TEOREMAS DE REDES EN C.A. Mg. Amancio R. Rojas Flores

Transcripción

1 TEOREMAS DE REDES EN C.A Mg. Amancio R. Rojas Flores

2 TEOREMA DE SUPERPOSICION 2

3 El teorema de superposición enuncia lo siguiente: El voltaje a través (o corriente a través) un elemento es determinado sumando el voltaje o corriente de cada fuente independiente respectivamente Ejemplo1. Determine la corriente I usando el teorema de superposición: 3

4 Solución Con respecto ala fuente de voltaje 5 V 0 : eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura Aplicando la ley de ohm tenemos I ( = 1.21A ) La fuente de corriente es remplazada con un circuito abierto Con respecto a la fuente de corriente 2 A 0 : eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura La corriente I (2) respectiva es determinada aplicando la regla del divisor de corriente La fuente de voltaje es remplazada con un corto circuito 4

5 I ( = 1.789A ) La corriente total es determinada como la suma de las corrientes I (1) y I (2) : I = 2.91A Ejemplo2. Considere el circuito de la figura: Encontrar lo siguiente: a) V R y V C usando el teorema de superposición b) Potencia disipada por el circuito c) Potencia entregada por cada fuente al circuito 5

6 Solución a. ) El teorema de superposición puede ser enunciado como sigue: Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura La impedancia vista por la fuente de corriente será la combinación paralela de R//Z C : El voltaje V R(1) es lo mismo que el voltaje a través del capacitor, V C(1 ) por lo tanto: V R( = 24V ) 6

7 Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura El voltaje V R(2) V C(2) son determinados por la regla del divisor de voltaje: y V R( = 16V ) V C( = 12V Por aplicación de superposición, tenemos 2) y V R = 28.84V V C = 12V

8 b) Solamente el resistor puede disipar potencia, la potencia total disipada por el circuito es hallada como: c) La Potencia entregada al circuito por la fuente de corriente es: Donde V 1 = V C =12V es el voltaje a través de la fuente de corriente y θ 1 es el ángulo de fase entre V 1 y I La Potencia entregada al circuito por la fuente de voltaje es similarmente entregada como: Donde I 2 es la corriente a través de la fuente de voltaje y θ 2 es el ángulo de fase entre E y I 2 Como se espero la Potencia entregada al circuito deberá ser la suma: 8

9 Ejemplo3. Considere el circuito de la figura: a) Determinar la expresión general para V en términos de I b) Calcular V si I= c) Calcular V si I= Solución Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura 9

10 Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura Por superposición, la expresión general para el voltaje es determinado por: V = 4.8V ΩI b) Si I= V = 4.8V 180 c) Si I= V = 5.367V

11 TEOREMA DE THEVENIN 11

12 EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN Ejemplo5. Encuentre el circuito equivalente de thevenin externo a Z L para el circuito de la figura: 12

13 Solución Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga Z L y poniendo la fuente de voltaje a cero, tenemos el circuito de la figura: La fuente de voltaje es remplazada con un corto circuito Pasos 3: La impedancia de Thevenin entre terminales a y b es encontrado como: Z Th = 17.89Ω = 8Ω+ j16ω Pasos 4: El voltaje de Thevenin es encontrado usando la regla del divisor de voltaje como se muestra en el circuito de la figura: E Th = V = 17.89V ab 13

14 Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura: Ejemplo 6. Determine el circuito equivalente de thevenin externo a Z L en el circuito de la figura: 14

15 Pasos 1 : Removiendo la rama conteniendo Z L, tenemos el circuito de la figura: Pasos 2 : después de colocar las fuentes de voltaje y corriente a cero, tenemos el circuito de la figura: La fuente de voltaje es remplazada con un corto circuito La fuente de corriente es remplazada con un circuito abierto Pasos 3: La impedancia de Thevenin es encontrada como: Z Th = 26.83Ω

16 Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes, consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema de superposición. Reinsertando solamente la fuente de voltaje en el circuito original como muestra en la figura, hallamos el voltaje V ab(1) aplicando la regla del divisor de voltaje. V ab ( 1) = 44.72V Ahora, considerando solamente la fuente de corriente como se muestra en la figura, determinamos V ab(2) por la ley de ohm; V ab( = 53.67V ) 16

17 De el teorema de superposición, el voltaje de thevenin es determinado como: E Th = 56.90V Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura: 17

18 TEOREMA DE NORTON 18

19 EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN 19

20 Ejemplo 7. Dado el circuito de la figura, encontrar el equivalente de Norton: Solución Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga Z L y poniendo la fuente de voltaje a cero, tenemos el circuito de la figura: 20

21 Pasos 3: La impedancia de Norton puede ahora ser determinada por evaluación de la impedancia entre los terminales a y b por lo tanto tenemos: Z N = 17.89Ω = 8Ω+ j16ω Pasos 4: Reinsertando la fuente de voltaje; encontramos la corriente de Norton calculando la corriente entre los terminales cortocircuitados a y b: Porque el resistor R=40Ω esta cortocircuitado, la corriente es determinada por las impedancias X L X C como: I N = 1.00A 90 Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura: 21

22 Ejemplo 8. Encontrar el circuito equivalente de Norton externo a R L en el circuito de la figura, euse el circuito equivalente para calcular la corriente I L cuando R L = 0Ω, 400Ω y 2kΩ: Solución Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga Resistor y poniendo las fuentes a cero, tenemos el circuito de la figura: Pasos 3: La impedancia de Norton es determinado como: Z N = Ω

23 Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes, consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema de superposición para evaluar la fuente de corriente de Norton. Reinsertando la fuente de voltaje en el circuito original, vemos de la figura, que la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b es fácilmente encontrado usando la ley de ohm. I ab( = 88.4mA 90 1) Nótese que el inductor esta cortocircuitada El cortocircuito de la fuente de corriente efectivamente remueve toda impedancia como se ilustra en la figura, la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b es dado como sigue: 23

24 Ahora aplicando el teorema de superposición la corriente de Norton es determinado como la suma: Estos componentes están cortocircuitados I N = ma Pasos 5: La circuito resultante equivalente de Norton es mostrado en la figura: 24

25 Del circuito arriba, expresamos la corriente a través de la carga, I L como: I L = 84.12mA I L = 30.92mA

26 TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 26

27 Cuando se aplica a circuitos de C.A, este teorema establece que se proporcionara la máxima potencia a una carga cuando la impedancia de la carga es el conjugado de la impedancia de Thevenin en sus terminales Para alguna impedancia de carga Z L consistente de una resistencia y una reactancia tal como Z L = R L ± jx, la potencia disipada por la carga puede ser determinada como sigue; P = I 2 L R L 27

28 Recordando que la máxima potencia es entregada a la carga cuando: Ejemplo. Determinar la impedancia de la carga Z L tal que sea entregada la máxima transferencia de potencia. 28

29 Solución Expresando la impedancia de Thevenin en su forma rectangular: En orden para entregar la máxima potencia a la carga, la impedancia de carga debe ser el complejo conjugado de la impedancia de Thevenin : La potencia entregada a la carga es ahora fácilmente por: Ejemplo. Para el circuito de la figura, determinar el valor de resistor de carga, R L, para que se pueda ser entregada la máxima potencia a la carga. 29

30 Solución Nótese que la impedancia de carga consiste de un resistor en serie con una capacitancia de μf. entonces la reactancia capacitiva es determinada por la frecuencia, es muy probable que la máxima potencia para este circuito pueda solo ser un máxima relativa, mas bien que la máxima absoluta. Para que la máxima potencia absoluta sea entregada a la carga, la impedancia de la carga necesita ser. la reactancia de el capacitor a una frecuencia de 10 khz será: Porque la reactancia capacitiva no es igual a la reactancia inductiva de la impedancia de Norton. El circuito no entregara la máxima potencia absoluta a la carga. Sin embargo la máxima potencia relativa será entregada a la carga cuando: 30

31 R L = kΩ la figura muestra el circuito con el valor total de la impedancia : la corriente en la carga será: I L = 3.887mA

32 Ahora determinamos la potencia entregada por la carga para las condiciones dadas como: Si aplicamos la ecuación ( 3.887mA)( 1.973k Ω) = 29. mw P L = 82 Encontramos la máxima potencia absoluta 32