1307 MATEMATICAS FINANCIERAS ZEIDA POMPA FLORES MATRICULA MATEMATICAS FINANCIERAS MAYO 2012

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1 Universidad Metropolitana Latin campus ZEIDA POMPA FLORES MATRICULA MATEMATICAS FINANCIERAS MAYO

2 RAZONES Y PROPORCIONES Proporción es la igualdad de dos razones Razón geométrica es el cociente de una división Al efectuar una división intervienen cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo. En una razón geométrica interviene igual número de elementos, pero éstos se denominan antecedente, consecuente y razón y residuo. Para resolver problemas se recurre a las propiedades básicas de las proporciones: 1. Producto de medios es igual a producto de extremos. 2. Cuando desconocemos un medio, se multiplican los extremos, y el producto se divide entre el medio conocido. 3. Cuando se desconoce un extremo, se multiplican los medios, y el producto se divide entre el extremo conocido. 4. Cuando se desconocen los dos medios, se multiplican los extremos conocidos, y al producto se le extrae raíz cuadrada 5. Cuando se desconocen los dos extremos, se multiplican los medios conocidos, y al producto se le extrae la raíz cuadrada. El reparto proporcional es la operación que tiene por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores o números dados llamados de reparto. Los elementos que se utilizan en todo problema de reparto proporcional son: Cociente de reparto. Cantidad que le corresponde a cada uno de los beneficiarios. Índice de reparto. Factores que determinan el reparto a cada uno de los beneficiarios Cantidad por repartir. Importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios. La clasificación del reparto proporcional es la siguiente: a) Directo simple. Es la repartición en la que interviene un solo factor; a mayor número de unidades que indique el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda b) Directo compuesto. Intervienen dos o más factores; al igual que el anterior, a mayor número de unidades le corresponde mayor cantidad de lo repartido c) Inverso simple. Interviene un solo factor; a mayor número de unidades del índice de reparto, menor es la cantidad asignada al beneficiario. d) Inverso compuesto. Participan dos o más factores; cuanto mayor es el índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde. e) Mixto. Intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y otro u otros inversamente proporcionales. 2

3 Métodos de aplicación. Para resolver un problema de reparto proporcional se pueden utilizar tres métodos: por reducción a la unidad, por proporciones y por partes alícuotas. Reducción de la unidad. Consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto; se obtiene mediante la división de la cantidad por repartir entre la suma de los índices de reparto, que origina lo que se denomina factor contante (Fc). Proporciones. Como ya se indico, una proporción es la igualdad de dos razones. Partes alícuotas. Son partes exactas que integran un todo; es decir; cuando se resuelva un problema de reparto proporcional por este método, debe buscarse una parte que sea submúltiplo de todos los índices de reparto. Reparto proporcional directo compuesto, es aquel en donde los índices de reparto están formados por dos o más factores, y a fin de encontrar los índices definitivos para su reparto se deberán multiplicar los diversos factores que intervienen; una vez determinados, se deberá proceder como si fuera directo simple. Reparto proporcional inverso simple. Es aquel en el cual el cociente de reparto es mayor a medida que el índice de reparto es menor. Reparto proporcional inverso compuesto. En este tipo de reparto se presentan dos o más factores, los que se multiplican para obtener su inverso, y donde se determina un denominador común a fin de convertirlo en unidades de igualdad, es decir, en un reparto directo simple. Reparto proporcional mixto. Se denomina reparto proporcional mixto aquel en el que intervienen uno o más factores directos y uno o más factores inversos; el definitivo se obtiene al multiplicar los factores directos por el inverso de los otros, y el producto así obtenido es el índice de reparto. INTERES SIMPLE Interés. Cantidades que se paga por el uso de dinero ajeno Capital. En términos financieros, cierta cantidad de dinero que permite ganar más en operaciones de préstamos, llamada esta última interés Tasa. También llamada tipo de interés o tanto por cierto. Rendimiento que producen 100 unidades de moneda en una unidad de tiempo Tiempo. Número de periodos que dura impuesto el capital; es decir, la duración del préstamo. Tanto por uno. Rendimiento que produce una unidad de moneda. Monto. Suma del capital más los intereses ganados Interés simple. Importe que se cobra al final de cada periodo señalado y que es constante, porque la deuda o capital es el mismo. 3

4 Deducciones de la fórmula general. Cien unidades de moneda (C), en una unidad de tiempo(n), impuesta en un tanto por ciento (T) producen un interés (i). De esta manera, el capital(c) por una unidad de tiempo (n) por una tasa establecida (T) generar un interés (i). Y al simplificar tenemos: C x n x T = i por cada 100 unidades. Tiempo fraccionado. En los problemas donde el tiempo se presenta fraccionado en relación con la tasa de interés, es necesario convertir ésta al periodo que indica el tiempo. Es importante señalar que el año natural tiene 365 días, y que en el año comercial sólo se consideran 360 días. Divisor fijo. El procedimiento donde se obtiene el interés por medio de un divisor fijo toma como base la formula de interés simple, que trabaja la tasa en años y el tiempo en días. El divisor se obtiene de la siguiente manera: i=cnt EXPONENCIACIÓN Y RADICALIZACIÓN Para iniciar lo correspondiente al interés compuesto, el número de periodos (tiempo) normalmente aparece como exponente, y en consecuencia es necesario conocer las leyes que rigen a la exponenciación, y su operación inversa, la radicación. Leyes básicas de los exponentes. 1. Para determinar el producto de dos potencias que tienen una misma base se suman los exponentes y se conserva la misma. 2. El producto de dos factores elevados a una misma potencia es igual al producto del primer factor elevado a la misma potencia. 3. Al elevar un factor a una potencia y este producto a otra potencia, el resultado es el factor elevado al producto de las potencias. 4. Toda fracción común elevada a una potencia es igual al numerador elevado a la potencia indicada, sobre el denominador elevado a la misma potencia. 5. De donde podemos concluir que todo número elevado a una potencia negativa es igual a su reciproco con exponente positivo. 6. Todo número elevado a.un exponente cero (0) es igual a la unidad. 7. Cuando un factor está elevado a una fracción común, podemos simplificar esta expresión indicando al numerador como exponente del factor y al denominador como radical de la expresión 4

5 LOGARITMOS Se llama logaritmo de un número al exponente que indica la potencia a la que hay que elevar un número llamado base, para obtener el número deseado. Cualquier número diferente de cero (0) o de uno (1) positivo puede ser base de un sistema de logaritmos; sin embargo, únicamente se utilizan, como base de un sistema de logaritmos, dos números. El numero e y el número 10 El número e es la base del sistema de logaritmos naturales o hiperbólicos, llamados también neperianos, en honor a su creador. El número e es un número inconmensurable (no se determina su valor). e = El número 10 es la base del sistema de logaritmos decimales llamados, también vulgares, comunes o logaritmos de Briggs, en honor a su creador. El sistema más comúnmente utilizado es el de base 10 o decimal, y para nuestro estudio podemos definirlo en la siguiente forma; el logaritmo decimal de un número dado es el exponente que indica la potencia a la que hay que elevar el número 10 para obtener ese número dado. Siempre que establezcamos la base 10 se escribe log10, pero cuando no hay probabilidad de confusión solo se indica log. Propiedades de los logaritmos. Teorema 1. Todo logaritmo es un exponente Teorema 2. Los números negativos y cero no tienen logaritmo real Teorema 3. En todo sistema de logaritmos, la unidad es el logaritmo de la base y el cero es el logaritmo de la unidad. Teorema 4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores Teorema 5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Teorema 6. El logaritmo de un número afectado por un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número. Sabemos que los logaritmos son exponentes, y cuando un número está elevado a un exponente, los exponentes se multiplican Teorema 7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando entre el índice del radical Integración y composición de los logaritmos. Todo número es igual a una potencia de 10, si bien esta potencia puede ser fraccionaria. El logaritmo de 100 es igual a 2 y el logaritmos de es igual a 3; por tanto, si deseamos obtener el logaritmo de un número menor de 3,es decir, entre el 2 y 3; así, la integración del logaritmo se compone de 2 partes; 5

6 una entera y una decimal. La entera se denomina característica y la parte decimal mantisa. La característica (número entero) puede ser positiva o negativa mientras la mantisa (parte decimal) siempre es positiva. La característica del logaritmo de un número mayor que la unidad es siempre positiva, y será siempre una unidad menor que el número de dígitos enteros de un número. En la misma forma, la característica del logaritmo menor que la unidad escrita en forma decimal es siempre negativa e igual al lugar que ocupa la primera cifra diferente de cero después del punto decimal. (Una característica negativa se indica con una raya superior o testa ) Operaciones con logaritmos Suma de logaritmos (multiplicación). Recordemos que las mantisas son positivas y se suman aritméticamente. Lo que lleve al sumar la columna de los décimos es un valor siempre positivo y se suma algebraicamente a la suma algebraica de las características. Resta de logaritmos (divisiones). Las mantisas son positivas y se restan aritméticamente. Lo que se lleve al restar la columna de los décimos es un valor siempre positivo y se suma algebraicamente a la característica del sustraendo. Multiplicación de logaritmos (exponenciación). Las mantisas son positivas y se multiplican aritméticamente. Lo que se lleve al multiplicar las columnas de los decimos es un valor siempre positivo y se suma algebraicamente al producto que se obtenga al multiplicar en forma algebraica la característica. Se trata de dividir in logaritmo de característica negativa y el divisor no cabe un número exacto de veces, se aumenta a esa característica negativa las unidades negativas indispensables, para que la división sea exacta. Luego aumentamos esas unidades a la mantisa, pero positiva y formando décimos. PROGRESIONES Por progresión podemos entender una serie no interrumpida, y si se habla en términos matemáticos cabe definirla como una serie de números no interrumpida cuya ley de formación está perfectamente definida. Dentro de esta ley de formación debe existir un primer término y un criterio para determinar cada uno de los siguientes términos de la progresión. 6

7 Los términos que integran esta serie de números, llamada progresión, se puede obtener por diferencias y por cociente. Las progresiones cuyos términos se integran por diferencia se llaman progresiones aritméticas, y las que se integran por cociente reciben el nombre de progresiones geométricas. Progresiones aritméticas. Para integrar una progresión aritmética es necesario que exista un primer término y la razón o diferencia entre cada uno de los siguientes términos, y un número definido de términos. Suma de una progresión aritmética. Como su nombre lo indica, la suma de una progresión aritmética consiste en sumar cada uno de los términos que la integran; sin embargo, para simplificar esta operación existe un teorema que dice: En toda progresión aritmética limitada, la suma de los medios equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. En estas progresiones hemos visto que los términos a y l son el primero y último respectivamente; es decir, los extremos comprendidos entre ambos extremos son los medios de la progresión. Progresiones geométricas. Una progresión geométrica es por cociente y se dice que está definida cuando se conoce el primer término (a) y la constante o cociente común (q), por el que hay que multiplicar cada término para encontrar el siguiente. INTERES COMPUESTO En el interés simple, el capital permanece constante desde el inicio el inicio de la operación hasta que termina. Definición. En el interés compuesto, el capital inicial se va adicionando de los intereses ganados al final de cada periodo, para producir juntos nuevos intereses en el periodo siguiente. Se puede comprobar que en el interés compuesto el capital se incrementa en cada periodo de vencimiento; en consecuencia, cuando esto sucede se dice que hay capitalización. Podemos observar que el número de periodos a que se impone un capital en interés compuesto se refleja como exponente de la expresión. Cuando se trata de interés simple, las tasas proporcionales que son múltiplos o submúltiplos de una tasa dada son también equivalentes, ya que producen el mismo interés para el mismo capital en el mismo tiempo. 7

8 Sin embargo, en interés compuesto, las tasas proporcionales son equivalentes, ya que aun con tasas proporcionales, en el mismo tiempo, no generan el mismo interés. Lo anterior tiene una explicación sencilla: en el interés simple, el capital se conserva constante e igual durante todo el tiempo, sin importar el periodo en que se generan los intereses; únicamente en el interés compuesto el capital aumenta cada vez que genera interés, y esto sucede cada periodo que se capitaliza. Capitalización continúa. Si los intereses se capitalizan anualmente, el capital recibirá una adición cada año. Si se capitalizan semestralmente, habrá dos aumentos por concepto de intereses al año. Si la capitalización es trimestral, recibirá cada 3 meses un incremento, es decir, 4 veces al año. Si es mensual, cada mes y, consecuentemente, el monto será mayor conforme se capitalicen en periodos más cortos. DESCUENTO El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir, por el pago anticipado de un valor que vence a futuro. Como ya hemos indicado, en las operaciones financieras existen dos formas de cobrar por la utilización del dinero: una es el interés simple, y la otra es interés compuesto. Por tanto, el descuento puede hacerse a documentos cuyo interés sea cualquiera de los dos tipos. Descuento a interés simple. Existen dos tipos de procedimientos para calcular el descuento comercial o exterior (de) y descuento interior (di). Descuento comercial o exterior (de). El descuento exterior (de )consiste en determinar el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de descuento a cierta tasa, tomando como base el valor nominal. Descuento de interés compuesto. El descuento a interés compuesto o descuento verdadero toma como base el valor actual, y lo definiremos como la operación financiera mediante la cual se entrega una cantidad que, sumada con el interés generado durante el tiempo a que se pacta el documento ya descontado, se convierte en el valor nominal, es decir, el valor que se debe pagar en la nueva fecha del documento. 8

9 CAPITALES EQUIVALENTES Se dice que dos capitales a vencimiento futuro (monto) son equivalentes cuando sus valores actuales son iguales, calculados a una misma tasa. Vencimiento común. Consiste en efectuar un pago único en lugar de varios pagos que tienen diversos vencimientos, a diferentes tasas cada uno, siempre que el pago único sea a una misma tasa. La solución de estos problemas es muy simple. Se realiza mediante la obtención del capital original; después de que se obtienen los distintos vencimientos se procede a determinar el pago de vencimiento común. Vencimiento único. Consiste en sustituir dos o más pagos definidos por uno solo, si se conoce el importe que como pago único que se requiere hacer. Determinar pagos parciales. Este caso consiste en que después de conocer el vencimiento único de un documento, se precisa como poder liquidarlo en carios pagos iguales con diferentes vencimientos, con ajuste del último pago para integrar el monto del documento original. Plazo medio. Estos problemas consisten en encontrar una fecha en la cual se tendrá que pagar una cantidad igual a la suma de los documentos con vencimiento futuro, que se quiera pagar en un mismo acto. Es importante señalar que se trata de una cantidad igual no equivalente. ANUALIDADES Desde el punto de vista financiero, se denomina anualidad a una serie de cantidades que vencen progresivamente a intervalos iguales, ya sean importes que se tengan que intervenir, o pagos que se tengan que efectuar. Por costumbre se denomina anualidad al pago o inversión, aun cuando no se efectué cada año, puesto que puede ser semestral, trimestral, mensual o semanal, es decir, cada periodo establecido. Existen dos principales grupos de anualidades. 1. Ciertas. Son aquellas cuya anualidad se estipula en términos precisos. A sus ves se subdividen en dos tipos de anualidades. a) Anualidades cierta a plazo b) Anualidades cierta de rentas perpetuas 2. Eventuales. Se dan cuando el principio de la realización de la anualidad depende de un acontecimiento fortuito. 9

10 Las anualidades eventuales se diferencian de las cierta de rentas perpetuas en que mientras aquellas tienen una duración imprevista, estas son bien conocidas, ya que son perpetuas. ANUALIDADES ORDINARIAS O VENCIDAS (CUANDO SE CONOCE EL MONTO) Si el monto total es igual a la suma de los montos de cada anualidad, se puede llegar al mismo resultado mediante el cálculo de monto por cada anualidad, pero se debe considerar que como se realiza el depósito al final de cada periodo, hay que disminuir al exponente n un periodo, es decir, M=Crn-1. Determinación de la tasa (t). En esta expresión, si se despejara t quedaría en ambos miembros, por lo que se indica como la fórmula para determinar la tasa. Para resolver estos problemas se puede recurrir a dos procedimientos. 1. Aproximaciones sucesivas. Consiste en ir dando valores t en el segundo miembro, hasta que el resultado de primer miembro sea igual al del segundo miembro. 2. Interpolación. Consiste en encontrar el valor del primer miembro, comparando con los dos más próximos. ANUALIDADES ORDINARIAS O VENDIDAS (CUANDO SE CONOCE EL VALOR ACTUAL) Determinación de la fórmula para el valor (Va). Ahora se hará referencia al valor actual; aquel cuya época de valuación coincide con la iniciación de la serie de las anualidades. Se pueden presentar diferentes situaciones: a) El descuento de una serie de pagos, cada uno de ellos con vencimientos escalonados, periódicos y a la misma tasa. b) La determinación de un valor actual que, invertido a una tasa de interés fijo, permita recibir una serie de anualidades determinada c) La amortización de una cantidad presentada que se liquidará mediante pagos fijos iguales. Determinación de la tasa (t). Se parte de la fórmula para determinar la anualidad en anualidades ordinarias, coincidiendo el valor actual. Es conveniente señalar que para determinar el valor del segundo miembro de esta igualdad, se deben utilizar los procedimientos de interpolación o de aproximaciones sucesivas. ANUALIDADES ANTICIPADAS 10

11 En las anualidades vencidas u ordinarias se vio que si se habla de monto se refiere a integrarlos a través de inversión de anualidades al final de cada periodo, y en el valor actual se partió de una cantidad que se debe pagar antes de su vencimiento, o que a partir de una inversión inicial, permita cobrar al final de cada n periodo cada cantidad determinada. ANUALIDADES ANTICIPADAS (CUANDO SE CONOCE EL VALOR ACTUAL) Estas anualidades permiten resolver problemas como los siguientes: Pagar un préstamo mediante un pago de anualidades anticipadas. Conocer el valor actual de una serie de anualidades. Calcular el valor actual de un pago por arrendamiento que debería pagarse en anualidades por anticipado. ANUALIDADES VENCIDAD DIFERIDAS El valor de anualidades ordinarias se encuentra en el punto O y el valor actual en anualidades ordinaria o vencidas diferidas se encuentra en el punto D ANUALIDADES ANTICIPADAS DIFERIDAS Hemos dicho que estas anualidades son ellas en las que la percepción se difiere, pero una vez que se ha iniciado el tiempo de percepción, la anualidad se recibe al principio de cada periodo. Se observa que la única diferencia entre esta fórmula y la de las anualidades vencidas radica en el denominador de la literal (r y-1), y este menos uno (-1) es generado porque en tales anualidades el plazo de vencimiento es al inicio del periodo. RENTAS PERPETUAS Rentas perpetuas ordinarias o vencidas. Determinación de la fórmula del valor actual (Rv). El valor actual de las rentas perpetúas vencidas (Rv) será el importe que habrá que intervenir a una determinada t para que produzca una anualidad determinada a; por tanto, la anualidad sólo deberá absorber el importe de los intereses sin disminuir la inversión inicial, ya que esta deberá mantenerse integra para que pueda seguir produciendo la misma anualidad. Rentas perpetuas anticipadas. En estos casos se desea recibir al principio de cada año la anualidad, la inversión inicial deberá contar con el importe que se desea de anualidad, con objeto de que el capital continúe generando intereses suficientes para cubrir la anualidad. 11

12 Rentas perpetuas vencida diferidas. Los problemas que siguen tienen muy poca aplicación, pero los enunciamos para ofrecer un panorama amplio sobra las anualidades, aunque solo aparecen la del valor actual y la anualidad. CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN 1. Es la igualdad de dos razones: Porción 2. Es el cociente de una división: Razón geométrica 3. Es uno de los elementos que intervienen al efectuar una división: dividendo 4. Es uno de los elementos que intervienen en una razón geométrica: antecedente 5. Es la operación que tienen por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores o números dados llamados de reparto: reparto proporcional 6. Es la cantidad que le corresponde a cada uno de los beneficiarios: cociente de reparto 7. Son los factores que determinan el reparto asignado a cada uno de los beneficiarios: índice de reparto 8. Es el importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios: cantidad por repartir 9. En esta clasificación de reparto intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y uno u otros inversamente proporcionales: Mixto 10. Es la repartición en la que interviene un solo factor; a mayor número de unidades que indique el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda: Directo simple 11. Intervienen dos o más factores; al igual que el anterior, a mayor número de unidades le corresponde mayor cantidad de lo repartido: Directo compuesto 12. Interviene un solo factor; a mayor número de unidades del índice de reparto, menor es la cantidad asignada al beneficiario. Inverso simple 13. Participan dos o más factores; cuanto mayor es el índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde: Inverso compuesto 14. Este método consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto: Reducción a la unidad 15. Este método es la igualdad de dos razones: Proporciones 16. Son partes exactas que integran un todo: Partes alícuotas 17. Es la cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno: interés 18. En términos financieros se define como cierta cantidad de dinero que permite ganar más en operaciones de préstamos, llamada esta última interés: Capital 19. Qué es el número 10? Es la base del sistema de logaritmos decimales, también llamados vulgares, comunes o logaritmos de Briggs 20. Qué es el número e? Es la base del sistema de logaritmos naturales o hiperbólicos, también llamados neperianos 21. Qué es el Logaritmo de un número? El exponente que indica la potencia a la que hay que elevar un número llamado base 22. Qué es el Interés? Cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno 12

13 23. Qué es la Capital? En términos financieros, cierta cantidad de dinero que permite ganar más en operaciones de préstamo, llamada esta última interés 24. Qué es la Tasa? También llamada tipo de interés o tanto por ciento 25. Qué es el Tiempo? Número de periodos que dura impuesto el capital; es decir, la duración del préstamo 26. Qué significa Tanto por uno? Rendimiento que produce una unidad de moneda 27. Qué es Monto? Suma del capital más los intereses ganados 28. Qué es Interés simple? Importe que se cobra al final de cada periodo señalado y que es constante, porque la deuda o capital es el mismo 29. En las propiedades de los logaritmos todo logaritmo es un: exponente 30. Los números negativos y cero no tienen logaritmo: real 31. En todo sistema de logaritmos, la unidad es el logaritmo de la base y el cero es el logaritmo de: la unidad 32. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de: los factores 33. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del: divisor 34. El logaritmo de un número afectado por un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del: número 35. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando entre el índice del: radical 36. En términos matemáticos se define como una serie de números no interrumpida cuya ley de formación está perfectamente definida: Por progresión 37. Los términos que integran la serie de números llamada progresión, se pueden obtener por: diferencia y por cociente 38. Las progresiones cuyos términos se integran por diferencia se llaman: progresiones aritméticas 39. Las progresiones que se integran por cociente reciben el nombre de: progresiones geométricas CONTESTA FALSO O VERDADERO 40. La suma de una progresión aritmética consiste en sumar cada uno de los términos que la integran. V 41. En toda progresión aritmética limitada, la suma de los medios equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos._v 42. En el interés simple, el capital permanece constante desde el inicio de la operación hasta que termina. V 43. En el interés compuesto, el capital inicial se va adicionando de los intereses ganados al final de cada periodo, para producir juntos nuevos intereses en el periodo siguiente. V 44. El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir, el pago anticipado de un valor que vence a futuro. V 45. Existen dos procedimientos para calcular el descuento a interés simple: descuento comercial o exterior y descuento interior o racional. 13

14 46. El descuento exterior consiste en determinar el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de descuento a cierta tasa, tomando como base el valor nominal. V 47. El descuento interior es igual al descuento exterior, pero se considera como base el valor actual, es decir, el capital por pagar a la fecha que se desee pagar. V 48. Se dice que dos capitales a vencimiento futuro (monto) son equivalentes cuando sus valores actuales son iguales, calculados a una misma tasa. V 49. El vencimiento común consiste en efectuar un pago único en lugar de varios pagos que tienen diversos vencimientos, a diferentes tasas cada uno, siempre que el pago único sea una misma tasa. V 50. El vencimiento único consiste en sustituir dos o más pagos definidos por uno solo, si se conoce el importe que como pago único se quiere hacer. V 51. La determinación de pagos parciales consiste en que después de conocer el vencimiento único de un documento, se precisa cómo poder liquidarlo en varios pagos iguales con diferentes vencimientos, con ajuste del último pago para integrar el monto del documento original._v 52. El plazo medio consiste en encontrar una fecha en la cual se tendrá que pagar una cantidad igual a la suma de los documentos con vencimiento futuro, que se quiera pagar en un mismo acto. V 53. Desde el punto de vista financiero se defina anualidad a una serie de cantidades que vencen progresivamente a intervalos iguales, ya sean importes que se tengan que invertir, o pagos que se tengan que efectuar._v 54. Anualidades ciertas son aquellas cuya finalidad se estipula en términos precisos. V 55. Anualidades eventuales se dan cuando el principio de la realización de la anualidad depende de un acontecimiento fortuito. V 56. El concepto Bursátil se utiliza para todo lo al mercado de valores. V 57. Qué son los Cetes? Certificados de tesorería. Título valor emitido por el gobierno federal a través de la SHCP y se vende bajo la par a través de un descuento, con un valor nominal de $10, Qué es el fondeo? Venta de un instrumento a un plazo menor de su vencimiento actual con el propósito de readquirirlo 59. Qué es el instrumento? Título valor negociado en el mercado 60. Qué es la tasa de rendimiento? Porcentaje que produce una inversión a partir del valor actual 14