Teoría Moderna de Control Lineal

Transcripción

1 Teoría Moderna de Control Lineal

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3 Índice general 1. Sistemas lineales determinísticos multivariables, invariantes, continuos Introducción Descripción de estado de sistemas diferenciales lineales y no lineales Linealización Transformación de estado Solución de la ecuación diferencial de estado de sistemas lineales Matrices de transición y respuesta impulso Matriz de transición de un sistema invariante en el tiempo Diagonalización Estabilidad Estabilidad de sistemas lineales variantes en el tiempo Estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo Análisis con transformada de sistemas invariantes en el tiempo Solución de la ecuación diferencial de estado usando transformada de Laplace Respuesta en frecuencia Ceros del sistema Interconexión de sistemas lineales Controlabilidad Reconstructibilidad

4 Capítulo 1 Sistemas lineales determinísticos multivariables, invariantes, continuos 1.1. Introducción El punto de partida es la descripción en el espacio de estado de los sistemas lineales. Luego veremos la solución de ecuaciones diferenciales de estado lineal, la estabilidad y análisis de transformación de sistemas lineales Descripción de estado de sistemas diferenciales lineales y no lineales Muchos sistemas se pueden describir por un conjunto de ecuaciones diferenciales simultaneas de la forma: ẋ(t) = f[x(t), u(t), t] (1.1) donde: x(t) vector columna n dimensional variando en el tiempo denominado estado del sistema. u(t) vector columna k dimensional variando en el tiempo, denominado variable de entrada o de control. f función real y vector valuada La ecuación (1.1) se denomina ecuación diferencial de estado. Consideremos y(t) una variable real, l-dimensional del sistema, que se puede observar ó a través de ella el sistema influye en su medio ambiente. Se le denomina variable de salida del sistema. Se puede expresar como: y(t) = g[x(t), u(t), t] (1.2) 1

5 Esta ecuación la denominaremos ecuación de salida del sistema. Las ecuaciones (1.1) y (1.2) son las ecuaciones del sistema. Si g contiene u explícitamente, se dice que el sistema tiene una conexión directa. Cuando f y g son funciones lineales, hablamos de un sistema diferencial lineal y su ecuación diferencial de estado tiene la forma: ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.3) donde A(t) y B(t) son matrices variantes en el tiempo de dimensiones apropiadas. La dimensión n de x es la dimensión del sistema. La ecuación de salida de este sistema tiene la forma: y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) (1.4) Si las matrices A, B, C y D son constantes, el sistema es invariante en el tiempo Linealización Si u 0 (t) es una entrada dada a un sistema descrito por la ecuación diferencial de estado (1.1), y x 0 (t) es una solución conocida de (1.1), podemos encontrar soluciones para pequeñas desviaciones en el estado inicial y en la entrada, desde una ecuación diferencial de estado lineal. Supongamos que x 0 (t) satisface: donde: x 0 : es una trayectoria nominal u 0 : es una entrada nominal ẋ(t) = f[x 0 (t), u 0 (t), t] t 0 t t 1 (1.5) Podemos suponer que el sistema está operando cercano a condiciones nominales, esto significa que u y x se desvían levemente de x 0 y u 0. Por lo tanto, podemos escribir: u(t) = u 0 (t) + ũ(t) t 0 t t 1 (1.6) x(t 0 ) = x 0 (t 0 ) + x(t 0 ) donde ũ(t) y x(t) son perturbaciones pequeñas. De la misma manera podemos decir que: x(t) = x 0 (t) + x(t) t 0 t t 1 (1.7) Sustituyendo x y u en la ecuación diferencial de estado (1.1) y realizando una expansión en serie de Taylor, se tiene que: ẋ 0 (t) + x(t) = f[x 0 (t), u 0 (t), t] + J x [x 0 (t), u 0 (t), t] x(t) +J u [x 0 (t), u 0 (t), t] ũ(t) + h(t) t 0 t t 1 (1.8) 2

6 J x y J u son las matrices Jacobianas de f con respecto a x y u. Donde el elemento (i, j) de la matriz J x es: (J x ) i,j = f i ξ j ξ X i (1.9) donde f i es el i-esimo componente de f y ξ j el j-esimo componente de x. J u se define de la misma forma. El término h(t) es una expresión despreciable con respecto a x y ũ. Despreciando h, vemos que x y ũ satisfacen aproximadamente la ecuación lineal: x(t) = A(t) x(t) + B(t) ũ(t) t 0 t t 1 (1.10) donde: A(t) = J x [x 0 (t), u 0 (t), t] B(t) = J u [x 0 (t), u 0 (t), t] La ecuación (1.10) se denomina ecuación diferencial de estado linealizada. La condición inicial es x(t 0 ). La linealización es una práctica muy común en la solución de problemas de control. Es conveniente linealizar la ecuación diferencial del sistema antes de arreglarlas en la forma de ecuaciones diferenciales de estado. Esto lleva a la misma solución Transformación de estado Algunas veces es útil emplear una representación transformada del estado. Veremos transformaciones de estado lineal para sistema diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Consideremos el sistema lineal invariante en el tiempo: ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) (1.11) Definamos la variable de estado transformada por: x (t) = T x(t) (1.12) donde T es una matriz de transformación no singular constante. Sustituyendo: x(t) = T 1 x (t) (1.13) en (1.11) resulta: T 1 ẋ (t) = A T 1 x (t) + B u(t) (1.14) y(t) = C T 1 x (t) 3

7 o ẋ (t) = T A T 1 x (t) + T B u(t) (1.15) y(t) = C T 1 x (t) Es claro que la representación transformada es completamente equivalente al sistema original, ya que podemos reconstruir el comportamiento del sistema en términos del estado original por la relación (1.13) Solución de la ecuación diferencial de estado de sistemas lineales Matrices de transición y respuesta impulso Veremos la solución de la ecuación diferencial de estado lineal: La solución se obtiene mediante los siguientes teoremas: Teorema 1.1. Considerar la ecuación homogénea ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.16) ẋ(t) = A(t) x(t) (1.17) Entonces si A(t) es continua para todo t, (1.17) siempre tiene una solución que puede ser expresada como: x(t) = Φ(t, t 0 ) x(t 0 ) t (1.18) La matriz de transición Φ(t, t 0 ) es la solución de la ecuación diferencial matricial: d dt Φ(t, t 0) = A(t) Φ(t, t 0 ) t (1.19) Φ(t 0, t 0 ) = I donde I es la matriz unidad. Para sistemas variando en el tiempo, la matriz de transición es difícil de obtener en términos de funciones estándar, de modo que hay que recurrir a técnicas de integración numérica. Teorema 1.2. La matriz de transición Φ(t, t 0 ) de un sistema diferencial tiene las siguientes propiedades: a.) Φ(t 2, t 1 ) Φ(t 1, t 0 ) = Φ(t 2, t 0 ) t 0, t 1, t 2 (1.20) b.) Φ(t, t 0 ) es no singular t, t 0 (1.21) c.) Φ 1 (t, t 0 ) = Φ(t 0, t) t, t 0 (1.22) d d.) dt ΦT (t 2, t 1 ) Φ(t 1, t 0 ) = Φ(t 2, t 0 ) t, t 0 (1.23) 4

8 donde el supra-índice T denota el transpuesto. Una vez encontrada la matriz de transición es fácil obtener las soluciones a la ecuación diferencial de estado lineal (1.16). Teorema 1.3. Considerar la ecuación diferencial de estado lineal: ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.24) Entonces, si A(t) es continua y B(t) y u(t) son continuas por parte para todo t, la solución de la ecuación es: t x(t) = Φ(t, t 0 ) x(t 0 ) + Φ(t, τ) B(τ) u(τ) dτ t (1.25) t 0 Consideremos un sistema con la ecuación (1.24) y la ecuación de salida: usando la solución (1.25) tenemos que: y(t) = C(t) Φ(t, t 0 ) x(t 0 ) + C(t) y(t) = C(t) x(t) (1.26) t t 0 Φ(t, τ) B(τ) u(τ) dτ (1.27) Si el sistema esta inicialmente en el estado cero, x(t 0 ) = 0, la respuesta de la variable de salida es: donde y(t) = t t 0 K(t, τ) u(τ) dτ t t 0 (1.28) K(t, τ) = C(t) Φ(t, τ) B(τ) t t 0 (1.29) La matriz K(t, τ) se denomina matriz respuesta impulso del sistema. El elemento (i, j) de esta matriz es la respuesta en el instante t del componente i de la variable de salida a un impulso aplicado a la componente j de la entrada en el instante τ > t 0 mientras todos los otros componentes de la entrada son cero y el estado inicial es cero Matriz de transición de un sistema invariante en el tiempo. Consideremos el siguiente teorema: Teorema 1.4. El sistema invariante en el tiempo: ẋ(t) = A x(t) (1.30) tiene la matriz de transición: Φ(t, t 0 ) = e A(t t0) (1.31) donde la matriz exponencial de una matriz cuadrada M está definida como: e M = I + M + 1 2! M ! M (1.32) Esta serie converge para todo M. 5

9 Notas 1. Para dimensiones pequeñas de la matriz A, la matriz de transición se puede escribir explícitamente en términos de funciones estándar. 2. Para dimensiones grandes de la matriz A, la ecuación (1.32) es muy útil para calcular la matriz de transición por un computador digital. 3. Para no tener dificultades numéricas, (t t 0 ) no se debe escoger demasiado grande. Usando los resultados de los teoremas 1.3 y 1.4, en sistemas invariantes en el tiempo tenemos que: ẋ(t) = A x(t) + B u(t) (1.33) t x(t) = e A(t t0) x(t 0 ) + e A(t τ) B u(τ) dτ t 0 (1.34) y(t) = C x(t) (1.35) y la matriz respuesta a impulso queda: K(t τ) = C e A (t τ) B t τ (1.36) Diagonalización Una forma explícita de la matriz de transición de un sistema invariante en el tiempo se puede obtener por diagonalización de la matriz A. Teorema 1.5. Supongamos que la matriz nxn contante A tiene n valores característicos distintos λ 1, λ 2,..., λ n, con sus correspondientes vectores característicos e 1, e 2,..., e n. Se definen las matrices: T = (e 1, e 2,..., e n ) (1.37) Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) Entonces T es una matriz no singular y A puede ser representada como: Se dice que T diagonaliza A. A = T Λ T 1 (1.38) Teorema 1.6. Consideremos que la matriz A satisface las suposiciones del teorema 1.5, entonces: a.) e At = T e Λt T 1 (1.39) b.) e Λt = diag(e λ1t, e λ2t,..., e λnt ) (1.40) Este resultado simplifica el cálculo de e At una vez que A es diagonalizada. 6

10 Teorema 1.7. Consideremos el sistema invariante en el tiempo ẋ(t) = A x(t) (1.41) donde A satisface las suposiciones del teorema 1.5. Escribiendo la matriz T 1 de la forma: f 1 T 1 f 2 =. (1.42). donde f 1, f 2,..., f n son vectores filas. Entonces la solución de (1.41) se puede escribir como: x(t) = f n n e λit e i f i x(0) (1.43) i=1 Es fácilmente demostrable expandiendo x(t) = T e Λt T 1 x(0) en términos de e i, f i y e λ it con i = 1, 2,..., n. Escribiendo (1.43) en la forma: x(t) = n u i e λ1t e i (1.44) i=1 donde las u i son los escalares f i x(0), i = 1, 2,..., n. Se muestra claramente que la respuesta del sistema (1.41) es una composición de movimientos a lo largo de los vectores característicos de la matriz A. Se le denomina a cada movimiento un modo del sistema. Un modo particular se puede excitar escogiendo el estado inicial para tener una componente a lo largo del correspondiente vector característico. Es claro que los valores característicos λ i, i = 1, 2,..., n determinan el comportamiento dinámico del sistema. Estos números se pueden considerar como los polos del sistema Estabilidad Consideremos una ecuación diferencial de estado general: ẋ(t) = f[x(t), u(t), t] (1.45) Una propiedad importante del sistema es saber si las soluciones de la ecuación diferencial de estado tienden o no a crecer indefinidamente cuando t. Supongamos un sistema sin entrada u o donde u es una función fija en el tiempo. Tenemos entonces que: ẋ(t) = f[x(t), t] (1.46) La solución nominal x 0 (t) satisface la ecuación (1.46): x 0 (t) = f[x 0 (t), t] (1.47) Un caso especial ocurre cuando x 0 (t) es un vector x e constante, en este caso, decimos que x e es un estado de equilibrio del sistema. 7

11 Definición 1.1. Consideremos la ecuación diferencial de estado: ẋ(t) = f[x(t), t] (1.48) Con la solución nominal x 0 (t). Entonces la solución nominal es estable en el sentido Lyapunov si para cualquier t 0 y cualquier ε > 0 existe un δ(ε, t 0 ) > 0 tal que: x(t 0 ) x 0 (t 0 ) δ implique x(t) x 0 (t) ε t t 0 Donde x es la norma del vector x. Se puede usar la norma Euclidiana: x = n ξi 2 (1.49) donde ξ i i = 1, 2,..., n son los componentes de x. Esta definición es una forma débil de estabilidad. Definición 1.2. La solución nominal x 0 (t) de la ecuación diferencial de estado: i=1 es asintóticamente estable si: ẋ(t) = f[x(t), t] (1.50) 1. Es estable en el sentido de Lyapunov 2. t 0 existe un p(t 0 ) > 0 tal que: x(t 0 ) x 0 (t 0 ) ρ implique x(t) x 0 (t) 0 cuando t No siempre da información para desviaciones iniciales grandes con respecto a la solución nominal. Definición 1.3. La solución nominal x 0 (t) de la ecuación diferencial de estado: ẋ(t) = f[x(t), t] (1.51) es asintóticamente estable en grande si: 1. Es estable en el sentido de Lyapunov 2. Para cualquier x(t 0 ) y cualquier t 0 x(t) x 0 (t) 0 cuando t 8

12 Estabilidad de sistemas lineales variantes en el tiempo En los casos lineales la situación es más simple y se puede hablar de estabilidad del sistema en vez de la solución. Consideremos x 0 (t) una situación nominal del sistema diferencial lineal: ẋ(t) = A(t) x(t) (1.52) y x(t) cualquier otra solución. Ya que x 0 (t) y x(t) son soluciones de la ecuación diferencial lineal, entonces [x(t) x 0 (t)] también es una solución, es decir: d dt [x(t) x 0(t)] = A(t)[x(t) x 0 (t)] (1.53) Para estudiar la estabilidad de la solución nominal x 0 (t), podemos estudiar la estabilidad de la solución con x(t) 0. Si la solución cero es estable en cualquier sentido, cualquier otra solución será estable en ese sentido, es decir: Definición 1.4. El sistema diferencial lineal x(t) 0 x(t) x 0 (t) 0 = x 0 (t) 0 ẋ(t) = A(t) x(t) (1.54) es estable en un cierto sentido, si la solución cero x 0 (t) 0 es estable en ese sentido. Se entiende que todas las soluciones nominales de un sistema diferencial lineal tiene las mismas propiedades de estabilidad. Teorema 1.8. El sistema diferencial lineal ẋ(t) = A(t) x(t) (1.55) es asintóticamente estable si y sólo si es asintóticamente estable en grande. Este teorema resulta del factor que las soluciones de sistemas lineales pueden ser escaladas sin afectar su comportamiento Estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo Consideremos el sistema ẋ(t) = A x(t) (1.56) donde A es una matriz constante nxn. Si A tiene n valores característicos distintos λ 1, λ 2,..., λ n y los correspondientes vectores característicos e 1, e 2,..., e n, la respuesta del sistema a cualquier estado inicial es: n x(t) = u i e λit e i (1.57) i=1 donde los escalares u i dependen del estado inicial x(0). Se ve que la estabilidad del sistema depende de los valores característicos de λ i. 9

13 Teorema 1.9. El sistema lineal invariante en el tiempo es estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si: 1. Todos los λ i de A tienen parte real no positiva y ẋ(t) = A x(t) (1.58) 2. Para cualquier valor característico sobre el eje imaginario con multiplicidad m corresponde exactamente n vectores característicos de la matriz A. Teorema El sistema lineal invariante en el tiempo ẋ(t) = A x(t) (1.59) es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores característicos de A tienen partes reales estrictamente negativas. Teorema El sistema lineal invariante en el tiempo (LIT) ẋ(t) = A x(t) (1.60) es exponencialmente estable si y sólo si es asintóticamente estable. Ya que la matriz A realmente determina si un sistema LIT es asintóticamente estable, se puede generar la siguiente definición: Definición 1.5. La matriz A es asintóticamente estable si todos sus valores característicos tienen partes reales estrictamente negativas Análisis con transformada de sistemas invariantes en el tiempo Solución de la ecuación diferencial de estado usando transformada de Laplace Se define la transformada de Laplace de un vector variando en el tiempo como: donde s es una variable compleja. Z(s) = [z(t)] = 0 e st z(t)dt (1.61) Vemos que la de un vector variando en el tiempo es simplemente un vector cuyos componentes son las transformadas de Laplace de los componentes de z(t). Consideremos primero la ecuación diferencial de estado homogénea: ẋ(t) = A x(t) (1.62) donde A es una matriz constante. La transformada de Laplace da: s X(s) X(0) = A X(s) (1.63) 10

14 Todas la reglas para casos escalares sirven en el caso vectorial. La solución es: Esto es equivalente a la expresión en el dominio del tiempo: X(s) = (s I A) 1 X(0) (1.64) x(t) = e A t x(0) (1.65) Esto lleva al siguiente teorema: Teorema Tomando A como una matriz constante de nxn. Entonces: (s I A) 1 = [e A t ] o (1.66) e A t = 1 [(s I A) 1 ] La función matriz (s I A) 1 se denomina resolución de A. Teorema Consideremos A una matriz constante de nxn con el polinomio característico: det(s I A) = s n α n 1 s n α 1 s 1 + α 0 (1.67) Entonces la resolución de A se puede escribir como: (s I A) 1 = donde las matrices R i está dadas por: R i = 1 det(s I A) n s i 1 R i (1.68) i=1 n α i A j i, i = 1, 2,..., n (1.69) j=i con α n = 1. Los coeficientes α i y las matrices R i, i = 1, 2,..., n se pueden obtener a través del siguiente algoritmo. Colocar: Luego α 0 = 1, R n = I (1.70) α n k = 1 k t r(a R n k+1 ) (1.71) R n k = α n k I + A R n k+1 para k = 1, 2,..., n (1.72) Para donde: k = n tenemos que R 0 = 0 (1.73) n t r (M) = M ii (1.74) i=1 11

15 Si M es una matriz nxn con elementos diagonales M i,i, i = 1, 2,..., n usar para un chequeo numérico. Consideremos ahora la ecuación no-homogénea: R 0 = 0 se puede donde A y B son constantes. La transformada de Laplace da: ẋ = A x(t) + B u(t) (1.75) s X(s) X(0) = A X(s) + B U(s) (1.76) luego X(s) = (s I A) 1 X(0) + (s I A) 1 B U(s) (1.77) La ecuación de salida del sistema está dada por: y(t) = C x(t) (1.78) donde C es constante. Aplicando Laplace y reemplazando (1.77) resulta: Y (s) = C X(s) = C (s I A) 1 X(0) + C (s I A) 1 B U(s) (1.79) que es equivalente a la transformada de Laplace de la expresión en el tiempo, con t 0 = 0: y(t) = C e At x(0) + C Cuando x(0) = 0 tenemos que: t 0 e A(t τ) B u(τ)dτ (1.80) Y (s) = H(s) U(s) (1.81) donde: H(s) = C (s I A) 1 B (1.82) La matriz H(s) se denomina matriz de transferencia del sistema. Del teorema 1.12 tenemos que la matriz de transferencia H(s) es la transformada de Laplace de la función matricial H(t) = C e At B con t 0 (ec. (1.36). De (1.81) tenemos que H(t) es la matriz respuesta impulso del sistema. Las raíces del denominador común de H(s) son los polos de la matriz de transferencia. Si no hay cancelaciones, estos polos son los polos del sistema, es decir, los valores característicos de A Respuesta en frecuencia Veamos la respuesta en frecuencia de sistemas lineales invariantes en el tiempo, a entradas de la forma: u(t) = u m e jωt t 0 (1.83) donde u m es un vector constante. 12

16 La solución de la ecuación diferencial e estado: ẋ(t) = A x(t) + B u(t) (1.84) se obtiene en términos de las soluciones particular y homogénea. Si consideramos la solución particular de la forma: x p (t) = x m e jωt (1.85) donde x m es un vector constante. Encontramos que la solución particular es: La solución homogénea se puede escribir como: x p (t) = (jω I A) 1 B u m e jωt t 0 (1.86) x h (t) = e A t a (1.87) donde a es un vector constante arbitrario. Luego tenemos que la solución general no-homogénea es: x(t) = e A t a + (jω I A) 1 B u m e jωt t 0 (1.88) El vector a se puede determinar con las condiciones iniciales. Si el sistema es asintóticamente estable, entonces la respuesta en estado estacionario de la salida: y(t) = C x(t) (1.89) es: y(t) = C (jω I A) 1 B u m e jωt (1.90) = H(jω) u m e jωt donde H(jω) es la matriz respuesta en frecuencia del sistema Ceros del sistema Teorema Considerar el sistema: ẋ = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) donde x tiene dimensión n y la entrada u y la salida y tienen dimensión m. La matriz de transferencia del sistema es H(s) = C(sI A) 1 B. Entonces: det[h(s)] = Ψ(s) Φ(s) 13

17 donde Φ(s) = det[s I A] y Ψ(s) es un polinomio en s de grado n m o menos. Definición 1.6. Los ceros de Ψ(s) son los ceros del sistema y Φ(s) es el polinomio característico del sistema Interconexión de sistemas lineales Dos de los tipos de interconexión de sistemas más usados son la conexión serie o cascada y la realimentada. Figura 1.1: Conexión serie. Figura 1.2: Conexión realimentada. Para la conexión serie de la Fig. 1.1 los sistemas individuales se describen por las ecuaciones diferenciales de estado y salida: } ẋ 1 (t) = A 1 (t) x 1 (t) + B 1 (t) u 1 (t) sistema 1 (1.91) y 1 (t) = C 1 (t) x 1 (t) + D 1 (t) u 1 (t) } ẋ 2 (t) = A 2 (t) x 2 (t) + B 2 (t) u 2 (t) sistema 2 y 2 (t) = C 2 (t) x 2 (t) + D 2 (t) u 2 (t) Definiendo el estado aumentado: x(t) = [ x1 (t) x 2 (t) 14 ] (1.92)

18 El sistema interconectado se describe por: [ A ẋ(t) = 1 (t) 0 B 2 (t) C 1 (t) A 2 (t) considerando que u 2 (t) = y 1 (t). La ecuación de salida del sistema resulta: ] [ x(t) + B 1 (t) B 2 (t) D 1 (t) ] u(t) (1.93) y 2 (t) = [D 2 (t) C 1 (t) C 2 (t)] x(t) + D 2 (t) D 1 (t) u 1 (t) (1.94) En el caso de los sistemas invariantes en el tiempo, se puede describir la interconexión en términos de las matrices de transferencia. Supongamos que las matrices de transferencia individuales de los sistemas son: Y 1 (s) = H 1 (s) U 1 (s) (1.95) Y 2 (s) = H 2 (s) U 2 (s) (1.96) Sabemos que Luego U 2 (s) = Y 1 (s) (1.97) Y 2 (s) = H 2 (s) H 1 (s) U 1 (s) (1.98) resulta que la matriz de transferencia del sistema es: H 2 (s) H 1 (s). Generalmente no se pueden intercambiar. En la conexión realimentada se consideran las siguientes ecuaciones diferenciales de estado y salida: } ẋ 1 (t) = A 1 (t) x 1 (t) + B 1 (t) u 1 (t) sistema 1 (1.99) y 1 (t) = C 1 (t) x 1 (t) } ẋ 2 (t) = A 2 (t) x 2 (t) + B 2 (t) u 2 (t) sistema 2 y 2 (t) = C 2 (t) x 2 (t) + D 2 (t) u 2 (t) Usando el vector aumentado tenemos que: [ A1 (t) B ẋ(t) = 1 (t) D 2 (t) C 1 (t) B 1 (t) C 2 (t) B 2 (t) C 1 (t) A 2 (t) ] [ B1 (t) x(t) + 0 ] r(t) (1.100) donde se ha usado la relación u 2 (t) = y 1 (t) y u 1 (t) = r(t) y 2 (t). La salida del sistema resulta: y 1 (t) = [c 1 (t) 0] x(t) (1.101) Para el caso invariante en el tiempo, tenemos en términos de matrices de transferencia: Y 1 (s) = H 1 (s) U 1 (s) Y 2 (s) = H 2 (s) U 2 (s) U 1 (s) = R(s) Y 2 (s) U 2 (s) = Y 1 (s) 15

19 Luego: Despejando: Y 1 (s) = H 1 (s)[r(s) H 2 (s)y 1 (s)] (1.102) Y 1 (s) = [I + H 1 (s)h 2 (s)] 1 H 1 (s)r(s) (1.103) Definición 1.7. Consideremos la conexión realimentada de la Fig. 1.2 y que los sistemas 1 y 2 invariantes en el tiempo con matrices de transferencia H 1 (s) y H 2 (s) respectivamente. Entonces la función matriz: J(s) = I + H 1 (s)h 2 (s) (1.104) se denomina matriz de diferencia de retorno y la función matriz: Se denomina matriz ganancia de lazo. L(s) = H 1 (s)h 2 (s) (1.105) El término diferencia de retorno resulta del siguiente análisis: Supongamos la conexión realimentada con r(t) 0 y cortada en y 1 (t): Figura 1.3: Conexión realimentada. 16

20 esto da: Y 1 (s) = H 1 (s) H 2 (s) U 2 (s) (1.106) La diferencia entre Y 1 (s) y U 2 (s) es: U 2 (s) Y 1 (s) = [I H 1 (s)h 2 (s)] U 2 (s) (1.107) = J 2 (s) U 2 (s) Es importante conocer la estabilidad del sistemas interconectados. Para las conexiones anteriores existen los siguientes resultados: Teorema Considere la conexión serie de la Fig. 1.1, donde los sistemas 1 y 2 son sistemas invariantes en el tiempo con los polinomios característicos φ 1 y φ 2, respectivamente. Entonces la interconexión tiene el polinomio característico φ 1 (s) φ 2 (s). Por lo tanto, el sistema interconectado es asintóticamente estable si y sólo si ambos sistemas 1 y 2 son asintóticamente estables. Teorema Considere la conexión realimentada de la Fig. 1.2 donde los sistemas 1 y 2 son lineales invariantes en el tiempo con matrices de transferencia H 1 (s) y H 2 (s) y polinomios característicos φ 1 (s) y φ 2 (s) respectivamente y el sistema 1 no tiene conexión directa. Entonces el polinomio característico del sistema interconectado es: φ 1 (s) φ 2 (s) det[i + H 1 (s)h 2 (s)] (1.108) Por lo tanto, el sistema interconectado es estable si y sólo si el polinomio (1.108) tiene ceros con parte real estrictamente negativa solamente Controlabilidad Para la solución de problemas de control, es importante saber si un sistema tiene la propiedad de poder ser llevado desde algún estado a otro estado dado. Esto nos lleva al concepto de controlabilidad. Definición 1.8. El sistema lineal: ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.109) se dice que es completamente controlable si el estado del sistema puede ser transferido desde el estado cero para algún tiempo inicial t 0 a algún estado terminal x(t 1 ) = x 1 en un tiempo finito (t 1 t 0 ). Considerando esta definición se obtiene: Teorema El sistema lineal: ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.110) es completamente controlable si y solo si puede ser transferido desde cualquier estado inicial x 0 para algún tiempo inicial t 0 a algún estado terminal x(t 1 ) = x 1 en un tiempo finito (t 1 t 0 ). 17

21 La controlabilidad de un sistema LIT queda descrita en el siguiente teorema: Teorema El sistema LIT n dimensional: ẋ = A x(t) + B u(t) (1.111) es completamente controlable si y sólo si el vector columna de la matriz de controlabilidad: cubre el espacio n dimensional. P = (B, AB, A 2 B,..., A n 1 B) (1.112) Esto quiere decir, que el rango de la matriz P debe ser n para todos los valores de los parámetros. La controlabilidad de un sistema LVT se describe en el siguiente teorema: Teorema El sistema LVT n dimensional: define la función matricial simétrica no negativa definida: W (t 0, t) = ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.113) t donde Φ(t, t 0 ) es la matriz transición del sistema. t 0 Φ(t, τ) B(τ) B T (τ) Φ T (t, τ)dτ (1.114) Entonces el sistema es completamente controlable si y sólo si existe para todo t 0 a t 1 con t 0 < t 1 < tal que W (t 0, t 1 ) es no singular Reconstructibilidad Es importante saber si el sistema tiene la propiedad de poder determinar el comportamiento de su estado desde el comportamiento de la salida. Esto lleva al concepto de reconstructibilidad. Definición 1.9. Tomemos y(t, t 0, x 0, u) como la respuesta de la variable de salida y(t) del sistema LVT ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.115) y(t) = C(t)x(t) al estado inicial x(t 0 ) = x 0. Entonces el sistema se denomina completamente reconstruible (CR) si para todo t 1 existe un t 0 con < t 0 < t 1 tal que: y(t; t 0, x 0, u) = y(t; t 0, x 0, u) t 0 t t 1 (1.116) para todo u(t), t 0 t t 1, implique x 0 = x 0. La reconstructibilidad de un sistema se puede determinar considerando un caso simple como dice el siguiente teorema: 18

22 Teorema El sistema LVT: ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.117) y(t) = C(t)x(t) es completamente reconstruible si y sólo si para todo t 1 existe un t 0 con < t 0 < t 1 tal que: y(t 1 ; t 0, x 0, 0) = 0 t 0 t t 1 (1.118) implique que x 0 = 0 La reconstructibilidad de un sistema LIT queda descrita en el siguiente teorema: Teorema El sistema LIT n dimensional: ẋ = A x(t) + B u(t) (1.119) y(t) = C(t)x(t) es completamente reconstruible si y sólo si los vectores filas de la matriz de reconstructibilidad C C A Q = C A 2 (1.120).. C A n 1 cubren o barren el espacio n dimensional. Esto quiere decir, que el rango de la matriz Q debe ser n para todos los valores de los parámetros. La reconstructibilidad de un sistema LVT de describe en el teorema: Teorema El sistema LVT n dimensional: ẋ = A(t) x(t) + B(t) u(t) (1.121) y(t) = C(t)x(t) define la función matricial no negativa definida: M(t, t 1 ) = t1 donde Φ(t, t 0 ) es la matriz de transición del sistema. t Φ T (τ, t) C T (τ) C(τ) Φ(τ, t)dτ (1.122) Entonces el sistema es CR si y sólo si para todo t 1 existe un t 0 con < t 0 < t 1 tal que M(t 0, t) es no singular. 19

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