Gerencia Financiera. Administración de Empresas Facultad de Ciencias económicas

Transcripción

1 Gerencia Financiera Administración de Empresas Facultad de Ciencias económicas

2 Sistemas de amortización Unidad 2

3 Sistemas de amortización Las formas de pago de un préstamo son: 1. Pago único 2. Serie uniforme 3. Serie de pagos de amortización constante 4. Serie gradiente (aritmética) 5. Serie gradiente (porcentual o geométrica)

4 1. Pago único Son prestamos a una tasa de interés por período, que se pagan al final del plazo estipulado, tanto intereses como el principal. P Se puede calcular el valor futuro como el valor presente : n períodos F F = P(1+i) n F=P (f/p, i%, n) F = P(1-i a ) -n

5 1. Pago único Ejemplos: 1. Se hace un préstamo de $ al 30% ea. para pagarlo en un solo pago al final de 5 años. Cuál será el pago futuro?. 2. Si se deben entregar dentro de dos años $ de un préstamo que se hizo a una tasa del 22% ea., cuál fue el valor del préstamo?. 3. Si deposito hoy $ en una cuenta que paga anualmente el 20% TA, cuánto acumularé en un año?.

6 2. Serie uniforme Anualidades: corresponde a una serie de pagos iguales, que se desembolsan en períodos de tiempo iguales a una tasa de interés i con un plazo de n periodos. P n períodos A A A A n P A (1 r) 1 r n (1 r ) PA( p/ a, r%, n) n r(1 r) AP n (1 r) 1 AP( a/ p, r%, n)

7 2. Serie uniforme El saldo de una deuda en una serie uniforme, una vez pagada la cuota del período k. es: Sk= A[ ((1+i) n-k -1) / i(1+i) n-k ] Sk = A(P/A,i,n-k) Sk: saldo o deuda después de pagar la cuota del período K, K=1,2,3..n P 0 Sk =? k pagadas (n - k) 1 2 k k + 1 n A A A A A A

8 2. Serie uniforme Otro uso de la serie uniforme son los Fondos de Capitalización, con los que se tiene depósitos en fin de periodo que se acumule al final de n ahorros un fondo F. SI F= P(1+i) n y y AF r n (1 r) 1 AF( a/ f, r%, n) F 0 n períodos A A

9 Ejemplo La financiación de un carro se hace con un pago al recibir el carro de $ y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales de $ , el concesionario cobra una tasa del 34.5% mensual. Cuál es el valor del carro? Un administrador necesita acumular en un fondo $ para comprar un lote en el campo al final de su carrera (5 años), cuanto deberá ahorrar uniformemente en una entidad que le reconoce el 2.5% mensual sobre saldos?

10 Combinación de pago único y serie uniforme En la practica los modelos se superponen o combinan, Ejemplo: Suponga que un préstamo de un $ se paga en cuotas iguales a una tasa del 2% efectivo mensual, pero además se hace un refuerzo de $ al final del plazo que es un año. Cuál es el valor de la cuota ordinaria mensual? (RESOLVER POR EXECEL)

11 Series uniformes anticipadas Anualidades en las que el pago de las cuotas o depósitos de ahorro se hace al principio de cada período

12 Series uniformes anticipadas Como su pago o desembolso se hace al inicio del período, para realizar los cálculos de valor presente, valor futuro, etc, se puede crear un período ficticio antes del primer pago o desembolso. Ejemplo: Si se paga un prestamo con 9 cuotas iguales a principio de período, de $ a una tasa del 2% mensual, cuàl fue el monto del prestamo? (Con el uso de estas formulas tendríamos la respuesta):

13 Series uniformes anticipadas 2. Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al principio de cada año. Cuánto tendrá al final de 8 años, si su Banco le reconoce una tasa de interés del 3%? A diferencia del caso anterior, aquì creamos un período ficticio, despues del último depòsito de dinero y llevamos al futuro dichos valores multiplicandolos por el factor (1+ i). Formulas que permiten resolver el problema:

14 Series uniformes anticipadas Tambien se puede calcular para este tipo de anualidades el valor de la cuota A, bien sea para situaciones en las que se trata de un pago o de un ahorro. Para ello se puede usar las siguientes formulas (respectivamente) resultados en clase Calcule la cuota para los dos ejercicios anteriores

15 Series uniformes anticipadas De igual forma se puede calcular n, para prolemas donde se conoce el valor presente o el valor futuro, respectivamente Ejemplo: Su padre consigna $ al principio de cada trimestre en una cuenta de ahorros que paga el 15% ATV En cuánto tiempo logrará ahorrar $ ?

16 2. Series uniformes diferidas y perpetuas Series diferidas: Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Ejemplo: 1. Una deuda de $ se va a cancelar mediante 20 pagos iguales trimestrales de $A cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular A si la tasa de interés es del 36% ATV.

17 2. Series uniformes diferidas y perpetuas Desarrollo: Gráficamente: F=800000* (1+ 0,09)^3 = , 2 A= ,2 *(((1,+0,09)^20 * 0,09 )/((1+0,09)^20-1)) = ,69

18 2. Series uniformes diferidas y perpetuas Series perpetuas: Son aquellas anualidades que tiene infinito número de pagos. En realidad, las anualidades infinitas no existen, porque en este mundo todo tiene fin, pero, se supone que es infinita cuando el número de pagos es muy grande. Este tipo de anualidades se presenta, cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los intereses. VP = A/i

19 2. Series uniformes diferidas y perpetuas Ejemplo: Hallar el valor presente de una renta perpetua de $ mensuales, suponiendo un interés del 33% AMV. i = 33%/12 = 2,75% VP = / = ,36

20 3. Series de pago de amortización constante Prestamos donde el contenido de amortización es igual en todos los períodos. Su valor se calculó con la formula P/n Para calcular la primera cuota y el saldo después de pagar dicha cuota, las formulas son: A 1 = P*i + P/n S 1 = P P/n = P(1-1/n). De igual forma: A 2 = i * S 1 + P/n = i * P*(1-1/n) + P/n S 2 = P 2*(P/n) = P*(1-2/n). Ahora define la formula para A 3 y S 3 Ak= ip*[ 1- (K-1)/n] + P/n Sk= P- KP/n = P*[1-k/n] I k = I*P [1 (K-1)/n]

21 3. Series de pago de amortización constante Ejemplo En un préstamo de $ al 37,0908% ATV, que se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante, cuál es el valor de la 1 y la 3 cuota? Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

22 4. Serie gradiente aritmética También llamada progresión aritmética Puede ser creciente o decreciente en una cantidad igual de dinero que llamaremos gradiente g Se trata de calcular A k y S k P k n - 1 n A1 A2 A3 Ak An-1 An

23 4. Serie gradiente aritmética A 1 = A 1 A 2 = A 1 + g A 3 = A 2 + g = A 1 + g +g = A 1 + 2g A k =? A k = A 1 + (k-1)*g Puedo descomponer la serie en una parte uniforme del tamaño A 1 y otra parte que corresponde a los aumentos P n + n A1 A1 A1 g 2g (n - 1)g

24 4. Serie gradiente aritmética P n A1 + Ag At A 1 : Serie parte uniforme. A g : Serie uniforme equivalente a la parte gradiente. A t : Serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original

25 4. Serie gradiente aritmética Como hallar A 1? Si A t = A 1 + A g, entonces A t se maneja como un una serie uniforme A=P(A/P,i,n) y A g es igual a: A g = g[(1/i) (n / ((1+i) n -1)] Ag = g(a/g, i,n), ahora A 1 = P[ i(1+i) n /((1+i) n -1)] - g[(1/i) (n / ((1+i) n -1)] Equivalente a A1= P(A/P,i,n) - g(a/g, i, n)

26 Ejemplo Un préstamo de $1000 a una tasa anual del 30%, para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan $200, Cuál es el valor de la primera y la última cuota? Cómo se resolvería el ejercicio si tuviésemos que hallar el valor de todas las cuotas? (por excel)

27 4. Serie gradiente aritmética También podemos hallar un valor presente y futuro, así:

28 Ejemplo Una deuda que se cancela en 5 cuotas anuales que crecen $200 cada año, siendo la primera cuota $112,52, cuál es el valor de la obligación si la tasa anual es del 30%? (hacer por excel) Si se abre una cuenta con $112,52 el fin de año y posteriormente se hacen cuatro depósitos anuales que aumentan $200 cada año y el banco reconoce una tasa anual del 30%, cuánto acumulara al final del 5 año?

29 4. Serie gradiente aritmética También podemos calcular el saldo de la deuda Sk una vez pagada Ak: Sk=(A1+K*g + g(a/g, i, n-k))/(a/p, i, n-k) P Sk=? n - k pendientes k k+1 0 k pagados Ak AK +1 An

30 Ejemplo: Para los datos del primer ejemplo de serie aritmética calcula el saldo después de pagar la 3 cuota. Nota: la serie gradiente aritmética decreciente tiene las mismas formulas de la creciente, pero se cambia g por -g

31 5. Serie gradiente porcentual También llamada Serie de pagos en progresión geométrica. Las cuotas se incrementan o decrecen un porcentaje igual cada período, dicho incremento lo designaremos por ig P 1 2 K K+1 n-1 n 0 AK AK +1 An -1 An

32 Intentamos calcular el saldo Sk y la cuota Ak A 1 = A 1 A 2 = A 1 + A 1 *ig = A 1 *(1+ig) A 3 = A 2 +A 2 *ig = A 2 *(1+ig)= A 1 *(1+ig) 2 A k =? A k = A 1 *(1 + ig) k-1 Cómo hallar A 1? Si traemos a valor presenta cada cuota, el valor de esta será P k, Por tanto P = ΣP k y a su vez P k = A k (1+i) -n

33 Entonces: P k = {A 1 (1 + ig) k-1 }*(1+i) -k, luego P= Σ A 1 (1 + ig) k-1 }*(1+i) -k P= A 1 Σ(1 + ig) k-1 }*(1+i) -k A 1 = P/ Σ(1 + ig) k-1 }*(1+i) -k Resolviendo la sumatoria: A 1 = P [ (i ig) / (1- ((1+ig)/(1+i)) n )] Sólo valido para i ig De la formula anterior se puede despejar P y hallar un valor presente P= A 1 [(1-((1+ig)/(1+i)) n )/(i-ig)]

34 Ejemplos 1.En la compra de un vehículo, usted paga una cuota inicial de $ y el resto lo paga en 36 cuotas mensuales que se aumentan en 5% cada mes. Si la primera cuota es de $ y el concesionario cobra una tasa de interés de 4% mensual, cuál es el valor de la deuda? Nota: para el desarrollo se debe sumar la cuota inicial a la formula. 2. Un préstamo de $ para pagarlo en cinco cuotas anuales que se van incrementado el 20% anual, si la tasa de interés es de % efectiva semestral, cuál es el valor de la primera y la quinta cuota?

35 Igualmente podemos calcular el saldo después de pagar la cuota Ak Nota: Si la serie es creciente se aplica i - ig y si es decreciente se cambia a: i + ig P Sk=? n - k pendientes k k+1 0 k pagados Ak AK +1 An

36 La formula (1+ig) n-k S k =A 1 (1 + ig) k 1- (1 + i) i - ig Ejemplo: Para el préstamo de $ cuál es el saldo una vez paga la tercera cuota?

37 También puedo calcular un valor futuro F gg A 1 (1 i g ) i n g (1 i) i n

38 Comparación El saldo en serie uniforme y una amortización constante es y siempre será al préstamo inicial. Es posible que esto mismo ocurra para los pagos en forma gradiente, pero no es lo usual, lo normal es: Sk P n k

39 Sk P k 0 I II III n El intervalo I el saldo es creciente: S k > S k 1 > P, la amortización ak es. La cuota es totalmente, entonces A k = I k < i*s k 1. El. Intervalo II es decreciente P< S k <S k 1. La amortización es la cuota de interés es igual a. La cuota paga intereses acumulados e intereses del periodo A k =I k >i*s k-1 El intervalo III Saldo decreciente e inferior a P, P>S k-1 >S k. La amortización es, entonces ak= S k -1 S k y los intereses de la cuota son Ik= A k ak = i*s k-1

40 Cuadro de amortización Intereses del Saldo despues En la cuota Ak Fin de perído peíodo Pago cuota de pago Cont. Interes Cont. Amortiz k Ak Sk Ik ak TOTAL

41 Prestamos con UVR Ejemplo

42 Prestamos con Leasing Arrendamiento Financiero o Leasing: Es una modalidad de contrato de alquiler con opción de compra, que permite la financiación de bienes (muebles o inmuebles) Dicha opción se ejerce cuando se paga el valor residual, que suele ser igual al valor de una cuota, y es el último pago que se hace. En ese momento la empresa que hace el pago es la propietaria del activo. Si la empresa no lo desea, puede no ejercer la opción de compra y devolver el bien a la entidad financiera del leasing.

43 Prestamos con Leasing Las cuotas que paga quien tomo el leasing, deben cubrir el coste del bien (excluyendo el valor de la opción de compra) y los intereses que se generen en la operación. Las cuotas que se pagan deben permanecer constantes o ser crecientes a lo largo del contrato. Los contratos de arredramiento financiero tendrán una duración mínima de dos años cuando sean sobre bienes muebles y de diez años cuando sean sobre inmuebles o establecimientos industriales

44 Modalidades de contratos de leasing Leasing financiero: una sociedad especializada adquiere el bien que requiere un usuario y se lo arrienda, pero no corre con los gastos de mantenimiento o reparación. Al final del contrato, el cliente o arrendatario puede ejercer o no la opción de compra y no suele ser posible la renovación del contrato. Por lo tanto, el bien se suele amortizar en un solo contrato. Leasing operativo: promovido normalmente por el fabricante o distribuidor. Consiste en ofrecer en arrendamiento un bien con opción de compra, generalmente a corto o mediano plazo, incluyendo el mantenimiento y reparación del mismo. Este leasing en revocable por el arrendatario en cualquier momento (con previo aviso), por lo tanto, suelen precisarse varios contratos para la amortización total del bien

45 Modalidades de contratos de leasing Leasing- back o retroleasing: representado por la venta de un bien por parte del propietario del mismo, a una compañía de leasing, para que esta realice un arrendamiento con opción de recompra sobre dicho bien.

46 Ventajas y desventajas del leasing Ventajas: Se financia el 100% del valor del activo Son contratos flexibles, adaptables a las necesidades del usuario Presenta un tratamiento fiscal favorable, etc. Desventajas: El carácter irrevocable que presenta el leasing financiero La existencia de cláusulas penales, en caso de incumplimiento de las obligaciones del contrato Un costo a veces mayor que el de otras fuentes de financiación, etc.

47 Casos de un crédito leasing a) Cuando todas las cuotas, incluido el OC son iguales Donde: Vc: es el valor del contrato OC: es la opción de compra, que generalmente es igual al valor de las cuotas K.

48 Casos de un crédito leasing b) La opción de compra no es igual al resto de pagos:

49 Casos de un crédito leasing c) La cuota inicial no es igual al resto de pagos

50 Casos de un crédito leasing d) La cuota inicial y la opción de compra no son iguales al resto de pagos

51 Ejemplo Se adquieren con un contrato de arrendamiento financiero equipos informáticos por valor de Las condiciones de pago de las cuotas son las siguientes: Duración del contrato 2 años Pagos semestrales prepagables con una cuota al final (OC) Interés semestral de 5%

52 Ejemplo Se pide: Calcular el valor de las cuotas y construir el cuadro de amortización Calcular la tasa de interese y la tabla de amortización, si las cuotas semestrales son de 7000 y la opción de compra es de 4000 Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización si el primer pago es de y la opción de compra es de 2000 Calcular el valor de las cuotas, incluida la OC y construir la tabla de amortización, si el primer pago es de 8000

53 Ejemplo Desarrollo: CUADRO DE LEASING A Valor del activo Tasa de interés 5% K 6.952,66 PERIODO SALDO INTERE SES AMORTIZA CIÓN CUOTA PAGO , , , , , , , ,74 862, , , ,92 557, , ,66 4 0,01 238, , , , , ,64

54 Ejemplo Se pueden usar las formulas para series uniformes anticipadas VP = A *[ ((1+i) n -1-1)/((1+i) n-1 *i) ]+ A