( )( ) Ejemplo 1. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 10% de interés semestral. Determine: a) Cuál es el interés ganado a los 6 meses?

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1 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo UNIDAD I. FUNDAMENTOS ECONÓMICOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS. Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Saber: Identificar los elementos de los diagramas de flujo de efectivo, el efecto del tiempo y el interés en el dinero, el significado de los factores económicos (valor presente, futuro, gradientes aritméticos geométrico y series uniformes); tasas de interés, nominales y efectivas). Saber hacer: Elaborar diagramas de flujo de efectivos aplicando los conceptos fundamentales de la ingeniería económica para el inicio de los cálculos económicos. Dado que en los diagramas de flujo de efectivo se requieren varios periodos de capitalización es importante entrar al tema de interés compuesto y su significado. Introducción y conceptos básicos de interés compuesto Si un capital C al terminar un periodo de inversión (por ejemplo un año) genera un monto M; no se retira entonces al segundo periodo éste dinero empieza a crecer nuevamente como si fuera un nuevo capital. En el interés simple, el capital que genera intereses permanece constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original formándose un nuevo capital y así sucesivamente. Ejemplo 1. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 10% de interés semestral. Determine: a) Cuál es el interés ganado a los 6 meses? I=niC 1 ( )( ) I=(1semestre) 0.1 $100, 000 = $10, 000 semestre b) Si no se retira el dinero de la cuenta; cuanto es el valor acumulado en la misma: M=C+I = $110,000 c) Si el monto obtenido en el inciso anterior se deja como capital para otros 6 meses, determine el nuevo monto al finalizar este nuevo plazo. + ni ( ) 1 ( )( ) M=$110, semestre 0.1 semestre = $11, 000 Periodo de capitalización Es el plazo de tiempo en el cual el interés generado se convierte en parte del capital. En el caso del ejemplo anterior el periodo de capitalización es de 6 meses. Frecuencia de conversión o capitalización Es el número de veces que el dinero se capitaliza en un año. En el caso del ejemplo anterior fue de dos veces, ya que cada semestre se capitaliza el dinero. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I = M - C Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Ejemplo. Cuál es la frecuencia de conversión de una cuenta bancaria que capitaliza el dinero en un periodo: a) Trimestral Meses en un año 1 Frecuencia de conversión= = = 4 Meses en un trimestre 3 b) Bimestral Meses en un año 1 Frecuencia de conversión= = = 6 Meses en un bimestre Tasa de interés compuesto. Se expresa en forma anual y cuando es necesario con el periodo de capitalización, algunos ejemplos son: 0% anual capitalizable mensualmente 0% anual capitalizable bimestralmente 0% anual capitalizable trimestralmente 0% anual capitalizable cuatrimestralmente 0% anual capitalizable semestralmente 0% anual capitalizable anualmente Ejemplo 3. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 0% de interés anual capitalizable semestralmente. Determine: a) El monto después de un semestre. + ni ( ) 0. 1 M=$100, ( 1semestre ) semestre = $110, 000 Nótese que la tasa anual se convierte a semestral para poder multiplicar por un periodo semestral b) El monto después de dos semestres. Como en interés compuesto el monto del periodo inmediato anterior se convierte en el capital del periodo siguiente; el cálculo que debe hacerse es: + ni ( ) 0. 1 M=$110, ( 1semestre ) semestre = $11, 000 El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente. c) El monto después de tres semestres. Nuevamente se usa el monto del periodo inmediato anterior que fue de $11,000 como capital. + ni ( ) 0. 1 M=$11, ( 1semestre ) semestre = $133,100 El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente. En resumen lo que se hizo fue: 0. M=$100, = $110, 000 Monto al final del 1er periodo El monto al final del periodo Se usa como capital del siguiente periodo 0. M=$110, = $11, 000 Monto al final del do periodo 0. M=$11, $133,100 = Monto al final del 3er periodo Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

3 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Ahora observe la operación con la cual se obtuvo el monto al final del primer periodo: 0. $100, = $110, 000 Monto al final del 1er periodo Y observe como se obtuvo el monto al final del segundo periodo: 0. $110, $11, 000 = $100, = $11, 000 El monto al 3er periodo se obtendría: $100, $133, = Por similitud el monto al final del 4to periodo: $100, $133, = O también se puede abreviar como: 0. $100, = $146, Con este ejercicio deducimos la fórmula de interés compuesto para n periodos de capitalización transcurridos: Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos n ; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual. Ejemplo 4. Se realiza un depósito de $100,000 a 5 años; realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del 0% anual y usando una columna para interés simple y otra columna con interés compuesto capitalizable anualmente. Año Monto a interés simple Monto a interés compuesto. La tasa es anual capitalizable anualmente 0 $100,000 $100,000 1 $10,000 $10,000 $140,000 $144,000 3 $160,000 $17,800 4 $180,000 $07,360 5 $00,000 $48,93 Recomendación: EL ESTUDIANTE EN SU CASA CON UNA COMPUTADORA OBTENDRÁ LAS CANTIDADES DE LA TABLA ANTERIOR INTRODUCIENDO LAS ECUACIONES DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO SEGÚN SEA LA COLUMNA QUE CALCULE. El monto al final del 5to periodo: 0. M=$100, = $161, Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Título del eje Comparación del crecimiento de los montos bajo interés simple y compuesto $90,000 $40,000 $190,000 $140,000 $90, Título del eje Interes simple Interes compue sto Para hacer este ejercicio usando el paquete EXCEL. Sigue esta liga: Ejemplo 5. Repita el mismo ejemplo 4. Pero si la tasa de interés en la columna de interés compuesto se capitaliza: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Actividad 1.. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y compuesto. PUEDE HACERSE EN EQUIPO. Realiza tanto el caso como el foro que se muestran a continuación: CASO: Se realiza un depósito de $10,000 a 5 años bajo una tasa del 10% anual; se pide: a) Realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del 10% anual y usando una columna para interés simple y otra columna con interés compuesto capitalizable semestralmente. b) Realizar las gráficas para comparar el crecimiento de cada uno de los montos. Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar Actividad 1.. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y compuesto. Ejemplo 6. Determine la frecuencia de conversión y el periodo de capitalización para tasas de interés anuales que se capitalizan: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Interés compuesto En el interés simple, el capital que genera intereses permanece constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I = M - C La ecuación usada para el interés compuesto es: Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos n ; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual. Ejemplo 7. Si se depositan $500,000 en un banco a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente; determine el monto acumulado en los siguientes plazos: a) Dos años b) Tres años Solución: Los datos del problema son: C = $500,000 i = 18% anual capitalizable mensualmente Y solo para el inciso a) Plazo = años M=C(1+i) n (1) 0.18 M=$500, = $714, La tasa anual se capitaliza mensualmente, por lo cual se divide entre 1 para convertirla en tasa mensual La cantidad de periodos en los cuales se capitaliza el dinero es de (1) = 4 esto debido a que la capitalización es mensual Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Ejemplo 8. Se obtiene un préstamo bancario de $15,000 con intereses del 1% anual capitalizable trimestralmente; determine el monto a pagar si el plazo es de: a) Un año b) Dos años c) 7 meses y medio. Solución inciso a): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = 1 año Procedimiento y resultado inciso a): 4(1) 0.1 M=$15, = $16, Solución inciso c): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = 7 meses y medio Procedimiento y resultado inciso c): n = 7.5/4 =.5 trimestres M=$15, = $16, Ejemplo 9. Se contrata un préstamo bancario por $150,000; la tasa de interés es de 0% anual convertible semestralmente. Cuál es la cantidad que deberá pagarse si se liquida el préstamo en un solo pago 15 meses después de haberlo obtenido? ESTE PROBLEMA SERÁ RESUELTO POR EL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Solución inciso b): Datos: C = $15,000 i = 1% anual capitalizable trimestralmente Plazo = año Procedimiento y resultado inciso b): 4() 0.1 M=$15, = $19, Ejemplo 10. Se LIQUIDA un préstamo bancario en $150,000; la tasa de interés es de 0% anual convertible semestralmente. Cuál es la cantidad que se pidió prestada originalmente si el plazo transcurrido fue de 15 meses? ESTE PROBLEMA SERÁ RESUELTO POR EL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6

7 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Actividad 1.3. Ejercicios de interés compuesto. Resuelve los siguientes ejercicios de interés compuesto: 1.- Cuanto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año capital mas intereses bajo una tasa de 4% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente.- Cuánto dinero se pidió prestado a un banco si después de dos años y cinco meses se pagaron $300,000 bajo una tasa de 4% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar 1.3. Ejercicios de interés compuesto. Diagramas de flujo de efectivo y ecuaciones de valores equivalentes Como se ha visto en temas pasados, el dinero cambia de valor en el tiempo, y $1 peso en el presente no valdrá lo mismo que un peso en el futuro; la relación de equivalencia que hemos estudiado entre el monto o valor futuro y el capital o valor presente viene dado por la ecuación: n M=C(1+i) Ejemplo 1. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del % mensual capitalizable mensualmente. Primero debemos hacer la gráfica que relacione las cantidades en el tiempo, esta gráfica se le conoce comúnmente como diagrama de flujo de caja. X (Pago trimestral) $100 $100 $100 Mes transcurrido Hay varias formas de igualar el pago trimestral desconocido X con el valor al cual equivalen los pagos mensuales. Todas estas formas es variando la fecha o el punto en el tiempo de referencia (fecha focal). Una manera es considerando la fecha focal ubicada en el pago trimestral. Quedando de la siguiente forma: ( ) ( ) 1 X=$ $ $100=$ Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 7

8 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo Otra forma es considerando el mes 0 como fecha focal, entonces la ecuación queda: X $100 $100 $100 = + + ( ) ( ) ( ) ( ) La cual al despejar: X $100 $100 $100 = ( ) ( ) ( ) ( ) $100( ) $100( ) $100( ) X= ( ) ( ) ( ) 1 X=$100( ) + $100( ) + $100=$ Ejemplo. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $50,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, siendo el primero de $100,000 el segundo de $00,000 Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36% anual capitalizable mensualmente. Nuevamente realizamos el diagrama de flujo de caja. 100mil $00 X $50mil $50mil Podemos usar la fecha focal como el mes número 6; quedando las ecuaciones de la siguiente manera (en miles de pesos para ahorrar espacio): X + $ $ = $ Por lo tanto al despejar el valor de X queda: X = $ $ $ X = $ (en miles de pesos) X = $198,451 (en pesos normales) Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en 30, 60 y 90 días; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales de 30 y 60 días Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 3.5% mensual; capitalizable mensualmente. El diagrama de flujo simplificado en miles de pesos: X X $15 $15 $15 Mes transcurrido Tomando la fecha focal como el mes 1, queda (en miles de pesos para ahorrar espacio): X $15 $15 X + = $ ( ) ( ) ( ) Factorizando el valor de X: 1 $15 $15 X 1 + = $ $15 $15 $ ( ) ( ) X= = $ ( ) X = $,11.75 (en pesos normales) ( ) ( ) ( ) Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 8

9 Ingeniería Económica Tema 1.. Diagramas de flujo de efectivo EL ALUMNO REALIZA LOS EJEMPLOS 1, Y 3 NUEVAMENTE PERO CON LAS SIGUIENTES MODIFICACIONES: Ejemplo 1 Modificado. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 0% anual capitalizable mensualmente. Ejemplo. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $50,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, siendo el primero de $100,000 el segundo de $00,000 Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36% semestral capitalizable mensualmente. Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en, 4 y 6 meses; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales en los meses y 4 Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 35% semestral; capitalizable mensualmente. Recomendación: consulta más ejemplos por tu cuenta usando los libros de la biblioteca. Actividad 1.4. Ecuaciones de valores equivalentes. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- En la compra de un televisor con valor de $3,000 se realizan dos pagos iguales a 3 y 6 meses Cuál es el importe de dichos pagos si la tasa es del: a) % mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 4% anual capitalizable mensualmente d) 0% anual capitalizable trimestralmente.- Para realizar la compra de un terreno se paga $15,000 de enganche y se firman dos documentos por la misma cantidad a pagar dentro de 1 y años. Si se desea comprarlo solo en dos pagos iguales; uno de enganche y el otro al cabo de un año, determine el monto de dichos pagos si la tasa de interés es del: a) % mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 4% anual capitalizable mensualmente d) 0% anual capitalizable trimestralmente 3.- Una empresa compra una maquinaria con valor de $35,000; si se realiza un pago de $10,000 de contado Qué cantidad deberá liquidar la deuda al cabo de 6 meses si la tasa de interés es del: a) 30% anual capitalizable al mes. b) 0% anual capitalizable al semestre Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar 1.4. Ecuaciones de valores equivalentes. PROPUESTA: Después de haber hecho esta actividad a mano, incorpore las ecuaciones en EXCEL para confirmar Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 9