LECCIÓN Nº 05 y 06 COMPÀRACION DE TASAS: EL EFECTO DE LOS PERIODO DE COMPOSICION.

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1 LECCIÓN Nº 05 y 06 COMPÀRACION DE TASAS: EL EFECTO DE LOS PERIODO DE COMPOSICION. OBJETIVO: Definir el periodo de capitalización, la tasa de interés nominal, tasa de interés efectiva y el periodo de pago. Calcular la tasa de enteres efectiva y encontrar cualquier factor para esta tasa. Hacer cálculos de equivalencia para periodos de pago más cortos que el periodo de capitalización. Hacer cálculos de equivalencia para periodos de pago iguales al periodo de capitalización o más largos que éste. 1. Tasa nominal y tasa proporcional. Se dice que una tasa es nominal cuando: a) Se aplica directamente a operaciones de interés simple. b) Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal anual. La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360) y la tasa mensual será 2% = 30(24/360). Ejemplo 1.- Calcular la tasa proporcional: a) Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24%. b) Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%. c) Mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12%. d) De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18%. e) De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6%. f) Anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2%. g) De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral del 6%. h) De 128 días, a partir de una tasa nominal mensual del 2%. 42

2 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI a) (0.24/360)90 = 0.06 = 6.00% b) (0.12/180)90 = 0.06 = 6.00% c) (0.12/90)30 = 0.04 = 4.00% d) (0.18/360)18 = = 0.90% e) (0.06/90)88 = = 5.87% f) (0.02/30)360 = 0.24 = 24% g) (0.06/60)46 = = 4.60% h) (0.02/30)128 = = 8.53% 2. Tasa Efectiva. La tasa efectiva i es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año con la siguiente fórmula: i = n 1 + j / m -1 En la fórmula anterior, la relación j/m (que es la tasa efectiva del período) y n deben estar referidas al mismo período de tiempo; por lo tanto, el plazo de i está dado por n. Si m y n se refieren sólo a un período, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento. Por ejemplo, el monto simple de un capital de S/ colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/. 1240: Monto simple S = ( x 1) = 1240 Monto compuesto S = 1000 ( ) = 1240 La tasa efectiva i y la misma nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse del siguiente modo: Unidad de tiempo Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria i TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED j TNA TNS TNC TNT TNB TNM TNQ TND Ejemplo 2: Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 24% abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros. : TES =? i = n 1 + j / m -1 J = 0.24 Reemplazando datos. 43

3 m = 12 n = 6 TES = % Ejemplo 3: Tomando como base una TNA del 18% con capitalización: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal y diaria calcule sus respectivas tasas efectivas y tasas efectivas semestrales. Tasa efectiva anual j Anual Capitalización Operación TEA 18 % Anual (1 + 0,18/1) 360/360-1 = 0,18 18,00% 18 % Semestral (1 + 0,18/2) 360/180 1 = 0, ,81% 18 % Cuatrimestral (1 + 0,18/3) 360/120-1 = 0, ,10% 18 % Trimestral (1 + 0,18/4) 360/90 1 = 0, ,25% 18 % Bimestral (1 + 0,18/6) 360/60 1 = 0, ,41% 18 % Mensual (1 + 0,18/12) 360/30-1 = 0, ,56 % 18 % Quincenal (1 + 0,18/24) 360/15 1 = 0, ,64% 18 % Diaria (1 + 0,18/360) 360/1-1 = 0, ,72% Tasa efectiva semestral j Anual Capitalización Operación TES 18 % Anual (1 + 0,18/1) 80/360-1 = 0, ,62% 18 % Semestral (1 + 0,18/2) 180/180-1 = 0,09 9,00% 18 % Cuatrimestral (1 + 0,18/3) 80/120-1 = 0, ,13% 18 % Trimestral (1 + 0,18/4) 180/90-1 = 0, ,20% 18 % Bimestral (1 + 0,18/6) = 0, ,27% 18 % Mensual (1 + 0,18/12) 180/30-1 = 0, ,34% 18 % Quincenal (1 + 0,18/24) 180/15-1 = 0, ,38% 18 % Diaria (1 + 0,18/360) 180/1-1 = 0, ,41% En este ejemplo si a cada TES la capitalizamos 2 veces obtendremos su correspondiente TEA. Por ejemplo, capitalizando 2 veces la TES del 8.62% obtenemos 18% = ( ) - 1 Ejemplo 4: Tomando como base una TNM del 2% con capitalización cada: 29, 26, 23, 20, 18, 15, 12 y 10 días. Calcule sus respectivos TET : Tasa efectiva anual j Mensual Capitalización Operación TET 2% Cada 29 días (1 + 0,02/30/29) 90/29-1 = 0, ,122% 2 % Cada 26 días (1 + 0,02/30/26) 90/26-1= 0, ,129% 44

4 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI 2% Cada 23 días (1 + 0,02/30/23) 90/23-1 = 0, ,135% 2 % Cada 20 días (1 + 0,02/30/20) 90/20-1 = 0, ,141% 2% Cada 18 días (1 + 0,02/30/18) 90/18-1 = 0, ,145% 2 % Cada 15 días (1 + 0,02/30/15) 90/15-1 = 0, ,152'% 2% Cada 12 días (1 + 0,02/30/12) 90/12-1 = 0, ,158% 2 % Cada 10 días (1 + 0,02/30/10) 90/10-1 = 0, ,163% Ejemplo 5: El 20 de enero la empresa Master.com compró un paquete de acciones invirtiéndose S/ el cual vendió el 28 del mismo mes, por un importe neto de S/ Cual fue la TEM de rentabilidad obtenida en esa operación? : La tasa de rentabilidad obtenida durante 8 días: 9450/ = 0.05 La TEM se calcula del siguiente modo: TEM = ( ) 30/8-1 = = 20.08% La rentabilidad obtenida en 8 días ha sido del 5% y asumiendo la reinversión a la misma tasa en los 3.75 períodos de 8 días (30/8) que tiene el mes, la rentabilidad acumulada del mes sería del 20.08% Ejemplo 6: La compañía Distribuidora El Sol tiene una rotación anual de mercaderías de 5 obteniendo un margen de utilidad bruta de 15% en cada rotación. Cuál es la tasa de rentabilidad bruta anual? Una rotación de mercaderías de 5 veces al año significa un promedio de inmovilización de inventarios de 72 días (360/5). TEA =? TEA = ( 1 + I ) H/f - 1 f = 72 TEA = ( ) 360/72-1 H = 360 TEA = % i = 0,15 Ejemplo 7: Calcule la TEA equivalente a una TNA del 12% capitalizable trimestralmente. TEA =? TEA = (1 + j/m) H/f - 1 j = 12% TEA = ( /4) 360/90-1 h = 360 TEA = 12.55% f = TASAS EQUIVALENTES Dos ó más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. 45

5 Por ejemplo, las siguientes tasas: TEM = % Y TET = 4, % son equivalentes, porque ambas producen una TEA del 20% Una tasa de interés i es equivalente a otra i si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H producen el mismo resultado. 3.1 Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada. La tasa equivalente o efectiva periódica i se obtiene de la relación de equivalencia de la fórmula i = n 1 + j / m -1 y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva i. (1 + j/m) n 1 = i (1 + j/m ) n = 1 + I Si designamos a j/m = i' como la tasa equivalente, entonces podemos despejar la incógnita i': En este caso: (1 + i' ) n = ( 1 + i ) i = ( 1 + i ) 1/n 1 i = Tasa equivalente o efectiva periódica a calcular i = Tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato f = Número de días del periodo de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se desea calcular. H= Número de días correspondientes al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dato. A una TEA le corresponde un H de 360; a una TEM le corresponde un H de 30, etc. Similar procedimiento se sigue con una TES, TET etc. Como n = H/f, entonces la fórmula anterior queda expresada: i = ( 1 + I ) f/h 1 En la ecuación anterior, f se expresa en el período de tiempo correspondiente a la incógnita (tasa equivalente), y H se expresa en el período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como dato. Ambas variables deben referirse a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimestres, etc). Gráficamente puede observarse que f depende de i' y H depende de i. 46

6 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI Ejemplo 8: A qué TEQ debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 4%? i' = TEQ? ( 1 + i ) = ( ) 3 n = i = ( ) 3/6 i = 0,04 i = n = 3 i = % Ejemplo 9. Si la TEM para créditos hasta 360 días es de 5% Cuál será la tasa efectiva que debe cobrarse por un sobregiro de 4 días? : i' 4d =? Reemplazando datos. f = 4 H = 30 i 4d = 0.653% TEM = 0.05 Ejemplo 10 Calcule la TEM a partir de una TEA del 24 %. i' = TEM? Reemplazando datos. f = 30 TEA = 0,24 TEM = 1.81% H = 360 Ejemplo 11. Calcule la TET a partir de una TES del 10%. i' = ( 1 + i ) -1 i = TET? Reemplazando datos. f = 90 TES = 0.1 TET = 4.88% H = 180 Ejemplo 12. Una acción en la Bolsa de Valores tuvo una tasa de rentabilidad del 17.5% en 39 días. A) Cuál fue su rentabilidad mensual?; b) Cuál seria su rentabilidad proyectada trimestral de continuar la misma tendencia?. Rentabilidad Mensual. i' = ( 1 + i ) -1 47

7 i = TEM Reemplazando datos f = 30 Te39d = TEM = 13.21% H = 39 Rentabilidad proyectada trimestral H/f TET =? Reemplazando datos. H = 90 i 39d = TET = 45.09% f = 39 En 90 días la tasa del 17.5% se capitalizara veces. El número de periodos capitalizados de 39 días contenidos en 90 días se obtiene con la fracción (90/39). CASOS DE EMPRESAS CASO 1: BANCO INDEPENDIENTE 1. UD. ha solicitado al Banco Independiente un crédito por S/ a la tasa efectiva anual del 34.49%, a ciento veinte días, con pagos uniformes. a. Hallar el cuadro de amortización correspondiente y calcular el costo del crédito. b. SI el Banco decide retenerle el 10% y le cobra una comisión flat del 2%. Cuál es el costo del préstamo? 2. Si el mismo préstamo de S/ es solicitado a un plazo de 120 días, a la tasa del 2.5% mensual, con un período de gracia de treinta días, con cuotas iguales. con retención del 10% y una comisión flat del 3%. a. Elaborar el cuadro de amortización y calcular el costo del préstamo. 3. Considere los mismos datos de la pregunta anterior. con la variante que los Intereses Ud. los pagará en forma vencida y las amortizaciones serán iguales. a. Elaborar un cuadro de Amortizaciones y calcular costo. b. Qué sucede si en el mes tres cambia la tasa de Interés al 3.5%. c. Si el pago de Intereses fuese adelantado. 48