Propiedades de las potencias de exponente racional

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María Teresa Domínguez Herrera
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ENCUENTRO # 8 TEMA: Radicales.Propiedades. CONTENIDOS:. Propiedades de las potencias de exponente racional.. Radicales.Propiedades.. Simplificación de radicales.. Operaciones con radicales.

1 ENCUENTRO # 8 TEMA: Radicales.Propiedades. CONTENIDOS:. Propiedades de las potencias de exponente racional.. Radicales.Propiedades.. Simplificación de radicales.. Operaciones con radicales. DESARROLLO Ejercicio Reto. En cuál de las siguientes operaciones es incorrecto el resultado de la operación? A) = B) = 0 C) = 0 D) = E) = + 0. Al calcular la expresión ( ) 0 el resultado es A) B)9 0 0 C). 0 0 D)9 E)9 0 0 Propiedades de las potencias de exponente racional Sea {a; b R/a > 0 b > 0} y {m, n, p, q Z/n > q > }, entonces se cumple que:. a m n a p q = a m n + p q. a m n b m n = (ab) m n. a m n a p q = a m n p q. a m n b m n = (a b) m n = ( ) m a n b. (a m n ) p m q = a n p q. a m n = a m n Portal de Matemática portaldematematica.com

2 Ejercicios propuestos. Aplica las propiedades de las potencias y simplifica en los casos posibles. (a) a a (b) a a a (c) x x x (d) (x ) (e) (x ) (f) [ a ] 9 (g) (a b ) (h) a b Radicales Definición. Radicación Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define: n m = a m n, donde a es el radicando(cantidad subradical),m exponente del radicando y n índice de la raíz. Ejemplo.. Expresa la siguiente potencia como radical x La base de la potencia x es la cantidad subradical, su exponente es y el índice de la raíz es. x = x Ejemplo.. Convierte a radical la siguiente expresión La base de la potencia es la cantidad subradical, su exponente es y el índice de la raíz es. = = 8 Ejemplo.. 7 Expresa el siguiente radical como una potencia. La cantidad subradical es la base de la potencia y su exponente es la división del exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz o sea. 7 7 = 7 Portal de Matemática portaldematematica.com

3 Ejercicios Propuestos. Convierte de potencia a radical o viceversa según el caso. (a) 7 (b) 7 (c) 8 (d) (e) (f) 00 (g) 8x (h) (y ) Propiedades de los radicales a n b n = (a b) n n a n b = n a b ( ) a n b n = (a b) n = a n n a n b = n a b = b n a ( ) b m m a n = a n ( n a) m = n a m ( ) a m n = a n m ( n a) m = n m a a km kn = a m n kn a km = n a m Simplificación de radicales Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplificar un radical, el exponente de radicando debe ser mayor que el índice del radical. Ejemplo.. Simplifica 8 Se descompone el radicando en factores primos. 8 = El se expresa como y se aplica la propiedad de los radicales n a b = n a n b 8 = = = = Ejemplo.. Simplifica Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar propiedades. = = Por tanto = Portal de Matemática portaldematematica.com

4 Ejemplo.. Simplifica 7 Se descompone el radicando en factores primos y se simplifica la expresión. 7 = = = 9 Ejemplo.. Simplifica 9 Se simplifica el radical y el resultado se multiplica por la fracción para obtener el resultados de la operación. 9 = Ejercicios propuesto =. Simplifica las siguientes expresiones. = = (a) 0 (d) (g) 80 (j) 0 (b) 7 (e) 0 (h) 0 (k) 0 (c) (f) (i) 7 8 (l) 00 Operaciones con radicales Adición y sustracción Estas operaciones se puede efectuar si y solo si el índice del radical y el radicando son iguales(radicales semejantes) a n d + b n d c n d = (a + b c) n d Ejemplo.. Efectúa + Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números que les antecedes(coeficientes del radica). + = ( + ) = Portal de Matemática portaldematematica.com

5 Ejemplo.. Cuál es el resultado de la operación + 7? Al ser semejantes los radicales solo efectuamos las operaciones con los coeficientes. + 7 = ( + 7 ) = Ejemplo.. Efectúa Se realizan las operaciones con las fracciones y se obtiene el resultado. ( = ) 7 = NOTA: Si los radicales son no semejantes, no se puede sumar o restar los radicales de primer instancia, entonces se simplifican si es posible y si resultan semejantes se efectúa las operaciones, de los contrario se dejan indicadas las operaciones. Ejemplo.. Cuál es el resultado de ? Se simplifica los radicales y se realizan las operaciones = + = + = ( + ) = Ejemplo.. Efectúa 89 + Se simplifican los radicales, se realizan las operaciones y se obtiene el resultado = = 7 + 7( + ) 7 Ejercicios propuestos. Realiza las siguientes operaciones. (a) 7 (b) + + (c) + (d) (e) (f) Portal de Matemática portaldematematica.com

6 (g) + (h) + 80 (i) (j) (k) 7 + (l) (m) (n) 7 (o) (p) + (q) Multiplicación Multiplicación de radicales con índices iguales Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultados n a n b n c = n a b c Ejemplo.. Efectúa Se multiplican los radicandos = = Ejemplo.7. Cuál es el resultado del producto? Se realiza el producto y se simplifica el resultado. = = = Ejemplo.8. Realiza ( ) ( 0 ). Se multiplica y simplifica el resultado. ( ) ( 0 ) = ( ) 0 = 0 = = Portal de Matemática portaldematematica.com

7 Multiplicación de radicales con índices diferentes Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de mínimo común índice Ejemplo.9. Cuál es el resultado de? El mínimo común índice es, entonces los índices de los radicales se convierten a dicho índice. = () = = () = Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación. = = = = 00 Ejemplo.0. Efectúa 8 Se descompone el 8 en factores primos y el mínimo común índice es, por tanto, al transformar los radicales se obtiene. = () = 8 = Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado. 8 = = = = = Ejercicios propuestos. Realiza las siguientes multiplicaciones. (a) 8 (b) (f) 9 (c) 7 (g) (d) 7 (h) 9 (e) ( )( )( (i) ) (j) (k) ( )( ) (l) ( ) ( ) (m) ( ) ( ) Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

8 División de radicales.0. División de radicales con índices iguales Se realiza de forma análoga a la multiplicación de radicales con indices iguales. Ejemplo.. Realiza 0 Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos. 0 0 = = Ejemplo.. Cuál es el resultado de 8? Se simplifican los radicales y se realiza la operación. 8 = 7 7 = 7 7 = = División de radicales con índices diferentes Se transforman los radicales a una índice común y después se realiza la división. Ejemplo.. Halla el cociente de 8. Se transforman los índices de los radicales a y se efectúa la operación. + 8 = ( ) ( ) = 9 = + = 9 = 9 8 = Ejemplo.. Cuál es el resultado de +? Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene: ( ) = + + = () + = + Portal de Matemática 8 portaldematematica.com

9 Ejercicios popuestos. Realiza las siguientes operaciones: (a) 7 (e) (i) (b) 0 (c) 0 0 (d) 8 (f) 7 (g) (h) 00 0 (j) + (k) + 8 Introducir una cantidad a un radical Para introducir una cantidad en un radical esta se debe elevar a un exponente igual al índice del radical. Ejemplo.. Introduce el elemento en el radical 8. El divisor se expresa como = y se realiza la operación para obtener el resultado. 8 = 8 = 8 = = = = Ejemplo.. Introduce el factor en el radical. a b c Se expresa a como a = a y luego se multiplican los radicales. a b c = a b c b c Ejercicios propuestos. Introduce el factor en el radical (a) (b) x y z (c) x y (d) a x a (x 0, a 0) (e) x a (f) (a + b) a b (a > b, b 0) (g) a b a b (a > b > 0) (h) (x + y) x y x+y (x > 0, y > 0, x > y) Portal de Matemática 9 portaldematematica.com

10 Racionalización Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente. Racionalización del denominador Dada una expresión de la forma c n a m, se racionaliza de la siguiente manera: c n a m = c n a m n a n m n a n m = c n a n m n a m+n m = c n a n m n a n = c n a n m a Ejemplo.. Transforma en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denominador. La fracción se multiplica por = tanto denominador como numerador. = = Ejemplo.. Racionaliza la expresión. Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por = tanto numerador como denominador, para obtener el resultado. = = 0 Racionalización de un denominador binomio Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio (a ± b) y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio (a b). c a ± b = c a ± b a b c(a b) = a b a b Portal de Matemática 0 portaldematematica.com

11 Ejemplo.. Racionaliza la expresión +. Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por que es el conjugado del denominador +. + = ( ) () ( ) = = = Ejemplo.. Racionaliza la expresión 7. Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el resultado. 7 = = 7( + ) ( ) ( ) = == Ejemplo.. Racionaliza. Se multiplica al numerador y denominador por +, y se efectúa la simplificación. = + + = ( ) + ( ) ( ) ( ) Ejercicios propuestos = 8. Racionaliza los siguientes denominadores: = Portal de Matemática portaldematematica.com

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