MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA

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1 Universidad de Valladolid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas Empresariales y para Economistas) Esquemas teóricos de la asignatura de las licenciaturas en Economía y ADE - Derecho MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA I. MATEMÁTICA FINANCIERA Confeccionados por los profesores Miguel Martínez Panero Juan Pablo Rincón Zapatero

2 MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA I. MATEMÁTICA FINANCIERA 1. LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO. RENTAS 2. PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS

3 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 2 TEMA 1. LEYES FINANCIERAS DE INTERÉS Y DESCUENTO. RENTAS 1.1 Conceptos generales. Relaciones notables. 1.2 Tipos de interés y descuento: simple, compuesto y fraccionado. Tantos equivalentes. 1.3 Tipos de rentas: enteras y fraccionadas; constantes y variables. Valores actuales y finales.

4 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 3 1 LEYES FINANCIERAS DE INTERÉS Y DES- CUENTO. RENTAS 1.1 CONCEPTOS GENERALES. RELACIONES NOTABLES DEFINICIÓN Capital financiero es la medida, expresada en unidades monetarias (u.m.), de un bien económico en un determinado instante de tiempo OBSERVACIÓN Un capital financiero tiene dos componentes: su cuantía, C u.m., y el instante t en que se considera disponible o exigible. Para comparar dos capitales deben situarse en el mismo instante de tiempo DEFINICIÓN La ley o función matemática que describe la variación del capital en el tiempo se denomina ley financiera. La matemática financiera estudia la evolución de los capitales en el tiempo, regulada por las leyes financieras.

5 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIONES En virtud del principio de equivalencia financiera se sustituyen uno o varios capitales (prestación) por otro u otros (contraprestación), de forma que sus valores monetarios, calculados mediante alguna ley financiera dada, coincidan en el mismo instante de tiempo. Dicha acción constituye una operación financiera EJEMPLO Mediante un contrato de préstamo, el prestatario o deudor adquiere de un prestamista o acreedor (p.e. una entidad bancaria) un capital que deberá reembolsar junto con unos intereses al cabo de un periodo de tiempo. El capital prestado, C, en el instante del contrato debe ser así equivalente al capital C + I reembolsado, t unidades de tiempo después DEFINICIÓN Una ley financiera de capitalización (o interés) es toda función L(t) (con t 0 ) caracterizada axiomáticamente por L(0) = 1. t t L(t) L(t ) (L es una función creciente, aunque no necesariamente estrictamente creciente).

6 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 5 L es continua. Tal función rige el crecimiento de 1 u.m. a lo largo del tiempo y, en virtud de la hipótesis de proporcionalidad que a continuación se detalla, el de capitales de cualquier cuantía NOTACIONES Y RELACIONES NOTABLES (I) Si el capital C crece mediante la ley de capitalización L(t) hasta convertirse, con los intereses I(t) generados, en un montante M(t) en el instante t, se tendrá: M(t) = C + I(t) = C L(t), (la segunda igualdad expresa la hipótesis de proporcionalidad: el comportamiento de C u.m. es C veces el de 1 u.m.), de donde I(t) = C (L(t) 1) DEFINICIÓN Dada una ley de capitalización L(t) (con t 0 medido en años), se define el (tanto de) interés anual (efectivo) como i = L(1) 1, es decir, i es el rendimiento de 1 u.m. al cabo de un año.

7 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIÓN Toda ley de capitalización L(t) lleva asociada una ley financiera 1 de actualización (o descuento) (con t 0) caracterizada por L(t) 1 L(0) = 1. t t 1 L(t) 1 L(t ) ( 1 es una función decreciente, aunque L no necesariamente estrictamente decreciente). 1 L es continua NOTACIONES Y RELACIONES NOTABLES (II) Si el capital C se anticipa t unidades de tiempo mediante la ley de actualización 1, efectuandose por ello un descuento D(t), el L(t) valor anticipado A(t) verifica: A(t) = C D(t) = C 1 L(t), (de nuevo se tiene en cuenta en la segunda igualdad la hipótesis de proporcionalidad), de donde D(t) = C 1 1 L(t).

8 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIÓN 1 Dada una ley de actualización (con t 0 medido en años), L(t) se define el (tanto de) descuento anual (efectivo) como d = 1 1 L(1), es decir, d es la rebaja efectuada a 1 u.m. por anticipar un año su disponibilidad PROPOSICIÓN Fijada una ley de capitalización, los tantos de interés y descuento anuales efectivos verifican la fórmula (1 + i)(1 d) = 1, y se denominan tantos equivalentes OBSERVACIÓN Dada una ley financiera de capitalización y su correspondiente de descuento, la operación de calcular el montante a partir de un capital se denomina capitalizar, y la de anticipar dicho capital, actualizar. En otras palabras, capitalización es el cálculo de capitales equivalentes a uno dado en el futuro, mientras que actualización lo sería en el pasado.

9 Métodos Matemáticos Matemática Financiera NOTACIÓN Se denota por u = 1 + i al factor de capitalización y por v = (1 + i) 1 = 1 d al factor de descuento DEFINICIÓN Se dice que una ley de capitalización es escindible si verifica L(t + t ) = L(t) L(t ) para cualesquiera t, t 0. Es decir, el resultado final de la capitalización de 1 u.m. es independiente de valoraciones intermedias. 1.2 TIPOS DE INTERÉS Y DESCUENTO: SIMPLE, COM- PUESTO Y FRACCIONADO. TANTOS EQUIVALENTES DEFINICIÓN La ley de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses generados por 1 u.m. al cabo de un periodo de tiempo son proporcionales a dicho tiempo. Tiene la expresión L(t) = 1 + it, i, t OBSERVACIÓN La ley de interés simple no es escindible.

10 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIÓN La correspondiente ley de descuento asociada a la ley de interés simple se denomina ley de descuento racional y tiene la expresión 1 L(t) = it i, t DEFINICIÓN La ley de descuento comercial se caracteriza por el hecho de que el descuento efectuado por unidad monetaria por anticiparla un periodo de tiempo es proporcional a dicho tiempo. Tiene la expresión 1 L(t) = 1 dt, d, t OBSERVACIÓN Aunque definida análogamente a la ley de interés simple, la ley de descuento comercial no es su asociada. La ley de descuento asociada a la ley de interés simple es la ley de descuento racional, según se ha señalado DEFINICIÓN La ley de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses generados en cada unidad de tiempo son proporcionales

11 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 10 al capital al comienzo de dicho tiempo. Tiene la expresión L(t) = (1 + i) t, i, t OBSERVACIÓN La ley de interés compuesto es escindible DEFINICIÓN La correspondiente ley de descuento asociada a la ley de interés compuesto se denomina ley de descuento compuesto y tiene la expresión 1 L(t) = 1 (1 + i) = (1 t d)t, i, d, t 0, siendo i, d tantos equivalentes PROPOSICIÓN (Comparación entre las leyes simple y compuesta) Para un tipo de interés i > 0 se verifica: (1 + i) t < 1 + it, t (0, 1) (1 + i) t = 1 + it, t = 1 (1 + i) t > 1 + it, t (1, )

12 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIÓN Dada una ley de capitalización L(t) (con t 0 medido en años), se define el (tanto de) interés (efectivo) en 1/m años (m IN) como i m = L 1 1, m es decir, i m es el rendimiento de 1 u.m. al cabo de 1/m años DEFINICIÓN Dada una ley de actualización 1 L(t) (con t 0 medido en años), se define el (tanto de) descuento (efectivo) en 1/m años (m IN) como d m = 1 1 L( 1 m ), es decir, d m es la rebaja efectuada a 1 u.m. por anticipar 1/m años su disponibilidad PROPOSICIÓN Fijada una ley de capitalización, los tantos de interés y descuento anuales efectivos en 1/m años verifican la fórmula (1 + i m )(1 d m ) = 1, y se denominan tantos equivalentes.

13 Métodos Matemáticos Matemática Financiera DEFINICIONES El (tanto de) interés (anual) nominal capitalizable en 1/m años, denotado por i (m) viene dado por la fórmula i (m) = m i m. El (tanto de) descuento (anual) nominal capitalizable en 1/m años, denotado por d (m) viene dado por la fórmula d (m) = m d m PROPOSICIÓN (Equivalencia de tantos) Fijada una ley escindible (usualmente la ley compuesta) se verifican las siguentes equivalencias: 1. (1 + i) = (1 + i m ) m = 2. (1 d) = (1 d m ) m = 1 + i(m) m m 1 d(m) m m, m IN, m IN Si i y d son equivalentes, entonces se dice que todos los tantos de interés y descuento que aparecen en las fórmulas también lo son DEFINICIONES La ley de interés compuesto fraccionado se caracteriza por el hecho de que los intereses generados en 1/m años son proporcionales al

14 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 13 capital al comienzo de dicho tiempo (t medido en años). Tiene la expresión L(t) = (1 + i m ) tm, i, t, m 0. Su ley de descuento asociada se denomina ley de descuento compuesto fraccionado y toma la expresión 1 L(t) = (1 d m) tm, i, t, m 0, siendo d m equivalente a i m OBSERVACIÓN Las leyes fraccionadas no son sino las compuestas a las que se ha efectuado un cambio de escala en el tiempo. Así, si en la expresión (1 + interés) tiempo el interés es i, el tiempo debe figurar en años; si el interés es i 12, el tiempo se debe medir en meses, etc. Si hay discordancia entre la unidad de tiempo a la que se refiere el tipo de interés y la de la duración de la operación debe hacerse una conversión de tiempo o una equivalencia de tantos para evitar este hecho.

15 Métodos Matemáticos Matemática Financiera TIPOS DE RENTAS: ENTERAS Y FRACCIONADAS; CONS- TANTES Y VARIABLES. VALORES ACTUALES Y FI- NALES DEFINICIÓN Una renta es una sucesión de capitales disponibles o exigibles en momentos equidistantes en el tiempo EJEMPLOS Los pagos mensuales por el alquiler de una casa; la lotería de la O.N.C.E. que premia con euros al año durante 25 años, constituyen ejemplos de rentas DEFINICIONES Los elementos principales que intervienen en una renta son: Los términos, cuotas o plazos de la renta son los pagos realizados periódicamente. El periodo de la renta es el tiempo transcurrido entre dos cuotas consecutivas. Si el periodo es anual, mensual, etc., las cuotas llevan el nombre de anualidades, mensualidades, etc., respectivamente. La duración de la renta es el número de periodos con cuota.

16 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 15 El tanto de valoración de la renta es el tipo de interés con el que se capitalizan/actualizan las cuotas (ley compuesta). El origen de al renta es el instante de su contrato. El final de la renta es el del último periodo con cuota. El valor actual de la renta es el capital equivalente en el origen al conjunto de todas sus cuotas. El valor final de la renta es el capital equivalente en el final al conjunto de todas sus cuotas. Atendiendo a dichos elementos, las rentas se pueden clasificar 1. Según la periodicidad de las cuotas en relación al tanto de valoración: Enteras: el periodo de tiempo al que se refiere el tanto de valoración coincide con el de la renta. Fraccionadas: si no se da tal coincidencia. 2. Según la cuantía de las cuotas: Constantes: todas las cuotas son iguales. Variables: las cuotas difieren entre sí. Estudiaremos ú- nicamente el caso en que las cuotas varían en progresión geométrica. 3. Según el momento de su contrato:

17 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 16 Inmediatas: el origen se sitúa al comienzo del primer periodo con cuota. Diferidas: desde el origen hasta el primer periodo con cuota existe un periodo de diferimiento. 4. Según la situación de cada cuota en el periodo: Pospagables: las cuotas se consideran (o vencen) al final de cada periodo. Prepagables: las cuotas se consideran (o vencen) al comienzo de cada periodo. 5. Según la duración de la renta: Temporales: de duración finita. Perpetuas: de duración infinita NOTACIONES Denotaremos por VA y VF los valores actual y final, respectivamente, de una renta pospagable sin diferimiento y por VÄ y V F los valores actual y final, respectivamente, de una renta prepagable sin diferimiento. Si existe un periodo de diferimiento de m años tales valores se denotarán por m/va y m/vä, m/vf y m/v F.

18 Métodos Matemáticos Matemática Financiera PROPOSICIÓN (Factores de transformación de rentas) En rentas de n años de duración a un tanto de valoración i y periodo de diferimiento m se cumple: VÄ = uva, VF = u n VA, V F = uvf V F = u n VÄ m/va = v m VA, m/vä = vmvä, m/vf = VF, m/v F = V F OBSERVACIONES La utilización de estos factores de transformación permite reducir considerablemente la casuística siguiente en el estudio de valores actuales y finales de los distintos tipos de rentas, para los que se introducirán notaciones específicas. Habida cuenta del principio de proporcionalidad, se considerarán únicamente rentas de cuotas unitarias. Aunque las fórmulas consignadas en este resumen teórico se refieren usualmente a periodos y tantos de valoración anuales, seguirán teniendo validez para otros periodos y tantos de valoración siempre que en éstos se considere la misma unidad de tiempo. Así, por ejemplo, en una renta mensual pospagable de n meses de duración a un tanto de interés o valoración de

19 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 18 i 12 se tendrá VF = (1 + i 12 ) n VA Asimismo, tanto las fórmulas anteriores como las subsiguientes son generalizables cuando hay concordancia de unidades de tiempo entre el periodo de las rentas y el referido al interés. Si hay discordancia entre la unidad de tiempo a la que se refiere el tanto de valoración de la renta y la de su duración, debe hacerse una conversión de tiempo o una equivalencia de tantos para evitar este hecho PROPOSICIÓN (Valoración de rentas constantes) Si denotamos por a n i y por s n i los valores actual y final, respectivamente, de una renta anual unitaria de n años de duración al tanto de valoración i > 0, se tiene a n i = v + + v n = 1 vn i y s n i = u n = un 1. i Si, con las mismas características la renta es perpetua denotaremos por a i su valor actual y entonces a i = v + + v n + = 1 i.

20 Métodos Matemáticos Matemática Financiera PROPOSICIÓN (Valoración de rentas variables en progresión geométrica) Si denotamos por va n i y por vs n i los valores actual y final, respectivamente, de una renta anual pospagable de n años de duración en progresión geométrica de cuotas sucesivas 1, q, q 2,..., q n 1, se tiene va n i = v + qv q n 1 v n = 1 q n v n u q nv si q u si q = u vs n i = u n 1 + qu n q n 1 = u n q n u q nu n 1 si q u si q = u Si, con las mismas características la renta es perpetua, denotaremos por va i su valor actual y entonces va i = v + qv q n 1 v n + = 1 u q si q < u si q u

21 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 20 TEMA 10. PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS 2.1 Préstamos. Conceptos generales 2.2 Sistemas de amortización de préstamos 2.3 Empréstitos. Conceptos generales 2.4 Empréstitos normales 2.5 Empréstitos no normales. Normalización de empréstitos 2.6 Amortización práctica de empréstitos 2.7 Tanto de rendimiento de un empréstito

22 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 21 2 PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS 2.1 PRÉSTAMOS. CONCEPTOS GENERALES DEFINICIONES Un préstamo es una operación financiera en la que se sustituye un capital C dado en el instante t = 0, por un conjunto de capitales, X 1, X 2,..., X k, con momentos de disponibilidad posteriores, t 1, t 2,..., t k, respectivamente. Cada uno de estos capitales se denomina cuota de cancelación y el periodo de tiempo entre dos cualesquiera consecutivas, periodo del préstamo EJEMPLO La financiación de un coche, la hipoteca de un inmueble, constituyen ejemplos de préstamos OBSERVACIÓN La sustitución del capital prestado por los capitales de cancelación se realiza de acuerdo con el principio de equivalencia financiera, mediante alguna ley financiera, normalmente la ley compuesta. En este caso: C = X 1 v + X 2 v X k v k, y i es el tanto de interés efectivo en el periodo del préstamo.

23 Métodos Matemáticos Matemática Financiera NOTACIÓN Y RELACIONES NOTABLES (PRÉSTAMOS) C: capital prestado o sustituido i: tanto de interés efectivo en el periodo del préstamo n: número de cuotas de cancelación X k : cuota de cancelación o plazo en el periodo k (anualidad si el periodo del préstamo es anual) R k : cuota de amortización en el periodo k, destinada a restituir el capital prestado I k : cuota de interés en el periodo k, generada por la deuda pendiente al inicio del periodo k. S k+1 : capital pendiente de amortización al comienzo del periodo k + 1. E k : capital amortizado al final del periodo k. X k = R k + I k C = R R n C = X 1 v + X 2 v X n v n (Equivalencia Financiera) I k = is k S k S k+1 = R k S k = R k R n

24 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 23 E k = R R k E k + S k+1 = C S k+1 = X k+1 v X n v n k (Equivalencia Financiera) 2.2 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Existen diversos métodos para la amortización de un préstamo, algunos de los cuales se muestran a continuación REEMBOLSO ÚNICO DE CAPITAL E INTERÉS El capital prestado se sustituye por un único capital M(n) M(n) = Cu n REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERÉS En cada periodo del préstamo se devenga el interés generado por la deuda en un periodo, Ci, y a la finalización se reembolsa C. C = Civ + + Civ n + Cv n. Se denomina a este método de amortización sistema americano simple REEMBOLSO PERIÓDICO DE CAPITAL E INTERÉS El capital prestado se sustituye mediante pagos periódicos que se descomponen en cuota de amortización y cuota de interés. Se

25 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 24 distinguen los siguientes tipos: 1. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN UNIFORME La cuota de amortización es constante: R 1 = = R n = R R = C n. 2. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS La cuota de cancelación es constante: Por otra parte, X = X k X 1 = = X n = X X = = R k + I k X = X k+1 = R k+1 + I k+1 De donde se obtiene: y, de forma recurrente, Para hallar R 1, R k+1 = ur k, R k+1 = u k R 1. C a n i. R k+1 = R k + (S k S k+1 )i. R R n = C R 1 (1 + u + + u n 1 ) = C, es decir, De otra forma, R 1 = C s n i. R 1 = X I 1 = X S 1 i = X Ci.

26 Métodos Matemáticos Matemática Financiera SISTEMA DE AMORTIZACIÓN AMERICANO CON FONDOS El deudor constituye un fondo de amortización con el que reembolsa el capital prestado en el momento pactado. Al mismo tiempo, abona el interés devengado por la deuda pendiente de forma periódica. Si F denota la cuantía de las aportaciones al fondo y r es el tanto de interés efectivo, entonces la cuota constante de cancelación del préstamo es X = X k = R k + I k = F + Ci = C s n r + Ci. 2.3 EMPRÉSTITOS. CONCEPTOS GENERALES DEFINICIONES Un empréstito es un préstamo en el que el valor de la prestación está repartida en un conjunto de títulos u obligaciones que representan la misma fracción del préstamo. En cada periodo se amortiza un número entero de títulos, de acuerdo a su valor de reembolso. El valor nominal de una obligación es el cociente de la cuantía del préstamo entre el número de obligaciones. El interés generado por cada título en un periodo se llama cupón. El precio de emisión de una obligación es su valor de adquisición. La prima de emisión (resp. prima de reembolso) es la diferencia entre el valor nominal y el precio de emisión (resp. entre el valor nominal y el valor de reembolso).

27 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 26 Un empréstito es normal si los valores de emisión y de reembolso coinciden con el valor nominal y si el cupón es periódico. En caso contrario se dice que el empréstito es no normal EJEMPLO La deuda pública es el conjunto de empréstitos (obligaciones del Estado, bonos, letras del Tesoro, etc.) ofertados por el Estado NOTACIÓN Y RELACIONES NOTABLES (EMPRÉSTITOS) C: valor nominal de una obligación i: tanto de interés efectivo en el periodo del empréstito n: duración del empréstito N: número de obligaciones del empréstito CN: valor nominal del empréstito C e : valor de emisión de una obligación C r : valor de reembolso de una obligación X k : cuota de cancelación o plazo en el periodo k (anualidad si el periodo del empréstito es anual) R k : cuota de amortización en el periodo k, destinada a restituir el capital prestado

28 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 27 I k : cuota de interés en el periodo k, generada por la deuda pendiente al inicio del periodo k r k : número teórico de títulos amortizados en el periodo k l k+1 : número de obligaciones pendientes de amortización al comienzo del periodo k + 1 N k : títulos amortizados al final del periodo k Ci: cupón X k = R k + I k R k = C r r k C = R R n C = X 1 v + X 2 v X n v n (Equivalencia Financiera) I k = l k Ci l k l k+1 = r k l k = r k r n N k = r r k N k + l k+1 = N C r l k+1 = X k+1 v X n v n k (Equivalencia Financiera)

29 Métodos Matemáticos Matemática Financiera EMPRÉSTITOS NORMALES AMORTIZACIÓN UNIFORME El número de obligaciones amortizadas en cada periodo es costante: r 1 = = r n = r r = N n, R k = R = C N n SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS El plazo es constante: X 1 = = X n = X X = NC a n i. Por otra parte, X = X k = R k + I k = Cr k + l k Ci X = X k+1 = R k+1 + I k+1 = Cr k+1 + l k+1 Ci r k+1 = r k + (l k l k+1 )i. De donde se obtiene: r k+1 = ur k, y, de forma recurrente, r k+1 = u k r 1. Para hallar r 1, r r n = N r 1 (1 + u + + u n ) = N,

30 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 29 es decir, De otra forma, r 1 = N s n i. R 1 = X I 1 = X l 1 Ci = X NCi r 1 = R 1 C = X C Ni. 2.5 EMPRÉSTITOS NO NORMALES. NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS EMPRÉSTITO CON PRIMA DE REEMBOLSO Y PLAZO CONS- TANTE Se caracteriza por C r C. Se transforma el plazo X = X k uno correspondiente a un empréstito normal: en X = X k = C r r k + l k Ci = C r r k + l k C r C C r i = C r r k + l k C r i, en el que el interés efectivo es i = C C r i y el valor nominal de la obligación es C r. Procediendo como en 2.4.2, se obtiene: y X = NC r a n i r k+1 = (1 + i )r k, r k = (1 + i ) k 1 r 1. Se dice que i es el tanto que normaliza el empréstito.

31 Métodos Matemáticos Matemática Financiera EMPRÉSTITO SIN CUPÓN Y PLAZO CONSTANTE No existe cupón periódico. El interés acumulado se abona en el momento de la amortización de la obligación, junto con su valor de reembolso. Se verifica: X k = X = r k Cu k, k = 1,..., n. Por otra parte, y, por tanto, X = NC a n i, r k = N u k a n i EMPRÉSTITO CON AMORTIZACIÓN SECA Y PLAZO CONSTAN- TE La obligación pierde el cupón correspondiente al periodo de amortización. Puede considerarse que existe una prima de reembolso negativa, C r = C Ci < C. Aplicando los resultados de 2.5.1, se obtiene: NC(1 i) X = a n i y r k+1 = 1 + i r k, r k = 1 + i k 1 r 1. 1 i 1 i Se observa que el último plazo se dedica íntegramente a amortización: X n = Cr n.

32 Métodos Matemáticos Matemática Financiera AMORTIZACIÓN PRÁCTICA DE EMPRÉSTITOS En cada periodo se debe amortizar un número entero de obligaciones. Dado que r k puede no ser entero, se necesita algún método práctico de amortización que no difiera demasiado de la amortización teórica. El método de redondeo de las amortizaciones teóricas consiste en obtener la parte entera de r k, k = 1,..., n, [r k ], y considerar la diferencia N ([r 1 ] + + [r n ]). Cada una de estas obligaciones se amortiza en el periodo k tal que la parte fraccionaria de r k sea mayor. De esta forma se obtiene el plan real de amortización EJEMPLO Cuadro de amortización de un empréstito con sistema francés y plazo constante, con los siguientes datos: C = u.m., N = 1.000, i = 0, 06, n = 5 años y C r = u.m. Normalización: i = = 0, 05. Anualidad teórica: X = a = , 7578 u.m Amortización teórica: R 1 = , = , 7578 u.m., r 1 = , = 180, r 2 = 1, 05r 1 = 190, 0235 r 3 = 1, 05r 2 = 199, 5247

33 Métodos Matemáticos Matemática Financiera 32 r 4 = 1, 05r 3 = 209, 5009 r 5 = 1, 05r 4 = 219, 9759 Amortización práctica: N 5 k=1 [r k ] = 3. Estas tres obligaciones se reparten en los periodos en los que r k tienen parte fraccionaria mayor: Periodo Amortización Cuadro de amortización: Anualidad Interés Amortización Obligaciones amortizadas Obligaciones efectiva efectiva anual total vivas

34 Métodos Matemáticos Matemática Financiera TANTO DE RENDIMIENTO DE UN EMPRÉSTITO Existen dos puntos de vista en la valoración del tanto efectivo o de rendimiento de un empréstito DEFINICIÓN El tanto de rendimiento de una obligación que vence en el periodo k, i k, es aquél que verifica la equivalencia financiera entre el valor de emisión C e y los ingresos obtenidos por el obligacionista hasta el momento de la amortización OBSERVACIÓN En consecuencia, cuando el empréstito se rige por el sistema francés y es de plazo constante, i k verifica: C e = Cia k ik + C r (1 + i k ) k DEFINICIÓN El tanto de rendimiento del empréstito, i, es aquél que verifica la equivalencia financiera entre la prestación y los pagos que constituyen la contraprestación.

35 Métodos Matemáticos Matemática Financiera OBSERVACIÓN Si en el empréstito existen gastos fijos de cuantía G u.m. en el momento de emisión y gastos proporcionales del g k % sobre el plazo X k, entonces i verifica: NC e G = (1 + g 1 )X 1 (1 + i ) (1 + g n )X n (1 + i ) n. Cuando el empréstito es normal, de plazo constante y G = g 1 = g n = 0, se tiene i = i.

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