Series. Denición y Ejemplos de Series. a n o bien a n

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1 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Series Denición y Ejemplos de Series Denición. Al sumar los términos de una sucesión innita {a n } forma a + a + a + + a n + que se llama serie innita, o tan solo serie, y se representa con el simbolo a n o bien a n n obtenemos una expresión de la Para calcular el valor o analizar si tiene un valor examinaremos las sumas parciales S a S a + a S a + a + a S a + a + a + a... S n a + + a n Estas sumas parciales forman una nueva sucesión {S n } que puede tener límite o no. Si lím S n s n como número nito), entonces decimos que es la suma de la serie innita. Denición. Dada una serie a n a + a + + a n +, sea {S n } el simbolo de su n-ésima suma parcial es decir S n n a n a + a + + a n. Si la sucesión {S n } es convergente y si existe n lím S n s como número real, la serie an se llama convergente. El número s se denomina suma n de la serie. Si la serie no converge, es divergente. Ejemplo. Serie Geometrica)Tenemos que En este caso se tiene que a + ar + ar + + ar n + ar n a 0 n Si r S n a + + ar n rs n ar + ar + + ar n Sn rs n a ar n S n r) a r n ) S n a rn ) r Si r < r n 0 cuando n, con lo cual lím S a r n ) a n lím lím n n r n r arn r a r

2 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Si r > lím S a r n ) n lím n n r y en tal caso la serie diverge. Ejemplo. Calcula el primer término es 5 y la razon común es por lo que Ejemplo. La serie ) 5 n n ¾es convergente o divergente? n n i )i n n n n )n n n 5 ) 5 5 se trata de una serie geometrica, con a y r y dado que > la serie es divergente. Ejemplo. Escribir el número,7, como una relación de números enteros. Tenemos que 7,7, , }{{} Serie geometrica con a 7 0 y r 0, + Observemos ahora la siguiente gura 7 0 0, Según la gura + + +

3 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Ahora segun nuestra fórmula Observemos ahora ) ) ) Según la gura Ahora segun nuestra fórmula Ejemplo.- Sea el triángulo ) ) )

4 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. cada una de las area representa del área total del triángulo por lo que según el dibujo n del area del triángulo original, ahora comprobemoslo con series, tenemos que n ) restamos n se resta pues la serie geometrica debe comenzar en y en nuestro ejemplo no comienza en. Teorema. Prueba del término general Si an converge entonces a n 0. Equivalentemente si a n 0 entonces an diverge Demostración. Supongamos que an converge a S. Sea S n Notemos que por lo que se tiene n a k entonces S n S. k S n+ S n + a n+ a n+ S n+ S n lím a n+ lím S n+ S n lím S n+ lím S n n n n n por lo tanto lím a n 0 n Ejemplo.-La serie n i n 5n + es divergente pues lím n n 5n + 5 0

5 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. La condición del término general es necesaria pero no suciente. Ejemplo.- La serie n i n Serie Armonica conocida como la Serie Armonica cumple lím n n 0 pero dicha serie es divergente, para comprobarlo vamos a ver como se comportan las sumas parciales S S + S + + S S S S S S n n De los términos anteriores vamos solo a considerar los S n, es decir ) S + ) S > S ) ) > ) ) S n ) + + n > + n n + por lo que lím S n n > lím n + n 5

6 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Por lo que S n tiene una subsucesion que al no estar acotada es divergente, por lo tanto n n es divergente Dada una sucesión {a n } la serie Series Telescópicas n a n a n+ es llamada serie telescópica debido a la naturaleza telescópica o colapsada) de sus sumas parciales, entonces S n n a k a k+ a a ) + a a ) + a n a n+ ) a a n+ k por lo tanto, una serie telescópica converge si y sólo si la sucesión {a n } converge Ejemplos.- Calcular nn + ) n Sol. lo que vamos hacer primero es expresar a n como una diferencias de sucesiones b n+ n n, en este caso tenemos que: nn + ) n + n nn + ) n + nn + ) n nn + ) n n + por lo tanto * nn + ) n n + lím S n n }{{} lím n n + n n S S + Ejemplo.-Calcular S + + S n S n n + n + lím S n lím n n n + n n nn + ) lím n S n lím n n + n + n Tenemos que n + ) 6

7 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Por un lado Por otro lado n + ) n n n + ) n + n + n n n + ) n + n n + ) n + ) n n + ) n n + ) n n + ) n n n + ) n + ) n n + ) n n n + ) n n + ) así tenemos que: a n n + n n + ) n n + ) s Ejemplo.-Calcular Por un lado Por otro lado asi así tenemos que: s + 9 s S n n n + ) n + ) n n lím S n lím n n n + ) n + n n + ) lím n S n lím n n + ) n )n + ) n + ) n ) n + )n ) n + ) n ) n + )n ) Tenemos que n + n + )n ) n n + ) n ) n n + n + ) n ) n + )n ) n + )n ) n + )n ) n n + n + )n ) n n + ) a n n )n + ) n n + ) s ) 7

8 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Ejemplo.-Calcular Por un lado Por otro lado asi así tenemos que: s + ) 5 s ) 7 S n n ) n + lím S n lím ) n n n + ) n n ) n + n )n + ) lím S n lím ) n n n + ) n )n + ) n + ) n ) n )n + ) n + ) n ) n + )n ) Tenemos que n + n + )n ) n n + ) n ) n n + n + ) n ) n + )n ) n + )n ) n + )n ) n n + n + )n ) n ) n + a n n )n + ) n ) n + s s ) + ) ) 0 s S n n ) n + lím S n lím ) n n n + ) ) n + 8

9 7. Denición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes. Ejemplo.-Calcular Tenemos que Por un lado Por otro lado asi así tenemos que: n n n )n + ) lím S n lím ) n n n + ) n)n + ) n + ) n) n)n + ) n + ) n) n)n + ) n + n + )n) n n + ) n) n n + n + n n)n + ) n)n + ) n)n + ) n n + n)n + ) n ) n + a n n)n + ) n ) n + s s ) + ) 5 s ) 6 s ) 7 s ) 8 S n + + n + n + ) n + ) lím S n lím + n n + n + n + n + n n)n + ) lím n S n ) ) 6 8 9