Unidad 4. Progresiones

Transcripción

1 Página 6 Resuelve. Observa la noria que aparece abajo. Si C es la cantidad de agua que aporta en una vuelta, y A es la cantidad de agua que tenía inicialmente el pilón al que abastece, qué cantidad de agua habrá en el pilón después de n vueltas? Después de n vueltas habrá nc + A.. Qué criterio hay que seguir para obtener más términos en la sucesión de Fibonacci? Los dos primeros términos son y. Los demás se obtienen como la suma de los dos anteriores: a n a n + a n.. Dibuja las dos filas que siguen en el esquema que muestra la evolución de la descendencia de una pareja de conejos. Cuántas parejas habría en el sexto mes? Y en el séptimo? 6 meses 7 meses

2 4. Dibuja en papel cuadriculado, ampliándola en dos pasos más, la espiral de Fibonacci. 8 5

3 Sucesiones Página 64 Ladillo A cuáles de las sucesiones de la derecha corresponden estos dibujos? La torre corresponde a la sucesión b), 4, 9, 6, 5, 6, La espiral corresponde a la sucesión e),,,, 5, 8,,. Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las sucesiones de arriba y añade tres términos más a cada una. a) Criterio: El primer término es, y cada término se obtiene sumando 4 al anterior., 5, 9, b) Criterio: Los términos son los cuadrados de los números naturales. 49, 64, 8, c) Criterio: El primer término es, y cada término se obtiene multiplicando el anterior por, o bien, son las sucesivas potencias de (,,, ). 8, 56, 5, d) Criterio: El primer término es, y cada término se obtiene multiplicando el anterior por. 79, 87, 6 56, e) Criterio: Los dos primeros términos son y, y cada término se obtiene sumando los dos anteriores.,, 4, f) Criterio: El primer término es, y cada término que ocupa un lugar n se obtiene sumando n al anterior., 9, 7, g) Criterio: Cada término que ocupa un lugar n se obtiene multiplicando n (n + ) 56, 7, 90, h) Criterio: El primer término es 70, y cada término se obtiene restando 50 al anterior. 0, 80, 0, i) Criterio: Los dos primeros términos son y, y los términos pares se obtienen sumando al anterior, y los términos impares se obtienen multiplicando el anterior por. 8, 76, 78,

4 . Forma cinco sucesiones con criterios similares a los anteriores. En algún caso, invéntate el criterio. Respuesta abierta. Ejemplo: a) Criterio: Obtenemos cada término mulitplicando el anterior por., 6,, 4, 48, b) Criterio: Obtenemos cada término sumando,5 al término anterior. ;,5; 4; 5,5; 7; 8,5; c) Criterio: Obtenemos los términos pares multiplicando el anterior por, y los impares, sumando al anterior.,, 6, 8, 5, 45, 48, d) Criterio: Los términos son los cubos de los números naturales., 8, 7, 64, 5, 6, e) Criterio: Obtenemos cada término restando 8 del anterior. 00, 9, 84, 76, 68, 60, c. Indica cuál es la relación c entre cada dos términos consecutivos de la suce- c c sión c) de arriba. La relación es. 4. Establece la relación (cociente) entre cada dos términos consecutivos de la sucesión d) que aparece arriba. La relación es. 4

5 Página Comprueba, para b), c), d) y h) de la página anterior, que: b n n ; c n n ; d n ( ) n ; h n 0 50n. Se comprueba. 6. Escribe los cinco primeros términos de: a n, 8, 7, 64, 5, b n 5, 5, 7,, 7, c n,, 0,,, a n n b n n n + 7 c n n n 7. Forma una sucesión recurrente con estos datos:,, 5, 8,,, 4, 55, j j j n j n + j n 8. Inventa otras dos sucesiones recurrentes con datos distintos a los anteriores. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) a, a 5, a n a n + a n Sucesión:, 5,,, 75, 8, b) b, b, b n b n + (b n ) Sucesión:,, 4,, 9, 98, 09, 9. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen por término general: a) a n + 5(n ) b) b n n d n c) c n (n )(n ) d) d n n n + 4 a), 8,, 8, b),, 4, 8, c) 0, 0,, 6, d) 0,, 6,, 0. Descubre la ley de recurrencia y añade un nuevo término a cada una de las siguientes sucesiones: a), 4, 5, 9, 4,, (Diferencia) b),,, 6,, 0, (Relaciona cada elemento con los tres anteriores) c) ; ;,5;,75; (Semisuma) d),,,, /, /,, (Cociente) a) Nuevo término: 7. Ley de recurrencia: a n a n a n b) Nuevo término: 7. Ley de recurrencia: b n b n + b n + b n c) Nuevo término:,65. Ley de recurrencia: c n c n + c d) Nuevo término:. Ley de recurrencia: d n d d n n n 5

6 . Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea a n a n + n. (Dale al primer término el valor que quieras). Respuesta abierta. Por ejemplo:, 5, 8,, 7,, 0,. a) Comprueba que el término general de la sucesión,,,,,, es s n ( ) n. b) Halla el término general de estas sucesiones: a n,,,,,, b n,,, 4, 5, 6, a) s ( ) ; s ( ) ; s ( ) ; s 4 ( ) 4 Los términos s n con n par son, y cuando n es impar son iguales a. Coincide con los términos de la sucesión descrita. b) a n ( ) n + ; b n ( ) n + n 6

7 Progresiones aritméticas Página 66 Con calculadora (ladillo) Añade cuatro términos a cada una de las sucesiones de la derecha. Si decimos que en a) la diferencia es, cuál será la diferencia en las demás? Con calculadora de pantalla sencilla generamos las sucesiones así: a) ++ b) c) ±++ 9 d) 0, ,8 Y con calculadora de pantalla descriptiva, así: a) \+ b) 0 \+ 0 c) 9 \+g d) 5,8 \+ 0,04 a) 0,, 6, 9, Diferencia: b) 40, 60, 80, 00, Diferencia : 0 c) 7, 9,,, Diferencia: d) 6,07; 7,; 6,5; 6,9; Diferencia: 0,04. El primer término de una progresión aritmética s es s 5 y la diferencia es d,5. Escribe sus diez primeros términos. Haz lo mismo para otra progresión aritmética t cuyo primer término sea t 0 y cuya diferencia sea d. Progresión s n : 5; 7,5; 0;,5; 5; 7,5; 0;,5; 5; 7,5; Progresión t n : 0, 7, 4,, 8, 5,,, 4, 7,. Calcula, para las progresiones de arriba: b 6 c d 000 b) b 0 y d 0 b n b + (n ) d 0 + (n ) n n Así: b c) c 9 y d c n 9 + (n ) ( ) 9 n + n Así: c 5 d) d 5,8 y d 0,04 d n 5,8 + (n ) 0,04 5,8 + 0,04n 0,04 5,79 + 0,04n Así: d 000 5,79 + 0, ,79. Halla el término general de las progresiones b), c) y d). (Intenta hacerlo sin aplicar la fórmula, simplemente razonando). b n n c n n d n 5,79 + 0,04 n 4. a) Si dos términos de una progresión aritmética s son: averigua el valor de la diferencia, d. s 6 y s 9 b) Halla el término general de la progresión, s n. a) d,5 b) s n 6 +,5 (n ) 6 +,5n,5 4,5 +,5n 7

8 Página Halla la suma de todos los números impares menores que 00. El término general de los números impares es a n n. El último impar menor que 00 es 99, que resulta ser a 50. Así, la suma es: S 50 ( a+ a50 ) 50 ( + 99) a) Si a 5 y d 5, calcula S 5. b) Si b 5 y b 7, calcula b 40 y S 40. c) Si c 5 y c, calcula S. a) a 5 y d 5 a n 5 + (n ) 5 5n; a S 5 ( ) b) b 5 y d b n 5 + (n ) + n; b S 40 ( 5+ 8 ) c) c 5 y d 7 c n 5 + (n ) 7 + 7n; c + 7 S ( 5 + ) 6 7. Si el primer término de una progresión es c 7 y el quinto es c 5 9, halla la suma S 0. Como c 7 y c 5 9 d Así, c n 7 + (n )( ) 9 n; c S 0 ( 4 ) Los primeros términos de una progresión aritmética son a 4, a 7. Halla esta suma: a 0 + a + a + + a 9 + a 0 Como a 4 y a 7, tenemos que la diferencia de esta progresión es d. Nos piden la suma de los términos del décimo al vigésimo. Lo que vamos a hacer es calcular S 0 y restarle S 9 : S 0 ( a+ a0 ) 0 ( a+ a+ 9 ) 0 ( ) S 9 ( ) 9 44 Por tanto, la suma pedida es

9 Página 68 Con calculadora (ladillo) Añade dos términos a cada una de las progresiones siguientes: a), 6,, 4, 48, 96, b), 0, 00, 000, c) 80; 40; 0; 0; 5;,5; d) 80; 8; 0,8; 0,08; e), 6,, 4, 48, 96, a) 9, 84, b) 0000, 00000, c),5; 0,65; d) 0,008; 0,0008; e) 9, 84, 9

10 Progresiones geométricas Página 69. Construye una progresión geométrica cuyo primer término es 5 y cuya razón es 0,4. 5; 50; 0; 8;,;,8; 0,5;. De una progresión geométrica conocemos a 0,65 y a 0,9. Halla r y los seis primeros términos. 0,9 0,65r r,44 r ±, Por tanto, hay dos progresiones: r, 0,65; 0,75; 0,9;,08;,96;,555; r, 0,65; 0,75; 0,9;,08;,96;,555;. En una progresión geométrica de términos positivos, a y a 6. Halla a n, a y a. 6 r r r ± Como es una progresión de términos positivos, la razón también lo es. r a n ` j n a 0 ` j a ` j En una progresión geométrica, el primer término es a 5 y la razón es r,4. Averigua, con ayuda de la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es inferior a a a , , 89 Es a En una progresión geométrica, a 000 y r 0,8. Averigua, con la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es mayor que. a a, , Es a. 0

11 Página Siguiendo el procedimiento utilizado para hallar S n, calcula Cuántos denarios se llevó, en total, el centurión del problema resuelto 4 de la página anterior? 6 S denarios 8. Calcula la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica con a 8,9 y r,5. 0 S 0 8, 9 5, 8, ,87 5, 9. Si al comienzo de cada año ingresamos al 5 %, qué capital tendremos al final del sexto año? Se trata de una progresión geométrica, donde a y r,05. Nos están preguntando por a 7. Su término general es a n a r n a n 6 000,05 n Por tanto, a ,57 8

12 Página 7 0. En una progresión geométrica, a 8 y r 0,75. Calcula la suma de sus infinitos términos. S 8 8 0, 75 05,. En una progresión geométrica, a 0 y r 0,. Calcula la suma de todos sus términos. S ( 0, ),. En una progresión geométrica, su cuarto término es a 4 0 y el sexto es a 6 0,4. Halla: la razón, r ; el primer término, a ; el octavo término, a 8 ; la suma de los ocho primeros términos, S 8 ; y la suma de sus infinitos términos, S. a 6 a 4 r 0,4 0 r r 0,04 r ±0, r 0, 0 a 0, 0 a 0,008 a 50 a 8 a 0, 7 a , 7 a 8 0,06 S , 8 56,496 0, S 50 56,5 0, r 0, 0 a ( 0,) a 50 a 8 50 ( 0,) 7 0,06 50 ( 50) ( 0, ) 8 S 8 04,664 ( 0, ) S 50 50! 04, 6 ( 0, ),

13 4 Progresiones geométricas sorprendentes Página 7. El día de cierto mes, un banquero le propuso a otro el siguiente trato: Cada día de este mes yo te doy con la condición de que tú dupliques el dinero que haya en esta caja en la que ahora hay un céntimo. Al final de mes tú te quedas con lo que te he ido dando día a día y yo me quedo con lo que finalmente haya en la caja. El otro banquero, después de pensar un rato y echar cuentas con la calculadora, contestó riendo: Por qué no me haces esta propuesta dentro de un año exactamente? Esta conversación ocurrió entre el de marzo de 008 y el de septiembre de 05. Di, justificando tu respuesta, en qué día tuvo lugar. Era el día de febrero del año 0, bisiesto. Es decir, un mes con 9 días. Así, en este año las cuentas salen como sigue: Una aportación de al día supone Doblando cada día una cantidad inicial de 0,0, se obtiene: 0, , cantidad muy superior a la anterior. Sin embargo, febrero del año 0 tendría un día menos, 8. Y las cuentas serían estas: Una aportación de al día supone Doblando cada día una cantidad inicial de 0,0, se obtiene: 0, ,56, cantidad inferior a la primera.

14 Ejercicios y problemas Página 75 Practica Sucesiones. Término general. Calcula los términos a 0 y a 5 de las siguientes sucesiones: a) a n n 5 b) b n n n c) c n ( ) n + d) d n n+ n( ) n n e) e n n(n ) f ) f n d n n a) a ; a ,5 b) b ,9 ; b ,96 5 c) c 0 ( ) 0 + +,5 ; c 5 ( ) ,5 d) d ( ) 0 0 ; d ( ) 5 e) e 0 0 (0 ) 80 ; e 5 5 (5 ) 575 f) f 0 c m 9 0 ; f 5 c m 4 5. Obtén los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia: a) a ; a n a n + b) a ; a ; a n a n : a n c) a ; a ; a n a n a n a) a, a + 5; a 5 + ; a 4 + 9; a b) a, a ; a ; a4 : ; a 6 5 : 0 6 c) a, a, a 6; a 4 6 8; a Averigua el criterio con el que se han formado las siguientes sucesiones y escribe tres términos más en cada una de ellas: a), 9, 7, 5, b),,,, c),5;,9;,;,7; d),,,, e) 8,, 8, 7, f ) 0,, 8, 5, 4 a) Restando unidades al término anterior: a n (n ) n b) Multiplicando por al término anterior: a n n c m 4

15 c) Sumando 0,4 al término anterior: a n,5 + (n ) 0,4, + 0,4n d) Dividiendo por n, lugar que ocupa el término: a n n e) Multiplicando por,5 al término anterior: a n 8,5 n f) Restando a los cuadrados de los números naturales: a n n 4. Halla el término general de estas sucesiones: a), 4, 6, 8, b),,, 4, 4 5 c),, 9, 7, d) ; ; 4; 4 5; a) a n 0 + n b) a n n n + c) a n n d) a n n (n + ) 5. Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones: a) 8, 0,, 8, 0, b) 4,,,, 5, c),,,, /, d) 7, 9,, 6,, a) a 8 y a 0 ; a n a n a n b) a 4 y a ; a n a n a n c) a y a ; a n a n : a n d) a 7 ; a n a n + n Progresiones 6. Escribe los cuatro primeros términos, el término general y calcula la suma de los veinte primeros términos en cada una de las siguientes progresiones aritméticas: a) a,5; d b) a ; d 5 c) a 5; d 0,5 d) a ; d 4 a) a,5; a,5; a 5,5; a 4 7,5 b) a ; a 7; a ; a 4 7 a n,5 + (n ) n 0,5 a n + (n ) ( 5) 7 5n (, 5+ 9, 5) 0 a 0 9,5; S 0 40 a 0 6; S 0 ( 6 ) 0 0 c) a 5; a 5,5; a 6; a 4 6,5 d) a ; a 7; a ; a 4 5 a n 5 + (n ) 0,5 4,5 + 0,5n a n + (n ) ( 4) 4n + a 0 4,5; S 0 ( 5+ 4, 5 ) 0 95 a 0 79; S 0 ( 79 ) Halla el término general y calcula la suma de los quince primeros términos en cada una de las siguientes progresiones: a) 5, 8,, 4, b),, 9, 7, c),4;,9;,4;,9; d),,, 0, 4 4 a) Progresión aritmética de diferencia d 7 a n 5 + (n ) ( 7) 7n a 5 7; S 5 ( 5 7 )

16 b) Progresión aritmética de diferencia d a n + (n ) 5 + n a 5 5; S 5 ( + 5 ) 5 5 c) Progresión aritmética de diferencia d 0,5 a n,4 + (n ) 0,5 0,9 + 0,5n a 5 8,4; S 5 ( 4, , ) 7,5 d) Progresión aritmética de diferencia d /4 a n + ( n ) c m 4 4 a 5 ; S Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes progresiones geométricas y su término general: a) a 0,; r b) a ; r c) a 00; r 0, d) a 8 ; r a) a 0,; a 0,6; a,; a 4,4; a n 0, n n b) a ; a /; a /4; a 4 /8; a n c m c) a 00; a 0; a ; a 4 0,; a n 00 ( 0,) n d) a ; a ; a ; a ; a n 8 n 9. Halla el término general de cada una de las sucesiones siguientes: a) 0; 8;,;,8; b) 5; 6; 7,; 8,64; c) 0,7; 0,07; 0,007; d),,, 9, 6 a) a n 0 0,4 n b) a n 5 c m 5 6 n c) a n 0,7 0, n d) a n 6 ( ) n 0. Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas siguientes: a), 6,, 4, b) 0,7;,4;,8; 5,6; c),,, 9, d) 00; 0; 4; 0,8; 4 0 [( ) ] a) r ; S 0 0 b) r ; S 0 c) r ; S0 0 > c m H 75,55 d) r 0,; S n 07, ( ) 76, 0 00 ( 0, ) 5 08, 6

17 . Halla la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes: a) 4, 4, 4, 4, b) 8; 6,; 4,58;,; 9 7 a a) r /; S b) r 0,9; S r , 9 Aplica lo aprendido. Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una: a), 9, 5,, b),,, 4, c) 0,; 0,0; 0,00; d),, 4, 5, e) ; ; 5,5;,75; f ) 8,, 8,, 4 a) Progresión aritmética, d. Término general: an + (n ) + n b) No es progresión. Término general: a n n c) Progresión geométrica, r 0,. Término general: a n 0, (0,) n d) No es progresión. Los numeradores,, 4, 5, forman una progresión aritmética cuyo término general es n +. Los denominadores,,, 4, forman una progresión aritmética de término general n. Término general de la sucesión: a n n + n e) Progresión geométrica, r 0,5; a n ( 0,5) n f) Progresión aritmética, d 5; a n 8 + (n ) ( 5) 5n. Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 4 en la progresión aritmética definida por a 6 y a 9 5? Calculamos la diferencia: d d / Calculamos el primer término: 6 a + a. 4 + (n ) n n 8 n 7 El número 4 ocupa el lugar Determina la diferencia de una progresión aritmética en la que a 5 y a 7. a 7 a + 6d 5 + 6d d

18 Página Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) d 5; a 8 7 b) a 7; d c) a 8; a 7 7 d) a 4 5; a 9 a) a 8 a + 7d 7 a a a n + (n ) 5 + 5n b) a a + 0d 7 a + 0 a a n + (n ) a n 5 + n c) a 7 a + 5d d d 7 a a d a 8 ( 7) 5 a n 5 + (n ) ( 7) 7n d) a a 4 + 8d d d a 4 a + d a a n 6 + (n ) + n 6. Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) a ; r /0 b) a 4 0,5; r,5 c) a 0,6; a 4,4 d) a ; a 6 4 a) a a r a c m a 0 00; a n 00c m n 0 b) a 4 a r 0,5 a (,5) a 6; a n 6 (,5) n c) a 4 a r,4 0,6 r r ±. Hay dos soluciones. Si r : a a r 0,6 a a 0,; a n 0, n Si r : a a r 0,6 a ( ) a 0,; a n 0, ( ) n d) a 6 a r 4 r r 0,5 a a r a 0,5 a 8 a n 8 0,5 n 7. La suma de los diez primeros términos de una progresión aritmética en la que a 5 es 0. Calcula a 0 y la diferencia. S 0 ( a+ a0) 0 ( 5+ a0) a0 8 a0 9 a 0 a + 9d d d 9 4 8

19 8. Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a 000 y a 4 8. Se puede hallar la suma de sus infinitos términos? a 4 a r r r 0, a , ( 0, ),6; S 5 49,6 0, Se puede hallar la suma de los infinitos términos porque r 0, <. S , Resuelve problemas 9. Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura, pero de 50 pisos. 5 El número de bloques de cada piso es:, 5, 9,, 7, Es una progresión aritmética de primer término a y diferencia d 4. Término general a n + (n ) 4 4n a S Para construir 50 pisos serán necesarios bloques. 0. Para preparar una carrera, un deportista comienza corriendo km y aumenta,5 km su recorrido cada día. Cuántos días tiene que entrenar para llegar a hacer 5 km? Cuántos kilométros recorrerá en total los días que dure el entrenamiento? a n a + (n )d 5 + (n ),5 5,5 +,5n n 9 días En los 9 días de entrenamiento habrá recorrido: S 9 ( + 5 ) 9 8 km.. La dosis de un medicamento es 00 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura días. Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento? a a + d a 00 + ( 5) 45 S ( a+ a ) ( ) 870 mg 9

20 . Una bola que rueda por un plano inclinado recorre m durante el primer segundo, 4 m durante el segundo, 7 m durante el tercero, y así durante 0 segundos. Qué distancia ha recorrido en total?, 4, 7, es una progresión aritmética con d. a 0 a + 9 a m recorre en 0 s.. La población de un cierto país aumenta por término medio un,5 % anual. Si la población actual es de millones, cuál será dentro de 0 años? a 0, dentro de 0 años. 4. En una progresión geométrica se conocen a 64 y r 0,75. a) Calcula el primer término no entero. b) Ayudándote de la calculadora, di cuál es el primer término menor que. a) a 64 6 ; d 0,75 4 El primer término no entero es a 5 a r c m 8 0,5 8 4 b) a ,75 4,4; a ,75 5 0,855 El primer término menor que es a 6 0, Una máquina envasadora pierde cada año un 5 % de su valor. Si ha costado 0 000, cuál será su valor dentro de 5 años? a 5 a r 4 a ( 0,5) será su valor dentro de 5 años. 6. La suma de diez múltiplos de consecutivos es 55. Cuál es el primero y el último de los múltiplos sumados? Los múltiplos de forman una progresión aritmética de diferencia d. 55 a + a 0 a + 0 a + 9 d 0 (a + 7) 5 0a + 5 a a Dibuja un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Une los puntos medios de sus lados. Cuántos triángulos obtienes? Cuánto miden sus lados? En estos triángulos, vuelve a unir los puntos medios, y así sucesivamente. Escribe las siguientes sucesiones y halla su término general: a) Número de triángulos que tienes cada vez. b) Longitudes de los lados de esos triángulos. c) Áreas de los triángulos. d) Si multiplicas cada término de la sucesión obtenida en a) por el correspondiente de la sucesión obtenida en c), qué obtienes? 0

21 a) El número de triángulos que se van formando es, 4, 6, 64, Forman una progresión geométrica de razón r 4 y primer término a. Su término general es a n 4 n. b) Las longitudes de los lados de los triángulos son: 6, 8, 4,,, Forman una progresión geométrica de primer término a 6 y razón r 0,5. Su término general es a n 6 0,5 n. c) Área del primer triángulo: h ; A Área de los segundos triángulos: h ; A 6 Área de los terceros triángulos: h 4 4 ; A 4 Las áreas de los triángulos forman una progresión geométrica de primer término a 64 y razón r. Su término general es an 64 4 n c m. 4 d) Se obtiene, para cada término, la suma de las áreas de los triángulos, que, en todos los casos, es igual al área del primer triángulo, 64. Se puede considerar que es una progresión geométrica de primer término a 64 y razón r. 8. Las edades de 4 hermanos están en progresión aritmética y suman 4 años. El mayor tiene años. Cuál es la edad de cada uno? S 4 4; a 4 ; S 4 ( a + a 4 ) 4 a 4 a + d 4 + d d Por tanto, las edades son: 4, 7, 0 y años. 4 ( a + ) 4 a 4 9. Una rana da saltos en línea recta hacia delante, y cada vez salta los / del salto anterior. Quiere atravesar una charca circular de 5 m de radio, recorriendo su diámetro. Su primer salto es de m. Pasará por el centro de la charca? Llegará al otro lado de la charca? Los saltos forman una progresión geométrica, con a y r. Si la rana salta infinitamente, en total recorrería: S 6 cm / Por tanto, sí pasaría del centro de la charca (5 m), pero no llegará nunca al otro lado (9 m).

22 0. Para adornar un paseo se colocan a lo largo de su línea central una fila de jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma, como muestra la figura. Cuántas baldosas se necesitarán para poner 5 jardineras? Veamos un dibujo: Así, es fácil entender que hacen falta: Para jardinera, 4 + baldosas. Para jardineras, 4 + baldosas. Para jardineras, 4 + baldosas. Para n jardineras, n 4 + baldosas. Es una progresión aritmética con a 6 y d 4, ya que: a n 6 + (n )4 4n + Por tanto, para 5 jardineras hacen falta: a baldosas.

23 Página 77. Calcula la fracción generatriz de estos números utilizando las progresiones geométricas: a) 7,! b) 54,! $ c) 0, a) 7,! 7, 7 + 0, + 0,0 + 0,00 + Suma de los infinitos términos de la progresión,, 0 00 S 0 / / 0! 7, b) 54,!,54444,5 + 0,04 + 0, , S 4/ / ! 54, # c) 0, 0, S / 00 / 0 # 0, Cuánto tardará en duplicarse un euro colocado en un banco al 5 % anual si los intereses se van acumulando al final de cada año? Progresión geométrica con r + 5,05; a y a 00 n a,05 n,05 n n 6 años. Una persona inicia un plan de pensiones ingresando, al principio de cada año, 000 al 6 % anual. Qué capital tendrá dentro de 0 años? Se trata de una progresión geométrica con a 000,06 y r,06. Lo que nos están pidiendo es S 0 : S0 a r a , , 494,9 r 006, 4. Un grupo de amigos acuerda ahorrar dinero para un viaje. El primer día de diciembre, cada uno pone 0,50 ; el segundo día, ; el tercero,,5, y así sucesivamente hasta terminar el mes. a) Cuánto ahorrará cada uno? b) El tesorero le dijo a Ana que no había hecho el depósito del día 5. Cuánto debe Ana? c) En la cuenta de Paco hay 7. Qué día no puso el dinero?

24 a) Progresión aritmética con a 0,5; d 0,5. Diciembre tiene días. a 0,5 + 0d 5,5 (, 05+ 5, 5) Lo que cada uno ahorra es la suma de los términos S b) Ana debe a 5 0, ,5 7,50. c) 48 7 ; 0,5 + (n ) 0,5 n. No puso dinero el día En una progresión geométrica, la suma de sus infinitos términos es y la diferencia entre el primero y el segundo es /9. Halla el primer término y la razón. Hay más de una solución? a a a 9 a r a 9 ( r) r 9 9a a a 9a S 9a a 8 a 4 r 9 8 a ± 9a a ± Z ] r 8 r 9 ] [ ] r 8 r 9 ] \ La solución r 4 > (con este valor, no se puede calcular S ) no es válida. Hay, por tanto, una única solución: a, r. 4 4

25 Problemas + 6. Un agricultor debe echar un cubo de agua a cada uno de los veinte árboles que hay en su huerto. Estos están alineados a distancias regulares de 6 m a lo largo de un camino, y la distancia del primer árbol a la fuente es de m. a) Si cada vez lleva un cubo, qué distancia habrá recorrido hasta regar los 0 árboles y dejar el cubo en su posición inicial, junto a la fuente? b) Y si llevara dos cubos en cada viaje? a) Para regar el primero y dejar el cubo donde estaba, recorre metros de ida y metros de vuelta a 4. Para regar el segundo y dejar el cubo en la fuente, recorre 6 metros a 6. Para regar el tercero y dejar el cubo en la fuente, recorre 48 metros a 48. Es una progresión aritmética con d. a n a + (n ) d 4 + (n ) 4 + n n + a n n + a En total recorrerá: S 0 ( a+ a0 ) 0 ( 4 + 5) m b) Para regar los árboles.º y.º, recorre (dejando el cubo en la fuente) 6 m: b 6. Para regar los árboles.º y 4.º, recorre 60 m b 60. Es una progresión aritmética con d 4. b n 6 + (n ) n 4 4n + b En total recorrerá: S 0 ( b+ b0 ) 0 ( 6 + 5) m 5

26 7. Un comerciante recibe un pedido de 0 cajas de naranjas, 7 de clase extra, y de una calidad inferior. Quiere exponerlas al público formando una pirámide de base cuadrada con naranjas de lado en la base, de forma que las naranjas visibles sean de la clase extra. Si en cada caja hay alrededor de 40 naranjas, tendrá suficientes naranjas para ello? El primer piso es un cuadrado de naranjas de lado. Las que se ven son: En el.º piso se ven En el.er piso se ven Las naranjas visibles son Los primeros pisos forman una progresión aritmética cuyo término general es a n 44 (n ) n y cuya suma es: S Añadimos la que corona la pirámide y son 65 las naranjas visibles. Las 7 cajas de naranjas extras contienen naranjas, que son suficientes para la parte visible. Las naranjas que no se ven son: Como tiene 40 50, también son suficientes. 8. Queremos construir un botellero como el de la figura, en el que cada botella ocupa dos celdillas. Observa que en este caben nueve botellas. Cuántas bolas y cuántos palos son necesarios para hacer uno en el que quepan doce botellas? Para el primer piso se necesitan 4 bolas y 46 palos. Para dos pisos se necesitan 6 bolas y 75 palos. Las bolas forman una progresión aritmética con a 4 y d. El término general es a n 4 + (n ) + n. Los palos forman una progresión aritmética con: a 46 y d 9 a n 46 + (n ) 9 a n 7 + 9n Para botellas necesitamos un piso más. Por tanto: a bolas a palos 6

27 Reflexiona sobre la teoría 9. Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) La diferencia en las progresiones aritméticas es siempre un número negativo. b) No se puede hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica si esta es creciente. c) La sucesión,,,, no es una progresión. d) Si sumamos dos progresiones aritméticas, se obtiene otra progresión aritmética. e) En todas las progresiones aritméticas se verifica que a + a a 5. f ) Si en una progresión aritmética a 5 + a 7, podemos saber cuánto vale a. a) Falso, puede ser positivo o negativo. b) Verdadero, porque es una progresión geométrica creciente ha de ser r >. c) Falso. Es una progresión aritmética de primer término a y diferencia d 0, o una progresión geométrica de primer término a y razón r. d) Verdadero. Se obtiene una progresión aritmética de primer término la suma de los primeros términos y de diferencia, la suma de las diferencias. a n a + (n )d ; b n b + (n )d ; a n + b n a + b + (n )(d + d ) e) Verdadero. a + a a + 4d a 5 f) Verdadero. a 5 + a 7 a + 0d a + 0d a Euclides, en sus Elementos, utiliza la siguiente fórmula para las progresiones geométricas: an + a a a a + a + + a a n A partir de ella, obtén la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, tal como la hemos estudiado en esta unidad. an + a a a a a + a + + a a (a n + a ) S (a a ) 8 8 S n a( an+ a) a( anr a) a ( anr a ) anr a 8 S a a a r a a ( r ) r 7

28 Página 78 Lee y comprende Una sucesión famosa Las abejas macho nacen de huevos no fertilizados; es decir, tienen madre pero no padre. Las abejas hembra nacen de huevos fertilizados. El siguiente esquema nos permite observar el número de antepasados de una abeja macho en las distintas generaciones: M H M H H M H M H H M H 5 H M H M H H M H 8 Cuántos antecesores tiene una abeja macho en la décima generación de antepasados? El número de antepasados en cada una de las diez primeras generaciones es: Cuál es la ley de formación de la sucesión obtenida:,,,, 5,? Ley de formación: Cada término se obtiene sumando los dos que le preceden: Recuerdas cómo se llama esta sucesión? Sucesión de Fibonacci. a ; a ; a n a n + a n 8

29 Página 79 Entrénate resolviendo problemas Los participantes en un desfile pueden agruparse, para desfilar, de en, de 5 en 5 o de 5 en 5, pero no pueden hacerlo ni de 4 en 4 ni de 9 en 9. Cuál es el número de participantes si sabemos que está entre 000 y 50? El número de participantes es un múltiplo de 5 75 (ten en cuenta que 5 es múltiplo de 5). Los múltiplos de 75 comprendidos entre 000 y 50 son: 050 no es múltiplo ni de 4 ni de 9. 5 es múltiplo de es múltiplo de Por tanto, el número de participantes es de 050. Sitúa soldaditos sobre una mesa de modo que haya 6 filas de 4 soldados. a) Cuántas de estas monedas hemos de tocar para que las tres caras estén a la izquierda y las tres cruces a la derecha? b) Cuántas de estas copas hemos de tocar para que queden tres llenas a la izquierda y tres vacías a la derecha? a) Da la vuelta a las monedas que están en las posiciones segunda y quinta. b) Toma la quinta copa y vierte su contenido en la segunda. 9

30 Autoevaluación. Escribe el término general de cada una de las siguientes sucesiones: a) 9, 4, 7,, b) ; 0,6; 0,; 0,04; c),;,;,4; 4,5; d),,,, a) a n 5 + n b) a n 0, n c) a n 0, +,n d) a n n +. Define por recurrencia la sucesión 8, 4, 6, 8, y escribe los tres términos siguientes. a 8; a 4 a n a n a n Tres términos siguientes: 4, 6, 8,. Calcula la suma de los diez primeros términos de las siguientes progresiones: a) 9; 6,5; 4;,5; b), 4, 8, 6, a) Progresión aritmética de primer término 9 y diferencia d,5. a 0 9 (9,5),5; S 0 ( 9 5, ) 0,5 b) Progresión geométrica de primer término y razón r. S ( En una progresión aritmética conocemos a 5 y a 9 8. Calcula a 5 y el lugar que ocupa un término cuyo valor es 58. a 9 a 5 + 4d 8 + 4d d 4 a a 6 a (n ) 4 n 4 5. Halla la fracción generatriz de 64,! utilizando las progresiones geométricas. 6, 4! 6 + 0, 4! 6 + 0,4 + 0,04 + 0, ,4; 0,04; 0,004; es una progresión geométrica de primer término 0,4 y razón 0,. La suma de sus infinitos términos es S 6, 4! 6 + 0, 4! , 0, La suma de doce múltiplos consecutivos de 5 es 750. Halla el primero y el último de los múltiplos sumados. Los múltiplos de 5 forman una progresión aritmética de diferencia d ( a a ) + a 5 a a a + 55 Sustituyendo, a 5 (a + 55) a 5 y a 90. 0

31 7. Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de anuales y una subida de 500 cada año siguiente. Otra empresa le ofrece el mismo sueldo con una subida del 5 % anual. Razona cuál de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 5 años. En el primer caso tenemos una progresión aritmética: a 5 000; d 500 a En el segundo caso tenemos una progresión geométrica: a 5 000; r,05 a ,05 4 8,59 Es mejor la segunda oferta. 8. Para rodar un anuncio se ha contratado a un gran número de personas que deben colocarse en 5 filas. Cada fila tiene dos personas más que la anterior y en la fila 6 tiene que haber 57 personas. Averigua cuántas personas hay en la primera fila, cuántas en la última y el número total de personas que intervienen en el anuncio. Es una progresión aritmética de la que sabemos n 5, d y a a 6 a + 5d 57 a + 5 a 7 a 5 a + 50d a S personas en total. 9. Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) Para calcular S 0 en una progresión aritmética o geométrica, basta con conocer dos de sus términos. b) Los términos de una progresión geométrica se pueden obtener multiplicando cada término por el anterior. c) Se puede calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica si < r <. d) Una progresión aritmética es decreciente cuando la diferencia es menor que. a) Verdadero. Con dos términos podemos calcular la diferencia o la razón. b) Falso. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón. c) Verdadero. Se puede calcular siempre que r <, lo que es equivalente a < r <. d) Falso. Es decreciente cuando la diferencia es menor que 0 (negativa).