Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 8: Medidas de Posición para Datos Agrupados por Valor Simple

Transcripción

1 1 Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas Lección 8: Medidas de Posición para Datos Agrupados por Valor Simple Creado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo, EdD 2010 Derechos de Autor

2 2 Objetivos 1. Calcular las medidas de posición (cuartiles y percentiles) para datos agrupados por valor simple. 2. Realizar análisis estadístico relacionado con medidas de posición para agrupados por valor simple.

3 3 Introducción Las medidas de posición permiten conocer otras características de una muestra, además de la tendencia central y la variación del grupo. Son medidas que establecen la posición o localización exacta de un valor específico de un conjunto de datos. Se utilizan para comparar la posición que ocupa un valor específico en relación a los demás valores del grupo. Estas medidas son una serie de valores que dividen en partes iguales la muestra ordenada. Algunas de las medidas de posición son: cuartiles y percentiles. En la lección anterior se estudiaron estas medidas de posición para datos crudos. En esta lección se estudiará cómo se calculan estas medidas para datos agrupados por valor simple. A. CUARTILES Según se estudió en la lección anterior, los cuartiles son 3 valores que dividen la muestra ordenada en 4 partes iguales. Estos valores son: Q 1 (primer cuartil), Q 2 (segundo cuartil), y Q 3 (tercer cuartil). El primer cuartil (Q 1 ) es el punto tal que 25% de los datos se hallan por debajo de él, y 75% de los datos se hallan por encima de él. El segundo cuartil (Q 2 ) es el punto tal que 50% de los datos se hallan por debajo de él, y 50% de los datos se hallan por encima de él. El segundo cuartil equivale a la mediana. El tercer cuartil (Q 3 ) es el punto tal que 75% de los datos se hallan por debajo de él, y 25% de los datos se hallan por encima de él. Dato Menor Dato Mayor Para calcular los cuartiles cuando los datos están agrupados por valor simple es necesario utilizar el concepto de Frecuencia Acumulada. Este concepto se estudió previamente en la Lección 11. A continuación se demostrará con un ejemplo, cómo se calculan los cuartiles cuando los datos están agrupados por valor simple.

4 4 Ejemplo - 1 La maestra de un grupo de estudiantes atletas que se iba a graduar de la escuela superior, recopiló la información que aparece en la Tabla 1 sobre la estatura de los estudiantes. Para solicitar el largo de la toga se requería indicar la estatura en pulgadas. Determine los tres cuartiles de esta muestra. Tabla 1: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS TOTAL 30 El primer paso para calcular los cuartiles de datos agrupados por valor simple es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo. Tabla 2: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 30

5 5 El segundo paso para calcular los cuartiles es determinar la posición donde están localizados los cuartiles. Para determinar la posición de los cuartiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el cuartil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano. Posición de Q 1 = (0.25) n Posición de Q 2 = (0.50) n Posición de Q 3 = (0.75) n En este ejemplo n = 30. La posición de cada cuartil es: Posición de Q 1 = (0.25) (30) = 7.5 Se redondea a 8. Posición de Q 2 = (0.50) (30) = 15 Posición de Q 3 = (0.75) (30) = 22.5 Se redondea a 23. Esto significa que la posición de Q 1 está localizada en el dato acumulado número 8. La posición de Q 2 está localizada en el dato acumulado número 15. La posición de Q 3 está localizada en el dato acumulado número 23. El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas: Tabla 2: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 30 El dato número 8 se acumula aquí. El dato número 15 se acumula aquí. El dato número 23 se acumula aquí. Como Q 1 corresponde al dato número 8 y éste se acumula en la tercera clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 65 pulgadas. Así que Q 1 es 65.

6 6 Como Q 2 corresponde al dato número 15 y éste se acumula en la séptima clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 72 pulgadas. Así que Q 2 es 72. Como Q 3 corresponde al dato número 23 y éste se acumula en la novena clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 76 pulgadas. Así que Q 3 es 76. Esto significa que bajo 65 pulgadas se concentran 25% de los datos, bajo 72 pulgadas se concentran 50% de los datos y bajo 76 pulgadas se concentran 75% de los datos. Ejemplo 2 Considere los siguientes datos correspondientes a la distribución de horascrédito, por estudiante, tomadas este semestre en cierta universidad. Determine las horas-crédito que corresponden a los tres cuartiles. Tabla 3: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS- FRECUENCIAS CRÉDITO TOTAL 3570 Debido a que los datos están agrupados por valor simple, el primer paso para calcular los cuartiles es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo.

7 7 Tabla 4: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS- CRÉDITO FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS ,050 2, , , , ,570 TOTAL 3,570 El segundo paso para calcular los cuartiles es determinar la posición donde están localizados los cuartiles. Para determinar la posición de los cuartiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el cuartil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano. En este ejemplo n = 3,570. La posición de cada cuartil es: Posición de Q 1 = (0.25) (3,570) = Se redondea a 893. Posición de Q 2 = (0.50) (3,570) = 1,785 Posición de Q 3 = (0.75) (3,570) = 2,677.5 Se redondea a 2,678. Esto significa que la posición de Q 1 está localizada en el dato acumulado número 893. La posición de Q 2 está localizada en el dato acumulado número 1,785. La posición de Q 3 está localizada en el dato acumulado número 2,678. El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas:

8 8 Tabla 4: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS- CRÉDITO FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS , ,050 2, , , , ,570 TOTAL 3,570 El dato número 893 se acumula aquí. El dato número 1785 se acumula aquí. El dato número 2678 se acumula aquí. Como Q 1 corresponde al dato número 893, éste corresponde a 15 horascrédito. Así que Q 1 es 15. Como Q 2 corresponde al dato número 7,855, éste corresponde a16 horas-crédito. Así que Q 2 es 16. Como Q 3 corresponde al dato número 2,678, éste corresponde a17 horas-crédito. Así que Q 3 es 17. Esto significa que bajo 15 horas-crédito se concentran 25% de los datos, bajo 16 horas-crédito se concentran 50% de los datos y bajo 17 horas-crédito se concentran 75% de los datos. B. PERCENTILES Los percentiles son 99 valores que dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. Estos valores son: P 1 (Percentil 1), P 2 (Percentil 2),..., P 99 (Percentil 99). Dato Menor Dato Mayor

9 9 El primer percentil (P 1 ) es el punto tal que 1% de los datos se hallan por debajo de él. El percentil 25 (P 25 ) es el punto tal que 25% de los datos se hallan por debajo de él. El percentil 50 (P 50 ) es el punto tal que 50% de los datos se hallan por debajo de él. Recuerde que P 25 = Q 1 y P 50 = Q 2 = Mediana. A qué percentil equivale el tercer cuartil? Observe que P 75 = Q 3. Cuando los datos están agrupados por valor simple, para hallar un percentil dado, de manera similar a los cuartiles, se debe hallar primero las posiciones en donde ubican los percentiles. Para hallar estas posiciones se multiplica el tamaño de muestra n por el por ciento (en su forma decimal) que representa cada percentil. Luego, se redondea el resultado obtenido al entero más cercano. Finalmente, se utilizan las frecuencias acumuladas para localizar los datos en la muestra que correspondan a cada una de las posiciones encontradas. Ejemplo - 3 Utilice los datos del Ejemplo 1 para calcular los siguientes percentiles: P 75, P 30, y P 82. La Tabla 1 muestra los datos de este ejemplo. Tabla 1: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS TOTAL 30 El primer paso para calcular los percentiles es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo.

10 10 Tabla 2: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 30 El segundo paso para calcular los percentiles es determinar la posición donde están localizados los percentiles. Para determinar la posición de los percentiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el percentil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano. En este ejemplo n = 30. La posición de los percentiles indicados es: Posición de P 75 = (0.75) (30) = 22.5 Se redondea a 23. Posición de P 30 = (0.30) (30) = 9 Posición de P 82 = (0.82) (30) = 24.6 Se redondea a 25. Esto significa que la posición de P 75 está localizada en el dato acumulado número 23. La posición de P 30 está localizada en el dato acumulado número 9. La posición de P 82 está localizada en el dato acumulado número 25. El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas:

11 11 Tabla 2: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 30 El dato número 9 se acumula aquí. El dato número 23 se acumula aquí. El dato número 25 se acumula aquí. Como P 75 corresponde al dato número 23, éste corresponde a una estatura de 76 pulgadas. Así que P 75 es 76. Como P 30 corresponde al dato número 9, éste corresponde una estatura de 65 pulgadas. Así que P 30 es 65. Como P 82 corresponde al dato número 2678, éste corresponde una estatura de 77 pulgadas. Así que P 82 es 77. Esto significa que bajo una estatura de 76 pulgadas se concentran 75% de los datos, bajo una estatura de 65 pulgadas se concentran 30% de los datos y bajo una estatura de 77 pulgadas se concentran 82% de los datos.

12 12 EJERCICIOS EJERCICIO - 1 En un experimento de la clase de ciencias los estudiantes debían recolectar hojas de amapola y registrar las medidas. Los resultados se ilustran en la tabla a continuación. Tabla 5: Longitud en pulgadas de una muestra de Hojas de Amapola LONGITUD EN FRECUENCIAS PULGADAS TOTAL 75 Utiliza estos datos para: a. Hallar los tres cuartiles (Q 1, Q 2 y Q 3 ) b. Hallar los percentiles: P 25, P 50 y P 75. Verifique si sus resultados coinciden con los valores de Q 1, Q 2 y Q 3, respectivamente. c. Contestar: Cuál es la longitud de las hojas que corresponde al 75% de la muestra ordenada? EJERCICIO 2 Un profesor administró una prueba de rendimiento de 40 ejercicios a 125 estudiantes, siendo la puntuación el número de respuestas correctas. La tabla a continuación ilustra los resultados.

13 13 Tabla 6: Puntuaciones en Prueba de Rendimiento PUNTUACIONES FRECUENCIAS TOTAL 125 Utiliza estos datos para hallar: a. Q 1 y Q 3 b. P 38 c. La puntuación que corresponde al percentil 90. EJERCICIO 3 Un estudiante utilizó el programa Excel para hallar el percentil 85 con los datos del ejercicio anterior (EJERCICIO 2). Al entrar la fórmula de percentil cometió un error. La pantalla de la computadora mostró los resultados que se ilustran a continuación. Cuál fue el error que cometió en la fórmula?

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15 15 RESPUESTAS A EJERCICIOS EJERCICIO 1 a. Los tres cuartiles son: Q 1 = 2.3 Q 2 = 2.5 Q 3 = 2.5 LONGITUD EN PULGADAS Tabla 5: Longitud en pulgadas de una muestra de Hojas de Amapola FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 75 En este ejemplo n = 75. La posición de cada cuartil es: Posición de Q 1 = (0.25) (75) = Se redondea a 19. Posición de Q 2 = (0.50) (75) = 37.5 Se redondea a 38. Posición de Q 3 = (0.75) (75) = Se redondea a 56. Esto significa que la posición de Q 1 está localizada en el dato acumulado número 19 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la segunda clase. La posición de Q 2 está localizada en el dato acumulado número 38 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la tercera clase. La posición de Q 3 está localizada en el dato acumulado número 56 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la tercera clase. b. Los percentiles solicitados son: P 25 = 2.3 P 50 = 2.5 P 75 = 2.5 Se observa que Q 1 = P 25 = 2.3. Se observa que Q 2 = P 50 = 2.5. Se observa que Q 3 = P 75 = 2.5. c. La longitud de 2.5 pulgadas corresponde al 75% de la muestra ordenada.

16 16 EJERCICIO 2 a. Q 1 = 29 Q 3 = 32 b. P 38 = 30 c. La puntuación que corresponde al percentil 90 es 34. Tabla 7: Puntuaciones en Prueba de Rendimiento PUNTUACIONES FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS TOTAL 125 En este ejemplo n = 125. La posición de cada uno es: Posición de Q 1 = (0.25) (125) = Se redondea a 31. Posición de Q 3 = (0.75) (125) = Se redondea a 94. Posición de P 38 = (0.38) (125) = 47.5 Se redondea a 48. Posición de P 90 = (0.90) (125) = Se redondea a 113. Esto significa que la posición de Q 1 está localizada en el dato acumulado número 31 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la sexta clase. La posición de Q 3 está localizada en el dato acumulado número 94 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la novena clase. La posición de P 38 está localizada en el dato acumulado número 48 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la séptima clase. La posición de P 90 está localizada en el dato acumulado número 113 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la undécima clase. Las

17 17 puntuaciones que corresponden a estas posiciones son 29, 32, 30 y 34, respectiuvamente. Por tanto: Q 1 = 29 Q 3 = 32 P 38 = 30 P 90 = 34 EJERCICIO 3 El error que cometió en la fórmula de percentil fue que consideró solo las puntuaciones sin considerar las frecuencias con que se repetían esas puntuaciones.