TEMA 4.- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Transcripción

1 TEMA 4- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 41 - Introducción Denición: Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en el que sus derivadas estén dadas explícitamente se puede expresar y 1 = f 1 (t, y 1, y 2,, y n ) Si se denota y y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,, y n ) = y n = f n (t, y 1, y 2,, y n ) y = (y 1 (t), y 2 (t),, y n (t)) t F(t, y) = (f 1 (t, y), f 2 (t, y),, f n (t, y)) t el sistema (1) se puede escribir como d y(t) = F(t, y) dt Denición: Si las funciones f 1, f 2,, f n son lineales en y 1, y 2,, y n, el sistema (1) recibe el nombre de sistema lineal de primer orden, y su expresión general es y 1 = a 11 (t)y 1 + a 12 (t)y a 1n (t)y n + g 1 (t) y 2 = a 21 (t)y 1 + a 22 (t)y a 2n (t)y n + g 2 (t) = y n = a n1 (t)y 1 + a n2 (t)y a nn (t)y n + g n (t) Cuando las funciones a ij, i, j = 1, 2,, n son constantes (2) es un sistema lineal de primer orden con coecientes constantes Denición: Si alguna función f i, i = 1, 2,, n es no lineal en y 1, y 2,, y n, (1) es un sistema no lineal de primer orden 1 (1) (2)

2 Denición: Una solución del sistema (1) es un conjunto de n funciones y 1 (t), y 2 (t),, y n (t) que satisfacen todas las ecuaciones Denición: El sistema (1) junto con las condiciones iniciales y 1 (t 0 ) = y 10, y 2 (t 0 ) = y 20,, y n (t 0 ) = y n0 donde t 0 I e y 10, y 20,, y n0 son números reales, recibe el nombre de problema de valor inicial (PVI) En forma vectorial un PVI se expresa d y(t) = F(t, y), dt t y(t 0 ) = y 0 donde t 0 I e y 0 = (y 10, y 20,, y n0 ) t I 42 - Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden Matricialmente el sistema (2) se puede expresar de la forma con y = A(t)y + g(t) a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) a A(t) = 21 (t) a 22 (t) a 2n (t) a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) y 1 (t) g 1 (t) y y(t) = 2 (t) g(t) = g 2 (t) y n (t) g n (t) Si g i (t) = 0, i = 1, 2,, n el sistema se dice que es homogéneo Denición: La matriz A(t) es continua en un intervalo I si todos sus elementos a ij (t) son funciones continuas 2

3 Sea la ecuación diferencial y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = b(t) (3) donde a i (t), i = 0, 1,, n 1, y b(t) son funciones continuas en I Si se introducen las variables y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n 1) se tiene que y 1 = y = y 2, y 2 = y = y 3,, y n = y (n) Por tanto y 1 = y 2 y 2 = y 3 y n 1 = y n = a 0 (t)y 1 a 1 (t)y 2 a n 1 (t)y n + b(t) y n (4) Proposición: a) Si y = ϕ(t) es solución de (3), entonces la función vectorial y(t) = ( ϕ(t), ϕ (t),, ϕ (n 1) (t) ) t es solución de (4) b) Si y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),, y n (t)) t es solución de (4) entonces y 1 (t) es solución de (3) Teorema: Sea el sistema y = A(t)y +g(t), donde A(t) y g(t) son continuas en un intervalo I de R Sea t 0 I e y 0 = (y 01, y 02,, y 0n ) t R n Entonces, existe una única solución y(t) del sistema tal que y(t 0 ) = y Sistemas homogéneos Sea el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y = A(t)y (5) donde A(t) es una matriz de orden n n continua en un intervalo I 3

4 Proposición: a) Si ϕ(t) es una solución de (5) tal que existe t 0 con ϕ(t 0 ) = 0, entonces ϕ(t) = 0 t I b) Si y 1 (t) e y 2 (t) son soluciones de (5), entonces la función αy 1 (t) + βy 2 (t), α, β R, es también solución de (5) Proposición: Sean y 1 (t), y 2 (t),, y k (t), k soluciones de (5) Entonces y 1 (t), y 2 (t),, y k (t), k son independientes (dependientes) en I si y solo si existe t 0 I tal que y 1 (t 0 ), y 2 (t 0 ),, y k (t 0 ) son vectores de R n linealmente independientes (dependientes) Proposición: Consideremos el sistema homogeneo (5) El espacio vectorial S H de todas las soluciones de (5) es dimensión n Denición: Si y 1 (t), y 2 (t),, y n (t) es un conjunto de n soluciones independientes de (5) en el intervalo I, entonces reciben el nombre de sistema fundamental de soluciones de (5) en I La solución general del sistema I se dene como y(t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) + + C n y n (t) donde C i, i = 1, 2,, n son constantes arbitrarias Sistemas no homogéneos Sea el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y = A(t)y + g(t) (6) donde A(t) y g(t) son continuas en un cierto intervalo I Para sistemas de este tipo, se llama solución particular, y p, a cualquier vector que no contiene parámetros arbitrarios y tal que sus elementos son funciones que que satisfacen (6) Teorema: La solución general del sistema y escribirse como y(t) = y h (t) + y p (t), = A(t)y + g(t) puede donde y h es la solución general de y = A(t)y e y p (t) es la solución particular de y = A(t)y + g(t) 4

5 43 - Sistemas lineales de primer orden con coecientes constantes El sistema (2) cuando los coecientes son constantes se puede escribir de la forma y = Ay + g(t) Primero se buscan soluciones del sistema homogéneo asociado y = Ay De forma similar al caso escalar, se pueden buscar soluciones de la forma y = v e λt donde v es un vector constante y λ un escalar Teniendo en cuenta que d dt v eλt = λv e λt se obtiene que para el sistema homogéneo Av = λv Proposición: Sea v = (v 1, v 2,, v n ) t un vector propio de A asociado al valor propio λ Entonces la función y(t) = v e λt = v 1 v 2 v n eλt es una solución de y = Ay en el intervalo < t < + Proposición: Sean v 1, v 2,, v n vectores propios de A linealmente independientes, asociados a los valores propios λ 1, λ 2,, λ n, (iguales o distintos) Entonces, las siguientes funciones son un sistema fundamental de soluciones de y = Ay en < t < + y 1 = v 1 e λ 1t, y 2 = v 2 e λ 2t,, y n = v n e λ nt, 5

6 Proposición: Si la matriz A tiene n valores propios distintos λ 1, λ 2,, λ n con v 1, v 2,, v n vectores propios asociados, entonces, la solución general de y = Ay es y 1 = C 1 v 1 e λ 1t +C 2 v 2 e λ 2t + + C n v n e λ nt Valores propios complejos Proposición: Sea y = y 1 (t)+iy 2 (t) una solución compleja de y = Ay Entonces, y 1 (t) e y 2 (t) son soluciones reales de y = Ay La solución compleja es y(t) = v e λt = (v 1 + iv 2 ) e (a+ib)t = (v 1 + iv 2 ) e at (cos bt + i sen bt) = e at [v 1 cos bt v 2 sen bt + i(v 1 sen bt + v 2 cos bt)] y las soluciones reales son y 1 (t) = e at (v 1 cos bt v 2 sen bt) y 2 (t) = e at (v 1 sen bt + v 2 cos bt) Es facil ver que las soluciones reales y 1 (t) e y 2 (t) son independientes 44 - Variación de parámetros Denición: Sea y 1 (t), y 2 (t),, y n (t) un sistema fundamental de soluciones de y = Ay La matriz Y (t) cuyas columnas son las n soluciones independientes del sistema y = Ay recibe el nombre de matriz fundamental de soluciones del sistema Proposición: a) Una matriz Y (t) es una matriz fundamental de soluciones de y = d Ay si, y sólo si, Y (t) = A Y (t) y det(y (0)) 0 dt b) La matriz exponencial e At es una matriz fundamental de soluciones de y = Ay 6

7 c) Si X(t) e Y (t) son matrices fundamentales de soluciones de y = Ay, entonces existe una matriz constante C tal que Y (t) = X(t) C Teorema: Sea Y (t) una matriz fundamental de soluciones de y = Ay Entonces, e At = Y (t) Y (0) 1 Sea el problema de valor inicial y = Ay + g(t), y(t 0 ) = y 0 (7) e y 1 (t), y 2 (t),, y n (t) n soluciones independientes de y = Ay, cuya solución general es y(t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) + + C n y n (t) El método de variación de parámetros consiste en buscar una solución de (7) de la forma y(t) = u 1 y 1 (t) + u 2 y 2 (t) + + u n y n (t) donde u i, i = 1, 2,, n son funciones reales a determinar Matricialmente el sistema anterior se puede expresar como y(t) = Y (t) u(t) donde Y (t) es la matriz fundamental de soluciones y u(t) = ( u 1 (t), u ( t),, u n (t) ) t Sustituyendo esta expresión en y = Ay + g(t), se obtiene Y (t)u(t) + Y (t)u (t) = AY (t)u(t) + g(t) Como Y (t) es una matriz fundamental de soluciones, Y = AY (t), y la ecuación anterior se reduce a Y (t)u (t) = g 7

8 Por lo tanto Integrando entre t 0 y t se obtiene u(t) = u(t 0 ) + t u (t) = Y (t) 1 g(t) t 0 Y (s) 1 g(s)ds = Y (t 0 ) 1 y 0 + y la solución de la ecuación diferencial es y(t) = Y (t)u(t) = Y (t)y (t 0 ) 1 y 0 + Y (t) Si Y (t) = e At Y (0), entonces y(t) = e A(t t 0) y 0 + e At t t t t 0 e As g(s)ds La solución general del problema y = Ay + g(t) es y(t) = e At C + e At e At g(t)dt 45 - Método de los coecientes indeterminados t 0 Y (s) 1 g(s)ds, t 0 Y (s) 1 g(s)ds Similar al método de los coecientes indeterminados para ecuaciones diferenciales escalares 8