Simplificación de fracciones algebraicas

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1 ENCUENTRO # 15 TEMA: Fracciones algebraicas CONTENIDOS: 1. Simplificación de fracciones. 2. Multiplicación y división. Ejercicio Reto 1. Factorice la siguiente epresión: y y 6 + y 9 Simplificación de fracciones algebraicas Una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones. Ejemplo 1.1. Simplifica la siguiente epresión: 8a2 +12ab 8a 2 Se factorizan tanto el numerador como el denominador si es posible y se simplifican los factores comunes de ambos. 8a ab 8a 2 4a 1 (2a + 3b) 8a 2 2a 2a + 3b 2a Ejemplo m Simplifica la siguiente epresión: 15m 12m 2 Se factorizan el numerador y el denominador, simplificando el término que se repite en ambos (3m) 3m 15m 12m 3m 1 2 3m 1 (5 4m) 1 5 4m Portal de Matemática 1 portaldematematica.com

2 Ejemplo 1.3. Simplifica la siguiente epresión: 62 y 12y 2 2 4y 2 Se factorizan tanto el numerador como el denominador y se simplifica los factores comunes entre ambos. 6 2 y 12y 2 6y ( 2y) 2 4y 2 ( 2y)( + 2y) 6y + 2y Ejemplo 1.4. Simplifica a 3 3a Se factorizan tanto numerador como denominador y se simplifica los factores comunes entre ambos: a 3 3a ( 3) 2 ( + a) ( 3) 3 + a Ejemplo Simplifica la siguiente epresión: En este caso se debe ordenar el numerador y hacer un cambio de signo en numerador, posteriormente descomponer en factores tanto como sea posible y simplificar ( 2 3)( + 3) 2 ( 3)( + 2) + 3 ( + 2) NOTA: si se efectúa un cambio de signo en una fracción ya sea en el numerador o denominador entonces el signo de la fracción cambia. Pero si se hace un cambio de signo en el numerador y en el denominador simultáneamente entonces el signo de la fracción se mantiene. Portal de Matemática 2 portaldematematica.com

3 Ejemplo Simplifica la siguiente epresión: Primero se debe ordenar el numerador y denominador, a continuación se realiza un cambio de signo en el numerador, luego se procede con la factorización y por último la simplificación (3 + 1)( + 3) ( 4) ( 5) (3 + 1) ( 4) Ejercicios propuestos Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. 1. 2a + 2ab 3a 2 b 14. y y 2 y a 3 b 2 3a b 6ab a 2 +12a 8a m 3 18m 2 24m 15m 9m 2 5. m 3 n m 2 n 2 n 2 m y 10y 2 5y 2 +4y n 2 5n+6 n 2 2n y 6y y 2y y+3y 2 y 3 3 3y+2y 3 3a b 3ay+by by 2 b 2 3ay 2 +3a a 2 +ab ad bd 2a 2 b+2ab y 3 +y 2 6y 3ay 2 +9ay+2y 2 +6y 3 2 3y yz z yw+w 21. w 2 +w 2 w y+wy 22. p+1 p 3 p 2 p 3 p 2p y 2 2 y y y a 3 2ab 2 +a 2 b 2 2ab 2 +b 2 2a 3 a y+8y 2 2 y 6y ab 2 m 2 2ab 2 mn+ab 2 n 2 abm 2 abn 2 ffl 25. y 3 9y 2 +26y 24 y 3 5y 2 2y+24 Portal de Matemática 3 portaldematematica.com

4 Multiplicación y división de fracciones Multiplicación de fracciones algebraicas Algoritmo para multiplicar fracciones: Descomponer en factores si es posible las epresiones de las fracciones que se van a multiplicar (tener en cuenta los cambios de signos). Simplificar los factores comunes del numerador de la primera fracción con el denominador de la primera y segunda fracción, también simplificar los factores comunes del numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera y segunda fracción. Multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplo 2.1. Multiplica 22 6y2 5y 3y 4 2y Como los monomios no tienen factorización se simplifican y luego se multiplican. Ejemplo 2.2. Efectúa m2 +9m+18 m y 6y2 4 5y 2y 2 3y 1 5m 25 5m+15. 6y 2 2y 4 5y 5y 2 2y 2 Primer se factorizan la epresiones, luego se simplifica y multiplican. m 2 + 9m + 18 m 5 5m 25 5m + 15 (m + 6) (m + 3) m 5 (m 5) 5 5 (m + 3) m + 6 Portal de Matemática 4 portaldematematica.com

5 Ejemplo 2.3. Realiza la operación siguiente: a2 5a + 6 6a 3a 15 a 2 a 30 a2 25 2a 4 a 2 5a + 6 3a 15 a(a 3) a 6 6a a 2 a 30 a2 25 Ejercicios propuestos 2a 4 (a 3) (a 2) 3 (a 5) 6a (a 6) (a + 5) Efectúa la multiplicación de las fracciones algebraicas y simplifica: (a 5) (a + 5) 2 (a 2) 1. 4a b 4 5b2 7a y 2 3y y 2 5y4 14ab 7a ab a2 5a 2 4b 3 3b b b2 2y 2 2y m m+7 10m b 2 5b+6 3b 15 b2 25 2b 4 6b b 2 b m 3 +2mn 2 2m 2 2m +1 2 m 2 +n a 3 1 a2 +a a n n 3 n2 +4n+4 3n2 +11n 4 n 2 2n 8 6n 2 5n+1 n 2 +5n+6 División de fracciones algebraicas Algoritmo para dividir fracciones: La división se transforma en una multiplicación de la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. A B C D A B D C Descomponer en factores si es posible las epresiones de las fracciones que se van a multiplicar (tener en cuenta los cambios de signos). Portal de Matemática 5 portaldematematica.com

6 Simplificar los factores comunes del numerador de la primera fracción con el denominador de la primera y segunda fracción, también simplificar los factores comunes del numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera y segunda fracción. Multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplo 2.4. Realiza la siguiente división m2 3n 2m 2 n. 3 Se transforma la división en multiplicación y se simplifica los factores comunes Ejemplo 2.5. Simplifica la siguiente división: m 2 3n 2m 2 n ( 2 +1) m 2 3 n n m mn 6 Se transforma la división en multiplicación y se simplifica los factores comunes 3 2 ( 2 +1) ( ) Ejemplo 2.6. Realiza el siguiente cociente y simplifica: a 3 a 2a 2 + 6a 5a2 5a 2a + 6. a 3 a 2a 2 + 6a 5a2 5a 2a + 6 a3 a 2a 2 + 6a 2a + 6 5a 2 5a a(a + 1) (a 1) 2 (a + 3) 2a (a + 3) 5 a (a 1) a + 1 5a Portal de Matemática 6 portaldematematica.com

7 Ejemplo 2.7. Simplifica la siguiente operación: 1 ( 2 +1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 2 Ejemplo y 2 Resuelve la siguiente división: y y y + 2y y + 2y y y y y + 2y y + 2y 42 y y y y + 2y y + 2y 2 (2 y) (2 + y) (2 y) (3 + 2y) ( + y) ( + y) (3 + 2y) (2 + y) 1 Ejercicios propuestos Realiza las siguientes operaciones y simplifica tanto como sea posible y y a 4 b y 3 4a2 b 5 2 y (2+3) (2 3 +1) y 22 (2 3 +1) y a a a2 +3a 54 a 3 +3a 2 a 2 +9a ) ) ( 1 + 2a b 18. ( 1 + a a+b 19. ( ) ( ( ) ( ) n 2n 1 n 2 +2 n n 1 n 21. ( ) ( ) a + b + b2 a b 1 b a+b 22. ( ) ( ) ) Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

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