Procesos transitorios y frecuencia compleja

Transcripción

1 Procesos transitorios y frecuencia compleja Objetivos 1. Comprender y familiarizarse con los procesos transitorios en circuitos de primer orden estimulados con corriente alterna, aplicando el método clásico ya conocido, con la realización del análisis físico en las diferentes situaciones. 2. Establecer el concepto de frecuencia compleja y aplicarlo al análisis circuital. Sumario: a) Respuesta transitoria del circuito RL en un circuito con estímulo de corriente alterna b) Frecuencia compleja y su aplicación al análisis circuital. Bibliografía básica Texto. Análisis de Circuitos en Ingeniería William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 14. Epígrafes 14.1, 14.2 y 14.3 Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción Se han analizado circuitos en estado estable de corriente alterna. Esto es, se ha supuesto implícitamente que las conmutaciones ocurrieron hace mucho tiempo por lo cual el circuito se encuentra en estado estable de corriente alterna, y se ha aplicado el método fasorial. Este método tiene la gran ventaja de permitir realizar cálculos en el circuito con ecuaciones algebraicas de manera relativamente sencilla. Cómo calcular un proceso transitorio con estímulo de corriente alterna? Se analizará al caso de circuitos de primer orden o sea con un solo elemento almacenador de energía. Otros estímulos de importancia en la práctica son los exponenciales y los cosenos (senos) que crecen o disminuyen exponencialmente, entre otros. Se ampliará el concepto de frecuencia, con vistas a poder analizar, con técnicas similares a las ya conocidas en el método fasorial, circuitos con estímulos del tipo u(t) = U m e σt cos (ωt +θ) o i(t) = U m e σt. Si se desea analizar el circuito en estos casos será posible generalizar el método fasorial para incluirlos? Se verá que la respuesta es afirmativa. 1

2 a) Respuesta transitoria del circuito RL en un circuito con estímulo de corriente alterna. Se estudió que la expresión general para analizar un circuito de primer orden es útil cuando porque existe un circuito equivalente de estado estable. Se supone un circuito serie RL con estímulo de corriente alterna u(t) =U m cos (ωt + θ), y el interruptor k abierto. Al cerrarse k en t =0, se produce un proceso transitorio que transcurre hasta que el sistema alcanza el estado estable. Si el estímulo es sinusoidal, es posible obtener un circuito equivalente para t, calcular la componente forzada fasorialmente y luego pasarla al dominio del tiempo. El procedimiento es el mismo que se estudió. Es muy fácil la solución del circuito utilizando circuitos equivalentes en lugar de resolver la ecuación diferencial, como se analizó, lo cual siempre es posible para corriente directa y corriente alterna. Ejemplo 1 En el circuito RL mostrado con anterioridad, calcule la corriente i(t) Solución: + + t / 1) Cuál es la forma general de la respuesta? χ( t) = [ χ(0 ) χ F (0 )] e τ + χ F ( t) Donde χ puede ser cualquier variable (corriente o tensión). Forma general de la respuesta: i(t) = {i(0 + ) i F (0 + ) }e -t/ τ + i F (t ) (1) La corriente total (respuesta completa) se puede expresar como la suma de la corriente transitoria (componente natural) y la corriente de estado estable (componente forzada). Depende la forma de la componente transitoria del estímulo aplicado? La forma de la componente transitoria no depende de la forma del tipo de estímulo aplicado. Se trata en este caso de un circuito de primer orden y por tanto la respuesta natural es una exponencial decreciente. En qué circuito equivalente se calcula cada parte de la respuesta? 2) Circuito equivalente en t = 0 se calculan las variables que cumplen continuidad i(0- )? Como el interruptor está abierto i(0 - ) = 0 i(0+)? i(0-) = i(0 + )= 0 Por qué? 3) Circuito equivalente en t > 0 Qué se calcula? 3.1) Circuito equivalente en t = 0 + las variables que no cumplen continuidad 3.2) Cálculo de la constante de tiempo τ τ para un circuito RL? τ para uno RC? Cómo hallar la resistencia equivalente si el circuito es ramificado? R equivalente de Thévenin en los terminales del elemento almacenador. En este caso la constante de tiempo es τ = L/R Sustituyendo en la expresión general (1): i(t) = i F (0 + ) e -t/ τ + i F (t ) (2) 2

3 4) Circuito equivalente en t se calculan las componentes forzadas que dependen del estímulo Para calcular la componente forzada hay que representar el circuito en el estado estable. Como el estímulo es sinusoidal, se hace el circuito en el dominio de la frecuencia, en el cual el inductor presenta una reactancia, no es un cortocircuito como en la directa. Representando el circuito en el dominio de la frecuencia, se calcula la respuesta forzada por el método fasorial. Trabajando con fasores amplitud: I mf = U m / Z = U m θ / z ϕ = U m /z θ - ϕ Pasando el fasor al dominio del tiempo: i F (t) = I mf cos (ωt + θ - ϕ) Evaluando en t = 0 + i F (0 + ) = I mf cos (θ - ϕ) Sustituyendo en (2): i(t) = I mf cos ( θ - ϕ) e - t/ τ + I mf cos (ωt + θ - ϕ) (3) Resumen: Resaltar el procedimiento que es el mismo utilizado con estímulo de corriente directa. Lo nuevo es el cálculo de la componente forzada. Se analizarán algunos casos particulares, donde la presencia de transformadores, motores de inducción y otros equipos hacen que los circuitos sean muy inductivos. Ejemplo 2 En el circuito de la figura: a) u(t)= 100cos(10 3 t ) V b) u(t)= 100cos(10 3 t) V En cada caso calcular la corriente i(t) y dibujar sus gráficos. Suponga L = 100 mh y R = 1Ω Solución: T = 2π/ 1000 s T = 6,28 ms es un período τ = 100ms T >> τ proceso transitorio lento a) Si en t = 0 cuando se cierra el interruptor se obtiene u (0) = 0, para lo cual en la función coseno ocurre cuando θ =90 0 y θ - ϕ = 0 entonces: 0 i(t) = I mf cos (0 0 ) e - t/ τ + I mf cos (ωt +0 0 ) = i(t) = I mf e - t/ τ + I mf cos (ωt) y ocurre un proceso transitorio fuerte ya que en t = T/2 donde T es el período de la componente forzada, la corriente del circuito es: i(t) I mf + I mf cos (π) = -2 I mf Durante varios instantes después de la conmutación la amplitud de la corriente duplica el valor de la amplitud de estado estable, lo cual puede ser dañino para el circuito. 3

4 El transitorio más peligroso ocurre, por tanto, cuando la tensión de la fuente es cero al producirse una interrupción. a) Obtenga Z = 1 + j100 Ω Aplicando el método fasorial para el estado final estable: I mf = 1 0,6 0 A τ = 0,1s i(t) = - e -10t + cos(10 3 t + 0,6 0 ) A Clasifique tipo de transitorio: peligroso o no? En t = π/ 1000 s semi- período i(t) = - e -10 / 1000 π + cos(π + 0,6 0 ) A = - 2 A la corriente en este instante prácticamente duplica a la amplitud. Si es peligroso. b) Circuito muy inductivo (X L >> R, ϕ 90 0 ) cuando: Si en t = 0 cuando se cierra el interruptor se obtiene u(0) = U m, donde el valor de θ depende de que la función sea seno o coseno. En este caso ocurre cuando θ = 0 0, pues la función es coseno. Entonces: i(t) = I mf cos ( 90 0 ) e - t/ τ + I mf cos (ωt ) = I mf sen (ωt) y no ocurre el proceso transitorio. b) u(0) = U m = 100 V I mf = / 1 + j100 Ω = 1 89,43 0 A i F = cos(10 3 t - 89,43 0 ) A i F (0) = cos( - 89,43 0 ) = - 0,01 A i(t) = - 0,01 e -10t + cos(10 3 t - 89,43 0 ) A El proceso transitorio no ocurre prácticamente pues la amplitud de la componente transitoria es muy pequeña. Se reitera que estos casos particulares son de gran importancia ya que por la presencia de motores, transformadores y otros equipos con enrollados, los circuitos suelen ser muy inductivos ocurriendo transitorios muy intensos que se deben ser previstos. b) Frecuencia compleja y su aplicación al análisis circuital. Se iniciará otra parte fundamental del estudio del análisis de los circuitos: el concepto de frecuencia compleja. Este es un concepto que unifica y permite integrar todas las técnicas de análisis que se han explicado: el análisis de circuitos resistivos, el análisis sinusoidal en estado estable o permanente, el análisis transitorio en corriente directa y en corriente alterna con el cálculo de la respuesta forzada y la respuesta completa y en corriente alterna en el Epígrafe 10.4, Función forzada compleja, se realiza el análisis de circuitos con estímulos exponenciales. Estos estímulos exponenciales y los cosenos (senos) que crecen o disminuyen exponencialmente, son de importancia en la práctica y el análisis de circuitos que 4

5 los tengan, se volverán en su totalidad casos particulares de las técnicas generales del análisis de circuitos que se asocian con el concepto de frecuencia compleja. El texto demuestra que el método fasorial se puede extender para estímulos del tipo u(t) = U m e σt cos (ωt +θ), el cual incluye como casos particulares los siguientes: σ > 0 ω 0 exponencial creciente *coseno σ < 0 ω 0 exponencial decreciente *coseno σ = 0 ω 0 coseno ω = 0 σ > 0 exponencial creciente ω = 0 σ < 0 exponencial decreciente ω = 0 σ = 0 corriente directa Se ampliará el concepto de frecuencia, con vistas a poder analizar, con técnicas similares a las ya conocidas en el método fasorial, circuitos con estos estímulos. El método fasorial se puede extender a este tipo de estímulo. estímulo * u(t) = U m cos (ωt +θ) u(t) = U m e σt cos (ωt +θ) fasor eficaz U = U θ U = U θ frecuencia Frecuencia angular ω frecuencia compleja s= σ +j ω impedancia Z Resistor R Inductor jωl Capacitor - j/ωc Z Resistor R Inductor sl Capacitor 1/sC =1/jωC Respuesta forzada en estado estable ** I = I φ i(t) = I m cos (ωt +φ ) *suponiendo el estímulo una tensión I = I φ i(t) = I m e σt cos (ωt + φ) **suponiendo la respuesta una corriente Conclusiones Se estudió que la expresión general para analizar un circuito de primer orden es útil cuando existe un circuito equivalente de estado estable. Si el estímulo es sinusoidal, es posible obtener un circuito equivalente para t, calcular la componente forzada fasorialmente y luego pasarla al dominio del tiempo. El procedimiento es el mismo estudiado. Es muy fácil la solución del circuito utilizando circuitos equivalentes en lugar de resolver la ecuación diferencial, como se ha visto, lo cual siempre es posible para corriente directa y corriente alterna. Los casos particulares que por la presencia de motores, transformadores y otros equipos con enrollados, los circuitos suelen ser muy inductivos ocurriendo transitorios muy intensos que se deben ser previstos. 5

6 El concepto de frecuencia compleja unifica y permite integrar todas las técnicas de análisis que se han explicado. Analizar el Ejemplo 14.1 del texto, página 498 sobre frecuencia compleja, haciendo el circuito con los elementos en el dominio de la frecuencia compleja s, lo cual se verá cuando se aplique la transformada de Laplace para el análisis de los circuitos. En el circuito transformado plantee directamente la expresión de la corriente como I = o / {2 + 3s + 10/s} = o A. Orientaciones para el trabajo independiente Estudiar la bibliografía señalada. Capítulo 14. Epígrafes 14.1, 14.2 y 14.3, Ejemplo 14., Prácticas 14.1, 14.2 y 14.3 Ejercicios 1, 3, 5, 7, 9. Realice el siguiente ejercicio En el circuito R = 5Ω L = 1 H Calcule la respuesta i(t) de estado estable si : a) u(t) =10 cos (4t ) V b) u(t) =10 e -2t cos (4t ) V c) u(t) =10 e -2t V Respuestas a ) i(t) =1,56 cos (4t + 44,3 0 ) A b i(t) =2e -2t cos (4t ) A c) i(t) =3,33e -2t A Se comenzará el estudio de los circuitos con estímulos trifásicos. Qué características presentan? Se mantiene lo estudiado en circuitos estimulados con corriente alterna monofásica? Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba 6