UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI LECCIÓN Nº 06 EXPRESIONES COMPLEJAS PARA LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE 1. ELEMENTOS PASIVOS

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1 LECCIÓN Nº 06 EXPRESIONES COMPLEJAS PARA LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE 1. ELEMENTOS PASIVOS 61

2 2. FASORES Es necesario conocer las entidades de Euler y números complejos para entender favores. Sean a y b dos números reales cualesquiera. Un número complejo, z, construido a partir de tales números, puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes, que son todas equivalentes entre sí: siendo: unidad de los números imaginarios módulo de z fase de z parte real de z parte imaginaria de z complejo conjugado de z Una señal de corriente o voltaje AC se representa por un fasor (vector) cuya magnitud puede ser el valor pico o RMS y su dirección es el ángulo de fase respecto a la señal de referencia cuyo ángulo de fase es cero. Si se toma el valor pico del estímulo, todas las respuestas son valor pico, si se tomo el valor RMS del estímulo, todas las respuestas son RMS. 62

3 3. PROBLEMAS APLICATIVOS Problema 01 Si y 1 = 20 cos (ωt - 30 ) y y 2 =40 cos (ωt + 60 ), expresar y = y 1 + y 2 como una sola función sinusoidal. a) Resolver mediante identidades trigonométricas. b) Resolver con base en el concepto de fasor. a) Primero desarrollamos y 1 y 2 usando el coseno de la suma de los dos ángulos, para obtener y 1 = 20 cos (ωt) cos (30 ) + 20 sen (ωt) sen (30 ) y 2 = 40 cos (ωt) cos (60 ) - 40 sen (ωt) sen (60 ) Al sumar y 1 y y 2 se tiene y = (20 cos cos 60) cos (ωt) + (20 sen sen 60) sen (ωt) = cos (ωt) sen (ωt). Para combinar estos dos términos los coeficientes del seno y del coseno se consideran como los lados de un triángulo rectángulo y luego se multiplica y se divide el lado derecho por la hipotenusa y = (37.42/44.72 cos (ωt) 24.64/44.72 sen (ωt)) = (cos (33.43 ) cos (ωt) - sen (33.43 ) sen (ωt)) Una vez más, invocamos la identidad que comprende el coseno de la suma de dos ángulos y escribimos y = cos (ωt ). b) Podemos resolver el problema utilizando fasores, como sigue. Ya que y = y 1 + y 2 entonces Y = Y 1 + Y 2 63

4 Y = (17.32 j10) + (20 + j34,64) = j24.64 Una vez que se conoce el fasor Y, se puede escribir la función trigonométrica correspondiente para y tomando la transforma da fasorial inversa: 64

5 ANALISIS DE CIRCUITOS DE CA 4. ELEMENTOS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 5. ANALISIS DE CIRCUITOS CA EN SERIE A fin de combinar impedancias en serie para formar una sola impedancia basta con sumar las impedancias individuales. El circuito que aparece en la figura define el problema en términos generales. Las impedancias Z 1, Z 2,, Z n se conectan en serie entre las terminales a y b. Cuando las impedancias están en serie llevan el mismo fasor de corriente I. De la ecuación, la caída de voltaje en cada impedancia es Z 1 I, Z 2 I,, Z n I, y por la ley de Kirchhoff para el voltaje La impedancia equivalente entre las terminales a y b es 65

6 6. IMPEDANCIA Es la oposición de cualquier elemento de circuito al paso de corriente AC, significa una generalización del concepto de resistencia eléctrica, por tanto su valor se calcula por la ley de OHM generalizada. Z = (V/I) (Ω) Z: es la impedancia, V e I son voltaje y corrientes indicados como fasores. Para las cálculos aritméticos en análisis fasorial se toman las cantidades como número complejos. 66

7 Ejemplo 01: Una resistencia de 90Ω, un inductor de 32 mh y un condensador de 5 µf se conectan en serie entre las terminales de una fuente de voltaje sinusoidal, como se aprecia en la figura. La expresión en estado estacionario del voltaje fuente V s es 750cos(5000t+30 ). a) Construir el circuito equivalente en la representación fasorial. b) Calcular la corriente en estado estacionario i utilizando fasores. a) De la expresión de V S tenemos que ω=5000 rad/s. Por lo tanto, la impedancia del inductor de 32 mh es y la impedancia del condensador es: La transformada fasorial de V S es La figura ilustra el circuito equivalente en la representación fasorial que corresponde al circuito b) El fasor de corriente se calcula dividiendo el voltaje de la fuente entre la impedancia equivalente en las terminales a y b Entonces: Ahora es posible escribir en forma directa la expresión de i en estado estacionario: 67

8 7. AUTOEVALUACION Problema 01: Encuentre la transformada fasorial de las siguientes funciones trigonométricas: a) v = 170 cos (377t - 40 ) V; b) i = 10 sen (1000t+20 ) A; c) i = [ 5 cos (ωt ) + 10 cos (ωt )] A; d) v = (300 cos(20000πt + 45 ) 100 sen ( πt + 30 )] mv. Respuesta: (a) V = 17OL V; (b) 1 = l0l7q Problema 02: Encuentre la expresión en el dominio del tiempo correspondiente a cada fasor: Respuesta: Problema 03: La corriente en el inductor de 75 mh es de 4 cos (40 000t - 38 ) ma. Calcule (a) la reactancia inductiva; (b) la impedancia del inductor; (c) el fasor de voltaje V, y (d) la expresión en estado estacionario de v(t). Respuesta: (a) 3000 Ω (b) j3000 Ω (c) 12L Problema 04: El voltaje en las terminales del condensador de 0.2 µf es de 40 cos (10 5 t - 50 )V. Calcule (a) la reactancia capacitiva; (b) la impedancia del condensador; (c) el fasor de corriente I, y (d) la expresión en estado estacionario de i(t). Respuesta: Problema 05: Un voltaje sinusoidal de 50 khz tiene un ángulo de fase cero y amplitud máxima de 10 mv. Al aplicar este voltaje a las terminales de un condensador, la corriente en estado estacionario resultante tiene una amplitud máxima de µa. a) Cuál es la frecuencia de la corriente en radianes por segundo? b) Cuál es el ángulo de fase de la corriente? c) Cuál es la reactancia capacitiva del condensador? 68

9 d) Cuál es la capacidad del condensador, en microfarads? e) Cuál es la impedancia del condensador? Respuesta: Problema 06: Encuentre la expresión de i o (t) en estado estacionario en el circuito de la figura si v s = 100 sen 50t mv. Respuesta: 69