Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 1 Grado ADE

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1 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 1 Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 1 Grado ADE 1. Para comprar un artículo entregamos 3 euros en efectivo y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 6, 9 y 12 días respectivamente, para lo que nos aplican un tanto de interés del 6%. Transcurridos días, dichas letras son vendidas a un inversor, aplicándole un tanto de descuento del 5% y una del 1 125% sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al inversor cambiar las letras por una sóla con vencimiento dentro de 4 meses, el inversor acepta y nos aplica un tanto de descuento del 4% y una del 2% sobre el nominal de las letras sustituidas. Se pide: (a) Calcular el nominal de las tres primeras letras, si el inversor pago por ellas euros. (b) Precio al contado del artículo. (c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores. (d) Rentabilidad de la operación para el inversor. El esquema de la situación inicial es el siguiente: 3 N N N i = 6 % P teniendo en cuenta que nos dan un tanto de interés, utilizaremos descuento racional, por lo que el precio al contado del artículo sería: P = 3 + N 1 + 6, 6 + N 1 + 9, 6 + N (a) Transcurridos días las letras son vendidas, a un tanto de descuento del 5% (descuento comercial por tanto) y de 1, 125% sobre el nominal de cada una, a un inversor que paga por ellas euros. Por tanto:, 6 N N N d = 5 % 1,125 % sobre nominal de cada letra = N(1 =6 {}}{, 5) + N(1 75, 5) + N(1, 5) } {{ } efectivo = N = 1.2 euros Observemos que en este caso la penaliza aumentando el efectivo. + 3N, 1125

2 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 2 (b) Una vez calculado el nominal de cada letra, y teniendo en cuenta la situación inicial, podemos calcular fácilmente el precio al contado del artículo: P = , , , 6 = P = 3.861, 86 euros (c) En el vencimiento de la primera letra, y sin aún haber pagado ésta, sustituimos las tres letras pendientes por una sóla: d = 4% 2 % sobre nominal letras sustituidas Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene: (1 3 6, 4) + 1.2(1, 4) + 3.6, 2 = (1 12, 4) } {{ } } {{ } deuda actual deuda futura = = 3.79, 46 euros (d) Para calcular la rentabilidad del inversor, tengamos en cuenta que compró las tres letras en por un importe total de euros, y ha recibido en 18, la letra de nominal 3.79,46 euros, por lo que: i? 3.79,46 18 Por tanto: 3.79, 46 = ( i) = i =, = i 6, 74%

3 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 3 2. Para comprar un artículo valorado en 7.14 euros, entregamos 1.2 euros en efectivo y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 6, 9 y 12 días respectivamente, para lo que nos aplican un tanto de descuento del 4%. Transcurridos días, el vendedor acude a un banco para descontar dichas letras, por lo que le aplican un tanto de interés del 6% y una del 3% sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al banco cambiar las tres letras por una sóla con vencimiento dentro de 75 días, el banco acepta y nos aplica un tanto de descuento del 6% y una del 1,5% sobre el nominal de las letras sustituidas. Se pide: (a) Calcular el nominal de las tres primeras letras. (b) Cantidad recibida por el vendedor al descontar las letras. (c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores. (d) Rentabilidad de la operación para el banco. (a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene: 1.2 N N N d = 4 % 7.14 como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación calcularíamos el nominal: 7.14 = N(1 6, 4) + N(1 9 = N = 2. euros, 4) + N(1 12, 4) (b) Transcurridos días, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de interés del 6% (descuento racional por tanto) y de, 3% sobre el nominal de cada una, por tanto: i = 6 %,3 % sobre nominal de cada letra L = 1 + +, , , 3, 6 } {{ } efectivo = L = 5.98, 2 euros Observemos que en este caso la penaliza disminuyendo el efectivo.

4 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 4 (c) En el vencimiento de la primera letra, y sin aún haber pagado ésta, sustituimos las tres letras pendientes por una sóla: d = 6 % 1,5 % sobre nominal letras sustituidas Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene: (1 3 6, 6) + 2.(1, 6) + 6., = (1 75, 6) } {{ } } {{ } deuda actual deuda futura = = 6.136, 71 euros (d) Para calcular la rentabilidad del banco, tengamos en cuenta que compró las tres letras en por un importe total de 5.98,2 euros, y ha recibido en 135, la letra de nominal 6.136,71 euros, por lo que: 5.98,2 i? 6.136, Por tanto: 6.136, 71 = 5.98, 2 ( i) = i =, = i 11, 61%

5 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 5 3. El señor Benavente compra un artículo valorado en 4. euros para lo cual entrega en efectivo 4 euros y firma 3 letras de igual nominal y vencimientos respectivos 6, 9 y 12 días acordando un tanto de descuento del 5%. Transcurridos días el dueño de la tienda descuenta las letras en un banco que le aplica un tanto de interés del 4% y una del 1% sobre el nominal de cada letra. 3 días más tarde, el banco vende las letras a un inversor a un tanto de descuento del 5% y una del 2% sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, el señor Benavente propone al inversor cambiar las letras pendientes por una sóla con vencimiento dentro de 9 días. El inversor acepta, cobrando un tanto de interés del 5%, y una del 2% sobre el nominal de cada letra sustituida con un mínimo de 5 euros. Se pide: (a) Nominal de las letras que firma el señor Benavente. (b) Cantidad obtenida por el vendedor al descontar las letras. (c) Cantidad pagada por el inversor al comprar las letras. (d) Tanto de interés efectivo de la operación realizada por el banco. (e) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. (a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene: 4 N N N 4. d = 5 % como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación calcularíamos el nominal: 4. = 4 + N(1 6, 5) + N(1 9 = N = 1.2 euros, 5) + N(1 12, 5) (b) Transcurridos días, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de interés del 4% (descuento racional por tanto) y de 1% sobre el nominal de cada una, por tanto: i = 4 % 1 % sobre nominal de cada letra L = 1 + +, , , 1, 4 } {{ } efectivo = L = 3.524, 27 euros

6 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 6 (c) Transcurridos 3 días más, el banco vende las letras a un inversor, aplicando un tanto de descuento del 5% y un del 2% sobre el nominal de cada letra d = 5 % 2 % sobre nominal de cada letra I nv = 1.2(1 75, 5) + 1.2(1, 5) + 1.2(1, 5) } {{ } {{.2} } cuantía teórica que debería pagar = I nv = 3.649, 5 euros (d) Para calcular el tanto efectivo de la operación realizada por el banco, tengamos en cuenta que compró las tres letras en por un importe total de 3.534,27 euros, y las ha vendido en por 3.649,5 euros, por lo que: 3.534,27 i? 3649,5 Por tanto: 3.649, 5 = 3.534, 2739 (1 + 3 i) = i =, = i 39, 12% (e) En el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, sustituimos las dos letras pendientes por una sóla: i = 5 % 2 % sobre nominal letras sustituidas con un mínimo de 5 euros Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura y teniendo en cuenta que la que deberíamos pagar sería 2.4, 2 = 48 euros, y nos exigen un mínimo de 5 euros, se tiene: ( , 5) (1 + 6, 5) } {{ } deuda actual + }{{} 5 = = = 2.465, 54 euros (1 + 9, 5) } {{ } deuda futura

7 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 7 4. El señor López compra un artículo entregando en efectivo 5 euros y firmando 3 letras de nominal 1.5 euros y vencimientos respectivos 6, 9 y 12 días a un tanto de descuento del 4%. Transcurridos 3 días el dueño de la tienda descuenta las letras en un banco que le aplica un tanto de interés del 5%, y una del 1% sobre el nominal de cada letra con un mínimo de 5 euros. días más tarde, el banco vende las letras a un inversor a un tanto de descuento del 5% y una del 5% sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y antes de pagar ésta, el señor López propone al inversor cambiar las letras pendientes por una sóla con vencimiento dentro de 9 días. El inversor acepta, cobrando un tanto de interés del 5%, y una del 2% sobre el nominal de cada letra que interviene en la operación con un mínimo de 7 euros. Se pide: (a) Precio del artículo comprado por el señor López. (b) Cantidad obtenida por el vendedor al descontar las letras. (c) Cantidad pagada por el inversor al comprar las letras. (d) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. (e) Tanto de interés efectivo del inversor. (a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene: P d = 4 % como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación calculamos el precio del artículo: P = (1 6, 4) + 1.5(1 9 = P = 5. euros, 4) + 1.5(1 12, 4) (b) Transcurridos 3 días, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de interés del 5% (descuento racional por tanto) y de 1% sobre el nominal de cada una, con un mínimo de 5 euros i = 5 % 1 % sobre nominal letras descontadas con un mínimo de 5 euros la sería 1.5 3, 1 =, pero como hay un mínimo de 5 euros, tomamos como el mínimo: L = , , }{{} 5, 5 } {{ } efectivo = L = 4.412, 86 euros

8 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 8 (c) Transcurridos días más, el banco vende las letras a un inversor, aplicando un tanto de descuento del 5% y un del, 5% sobre el nominal de cada letra d = 5 %,5 % sobre nominal de cada letra I nv = 1.5(1 75, 5) + 1.5(1, 5) + 1.5(1, 5) } {{ } {{.5} } cuantía teórica que debería pagar = I nv = 4.494, 375 euros (d) En el vencimiento de la primera letra, y sin haber pagado ésta, sustituimos las tres letras por una sóla: i = 5 % 2 % sobre nominal letras sustituidas con un mínimo de 7 euros Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura y teniendo en cuenta que la que deberíamos pagar sería (4.5 + ), 2 = 9 +, 2 euros, que supera el mínimo de 7 euros, se tiene: ( , 5) (1 + 6, 5) } {{ } deuda actual = = 4.724, 19 euros + (4.5 + ), 2 = (1 + 9, 5) } {{ } deuda futura (e) Para calcular el tanto efectivo del inversor, tengamos en cuenta que compró las tres letras en por un importe total de 4.494,375 euros, y ha recibido en la nueva letra de nominal 4.724,19 euros, por lo que: 4.494,375 i? 4.724,19 Por tanto: 4.724, = 4.494, 375 (1 + i) = i =, = i 17, 53%

9 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 9 5. El señor Ruiz acude a un concesionario para comprar un coche valorado en 3. euros para lo cual entrega en efectivo 6.44 euros y firma tres letras de igual nominal y vencimientos 3,6 y 9 días respectivamente, a un tanto de descuento del 5 % anual simple y una del 1 % sobre el nominal de cada letra. Transcurridos días, el dueño del concesionario negocia las letras en un banco que descuenta a un 3 % de interés simple semestral y cobra una del, 5 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, el Sr. Ruiz propone al banco cambiar las dos letras restantes por una sóla con vencimiento dentro de 9 días. El banco acepta cobrando un 5 % de descuento anual simple y una del 1 % sobre el nominal de todas las letras que intervienen en el cambio. Se pide: (a) Nominal de las letras que firma inicialmente el Sr. Ruiz. (b) Cantidad obtenida por el concesionario al negociar las letras. (c) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. (d) Tanto de interés anual efectivo de la operación realizada por el dueño del concesionario. (e) Plantear la ecuación que nos da el tanto de interés anual efectivo de la operación realizada por el banco. (f) Plantear la ecuación que nos da el tanto de interés anual efectivo de la operación realizada por el Sr. Ruiz. (a) El esquema de la situación inicial es el siguiente: 6.44 N N N d = 5 % 1 % sobre nominal de cada letra como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación calcularíamos el nominal. Observemos que la aumentaría el precio del coche N, 1 = N(1 3, 5) + N(1 6 = N = 8. euros, 5) + N(1 9, 5) (b) Transcurridos días, el dueño del concesionario acude al banco y negocia las letras a un tanto de interés simple semestral i 2 = 3% (descuento racional por tanto), o lo que es lo mismo a un tanto de interés simple anual del 6%, y de, 5% sobre el nominal de cada una, por tanto: i = 6 %,5 % sobre nominal de cada letra L = 1 + +, , , 5, 6 } {{ } efectivo = L = 23.71, 73 euros

10 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 1 (c) En el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, sustituimos las dos letras pendientes por una sóla: d = 5 % 1 % sobre nominal de la nueva letra Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene: 8.(1 3 6, 5) + 8.(1, 5) + (16. + ), 1 = (1 9, 5) } {{ } } {{ } deuda actual deuda futura = = , 67 euros (d) Para calcular la rentabilidad del dueño del concesionario, tengamos en cuenta que en el momento inicial () vendió un coche valorado en 3. euros, recibió en ese momento 6.44 euros en efectivo, y días más tarde obtuvo 23.71,73 euros al negociar las letras. La operación se puede resumir en el siguiente esquema: , Por tanto: 3. = , i = i =, = i 14, 44% (e) Para plantear la ecuación que nos da el TAE de la operación efectuada por el banco, tengamos en cuenta que en el momento obtuvo las letras por un importe de 23.71,73 euros y que como contraprestación ha recibido 8. euros en 3 y ,67 en 12. La operación se puede resumir en el siguiente esquema: 23.71, , Por tanto la ecuación sería: 23.71, 73 = i , i = i 14, 78%

11 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 11 (f) Para plantear la ecuación que nos da el TAE de la operación realmente efectuada por el Sr. Ruiz, tengamos en cuenta que en el momento compró un coche valorado en 3. euros, entregando en dicho momento 6.44 euros, transcurridos 3 días pagó una letra de cuantía 8. euros y transcurridos 12 días (contados desde ) pagó un letra de cuantía ,67 euros. La operación se puede resumir en el siguiente esquema: , Por tanto la ecuación sería: 3. = i , i = i 14, 8%

12 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) Sea i un tanto de interés anual compuesto y sea i k un tanto de interés k-esimal compuesto (correspondiente a 1 k de año). Deducir la relación que existe entre i e i k para que sean equivalentes, y como consecuencia demostrar que si i 4 tanto de interés trimestral compuesto, e i 12 tanto de interés mensual compuesto son equivalentes, entonces: i 12 = i 4 1 Consideremos una operación de n años de duración y calculemos el montante que se obtendría al invertir C unidades monetarias valorando a i, tanto de interés anual compuesto: C tanto anual i Cn donde C n = C (1 + i) n n Si utilizamos el tanto de interés k-esimal compuesto i k : C tanto k-esimal ik C'n donde C n = C (1 + i k ) nk n Para que i e i k sean equivalentes, C n = C n, por tanto: C (1 + i) n = C (1 + i k ) nk (1 + i) n = (1 + i k ) nk n (1 + i) n = n (1 + i k ) nk 1 + i = (1 + i k ) k Consideremos ahora i 4 un tanto trimestral compuesto, e i 12 un tanto mensual compuesto equivalente a i 4. Sea i el tanto anual compuesto equivalente a ambos tantos, es decir, se debe cumplir: 1 + i = (1 + i 12 ) i = (1 + i 4 ) 4 Por tanto igualando: (1 + i 12 ) 12 = (1 + i 4 ) 4 12 (1 + i 12 ) 12 = 12 (1 + i 4 ) i 12 = i 4 i 12 = i 4 1

13 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) Caja Madrid lanza el Depósito 12 Internet y ofrece a sus inversores para operaciones de ahorro a un año un tanto de interés nominal mensual del 12 % durante el primer mes y un 3,7 % nominal mensual para el resto del año. Calcular el tanto efectivo de la operación. Supongamos que invertimos una capital de cuantía C, durante el primer mes J 12 =, 12 por tanto i 12 =,12 12 =, 1. En los 11 meses restantes J 12 =, 37 por tanto i 12 =,37 12 =, 3 8. : C M1 1/12 J12= 12 % J12 = 3,7 % 1 Por tanto el montante obtenido a final del año M 1 sería: M 1 = C (1 +.1) 1 (1 +, 3 8) 11 Por otro lado si invertimos esta misma cantidad C durante un año a un tanto de interés anual compuesto i: C M2 i? 1 obtendríamos un montante M 2 = C (1 + i) 1. Por tanto para calcular el TAE igualamos los montantes obtenidos: M 1 = M 2 = C (1 +.1) 1 (1 +, 3 8) 11 = C (1 + i) 1 = (1+.1) 1 (1+, 3 8) 11 = (1+i) 1 = 1, = 1+i = i =, = i 4, 48%

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