5.3 La energía en los circuitos eléctricos.

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1 CAPÍTULO 5 Corriente eléctrica y circuitos de corriente continua

2 Índice del capítulo Corriente eléctrica. 5.2 esistencia y la ley de Ohm. 5.3 La energía en los circuitos eléctricos. 5.4 Asociaciones de resistencias. 5.5 eglas de Kirchhoff Circuitos it C.

3 5.1 Corriente eléctrica La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal: Q t I Figura 5.1: Segmento de un hilo conductor portador de corriente. Si Q es la cantidad La unidad d dlsi del de intensidad id dde corriente es el de carga que fluye a través del área amperio (A): 1 A 1C/s. transversal A en el tiempo t, la corriente que atraviesa A es I Q/ t. En el movimiento de los electrones libres en un conductor en presencia un campo eléctrico, éstos posee una pequeña velocidad media llamada velocidad de desplazamiento (v d ). La corriente se puede expresar como (ver figura 5.2): Figura 5.2: En el tiempo t todas las cargas Q en el volumen sombreado pasan a través de A. I nqav d Si existen n portadores de carga por unidad de t volumen, cada una de carga q, la carga total donde n es el número de portadores por unidad de este volumen es Q qnav d t, donde v d es de volumen. la velocidad de desplazamiento.

4 5.1 Corriente eléctrica Ejemplo 5.1: Cuál es la velocidad de desplazamiento en un alambre de cobre típico de radio mm que transporta una corriente de 1 A, suponiendo que existe un electrón libreporátomo? Solución: 3.54 x 10 2 mm/s. Si los electrones se mueven tan lentamente por el cable, cómo puede ser que la luz eléctrica surjainstantáneamente al cerrarel el interruptor? Ejemplo 5.2: En un acelerador de partículas, un haz de protones de 5 MeV y radio 1.5 mm transporta una corriente de intensidad 0.5 ma. (a) Determinar la densidad de protones del haz. (b) Al incidir el haz contra el blanco, cuántos protones chocan contra éste en un segundo? Solución: (a) 1.43 x protón/m 3 ; (b) 3.13 x protones.

5 5.2 esistencia y la ley de Ohm La figura 5.3 muestra un segmento de cable de longitud L y de sección transversal A por el cual circulauna una corriente I. Como el campo eléctrico está siempre dirigido de las regiones de mayor potencial a las regiones de menor potencial, el potencial en el punto a es mayor que en el punto b. Si consideramos la corriente como flujo de cargas positivas, estas cargas se mueven en el sentido en el que el potencial decrece. Suponiendo que el campo eléctrico E es constante, la diferencia de potencial V entre los puntos a y b es: V V a V b E L. El cociente entre la caída de potencial y la corriente se llama resistencia (): V I Figura 5.3: Segmento de alambre portador de una corriente I. La diferencia de potencial está relacionada con el campo eléctrico por la expresión V a V b E L. La unidad del SI de resistencia se llama ohmio (Ω): 1 Ω 1 V/A. Para muchos materiales, la resistencia no depende de la caída de voltaje o de la intensidad id d( (materiales óhmicos): V I ( constante) [La ley de Ohm]

6 5.2 esistencia y la ley de Ohm En los materiales no óhmicos la resistencia depende de la corriente I, de modo que V no es proporcional a I. La resistencia de un alambre conductor es proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal: L ρ A Figura 5.4: Gráficos de la corriente en función del voltaje para (a) materiales óhmicos y (b) materiales no óhmicos. siendo ρ la resistividad que depende del material (ver tabla 5.1 en la siguiente página). La resistividad de cualquier material depende de la temperatura (ver figura 5.5). Esta dependencia es prácticamente lineal. Figura 5.5: Gráfico de la resistividad en función de la g G f f temperatura para el cobre. Nótese la relación prácticamente lineal.

7 5.2 esistencia y la ley de Ohm Tabla 5.1: esistividades de diversos materiales a temperatura ambiente. Material esistividad ρ a 20 o C(Ωm) Plata 1.6 x 10 8 Cobre x Aluminio 2.8 x 10 8 Tungsteno 5.5 x 10 8 Hierro 10 x 10 8 Plomo 22 x 10 8 Mercurio 96 x 10 8 Carbono 3500 x 10 8 Germanio 0.45 Silicio 640 Madera Vidrio Ámbar 5 x Azufre 1 x Tabla 5.2: Diámetros y secciones transversales de alambres típicos de cobre. Calibre Diámetro a Área 20 o C (mm) (mm 2 )

8 5.2 esistencia y la ley de Ohm Ejemplo 5.3: Un cable de nicrom (ρ 10 6 Ω m) tiene un radio de 0.65 mm. Qué longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de Ω? Solución: 2.65 m. Ejemplo 5.4: Calcular la resistencia por unidad de longitud de un cable de cobre de calibre 14. Solución: 8.17 x 10 3 Ω/m. Ejemplo 5.5: Determinar el valor del campo eléctrico en un cable de cobre de calibre 14 cuando éste transporta una corriente de 1.3 A. Solución: 1.06 x 10 2 V/m.

9 5.3 La energía en los circuitos eléctricos Cuando una corriente circula a lo largo de un conductor, se produce una disipación constante de energía en forma de calor que se conoce con el nombre de efecto Joule. La energía perdida por unidad de tiempo es la potencia P disipada en un segmento del conductor: P IV Figura 5.6 donde V es la caída de potencial en ese segmento. Esta potencia se puede expresar de diversas formas: P IV I 2 2 V Ejemplo 5.6: Una resistencia de 12 Ω transporta una corriente de 3 A. Determinar la potencia disipada en esta resistencia. Solución: 108 W.

10 5.3 La energía en los circuitos eléctricos FEM y baterías: Un aparato o dispositivo que suministra energía eléctrica recibe el nombre de fuente de fem. Una fuente de fem realiza trabajo sobre la carga que pasa a su través. Este trabajo por unidad de carga recibe el nombre de fem de la fuente. La unidad de fem es el voltio. Una batería ideal una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales. El ritmo con el que una fuente de fem suministra energía es la potencia de salida: Figura 5.7: Circuito eléctrico simple formado por una batería, una resistencia y cables de conexión. P Qξ ξi t Figura 5.8: Fotografía de un circuito simple formado por una batería real, una resistencia y los cables de conexión.

11 5.3 La energía en los circuitos eléctricos En una batería real la diferencia de potencial entre los bornes de la batería, denominada tensión en los bornes, no es simplemente igual al valor de la fem de la batería. Una batería real puede considerarse como una batería ideal másuna pequeña resistencia r, denominada resistencia interna de la batería. Considerando el circuito de la figura 5.10: V a V b ξ Ir I ξ + r Figura 5.9: Tensión en los bornes V en función de I para una batería real. La línea de puntos muestra la tensión en el caso de una batería ideal. Figura 5.10: Una batería real puede representarse por una batería ideal y una pequeña resistencia r.

12 5.3 La energía en los circuitos eléctricos Ejemplo 5.7: Tenemos una batería de una determinada fem y una resistencia interna r. Qué valor de la resistencia externa debemos conectar entre los bornes para obtener la máxima potencia en la resistencia? Solución: r (ver figura 5.11). Figura 5.11: La potencia suministrada entre los extremos de la resistencia es máxima si r.

13 5.4 Asociaciones de resistencias esistencias en serie: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la figura 5.12(a) es la suma de las caídas de potencial a través de las resistencias individuales: La resistencia equivalente es: V I + I I( + ) eq Cuando hay más de dos resistencias en serie: eq Figura 5.12: (a) Dos resistencias en serie transportan la misma corriente.(b) Las resistencias de la figura (a) g () p () fg () pueden substituirse por una sola resistencia equivalente eq que proporciona la misma caída de potencial total cuando circula la misma corriente que en (a).

14 5.4 Asociaciones de resistencias esistencias en paralelo: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la figura 5.13(a) es la misma y la corriente total es la suma de las corrientes que circulan porcada una de lasresistencias: La resistencia equivalente es: V I eq I2 y I I1 I 2 Cuandohaymásdedosresistenciasen de dos en serie: eq Figura 5.13: (a) Dos resistencias están conectadas en paralelo cuando se conectan juntas en ambos g () p j extremos, de modo que la caída de potencial es la misma a través de cada una de ellas. (b) Las resistencias de la figura (a) pueden substituirse por una sola resistencia equivalente 1/ eq 1/ 1 + 1/ 2.

15 5.4 Asociaciones de resistencias Ejemplo 5.8: Considere el circuito de la figura Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la intensidad total de la corriente, (c) la corriente que circula por cada resistencia, (d) la potencia disipada en cada resistencia y (e) la potencia suministrada por la batería. Ejemplo 5.9: Considere el circuito de la figura Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la corriente que circula por el circuito, (c) la caída de potencial a través de cada resistencia, (d) la potencia disipada en cada resistencia y (e) () la potencia total disipada. Figura 5.14 Figura 5.15 Ejemplo 5.10: Considere el circuito de la figura Determinar (a) la resistencia equivalente del circuito y (b) la corriente que circula por cada una de las resistencias y su correspondiente caída de potencial. Figura 5.16

16 5.5 Las reglas de Kirchhoff Existen muchos circuitos simples, tales como el de la figura 5.17,que no pueden analizarse meramente reemplazando combinaciones de resistencias por una resistencia equivalente. Existen dos reglas, llamadas reglas de Kirchhoff, que se aplican a éste y a cualquier otro circuito: Figura La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o malla del circuito debe ser igual a cero. 2. En un punto o nudo de ramificación de un circuito en donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. La primera regla, llamada regla de las mallas, es una consecuencia de que el campo eléctrico es conservativo. La segunda regla, llamada regla de los nudos, se dd deduce de la conservación de la carga (ver figura 5.18): I I + Figura I3 [eglas de Kirchhoff]

17 5.5 Las reglas de Kirchhoff Circuitos de una sola malla: Como ejemplo de la aplicación de la primera regla de Kirchhoff consideramos el circuito de la figura Deseamos determinar la corriente en función de las fems y resistencias: I 1 I2 ξ2 I3 + ξ1 Ir1 I 1 + ξ ξ r1 + r2 0 Figura 5.19: Circuito formado por dos baterías y tres resistencias.

18 5.5 Las reglas de Kirchhoff Ejemplo 5.11: Considere el circuito de la figura (a) Hallar los potenciales en los puntos a hasta e indicados en la figura suponiendo que el potencial en el punto e es cero. (b) Determinar la potencia de entrada y de salida del circuito. Figura 5.20 Ejemplo 5.12: Una batería de automóvil totalmente cargada se conecta mediante cables a otra batería descargada para proceder a su carga. (a) A qué borne de la batería débil debemos db conectar el borne positivo de la batería cargada? (b) Suponer que ésta tiene una fem de 12 V mientras que la débil tiene una fem de 11 V, que las resistencias i internas de las baterías son r 1 r Ω y que la resistencia de los cables es 0.01 Ω. Cuál será la corriente de carga? (c) Y si las baterías se conectan incorrectamente, cuál sería la corriente? Figura 5.21

19 5.5 Las reglas de Kirchhoff Circuitos de múltiples mallas: Para cada rama del circuito dibujamos una flecha indicando el sentido positivo de la corriente. La diferencia de potencial entre los extremos final e inicial de una determinada resistencia es igual a I, y entre el inicial y final es I. Ejemplo 5.13: (a) Determinar la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figura (b) Calcular la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4 Ω. Figura 5.22: Circuito del ejemplo Figura 5.23: Solución del ejemplo 5.13.

20 5.5 Las reglas de Kirchhoff Ejemplo 5.14: (a) Determinar la intensidad de la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figura Dibujar el diagrama del circuito con los valores absolutos y los sentidos de la corriente en cada una de las partes. (b) Asignar V 0 en el punto c y después especificar el potencial en cada uno de los puntos de a a f respecto de aquel. Planteamiento y solución: ver figuras 5.25 y Figura 5.24 Figura 5.25 Figura 5.26

21 5.5 Las reglas de Kirchhoff Amperímetros, voltímetros t y ohmímetros: Figura 5.27: Para medir la corriente que circula por una resistencia se coloca un amperímetro en serie con ella, de tal modo que por él circula la misma corriente que por la resistencia. Figura 5.28: Para medir la caída de tensión entre los extremos de Figura 5.29: Un amperímetro se una resistencia se coloca un compone de un galvanómetro cuya voltímetro en paralelo con ella, de resistencia es g y una resistencia modo que las caídas de potencial a pequeña en paralelo p. (b) Un través del voltímetro y la voltímetro se compone de un resistencia sean las mismas. galvanómetro y una resistencia grande en serie s. Figura 5.30: (a) Ohmímetro formado por una batería en serie con un galvanómetro y una resistencia s. (b) () Cuando una resistencia se sitúa entre a y b, la aguja del galvanómetro se desvía en una cantidad que depende del valor de.

22 Descarga de un condensador: 5.6 Circuitos C Q C + dq dt 0 Figura 5.31: Circuito C. Q Q ( t ) Q e e C t / C t / τ 0 t / C t /τ 0 Q 0 e y I ( t ) e I 0e Figura 5.32: Carga como función del tiempo en el proceso de descarga de un condensador en un circuito C. Figura 5.32: Corriente como función del tiempo en el proceso de descarga de un condensador en un circuito C.

23 Carga de un condensador: 5.6 Circuitos C Q( t) ξ Q C dq dt Cξ (1 e 0 t / C ) Q f (1 e t / τ ) Figura 5.34: Circuito C con batería. y I( t) ξ e t / C I 0 e t / τ Figura 5.35: Carga como función del tiempo en el proceso de carga de un condensador en un circuito C con una batería. Figura 5.36: Corriente como función del tiempo en el proceso de carga de un condensador en un circuito C con una batería.

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