentas de término unitario y de duración n tendiendo a infinito y partiendo del valor actual de una renta unitaria temporal es: Para cualquier término C, el valor actual de una renta inmediata perpetua constante y pospagable será: Sabemos que para cualquier término C, el valor actual de una renta inmediata perpetua constante y prepagable es igual al valor actual de una renta inmediata perpetua constante y pospagable multiplicada por (1+i): Plan de pensiones para directivos Vidrieras, S. L., firma un plan de pensiones para sus directivos y demás trabajadores con Caser Seguros, si a principios de año paga una cuota de Felipe tiene que calcular el importe de dichos gastos sociales, si tiene una rentabilidad del 3%. Rentas perpetuas, inmediatas, pospagables y prepagables variables en progresión aritmética. Partiendo del valor actual de una renta inmediata, temporal, pospagable variable en progresión aritmética: Se obtiene la renta perpetua, inmediata, pospagable, variable en progresión aritmética, cuando n en la renta anterior:

34 Desarrollamos la fórmula y obtendremos el valor definitivo de la renta: Para calcular el valor actual de la renta la renta perpetua, inmediata, prepagable, variable en progresión aritmética esta se obtiene en función de la renta anterior multiplicada por (1+i): Rehabilitación de vidrieras de catedrales Vidrieras, S. L., ha ganado un concurso público del Ministerio de Cultura para rehabilitar y mantener a perpetuidad todas las vidrieras de las Catedrales de España. A finales de año, Vidrieras, S. L., recibirá del Estado un importe de , que irá en aumento de más cada año. Si la tasa de interés efectiva anual es del 6%, cuánto le cuesta al Estado, en el día de hoy, dicha rehabilitación? Felipe comprueba que está ante una renta perpetua, inmediata, pospagable variable en progresión aritmética. Busca sus apuntes y realiza los cálculos siguientes: Rentas perpetuas, inmediatas, pospagables y prepagables variables en progresión geométrica. Se parte del valor actual de una renta temporal, inmediata, constante pospagable y variable en progresión geométrica: Cuando esta renta pasa a perpetua, sólo tendrá un valor si q < 1+i, ya que cuando q = 1+i el valor de la renta es infinito y si q > 1+i da un valor negativo, luego no es un dato real. Entonces tendremos que: Siempre que q < 1+i, éste será el valor actual de una renta perpetua, inmediata, pospagable en progresión aritmética. (1+i): Al igual que en los puntos anteriores, esta renta será prepagable siempre que se multiplique Plan de pensiones privado Un particular cumple 65 años. En su día hizo su plan de pensiones privado de la entidad financiera BBVR. Ésta le ofrece dos opciones, cobrar íntegramente el fondo constituido durante los años pasados o recibirlo mediante cuotas anuales a perpetuidad.

35 El particular acuerda con la entidad la segunda opción y a partir de este año cobrará un importe de , que se irá aumentando cada año en un 4% más. Si la tasa de interés es del 7% efectivo anual, cuál es el fondo de pensión constituido por este particular a día de hoy? Paso 4.2. Rentas diferidas, temporales o perpetuas, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica Rentas diferidas, temporales, constantes, pospagables y prepagables Estas rentas se denominan diferidas porque el primer término o cuota de la renta comienza en un vencimiento posterior al momento de constitución de ésta, dicho vencimiento es el periodo de diferimiento (d). Gráficamente sería: Luego el valor actual de una renta unitaria diferida, temporal, constante y pospagable es igual al valor actual de una renta unitaria inmediata actualizada al momento cero en d periodos de diferimiento. Luego tendremos que: Para cualquier valor C, la renta diferida será: Calculada la renta diferida pospagable constante temporal, multiplicando por (1+i), tal y como sabemos se obtiene la renta diferida prepagable, constante, y temporal: El valor final de estas rentas es igual al valor actual multiplicado por (1+ i) n, no hay diferencia con el valor final de las rentas inmediatas. Financiación de Renault Scenic Un concesionario de Renault para el coche Renault Scenic, ofrece el sistema de financiación siguiente: si se adquiere ahora el coche, la primera cuota de se

36 pagará al final del tercer año, durante 10 cuotas a un interés efectivo anual del 5%. Cuánto vale el coche? Construcción de una nave I Vidrieras, S. L., ha solicitado una nave a construir por el Ayuntamiento de Segovia. Hasta dentro de dos años no estará disponible; a partir de esa fecha se realizarán pagos anuales a principios de enero de durante 5 años, si la tasa de interés es del 4% efectivo anual. Ahora Felipe va a calcular el importe de dicha nave. Rentas diferidas, perpetuas, constantes, pospagables y prepagables Sabemos que las rentas perpetuas no tienen valor final; en cuanto al periodo de diferimiento, tiene el mismo tratamiento que en las rentas anteriores. Luego el valor actual de una renta diferida, perpetua, constante y pospagable se calculará a partir del valor actual de la renta inmediata perpetua, constante y pospagable multiplicado por (1+i) -d. A partir de esta renta obtenemos el valor actual de una renta diferida, perpetua, constante y prepagable: Rentas diferidas, temporales o perpetuas, pospagables y prepagables variables en progresión aritmética o geométrica Por lo que hemos visto anteriormente, el valor actual de las rentas diferidas, temporales o perpetuas, variables en progresión aritmética o geométrica, sean pospagables o prepagables siempre serán igual a las rentas inmediatas, temporales o perpetuas, sean pospagables o prepagables, variables en progresión aritmética o geométrica multiplicadas por (1+i) -d, que es el periodo de diferimiento.

37 Construcción de una nave II Vidrieras, S. L., dentro de dos años, cuando esté disponible la nave adquirida en Segovia, tiene pensado dar doble paga extraordinaria en diciembre por un importe total de al año a aquellos empleados que estén dispuestos a trasladarse a Segovia. Si la operación tiene un interés del 8% efectivo anual, Felipe ha de calcular el importe de gasto salarial que supone dicha operación. Renovación de la flota de camiones Una empresa quiere renovar su flota de camiones en el mes de enero, pero dentro de cuatro años. Se calcula que el préstamo se pagará mediante cuotas de anuales, aumentando en cada año, a pagar durante 10 años, a una tasa de interés del 3% efectiva anual. A cuánto asciende el importe de la flota en la actualidad? Paso 4.3. Rentas anticipadas, temporales, pospagables o prepagables, constantes o variables en progresión aritmética o geométrica Una renta es anticipada porque hay un intervalo de tiempo entre el vencimiento de la última cuota y la finalización de la operación o última fecha de vencimiento. Dicho intervalo es el periodo de anticipación (a). Es decir, la renta es anticipada porque el momento de su valoración es posterior al final de la renta. Luego la anticipación sólo afecta a los valores finales de las rentas.

38 Estas rentas sólo pueden ser temporales ya que las rentas perpetuas no tienen valor final. Rentas anticipadas, temporales, constantes pospagables o prepagables. Gráficamente el valor final de una renta unitaria anticipada pospagable será: Para cualquier valor C, el valor final de una renta anticipada, temporal, constante y pospagables es: Ahora se puede obtener el valor final de una renta anticipada temporal, constante y prepagable ya que es igual al valor final de una renta anticipada temporal, constante y pospagable multiplicada por (1+i): Gráficamente vemos una renta unitaria, anticipada, prepagable, temporal: Luego tendremos: Alquiler de máquina para cortar metales Vidrieras, S. L., piensa alquilar una máquina para cortar metales; el arrendamiento es mediante cuotas de pagaderas al principio de cada año durante seis años. En los dos años siguientes el alquiler es gratuito. Felipe ha de calcular el valor del importe total que supone dicha adquisición, si la operación es del 5% de interés efectivo anual. Rentas anticipadas, temporales, pospagables y prepagables variables en progresión aritmética o geométrica.

39 Como hemos visto en el cálculo del valor de las rentas anticipadas constantes, lo mismo ocurre en el cálculo del valor final de las rentas anticipadas variables en progresión aritmética o geométrica: serán igual a los valores finales de las rentas inmediatas variables en progresión aritmética multiplicadas por (1+i) a, que es el periodo de anticipación. Financiación de estudios universtarios El Banco BCS financia los estudios universitarios, mediante cuotas anuales de a principios de cada curso, aumentando en 200 más cada año, el alumno recibe este préstamo durante 5 años. Pagará el importe íntegro más los intereses del 3% efectivo anual a los 3 años siguientes de finalizados sus estudios. A cuánto asciende el préstamo concedido? Paso 4.4. Rentas fraccionadas Hasta ahora, los términos de la renta han sido de capitalización anual, pero es posible que dichos términos se correspondan con periodos inferiores al año, en cuyo caso nos encontramos ante una renta fraccionada o de frecuencia distinta a la anual. En estas rentas el periodo de capitalización del tanto no siempre coincide con el periodo del término de la renta. Recordemos que uno de los principios de la equivalencia financiera es que el tiempo y el tanto deben estar referidos a la misma unidad del tiempo, de lo contrario, debemos hacer las oportunas transformaciones. Nos encontramos con dos casos de fraccionamiento, cuando el término es anual y el tanto fraccionado y cuando el término es fraccionado y el tanto anual: Rentas constantes, temporales e inmediatas con el tiempo del tanto fraccionado y el tiempo del término anual

40 Estamos ante un término C anual y un tanto i m de fraccionamiento inferior al año. Como hay que igualar ambos tiempos, tenemos dos opciones: 1. Calcular el tanto efectivo anual i, a partir del tanto de frecuencia i m, y después calcular el valor de la renta en función de sus características. Sabemos que: 2. Calcular un término C' equivalente para la renta dada que coincida con el periodo de capitalización de frecuencia m, teniendo en cuenta que la duración de la misma debe de expresarse en m n periodos. Gráficamente sería: Si subdividimos C en C' en m fracciones para coincidirlo con el tiempo del tanto im, gráficamente para un subperiodo será: Vemos que C' en este intervalo es una renta constante pospagable de duración m, valorada al tanto im cuyo valor final es C. Para obtener el valor del término fraccionado, tendremos que: También se deduce que C = También podemos calcular C' en una renta prepagable, constante, inmediata de término C anual, duración n años y tanto im : Stand en una feria de artesanía Vidrieras, S. L., pagará durante siete años un importe de por participar en un stand en la feria de las Artesanías. Si el interés es del 8% efectivo semestral, Felipe calculará el importe total a día de hoy.

41 Rentas constantes, temporales, e inmediatas con el tiempo del tanto anual y el tiempo del término fraccionado Estamos ante un término C' fraccionado en el tiempo y un tanto i anual. Debemos igualar el tiempo del tanto o del término, para que ambos periodos de tiempo sean iguales. Tenemos dos opciones: 1. Calcular el tanto fraccionado i m a partir del tanto anual i. Sabemos que se calculará el valor actual de la renta en función de sus características: 2. Calcular el término anual C partiendo del término fraccionado C' y del tiempo del tanto anual i Anteriormente se establecía en la renta pospagable la igualdad entre C' y C: Anteriormente se establecía en la renta pospagable la igualdad entre C' y C: Cuenta de ahorro Felipe ha decidido abrir una cuenta ahorro en la que ingresa 300 todos los meses, nada más cobrar su salario. Si el interés es del 5% efectivo anual, a día de hoy, cuánto habrá depositado en cuatro años. Evaluación 1 Indica la respuesta correcta: Una empresa de Viveros recibirá una subvención a perpetuidad del Ayuntamiento de Segovia, por rehabilitar y mantener los jardines del Palacio Real de la Granja. La primera cuota es por un importe de , aumentando esta cada año en más, si el interés es del 6% efectivo anual. A cuánto asciende el valor de la subvención concedida a esta empresa?

42 Evaluación 2 Indica la respuesta correcta: Una empresa de alquiler y venta de aparatos electrónicos ofrece el siguiente sistema de financiación: si se adquiere ahora un ordenador portátil la primera cuota de 120 se pagará al principio del tercer año, durante 10 cuotas a un interés efectivo anual del 5%. Cuánto vale el ordenador? Evaluación 3 Indica la respuesta correcta: Una empresa solicita un préstamo para comprar un camión. Las condiciones son las siguientes: se ha de pagar en mensualidades de 500 durante cuatro años, al 7% de interés nominal capitalizable mensualmente. A cuánto asciende el importe del préstamo solicitado? Síntesis En esta unidad se contemplan los conocimientos y procedimientos habituales de cálculo financiero y comercial en las operaciones de capitalización compuesta, es decir, que se realizan a medio y largo plazo. Son operaciones de capitalización compuesta, los cálculos del interés compuesto, el descuento compuesto y las rentas. Para realizar estas operaciones es necesario que la unidad del tiempo de los tipos sea igual a la unidad de tiempo del periodo de vencimiento entre dos términos, por lo que hay que establecer la equivalencia de los tiempos de los tantos efectivo anual, nominal anual y fraccionado, así como la de los capitales en situaciones cuya fecha del vencimiento sea común o medio. Las rentas contempladas como una serie de términos de capitales, pueden ser constantes o variables en progresión aritmética o geométrica, de carácter temporal o perpetuo, ya sean inmediatas a la fecha de constitución de la operación o diferidas o anticipadas.

43 En todas ellas, se han deducido los valores actuales y finales y la relación existente entre las rentas pospagables y prepagables. Operaciones de capitalización compuesta Operaciones de capitalización compuesta Interés compuesto Montante o capital final: Cn=Co (1+i) n, In=Cn -Co = Co(1+i) n -Co= Co[(1+i)n -1] Equivalencia entre tipos: o Equivalencia entre tipos efectivo anual (i) y fraccionado (im): (1+i) = (1+ im)m. o Equivalencia entre tipos nominal (jm) y fraccionado (im): jm = im_ m. TAE o TAE con gastos o TAE sin gastos Descuento compuesto Valor efectivo: E = N _ (1- dc)n. Descuento comercial: Dc = N _ [1-(1- dc)n].