Transformaciones Anes
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- José Navarro Márquez
- hace 5 años
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1 Transformaciones Anes Denición 1. Una transformación del plano R 2 es una función biyectiva T : R 2 R 2 que es continua y cuya inversa también es continua. Denición 2. Transformaciones anes Una transformación an es la composición de una traslación T a con una transformación lineal L. A(P = T a L(P = L(P + a Esto es, si L es una transformación lineal y a un vector jo, la aplicación que manda cada vector P en el vector es una transformación an P = L(P + a Ejemplos Considere la composición de la reexión respecto a la recta que pasa por el origen formando un ángulo de respecto al eje X, seguida de la traslación según el vector (1, 2 8 Esta transformación an del plano toma un vector P = (x, y, y lo manda al vector P = (x, y nalmente lo traslada al vectro P = P + (1, 2. Como las coordenadas de P vienen dadas por las fórmulas x = x cos ( ( + y sen y = x sen ( ( y cos 1
2 y como P se obtiene de P' por traslación, las coordenadas de P son: x = x cos ( ( + y sen + 1 y = x sen ( ( y cos + 2 Estas son las fórmulas que dan las coordenadas de la imagen de P. Diremos que dos guras del plano son anmente equivalentes si existe una transformación an del plano que lleve una en la otra. Denición 3. Una transformación de R 3 es una función biyectiva T : R 3 R 3 que es continua y cuya inversa también es continua. Denición. Transformaciones anes Una transformación an es la composición de una traslación T a con una transformación lineal L. A(P = T a L(P = L(P + a Esto es, si L es una transformación lineal y a un vector jo, la aplicación que manda cada vector P en el vector P = L(P + a Ejemplos Considere la composición de la reexión respecto al plano XY seguida de la traslación según el vector (1, 3, 2. La transformación an denida por estas aplicaciones toma el vector P = (x, y, z y lo transforma en el vector P de coordenadas x = x y = y z = z y como P se obtiene de P' por traslación, las coordenadas de P son: es decir, x = x + 1 y = y + 3 z = z + 2 x = x + 1 y = y + 3 z = z + 2 Estas son las fórmulas que dan las coordenadas de la imagen de P. Teorema 1. Las transformaciones anes forman un grupo, el grupo an Demostración. 1. La composición de dos transformaciones anes es una transformación an, pues A 2 A 1 (P = (T a2 L 2 (T a1 L 1 (P = L 2 (L 1 (P + a 1 + a 2 = L 2 L 1 (P + (L 2 ( a 1 + a 2 en la expresión anterior la parte lineal es la composición de las partes lineales y el vector de traslación resulta al sumar a 2 al vector obtenido al aplicar la transformación L 2 al primer vector de traslación a 1 2
3 2. La asociatividad es válida para transformaciones cualesquiera 3. La identidad puede escribirse como una transformación afín, si componemos a la traslación por 0 con la identidad. La inversa A 1 de una transformación afín A es una transformación afín, A 1, que se obtiene así: P = L(P + a P = L 1 (P a = L 1 (P + L 1 ( a = ( T L 1 ( a L 1 (P Nótese que la parte lineal de la transformación inversa es la inversa L 1 de la parte lineal L, mientras que la traslación en la transformación A 1 corresponde al vector L 1 ( a Proposición 1. Las transformaciones anes preservan rectas, es decir, mandan rectas en rectas Demostración. Una recta esta denida como l = {p + tv t R} y dada una transformación an A = L(p + a, se tiene A(p + tv = L(p + tv + a que es una recta = L(p + tl(v + a L(p + a + tl(v Ecuaciones del cambio de referencia an Sean R = {0; (u 1, u 2 }, R = {0; (u 1, u 2} dos sistemas de referencia anes del plano R 2. Se considera P R 2 3
4 tal que sabemos que OP = x 1 u 1 + x 2 u 2 O P = y 1 u 1 + y 2 u 2 OP = OO + O P Sean (a 1, a 2 las coordenadas de O respecto de R; esto es OO = a 1 u 1 + a 2 u 2 y sean (a 1i, a 2i, i = 1, 2 las coordenadas del vector u i respecto a (u 1, u 2 ; esto es u 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 u 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 Sustituyendo lo anterior en OP = OO + O P obtenemos OP = a 1 u 1 + a 2 u 2 + (y 1 u 1 + y 2 u 2 = a 1 u 1 + a 2 u 2 + (y 1 (a 11 u 1 + a 21 u 2 + y 2 (a 12 u 1 + a 22 u 2 y como se tiene = (a 1 + y 1 a 11 + y 2 a 12 u 1 + (a 2 + y 1 a 21 + y 2 a 22 u 2 OP = x 1 u 1 + x 2 u 2 x 1 = a 1 + y 1 a 11 + y 2 a 12 x 2 = a 2 + y 1 a 21 + y 2 a 22 Matricialmente, el sistema anterior se puede escribir x 1 = a 1 a 11 a 12 y 1 x 2 a 2 a 21 a 22 y 2 donde la matriz a 1 a 11 a 12 a 2 a 21 a 22 es la matriz de cambio de referencia de R a R y por lo tanto la matriz a 1 a 11 a 12 a 2 a 21 a 22 es la matriz de cambio de referencia de R a R. Dada entonces una transformación an A(P podemos decir que si P = A(P entonces P = A 1 (P, y al sustituir (x, y en términos de (x, y en la ecuación de un lugar geométrico original, resulta la ecuación del lugar geométrico transformado.
5 Ejemplo Aplicando la transformación an cuya matriz asociada es transforme las siguientes ecuaciones (a x + 2y 3 = 0 (by 2 = x Solución En este caso para la matriz asociada a la transformación an calculamos su inversa, la cual es al aplicarla a (1, x, y para obtener (1, x, y tenemos ( 1 x y = ( 1 x y donde se obtiene x = 3x y y = 2 2x y Vamos ahora a sustituir las expresiones anteriores en las ecuaciones originales, se tiene entonces para (a x + 2y 3 = ( 3x y + 2(2 2x y 3 = x y 3 por lo tanto la ecuación de la recta transformada queda para (b x y 3 = 0 y 2 x = (2 2x y 2 ( 3x y = x 2 + y 2 + x y + x 12 por lo tanto la ecuación de la parábola transformada queda x 2 + y 2 + x y + x 12 = 0 5
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