TALLER ANUALIDADES Y GRADIENTES Curso: Matemáticas Financieras

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1 1. La ciudad Bella Villa ha recibido de la CAF (Corporación Andina de Fomento) un crédito de fomento por valor de 120 millones de USD destinado al proyecto de movilidad de la ciudad. Las condiciones de contratación del crédito son las siguientes: Plazo: 15 años 10 Cuotas Anuales Crecientes Factor de crecimiento (G) de los pagos: inflación en los Estados Unidos Tasa de Interés: 5% N Periodo de gracia: 5 años (durante el periodo de gracias no se cobran intereses) Se pide contestar: a) Cuál será el valor del préstamo en pesos Colombianos? b) Cuál será el valor de las cuotas 1, 5 y 10 en USD$? c) Cuál será el valor de las cuotas 1, 5 y 10 en Col$? d) Cuál será el valor que terminará pagando el municipio en USD? e) Cuál será el valor que terminará pagando el municipio en Col$? f) Cuál será el valor total de los Intereses pagados en USD$? g) Cuál será el valor total de los Intereses pagados en Col$? Considere los siguientes indicadores macroeconómicos: Inflación promedio estimada en los Estados Unidos en los próximos 15 años: 2,5% Anual Inflación promedio estimada en Colombia en los próximos 15 años: 3,5% Anual Tasa de cambio Actual 1USD = $1.700 Devaluación promedio estimada del peso con respecto al dólar en los próximos 15 años: 1% Anual SOLUCIÓN a) Valor del préstamo en pesos Colombianos b) Valor de las cuotas 1, 5 y 10 en USD$ Valor presente de un gradiente geométrico:

2 [ [ De acuerdo con la ley de formación, se pueden determinar las cuotas 1, 5 y 10. Cuota 1 es igual A, es decir: ,22 Cuota 5 es igual Cuota 10 es igual c) Valor de las cuotas 1, 5 y 10 en COL$ Para determinar el valor de las cuotas en pesos colombianos debemos hallar la tasa de cambio en cada uno de los años en cuales se cancela la respectiva cuota; para ello se utiliza la devaluación del peso con respecto al dólar. Cuota 1, año 6: Cuota 1 en Pesos Colombianos: Cuota 5, año 10: Cuota 5 en Pesos Colombianos: Cuota 10, año 15: Cuota 10 en Pesos Colombianos: d) Valor que terminará pagando el municipio en USD

3 Para determinar el valor que acaba de pagar el municipio en USD$ se calcula el valor futuro del gradiente. [ [ e) Valor que terminará pagando el municipio en Col Pesos El valor se calcula teniendo en cuenta el valor finalmente pagado en USD por la tasa de cambio en el año 15 Valor pagado en COL $ = f) Valor total de los Intereses pagados en USD$ Los intereses se calculan como: g) Valor total de los Intereses pagados en Col$ Los intereses se calculan como: Es necesario calcularlo así, ya que en los primeros 5 años los dólares no ganan intereses.. 2. Un padre de familia tiene un crédito hipotecario con las siguientes condiciones financieras: pagos mensuales crecientes, con un factor de crecimiento G=0,2%, el primer pago es de $ ; plazo del crédito 15 años y una tasa de interés de 10% N. El padre antes de concretar el negocio, solicita cambiar la modalidad pagos, por

4 un crédito de cuotas iguales a 12 años, en este caso el banco cobra una tasa de interés del 9,5% N. Para la situación del padre de familia, conteste: a) Cuál será el valor del préstamo que el padre de familia recibirá para la compra de vivienda? b) En caso que no cambie la modalidad de pagos: Cuál será el valor del pago al final del año 10? c) Para el caso de cuotas iguales Cuál será el valor de los pagos? d) Qué Interés terminara pagando en el caso del crédito con cuotas crecientes? e) Qué interés terminara pagando en el caso del crédito con cuotas iguales? f) Si en el año 8 decide pagar la totalidad de la deuda: Cuánto deberá cancelar en el caso de haber tomado el crédito de cuotas iguales? SOLUCIÓN a) Valor del préstamo que el padre de familia recibirá para la compra de vivienda Lo primero es hallar la tasa de interés mensual a partir de la tasa de interés anual; Para calcular el valor del préstamo se calcula el valor presente del gradiente geométrico, como sigue: [ [ b) El valor del pago al final del año 10 Aplicando la ley de formación tenemos que se debe hallar la cuota en el mes 120.

5 c) Para el caso de cuotas iguales - valor de los pagos- Lo primero es hallar la tasa de interés mensual a partir de la tasa de interés anual; Con esta tasa de interés, un periodo de 12 años (144 meses) y el valor del préstamo se pueden calcular el valor de la cuota constante, como sigue: [ [ d) Interés que terminara pagando en el caso del crédito con cuotas crecientes El interés se calculara como el valor futuro menos el valor presente, de este modo será necesario calcular el valor futuro en el caso del gradiente. [ [ Los intereses se calculan como:

6 e) Interés que terminara pagando en el caso del crédito con cuotas iguales El interés se calculara como el valor futuro menos el valor presente, de este modo será necesario calcular el valor futuro en el caso de la anualidad. [ [ Los intereses se calculan como: f) Pago total de la deuda en el año 8 El valor a pagar en el año 8 es igual al valor de la deuda en el periodo (96), menos lo pagado hasta esta fecha en cu otas iguales: Valor de la deuda en el año 8 Valor pagado hasta el año 8 [ Valor total a pagar en el año 8: ,20 = , Una empresa estudia el arriendo de una bodega para sus operaciones. Su agente inmobiliario le presenta dos ofertas: una bodega para la cual se estima un costo de

7 mantenimiento inicial de $ por año, el cual se estima se incrementara anualmente en un 5%; además se estima que cada 5 años se tendrá que hacer un mantenimiento mayor de $ ; de otro lado, se ofrece otra bodega que se estima requerirá de valores iguales de $ anuales para mantenimiento y de $ cada cuatro años, con incrementos anuales de 6% para las reparaciones mayores. Si la bodega se va usar por tiempo indefinido y se puede suponer que el costo de capital de la empresa es del 27% efectivo anual. Cuál de las dos alternativas le aconsejaría tomar a la empresa? SOLUCIÓN La mejor alternativa será aquella que en valor presente tenga el menor costo; por consiguiente será necesario hallar el valor presente de cada alternativa. Alternativa 1 El valor presente de esta alternativa será igual al valor presente del gradiente perpetuo ( con crecimientos anuales del 5%) más la anualidad perpetua de cada 5 años. Para este calculo se utiliza la tasa efectiva anual del 27% EA. Valor presente del gradiente Valor presente de la Anualidad Para esto lo primero es calcular la tasa efectiva de cada 5 años. Con esta tasa se calcula el valor presente

8 Valor presente total de la alternativa es: (1) Alternativa 2 El valor presente de esta alternativa será igual al valor presente del gradiente perpetuo ( con crecimientos anuales del 6%) más la anualidad perpetua de cada año. Para este cálculo se utiliza la tasa efectiva anual del 27% EA. Valor presente del gradiente Lo primero es calcular la tasa de crecimiento para cada cuatro años y la tasa de interés para este mismo periodo. Tasa de crecimiento: Tasa de Interés Valor presente de la anualidad Valor presente total de la alternativa es: (2) Respuesta: de (1) y (2) se puede determinar que la mejor alternativa es la 1.

9 4. A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos años, se le garantiza al menos la venta mensual de platos durante todo año; los cuales le serán pagados a razón de $6.000 cada uno, al final del año sin intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes; se estima que estos insumos tienen un incremento del 4% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $ ; además se estima que requerirá hacer una inversión inicial de $50 millones para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Se pide: Calcular el valor de la ganancia en pesos al final del comodato SOLUCIÓN Considerando que se pide la ganancia al final del comodato, entonces se deberán calcular todos los valores ingresos y egresos en el mes 24. La ganancia será igual a los INGRESOS (ventas) menos los EGRESOS (Costos Insumos, Mano de Obra e Inversión) Ingresos Los ingresos se calculan como los ingresos mensuales pagados a fin de año sin intereses. De esta forma, tendrá dos pagos por valor de $ uno en el mes 12 y el otro en el mes 24. Así el valor final recibido en el mes 24, será el valor futuro del valor recibido en el mes 12, más el valor recibido en el mes 24. Egresos (Costo de los insumos) El valor final de los insumos se calcula como el valor futuro del primer pago, más el valor futuro del gradiente en el periodo 24, el cual se consigue hallando el valor futuro de este en el periodo 23 y el traslado de este valor al periodo 24; así como se muestra a continuación: [ [

10 Egresos (Mano de obra) El valor final de la mano de obra se calcula como el valor futuro de la anualidad de [ [ Egresos (Inversión) El valor final de la inversión se calcula como el valor futuro de $ Respuesta De esta forma la ganancia se puede calcular como: Ganancia = Ganancia =.

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