UNIDAD 1. R.A. 1.4 Desarrolla los elementos necesarios para el Cálculo del interés simple y compuesto INTERÉS SIMPLE

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1 UNIDAD 1 R.A. 1.4 Desarrolla los elementos necesarios para el Cálculo del interés simple y compuesto INTERÉS SIMPLE Se denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan. El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capitalización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo y por tanto los intereses. El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es de poco o nulo uso en el sector financiero formal, pues este opera bajo el interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prenderías. El cálculo del interés simple muy sencillo; veamos: Supongamos un capital de $ a un interés del 5% mensual prestado por 12 meses. Tendremos entonces ( *0.05)*12 = El rendimiento de ese préstamo durante los 12 meses es de $ que corresponde a un rendimiento de $ mensuales. Vemos que el rendimiento mensual es constante, esto debido a que siempre se calcula sobre el capital inicial que en este caso es de $ [ *5% = ] Si se tratara de interés compuesto, el mismo préstamo con las mismas condiciones tendría un rendimiento superior. Veamos: X = * (1.05) ^12 = Quiere decir esto que el interés compuesto generó durante el mismo periodo la suma de $ que es superior a lo generado por el interés simple: Mismo capital, mismo periodo, misma tasa, pero un resultado distinto.

2 Esto se debe a que en el interés compuesto en cada periodo el capital sobre el cual se calculan los intereses se incrementa en el valor de los intereses del periodo anterior, por lo que cada mes este capital sufre un incremento. Por estas diferencias es que no se puede comparar una tasa de interés simple con una tasa de interés compuesto, toda vez que nunca serán iguales o equivalentes. R.A. 1.4 Determina interés compuesto El interés compuesto surge cuando los intereses se añaden al principal, y por tanto dichos intereses también generan intereses. Es decir, tenemos un efecto multiplicador del dinero, y esto ocurre habitualmente en las cuentas corrientes, donde los intereses se depositan en la misma cuenta donde tenemos el capital. Ejemplo de interés compuesto Empecemos con un ejemplo, que lo hace todo más sencillo. Si tenemos 1000 euros en una cuenta que nos da el 10% anual y los intereses los paga anualmente, cuánto dinero hay al cabo de dos años? Algunos dirán que 1200 euros, ya que el primer año tendremos 100 euros de intereses (10% de 1000 euros), y el segundo también 100 euros. Sin embargo, si los intereses se depositan en la misma cuenta, esto no es cierto, ya que al comienzo del segundo año tendremos de capital 1100 euros, y el 10% de dicha cantidad es 110 euros. Por tanto, al cabo de dos años tendremos 1210 euros. Ahí radica el interés compuesto. Cálculo del interés compuesto Por tanto, para calcular cuánto dinero genera el interés compuesto no vale con multiplicar el capital inicial por la tasa de interés y el número de periodos de cálculo, la cosa es algo más complicada. Pero es fácil deducir la fórmula. Si C es el capital inicial, i la tasa de interés y suponemos que los intereses se pagan mensualmente tendremos los siguientes capitales según pasen los meses (C1, C2,...): C1 = C * (1 + i) C2 = C1 * (1 + i) = C * (1 + i) * (1 + i) = C * (1 + i) ^2... Cn = C * (1 + i)^n Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior (hay que cambiar meses por años, ya que el interés se paga anualmente) tenemos que el capital después de dos años sería: C2 = 1000 * (1 + 0,1) ^2 = 1000 * 1,1^2 = 1000 * 1,21 = 1210 euros Justo como habíamos calculado antes.

3 Cálculo de interés compuesto de forma anual Otro caso importante es saber el capital que tendremos en una cuenta al cabo de varios años si los tipos de interés nos los dan anualizados (es lo típico) y el pago de intereses es mensual (también bastante típico). La fórmula que obtendremos es muy similar a la anterior, pero con algunas modificaciones: Cfinal = C * (1 + r/n) ^ (n*t) Donde r es la tasa de interés anual, n el número de periodos en el que nos pagan los intereses, en el caso de mensualmente, 12, y t el número de años. Puede parecer que no, pero al final hay diferencias según los periodos en los que nos pagan los intereses, y lo vamos a ver en un ejemplo. Ejemplo de distintos periodos de cálculo Imaginemos que dos bancos distintos nos ofrecen dos depósitos. El primero, el del banco A, nos ofrece un depósito anual a un 20%, intereses pagados al finalizar el depósito. El segundo, el del banco B, nos ofrece un depósito al 19%, pero los intereses se pagan mes a mes y se reingresan en el propio depósito. En el caso A, es muy sencillo, si metemos 1000 euros obtendremos al cabo de un año 1200 euros, es decir, ganamos 200 euros. Puede parecer el más ventajoso. Pero hagamos los cálculos de interés compuesto en el caso del banco B usando la última fórmula. Cfinal = 1000 (1 + 0,19/12) ^ 12 = 1207,45 euros Es decir, el pago de los intereses mensuales hace que el capital vaya aumentando con el tiempo y que dichos intereses generen un exceso de capital. Por eso es importante no simplemente comparar los tipos de interés al comparar productos financieros, sino también los periodos de remuneración. Eso sí, la ley nos ayuda, ya que existe la figura del TAE, tasa anual equivalente, que precisamente compara los intereses en condiciones similares.

4 ACTIVIDAD DE RUBRICA R.A. 1.4 Interés Compuesto A.-El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan. Primera alternativa Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así: Calcula un préstamo de $ con interés del 10 % a un periodo de 7 años AÑO PRESTAMO INICIAL INTERES 10 % PRESTAMO FINAL ( x.10 =) , , , x.10 = ) Segunda alternativa Sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10 Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final" (Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimales (0.10, no 10%) Es lo mismo que: $5, = $5,500 Podemos calcular el año siguiente así: $5, = $5,550 Y seguimos otro año más etc. Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así

5 $5000 x 1.10 elevado a la séptima potencia: Realiza la expresión y escribe el resultado: Fórmula del Interés Compuesto: PV x (1 + r) n = PV Valor Presente por 1 más interés elevado a la potencia es igual valor futuro Calcula los siguientes ejercicios de interés compuesto. 1.- PV= $ r= 1.06 n= 6 (potencia) R.- PV 2.- PV= $ r= 1.08 n= 12 (potencia) R.- PV 3.- PV= $ r= 1.09 n= 4 (potencia) R.- PV 4.- PV= $ r= 1.05 n= 11 (potencia) R.- PV 5.- PV= $ r= 1.07 n= 8 (potencia)

6 R.A. 1.4 Determina el importe de las anualidades en cuanto en cuanto su monto, valor actual y formulas establecidas. ANUALIDADES Definición y clasificación de las anualidades Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el nombre de anualidad por costumbre en dichas operaciones; pero ejemplos de anualidades son: Pagos mensuales por la renta de un local o departamento Cobro quincenal de sueldos Pagos anuales a las pólizas de seguro Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo: Tiempo que trascurre entre el primer pago y el último. Tipos de anualidades. La variación en los elementos de las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto, se clasifican de la siguiente manera. Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en un mes, entonces: El plazo es de un año, la renta y el intervalo de pago es un mes. Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los que obtendría durante el año.

7 Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los y eso será el monto o valor futuro de la anualidad En donde se aplican las anualidades. Amortización de préstamos en abonos. Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos. Constitución de fondos de amortización. Existen tablas financieras electrónicas que simplifican los cálculos matemáticos, ya que proporcionan los valores de varias expresiones que se utilizan en finanzas, para distintas entradas de los parámetros tiempo y tipo de interés. Este tipo de tablas proporciona cálculos sobre el valor de las anualidades de la capitalización compuesta, el valor actual de una renta o de una serie de rentas prepagables o pos pagable y el valor futuro. Cuanto debo invertir M al final de cada 3 meses, durante los próximos 4 años, en un fondo que paga el 4% convertible trimestralmente con el objeto de acumular $2,500. Una ciudad emite $ en bonos a 20 años y constituye un fondo para rendirlos a su vencimiento Cuánto debe tomarse anualmente de los impuestos para que este propósito si el fondo produce el 2?5

8 MONTO DE UNA ANUALIDAD ATICIPADA SIMPLE n= número de periodos R= renta o pago i= tasa de interés por periodo S= monto de la anualidad Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualiad anticipada simple S se suman los montos que acumulan cada uno de los depositos R invertidos a la tasa de interés i desde sus respectivos vencimientos hasta el final de duración de la anualidad. Monto o valor futuro de una anualidad simple S es el valor de dicha anualidad calculando en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad. Despejando S de la expresión anterior se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una Anualidad anticipada simple:

9 Ejemplo: Si en una cuenta bancaria que abona el 10 % compuesto trimestralmente se depositan $3,000. al inicio de cada trimestre qué suma se acumulará al cabo de 4 ½ (cuatro y medio) años?

10 Actividad de Rúbrica Competencias a desarrollar: Se expresa y comunica Escucha, interpreta e emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas. Trabaja en forma colaborativa: Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Piensa crítica y reflexivamente. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Leer el material didáctico, y subraya lo relevante RECURSOS DIADACTICOS: Formato Impreso Estrategias de planificación: Son aquellas mediante las cuales los alumnos dirigen y controlan su conducta, sus objetivos son Planear las actividades y seleccionar las estrategias a emplear para realizar la tarea o resolver el problema planteado. Movilizar la información y transformar en un cuadro sinóptico considerando que contenga la información leída. Estrategias de regulación. Se utilizan durante la ejecución de la tarea. Indican la capacidad que el alumno tiene para seguir el plan trazado y comprobar su eficacia. Entrega la actividad Estrategias de evaluación Son aquellos procedimientos que sirven para verificar el proceso de aprendizaje y evaluar la eficacia de estrategias cognitivas empleadas. NOMBRE ALUMNO GRUPO NL FECHA MAESTRA TURNO El aprendizaje significativo: un tipo de aprendizaje en que un estudiante relaciona la información nueva con la que ya posee; reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso. Cree en ti mismo y en lo que eres. Se consciente de que hay algo en tu interior que es más grande que cualquier obstáculo. -Christian D. Lar son.