Raíz cuadrada. Superficies de Riemann

Transcripción

1 Raíz cuadrada Superficies de Riemann

2 Aplicación: Circuito RLC (a) (b)

3 Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (a): De la ley de Ohm con

4 Aplicación: Circuito RLC Es más conveniente utilizar un voltaje complejo Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y a la corriente:

5 Aplicación: Circuito RLC En resumen, si la respuesta matemática a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta real al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]

6 Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (b) en estado estacionario: con tenemos con tenemos De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)

7 Aplicación: Circuito RLC Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]: Tomando la parte real tenemos finalmente

8 Aplicación: Circuito RLC Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del voltaje complejo para una interpretación del resultado: Definiendo Entonces y es decir De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase

9 Aplicación: circuito RLC Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff). Por ejemplo, para un circuito RLC

10 Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial : carga Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal La ec. diferencial se resuelve suponiendo que y Sustituyendo Q y V encontramos:

11 Por lo tanto, Aplicación: circuito RLC De aquí que la corriente I, dada por con viene dada por

12 Por lo tanto, Aplicación: circuito RLC o bien, introduciendo la impedancia Z: Finalmente, considerando la parte real

13 Integración Compleja Hemos visto que la noción de derivada vista en Cálculo (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones. Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración. Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x) Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy

14 Integración compleja Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real. Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t: Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del Cálculo.

15 Integración compleja Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:

16 Integración compleja (contornos) Contornos o caminos Imaginemos que trazamos una curva en el plano complejo, en un intervalo de tiempo : De modo que en un instante t dibujamos el punto De esta manera podemos considerar que el rango de la función Se dice que es una parametrización de es

17 Integración compleja (contornos) Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano complejo se les llama arco o camino, si e son funciones continuas del parámetro t Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.: Arcos simples (suave): Arcos simples cerrados: suave No suave Arcos no simples: 8

18 Integración compleja (contornos) También el orden de los puntos del arco es importante, usualmente esto se indica con una flecha Así, el punto precede a si

19 Integración compleja (contornos) Contorno Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita de curvas, tal que el punto final de la curva coincide con el punto inicial de la curva. Se puede decir que Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el contorno es cerrado Un contorno cerrado simple es aquel que divide al plano en dos dominios: el interior que es acotado y el exterior que no es acotado

20 Integración compleja (contornos) Comentarios: La parametrización de un arco no es única Un mismo conjunto de puntos pueden formar distintos arcos La longitud de un arco no depende de la parametrización y está dada por (como en Cálculo):

21 Integración compleja (contornos) Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco diferenciable si las derivadas son continuas en el intervalo Además la función es integrable en el intervalo Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es continua y no nula en el mismo intervalo

22 Integración compleja (contornos) Integrales de contorno (o de camino) Las integrales de camino dependen, en general, de la curva (suave) que va de un punto a al punto b y de la misma función f(z), por supuesto. Se denota la integral como Si la curva está descrita por una parametrización z=z(t) con

23 Integración compleja (contornos) Entonces Nótese que al considerar una curva suave, la derivada z'(t) existe. Además la integral es independiente de la parametrización utilizada.

24 Integración compleja (contornos) Si es la curva/camino sobre la que se integra f(z(t)), la curva, recorre los mismos puntos, pero en sentido inverso y Si un contorno está formado por curvas suaves y f es continua en,entonces

25 Integración (Teorema de Cauchy) Primitivas Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales las integrales de camino no dependen del contorno utilizado. Esto nos lleva a introducir el concepto de función primitiva F (continua en un dominio D) tal que: F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D

26 Integración (Teorema de Cauchy) Antes veamos el siguiente resultado sobre cotas superiores para el módulo de una integral de camino donde M es una constante tal que y L la longitud del contorno/camino

27 Teorema: Sea f(z) una función continua en un dominio D. Las siguientes proposiciones son equivalentes: i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D ii) todas las integrales de f(z) sobre contornos contenidos en D, con punto inicial z 1 y punto final z 2, tienen el mismo valor iii) Las integrales de f(z) sobre contornos cerrados contenidos en D tiene valor cero

28 Integración (Teorema de Cauchy) Teorema de Cauchy Este teorema establece que si f(z) es una función analítica y su derivada f '(z) es continua en cada punto dentro y sobre el contorno cerrado simple C, entonces

29 Integración (Teorema de Cauchy) Teorema de Cauchy-Goursat La condición sobre la continuidad f '(z) puede omitirse como lo demostró Goursat Así, si f es función analítica en un dominio simplemente conexo D y C cualquier contorno cerrado en D, entonces