Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP U. de Santiago. Corriente directa

Transcripción

1 Corriente directa La corriente alterna es muy útil para transmitir la energía eléctrica, pues presenta menos pérdidas disipativas, y permite una fácil conversión entre voltaje y corriente por medio de los transformadores. Pero practicamente toda la tecnología electrónica utiliza corriente continua o directa para funcionar; por esto es que los enchufes de celulares, televisores, etc, traen incorporado un adaptor que convierte la corriente alterna en directa. A Ley de Ohm Esta ley establece que la diferencia de potencial, o voltaje, es proporcional a la corriente, y su constante de proporcionalidad es la resistencia: V = RI (1) B Leyes de Kirchhoff 1 Ley de corrientes La suma de las corrientes que entran al nodo de un circuito debe ser igual a las que salen: Figura 1. Corrientes entrantes y salientes. Para la Fig.1, se tiene: I 1 + I 2 = I 3 + I 4 En general, considerando a las corrientes entrantes como negativas, se obtiene: n I i = 0 (2) 2 Ley de mallas La suma de las caídas de voltaje (diferencias de potencial) en una circuito cerrado es cero: i=1 V = V 1 + V 2 + V 3 1

2 Figura 2. Malla abcd. La caída de potencial sobre el resistor R 4 no es considerada, pues no está en el circuito cerrado. Con n caídas de potencial, se tiene: n V = V i (3) i=1 C Potencia eléctrica La potencia eléctrica es la velocidad a la que se convierte energía eléctrica a otra forma de energía (térmica, cinética, etc), y se mide en joules, J. En un resistor es igual al producto del voltaje aplicado sobre él y la corriente que lo atraviesa: P = IV (4) D Teorema de Thevenin y teorema de Norton Un circuito que está entre dos terminales puede ser descrito por otro circuito equivalente, más simple. 2

3 (a) Circuito original. (b) Circuito equivalente de Thevenin. (c) Circuito equivalente de Norton. Figura 3. Los circuitos entregan el mismo voltaje y corriente entre los contactos a y b. Estos teoremas solo funcionan con circuitos que consten de fuentes de voltaje, fuentes de corriente y resistencias. La potencia disipada en los circuitos originales y los equivalentes pueden ser diferentes. E Fuerza electromotriz Una batería o generador produce una diferencia de potencial entre sus contactos, creando un campo eléctrico que permite mover cargas eléctricas. Por razones históricas se denomina fuerza electromotriz, y en el SI su unidad es el volt. Una batería real siempre tiene una resistencia interna que disminuye su fem cuando fluye corriente. (a) Circuito de la batería (dentro del rectángulo) con una resistencia r. (b) Batería en circuito abierto Figura 4. Circuito con y sin resistencia R 3

4 La diferencia de potencial entre a y b es V = V a V b ; en la Fig.4a es V = ε Ir, pero en la Fig.4b el circuito está abierto, por lo que la diferencia de potencial es igual a ε (no circula corriente). La diferencia de potencial entre los terminales de la resistencia R es V = V c V d = IR, y es la misma que el voltaje de la batería en la Fig.4a, entonces la fem es: ε = IR + Ir (5) F Resistencia La resistencia eléctrica determina la facilidad con que la corriente fluye a través de un material, y se mide en ohmios, de símbolo Ω. Se le denomina resistencia o resistor al componente eléctrico cuya principal característica es su resistencia. La manera en que se suman las resistencias depende de la configuración del circuito y de la ley de Ohm. En un circuito de resistencias conectadas en serie, la corriente que las atraviesa es la misma, y la resistencia equivalente queda: n V = IR 1 + IR 2 + IR IR n = IR eq R eq = R i (6) i=1 Figura 5. Circuito de resistencias en serie. La resistencia equivalente de un circuito en serie es siempre mayor que la mayor de las resistencias del circuito. En un circuito de resistencias conectadas en paralelo, el voltaje en cada resistencia es igual a V, y la resistencia equivalente es: I = V R 1 + V R 2 + V R V R n = V R eq = 1 R eq n (7) 1 R i i=1 4

5 Figura 6. Circuito de resistencias en paralelo. La resistencia equivalente de un circuito en paralelo es siempre menor que la menor de las resistencias del circuito. G Capacitancia La capacitancia determina la cantidad de carga eléctrica que puede retener un cuerpo, y se mide en faradios, F. La relación entre la diferencia de potencial, la carga eléctrica y la capacitancia es C = Q V. Al componente eléctrico cuya principal característica es la capacitancia se le denomina condensador o capacitor. La cantidad de carga que puede almacenar un capacitor depende de su geometría y de la permitividad eléctrica del material que se encuentra entre las dos placas que lo componen. Al igual que los resistores, la capacidad equivalente de un conjunto de capacitores depende de la configuración del circuito. En un circuito de capacitores en serie, el voltaje de la fuente se reparte entre los capacitores. La fuente extrae cargas negativas desde la placa izquierda del capacitor C 1, y las deja en la placa derecha del capacitor C n. Al terminar el proceso, en la placa izquierda de C 1 hay una carga de +Q, mientras que en la derecha de C n hay una carga de Q; esto hace que en la placa derecha de C 1 haya una carga de Q, en la placa izquierda de C 2 una carga de +Q, etc, hasta llegar a la placa izquierda de C n, con una carga de +Q. Todas las placas derechas tienen la misma carga, Q, y toda placa izquierda tiene una carga de +Q. Se tiene que cumplir entonces que: V = Q C 1 + Q C 2 + Q C Q C n = Q C eq = 1 C eq n (8) 1 C i i=1 5

6 Figura 7. Circuito de condensadores en serie. La capacitancia equivalente de un circuito en serie es siempre menor que la menor de las capacitancias del circuito. En la configuración en paralelo, el voltaje en cada capacitor es igual al de la fuente. La cantidad de carga en cada capacitor es diferente: n Q = C 1 V + C 2 V + C 3 V C n V = C eq V C eq = C i (9) i=1 Figura 8. Circuito de condensadores en paralelo. La capacitancia equivalente de un circuito en paralelo es siempre mayor que la mayor de las capacitancias del circuito. Si entre las placas de un capacitor se coloca un dieléctrico, la capacitancia aumenta. Este aumento no quiere decir que el capacitor puede almacenar más carga, sino que para conseguir la misma carga se requiere un voltaje inferior. Sea κ la constante dieléctrica (igual o mayor que 1), y V 0 el voltaje entre las placas sin dieléctrico: V 0 = κ V C 0 = Q V 0 κc 0 = κ Q V 0 Q V 0 /κ = Q V C = κc 0 6

7 Ejercicios resueltos 1) Si una corriente de 0,6 [A] fluye a través del resistor de la Fig.9 y la fuente de voltaje entrega 12 [V], Cuál es la resistencia del resistor? Figura 9. La corriente circula en el sentido convencional (como si las cargas móviles fueran positivas). R: V = IR R = V I = 12 0, 6 = 20[Ω] 2) Calcular la resistencia de una manta eléctrica que utiliza 9 [A] para transformar 50 [W] en energía. R: V = IR IV = I 2 R = P 9 2 R = 50[W ] R = 0, 62[Ω] 7

8 3) Encontrar la resistencia equivalente del circuito de la Fig.10, con R 1 = 10 [Ω], R 2 = 20 [Ω], R 3 = 30 [Ω] y R 4 = 40 [Ω]. Figura 10. Sistema de resistores en paralelo. R: Se empieza por sumar las resistencias en paralelo, y luego se suman en serie: (a) Circuito en serie. (b) Circuito con resistencia equivalente. Figura 11. Se pasa de un circuito de resistores en paralelo, después uno en serie y finalmente a un único resistor. 8

9 R 12 = R 34 = R 1 R 2 = 6, 67[Ω] R 1 + R 2 R 3 R 4 = 17, 14[Ω] R 3 + R 4 R 12 + R 34 = R eq = 23, 8[Ω] 4) Encontrar la capacitancia equivalente del circuito de la Fig.12, con C 1 =6 [µf], C 2 =8 [µf], C 3 =10 [µf], C 4 =60 [µf] y C 5 =100 [µf]. Figura 12. Circuito de capacitores. R: Se ordena el capacitor C 5, que está en paralelo con el resto. Luego se suman los capacitores en serie: Figura 13. C 5 visto de una forma más conveniente. 9

10 C 12 = C 34 = C 1 C 2 = 3, 4[µF] C 1 + C 2 C 3 C 4 = 8, 6[µF] C 3 + C 4 (a) Circuito con capacitores en paralelo. (b) Circuito con un capacitor equivalente. Figura 14. Se pasa de un circuito de capacitores en paralelo y en serie, después uno en paralelo y finalmente a un único capacitor. Y finalmente se suman los capacitores en paralelo: C 12 + C 34 + C 5 = C eq = 112[µF] 5) Encontrar la relación entre las potencias de los resistores A, B, C y D en el circuito de la Fig.15. Figura 15. Circuito de resistencias en serie y paralelo. 10

11 R: Los resistores en la parte superior del circuito tienen una resistencia conjunta de 6 [Ω], mientras que el resistor en paralelo tiene 3 [Ω], entonces la corriente que lo atraviesa es el doble que en los resistores superiores (I y 2I, respectivamente). La corriente que recorre todo el circuito, y por lo tanto, el resistor D, es 3I. Así, las potencias disipadas por cada resistor son: Figura 16. Corrientes convenientemente elegidas recorren el circuito. P A = 2I 2 [W ] P B = 4I 2 [W ] P C = 12I 2 [W ] P D = 9I 2 [W ] Y la relación entre las potencias es P C > P D > P B > P A. 6) En el circuito de la Fig.17, C 1 =60 [µf], C 2 =20 [µf], C 3 =9 [µf] y C 4 =12 [µf]. Si la diferencia de potencial entre los puntos a y c es 120 [V], cuál es la carga del segundo capacitor?. Figura 17. Capacitores conectados en serie y en paralelo. 11

12 R: Primero se calcula la capacitancia equivalente del circuito: C 12 = C 1 C 2 = 15[µF] C 1 + C 2 C 123 = C 12 + C 3 = 24[µF] C eq = C 123 C 4 = 8[µF] C C 4 Entonces la carga equivalente es Q eq = C eq V ac = 960[µC]. Así, el voltaje entre a y b es: V ab = Q eq C 123 = 40[V] Los capacitores C 1 y C 2 están conectados en serie, entonces tienen la misma carga, y se reparten los 40 [V]: ( 1 V ab = Q + 1 ) C 12 V ab = Q 1 = Q 2 = 600[µC] C 1 C 2 Notar que la carga equivalente, Q eq, no es la carga total almacenada por el circuito. 7) Un aparato eléctrico tiene una fuente de 200 [V] y una resistencia de 16 [Ω]. Cuántos electrones dejan el aparato en una hora?. R: Por la ley de Ohm, se tiene: I = V R = = 12, 5[A] Pero la corriente se puede escribir como I = Q t, donde t es el tiempo en segundos. En una hora hora hay 3600 [s], entonces: I = Q t = Q = 12, 5[A] Y se obtiene una carga de Q = 45000[C]. Un electrón tiene una carga de 1, [C], entonces la cantidad de electrones que dejan el aparato en una hora es: , = 2, electrones 8) En un secador de pelo, una carga de 350 [C] es impulsada por un voltaje de 20 [V] por 4 minutos. Cuánta potencia se transforma?. R: El secador de pelo se puede considerar una resistencia, entonces: P = IV = V Q t 350 = 20 = 29, 2[W]

13 9) Encontrar el circuito equivalente de Thevenin del siguiente circuito. Figura 18. Circuito a simplificar. R: Por R 3 no pasa corriente, entonces el voltaje entre A y B (voltaje de Thevenin) será el mismo voltaje que en R 2 : 48[V] 16[kΩ] = 3[mA] V T H = 4[kΩ] 3[mA] = 12[V] Figura 19. Corriente que recorre el circuito. La resistencia de Thevenin es la resistencia equivalente desde el punto de vista de A y B con la fuente de voltaje en cortocircuito: R T H = = 11[kΩ] 13

14 Figura 20. No hay fuente de voltaje y la resistencia equivalente se calcula de derecha a izquierda. Y finalmente se tiene el circuito equivalente de Thevenin, con V T H = 12 [V] y R T H = 11 [kω]. Figura 21. Circuito de Thevenin. 10) Encontrar el circuito equivalente de Norton del siguiente circuito. Figura 22. Circuito a simplificar. 14

15 R: Se cortocircuita entre A y B para hallar la corriente total que recorre el circuito. R T = = 4[Ω] I T = V R T = 12 4 = 3[A] Con la ley de mallas, e I T repartiéndose entre las resistencias de 6 [Ω] y 3 [Ω], se tiene: (I T I N )R 2 I N R 3 = 0 I T R 2 R 2 + R 3 = I N = 2[A] Figura 23. Corrientes en función de la corriente de Norton. Para hallar la resistencia de Norton, se cortocircuita la fuente de voltaje, y se calcula la resistencia equivalente desde el punto de vista de A y B: R N = = 4, 5[Ω] Figura 24. Cálculo de la de resistencia de Norton. 15

16 Finalmente se tiene el circuito equivalente de Norton. Figura 25. Circuito equivalente de Norton. 11) Calcular el voltaje de salida, V out, y el valor que debería tener R 4 para que V out sea cero en el circuito de la Fig.26, conocido como puente de Wheatstone. Figura 26. Puente de Wheatstone. R: La corriente que pasa por R 1 y R 2 es: I 1 = V = 100 = 0, 5[A] R 1 + R Entonces el voltaje en el punto C es V C = 120 0, 5 = 60[V]. La corriente que pasa por R 3 y R 4 es I 2 = 0, 15625[A], y el voltaje en el punto D es V D = 160 I 2 = 25[V]. La diferencia de potencial entre el punto D y C es: V C V D = V out = 35[V] 16

17 Para balancear el circuito, hay que hacer que V out sea cero, variando R 4. Aplicamos la ley de corrientes en el segmento de las resistencias, con una resistencia entre los puntos C y D, por lo que encontramos las siguientes relaciones: I 3 I 4 + I out = 0 I 1 I 2 I out = 0 Figura 27. Corrientes que circulan con una resistencia entre los puntos C y D, para permitir el paso de la corriente I out. Aplicando ahora la ley de mallas, se obtiene: I 3 R 3 I out R out I 1 R 1 = 0 I 4 R 4 I 2 R 2 + I out R out = 0 Cuando el puente (conexión de C y D) está balanceado, entonces I out = 0, entonces I 3 = I 4 e I 1 = I 2, y R 4 pasa a ser R 4: I 3 R 3 = I 1 R 1 I 4 R 4 = I 2 R 2 R 4 = R 2I 2 I 3 R 3 R 1 I 1 I 4 = R 3R 2 R = R 4 = 720[Ω] 17

18 12) Tres capacitores, de capacitancia C 1 =2 [µf], C 2 =5 [µf] y C 3 =7 [µf], son cargados por separado, por unos instantes, con una batería de 36 [V]. Las baterias son retiradas y los capacitores son conectados en un circuito cerrado en serie, como en la Fig.28. a) Cuál será la carga final de cada capacitor? b) Cuál será el voltaje entre los puntos P y P? Figura 28. Circuito armado luego de la carga de cada capacitor. R: a) La carga inicial en cada capacitor es: q 1 = C 1 V = 72[µC] q 2 = C 2 V = 180[µC] q 3 = C 3 V = 252[µC] La carga se conserva, entonces debe haber una relación entre q 1, q 2 y q 3 y las cargas en cada capacitor al redistribuirse en el circuito, Q 1, Q 2 y Q 3 : q 1 q 2 = Q 1 Q 2 q 2 + q 3 = Q 2 + Q 3 q 1 + q 3 = Q 1 + Q 3 El voltaje entre P y P se puede expresar en términos de C 3 y Q 3, o en términos de C 1, C 2, Q 1 y Q 2 : Con Q 1 = q 1 + q 3 Q 3 y Q 2 = q 2 + q 3 Q 3, se obtiene: V P P = Q 3 C 3 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 V P P = q 1 + q 3 Q 3 C 1 + q 2 + q 3 Q 3 C 2 18

19 Pero el voltaje entre P y P se puede expresar en términos del capacitor C 3, entonces: Q 3 = q 1 + q 3 Q 3 + q ( 2 + q 3 Q 3 1 Q ) = q 1 + q 3 + q 2 + q 3 C 3 C 1 C 2 C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 Sustituyéndo los valores conocidos, se tiene que: = Q 1 = 29[µC] = Q 2 = 137[µC] Q 3 = 295[µC] b) El voltaje entre P y P será simplemente: V P P = Q 3 = 295 = 42, 1[V] C ) En la Fig.29 todos los resistores tienen una resistencia de 4 [Ω] y todas las fuentes de voltaje son ideales y entregan una fem de 4 [V]. Cuál es la corriente a través del resistor R?. Figura 29. Circuito laberinto. R: Para evitar la enorme matriz que resulta de todas las mallas del circuito, es mejor buscar un camino que contenga solo fuentes de voltaje y la resistencia R, como el de la Fig

20 Figura 30. La salida. De esto resulta que: 4[V] + 4[V] + 4[V] 4[V] 4[Ω] = 2[A] La última fuente de voltaje tiene una polaridad inversa con respecto a las demás en el recorrido, de ahí su signo negativo. A 14) La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es C = κε 0 d. Se construye un capacitor de placas paralelas utlizando tres materiales dieléctricos, como se muestra en la Fig.31. Suponer que l >> d. a) Encuentre una expresión para la capacitancia del dispositivo en términos del área de placa A y d, κ 1, κ 2 y κ 3. b) Calcule la capacitancia utilizando los valores A=1 [cm 2 ], d=2 [mm], κ 1 = 4, 9, κ 2 = 5, 6 y κ 3 = 2, 1. Figura 31. Capacitor compuesto. 20

21 R: a) La capacitancia de cada material es: C 1 = κ 1 ε 0 A/2 d C 2 = κ 2 ε 0 A/2 d/2 C 3 = κ 3 ε 0 A/2 d/2 A cada segmento le corresponde la mitad del área total, y además κ 2 y κ 3 solo tienen la mitad de la separación d. κ 1 está en paralelo con κ 2 y κ 3, y estos últimos están conectados en serie, entonces se obtiene: ( C 2 C 3 ( 1 C C 2 C 3 ) 1 = C 2 C 3 = ε ( ) 0A κ2 κ 3 C 2 + C 3 d κ 2 + κ 3 ( κ1 2 + κ ) 2κ 3 κ 2 + κ 3 ) 1 = C = ε 0A d b) Reemplazando[ los valores, transformando el área y distancia a unidades SI, A = 10 4 [m 2 ] y d = [m], y con ε 0 = 8, C 2 Nm ], se obtiene: 2 1, [F] = C = 1, 76[pF] 15) Un circuito forma un cubo con un resistor en cada arista con una corriente I entrando por un vertice y saliendo por el vertice opuesto, como en la Fig.32. a) Con argumentos de simetría, mostrar que la corriente que pasa por cualquier resistor es I 3 o I 6. Todos los resistores tienen la misma resistencia r. b) Mostrar que la resistencia equivalente entre los puntos a y b es 5r 6. Figura 32. Circuito de resistores en 3-D. 21

22 R: a) El circuito está en 3-D, por lo que es difícil de visualizar. Lo que hay que notar es que por cada una de las tres aristas que se intersectan en el punto a debe pasar una corriente de I 3, la misma que fluye por cada una de las aristas que se intersectan en el punto b. También notar que cada una de las tres aristas que salen de a se dividen en dos aristas, y como todas las resistencias son iguales, por cada una de ellas debe fluir una corriente de I 6. Es más simple verlo así : Figura 33. Corrientes que circulan por cada arista. b) Las resistencias por las que pasa la misma corriente están en paralelo; o sea, hay un grupo de seis resistencias r en paralelo, y dos grupos de tres resistencias en paralelo: Figura 34. Configuración de las resistencias en el cubo. 22

23 ( 1 ) 1 = r r + 1 r + 1 r + 1 r + 1 r + 1 r 6 ( 1 r + 1 r + 1 ) 1 = r r 3 ( 1 r + 1 r + 1 ) 1 = r r 3 Los tres grupos están conectados en serie, entonces se tiene que la resistencia equivalente de todo el circuito es: R = 5r 6 (a) Resistencias en serie. (b) Resistencia equivalente. Figura 35. De resistencias en serie a una resistencia equivalente 23