Circuitos de Primer Orden

Transcripción

1 VI Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RL y RC o Demostrar la importancia de la constante de tiempo de un circuito de primer orden. o Medir la constante de tiempo de un circuito RC o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de primer orden o Discutir la respuesta de un circuito de primer orden a una función impulso, pulso y tren de pulsos. Introducción En este capítulo haremos un análisis transitorio de los circuitos de primer orden, el cual incluye un examen y descripción del comportamiento de un circuito como función del tiempo después que ocurre un cambio súbito en el circuito debido a la apertura o cierre de interruptores. Como existe un elemento almacenador de energía en el circuito, la respuesta del circuito a un cambio súbito experimentará un periodo de transición antes de estabilizarse en un valor de estado estable. Uno de los parámetros importantes en el análisis transitorio de estos circuitos es la constante de tiempo, porque nos indica que tan rápido responderá el circuito antes los cambios. 6.1 Ecuación básica de los circuitos de primer orden Antes de entrar en materia vamos a recordar dos características importantes de los elementos almacenadotes de energía que vimos en el capítulo anterior, que son necesarios para poder resolver los problemas de los circuitos de primer orden. En los problemas de circuitos de primer orden los cambios se dan al cerrar o abrir uno o varios interruptores, entonces vamos a considerar tres tiempos, primero el tiempo justamente antes de darse el cambio y lo vamos a llamar, el tiempo cuando se da el cambio, lo vamos a llamar, y el tiempo justamente después de haberse dado el cambio, que lo vamos a llamar. A esto le llamamos Condiciones iniciales del circuito. Una de las características dice que el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente. Esto quiere decir que: v c ( ) = v c () = v c ( ) Para el caso del inductor, es la corriente que no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que: 161

2 i l ( ) = i l () = i l ( ) Otra de las características dice que el capacitor en estado estable, se comporta como un circuito abierto de CD, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0V o tomar un valor constante. Para el caso del inductor en estado estable, éste se comporta como un corto circuito de CD, lo que quiere decir que la corriente puede ser 0A o tomar un valor constante. Comenzaremos nuestro estudio con un ejemplo. Ejemplo Para los dos circuitos mostrados en la Figura encontraremos la ecuación diferencial que define los circuitos de primer orden. v s R s 1 2 C (a) v C ( R v s Figura R s (b) L i L ( R Solución: Par el circuito de la Figura a vamos a suponer que el interruptor se encuentra en la posición 2 (Figura a) y para el caso de la Figura b que el interruptor esta abierto como se muestra en la Figura b. En el caso del circuito con capacitor encontraremos la ecuación en función del voltaje del capacitor y en caso del circuito con el inductor encontraremos la ecuación en función de la corriente del inductor. C v C ( (a) R L Figura i L ( (b) R Para el caso del capacitor aplicaremos LKC para encontrar el voltaje del capacitor Como son elementos pasivos la corriente debe ir hacia abajo para ambos, entonces: i C i R = 0 y sustituimos en función del voltaje del capacitor dvc ( vc ( C = 0 que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura R a y se le llama de primer orden porque obedece a una ecuación diferencial de primer orden. Pudimos haber aplicado LKV a la malla del circuito y veremos que se obtiene el mismo resultado. 162

3 Como el capacitor es un elemento pasivo la corriente circula del potencial más alto al potencial más bajo, entonces: v C = v R, pero como la corriente del capacitor pasa por la resistencia del potencial más bajo al potencial más alto, entonces el voltaje de la resistencia será negativo, así: v C = i C (R), entonces ordenando, i C (v C /R) = 0, por lo tanto: dvc ( vc ( C R = 0, que es la misma ecuación que obtuvimos anteriormente. Para el caso del inductor, aplicaremos LKV malla que tenemos: v L v R = 0., sustituyendo en función de la corriente del inductor, obtenemos: dil ( L RiL ( = 0, que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura b También pudimos haber aplicado LKC y llegamos al mismo resultado, veamos: i L i R = 0, pero la corriente en el resistor es el voltaje del inductor entre R, entonces: i L v L /R = 0, así reordenando obtenemos: dil ( L RiL ( = 0, que es la misma ecuación obtenida anteriormente. Si observamos ambas ecuaciones son similares y podemos escribir las ecuaciones de respuesta en forma general como sigue: dx( a x( = 0, donde a = 1/RC para el caso del circuito con capacitor y a = R/L para el caso del circuito con el inductor. v C ( Si para el caso de la Figura a el interruptor estuviera pasando de la posición 1 a la posición 2 con una frecuencia determinada, el capacitor se estuviera cargando en un sentido y descargando en el otro, como puede ser visto en la Figura Ya veremos como se da eso. Lo mismo puede ser dicho para el caso del inductor. V O 0 Tiempo de descarga Tiempo de carga Figura t 163

4 6.2 Solución de la ecuación diferencial de primer orden Para el caso más general vamos considerar que la ecuación diferencial de respuesta de los circuitos de primer orden es de la forma: dx( a x( = f (, donde f( puede ser cualquier función. El teorema fundamental de ecuaciones diferenciales nos dice que, la respuesta a esta ecuación consistirá de de dos soluciones: x( = x p ( x c ( Donde x p ( se le llama solución particular integral o respuesta forzada y x c ( se le llama solución complementaria o respuesta natural. En este momento nos vamos a limitar a la situación en que f( es igual a una constante, f( = A, entonces la solución general a la ecuación diferencial de primer orden consiste de dos partes que se obtienen resolviendo las dos ecuaciones siguientes: dx p ( a x p ( = A dxc ( (1) y a xc ( = 0 (2) Comenzaremos resolviendo la primera ecuación: es razonable suponer que la solución a x p ( también sea una constante, así vamos a suponer que x p ( = K 1, entonces vamos sustituir dicho valor en la ecuación diferencial (1) dk1 a K1 = A, como la derivada de una constante es cero, entonces obtenemos que: K 1 = A/a y así obtenemos la respuesta forzada: x p ( = K 1 = A/a Solo nos resta encontrar la respuesta natural, para ello vamos a rescribir la ecuación diferencial de la siguiente manera: dx ( x ( c c = a, aplicando la integral a ambos lados de la ecuación: dx ( x ( c c = a, resolviendo a ambos lados ln x c ( = at C donde C es una constante, y por tanto podemos escribirla de la siguiente forma: ln x c ( = at ln K 2 entonces 164

5 ln x c ( ln K 2 = at, por propiedades de logaritmo, podemos hacer: ln (x c (/ K 2 ) = at y aplicando el antilogaritmo a esta expresión y despejando para x c (, obtenemos: x c ( = K 2 at obteniendo de esta forma la respuesta natural, por tanto la solución completa a la forma general de la ecuación diferencial será: x( = K 1 K 2 at, esta solución será cuando f( = A = constante. La constante K 2 puede encontrarse si se conoce en un instante de tiempo el valor de la variable independiente x(. Debemos de estar consciente de que si f( = 0 sólo habrá respuesta natural, no habrá respuesta forzada y la solución será: x( = K 2 at Al inverso de la constante a, se le llama Constante de Tiempo y se designa por τ, donde τ = 1/a y tiene unidades tiempo (segundos). Para el circuito RC, τ = RC, para el circuito RL, τ = L/R. Así la solución puede expresarse como: x( = K 1 K 2 t/τ. Donde K 1 es la solución de estado estable x c (= K 2 t/τ τ: es la constante de tiempo y K 2 t/τ es una exponencial decreciente, si τ > 0 entonces dicha exponencial valdrá: K 2 para y 0 para t = 0.368K 2 0 τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 Figura t Podemos mostrar el comportamiento de la expresión K 2 t/τ para valores de t = nτ Para t = 1τ, la expresión toma el valor de 0.368K 2 t = 2τ, la expresión toma el valor de 0.135K 2 t = 3τ, la expresión toma el valor de 0.050K 2 t = 4τ, la expresión toma el valor de 0.018K 2 t = 5τ, la expresión toma el valor de K 2 En la Figura se muestra ésta expresión en función del tiempo 165

6 Para una constante tiempo pequeña entonces la respuesta será rápida, es decir el circuito se reestablece rápidamente a un valor de estado estable. Si la constante de tiempo es grande entonces la respuesta será lenta y se requerirá más tiempo para que el circuito se restablezca o alcance el estado estable. Esto se puede observar en la Figura x c (= t/τ La respuesta transitoria es una respuesta 0 τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 temporal que desaparece con el tiempo. Figura Podemos decir que para cualquier caso, la respuesta del circuito esencialmente alcanza el estado estable en 5τ. La respuesta de estado estable es la que existe largo tiempo después de cualquier operación de conmutación τ = 0.5s τ = 4s t 6.3 Respuesta Natural de El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistorcapacitor (RC) o resistorinductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes dependerá únicamente de la energía inicial almacenada en el elemento de almacenamiento de energía. Puesto que la respuesta solo depende de la naturaleza del circuito RC o RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural. Como en la sección anterior ya encontramos la respuesta natural al circuito de primer orden, explicaremos el análisis de estos circuitos con varios ejemplos. Ejemplo Para el circuito mostrado en la Figura suponga que el interruptor ha esta en la posición 1 por largo tiempo, en el interruptor se mueve a la posición 2. Deseamos calcular la corriente i( para t > 0. V S 12V 1 2 R 1 6K C Figura µF i( R 2 3K Solución: 1 R 1 v( Para comenzar nuestro análisis, siempre se 6K i( 2 debe calcular el valor del voltaje del V S R C 2 100µF capacitor, si el circuito es RC o el valor de la 12V 3K corriente del inductor si el circuito es RL y luego con ese valor, poder calcular el valor de la variable que nos están pidiendo. Como Figura necesitamos determinar la corriente i( para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura

7 Para poder calcular i( necesitamos encontrar el voltaje del capacitor v( para t > 0 y luego aplicando la ley de Ohm podemos calcular i( como: i( = v( / R 2 Entonces procederemos a encontrar el voltaje del capacitor v( aplicando LKC al nodo de arriba, así: v( dv( v( C R1 R2 tenemos: = 0, usando los valores de los componentes y reacomodando, dv( 5v( = 0, como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: v( = K 2 t/τ Si observamos la ecuación diferencial el a = 5, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/a = 1/5 = 0.2 s. 6K Para encontrar el valor de K 2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de v(0 ) = v(0) = v(0 ), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura V Figura v C (0 ) 3K En el capacitor está totalmente cargado y no conduce corriente por estar en estado estable, ya que éste actúa como un circuito abierto de CD. Si observamos el circuito el voltaje v c (0 ) es el mismo que el voltaje entre las terminales del resistor de 3KΩ y como tenemos una sola malla, podemos hacer uso del divisor de voltaje, así 3K v c ( 0 ) = (12) = 4V 3K 6K Por lo tanto v c (0 ) = 4V, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 v(0) = K 2 0 = 4, así K 2 = 4 entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v( = 4 t/0.2 por lo tanto podemos encontrar el valor de la corriente pedida, así: vt () 4 t/0.2 it () = = e ma R

8 Si dibujamos dicha corriente, el resultado sería como el mostrado en la Figura i( ma 4/3 Ejemplo Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.5, el interruptor ha estado en estado estable antes de abrirse en, encuentre la corriente i( para t > 0, si R 1 = 3Ω y R 2 =. 0 Figura t 1H R 1 L 3 L 1 L 2 18V R 2 i 5H 20H Figura Solución: Como nos piden la corriente i( para t > 0, entonces debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, pero como existen varios inductores, debemos reducirlo a un equivalente, como es mostrado en la Figura V 5H i 3Ω L eq = L 3 (L 1 L 2 ) = 1 (5 20) = 1 4 = 5H Figura Ahora podemos aplicar la LKV para encontrar la ecuación diferencial que define el circuito, así: di( L ( R1 R2 ) i( = 0, sustituyendo valores y reacomodando, obtenemos: di( i( = 0, como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: i( = K 2 t/τ Si observamos la ecuación diferencial el a = 1, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/1 = 1/1 = 1s. i(0 ) Para encontrar el valor de K 2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de i(0 ) = i(0) = i(0 ), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura V 3Ω Figura

9 En el inductor está totalmente cargado por estar en estado estable, ya que éste actúa como un corto circuito de CD. Si observamos el circuito la corriente i(0 ) se puede calcular aplicando la ley de Ohm, así, i(0 ) = 18/3 = 6A Por lo tanto i(0 ) = 6A, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 i(0) = K 2 0 = 6, así K 2 = 6 entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i( = 6 t A 6.4 Respuesta Forzada y Completa de En una sección de la solución a la ecuación diferencial, describimos la respuesta forzada a una función constante y asumimos que la respuesta también sería constante, ahora consideraremos circuitos en los cuales, la ecuación diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta completa de los circuitos de primer orden. Estudiaremos algunos ejemplos. Ejemplo H Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.1, el interruptor se abre para. Encontremos el voltaje de salida v o ( para t > 0 12V 4V v o ( Solución: Como necesitamos determinar el voltaje de salida v o ( para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura Para encontrar el voltaje de salida v o (, debemos obligatoriamente encontrar la corriente del inductor i( para t > 0 y luego aplicar la ley de Ohm para encontrar el voltaje de salida: v o ( = i( () 12V Figura H 4V Figura v o ( 169

10 Procedemos entonces a encontrar la corriente del inductor i(, para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, así di( V S 1 = R1i( L R3i(, sustituyendo los valores de los componentes y reacomodando, se obtiene: di( 2i( = 6 Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: i( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 2, así τ = 1/a = ½ = 0.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos i( por K 1 en la ecuación diferencial, así: dk 1 K 2 1 = 6, entonces obtenemos que K 1 = 3, o bien tomamos la definición que: K = = = a A 3 Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i(0 ) = i(0) = i(0 ), por la continuidad del corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura V En el circuito esta en estado Figura estable y la bobina actúa como un corto circuito de CD. El inductor se encuentra cargado a una corriente constante y para encontrar su valor podemos hacer uso de cualquier método, antes estudiado. 4V i(0 ) v o (0 ) Haremos uso del teorema de Thévenin para encontrar el valor de i(0 ), y nos auxiliaremos de los circuitos mostrados en la Figura

11 V TH R TH i(0 ) v o (0 ) 12V 4V V a V TH R TH (a) (b) Figura (c) Entonces para calcular i(0 ), nos auxiliamos del circuito de la Figura (a), así VTH i (0 ) =, pero antes tenemos que encontrar el voltaje de Thévenin y la Resistencia RTH 2 de Thévenin. V TH = V a 4V, para encontrar V a haremos uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una sola malla, como puede ser visto de la Figura (b), así 2 V a = (12 4) = 8V, entonces V TH = 4V 2 2 Para calcular R TH nos auxiliamos del circuito mostrado en la Figura (c), así: R TH = 2 2 = 1Ω, por lo tanto i(0 ) será: 4 i( 0 ) = = A Por lo tanto i l (0 ) = (4/3)A, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 i(0) = 3 K 2 0 = (4/3), así K 2 = (5/3) entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i( = 3 (5/3) 2t A, por lo tanto el voltaje de salida será: v o ( = 6 (10/3) 2t V v( (V) 6 El voltaje de salida se encuentra dibujado en la Figura /3 Ejemplo a Figura b 1K t(s) Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.6, el interruptor ha permanecido durante bastante tiempo en la posición a y para se cambia a la 80V 6Ω v 1mF Figura V 171

12 posición b. Encontremos el voltaje v( para t > 0. Solución: a b 1K Como necesitamos determinar el voltaje v( para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura V 6Ω v Figura mF 120V Ahora, procedemos entonces a encontrar el voltaje del capacitor v(, para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, que define éste circuito, así v( i c ((1K) = 120, expresando i c ( en función de v(, obtenemos: dv( C (1K ) v( = 120, reacomodando la expresión y sustituyendo el valor de C, se obtiene: dv( v( = 120 Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: v( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 1, así τ = 1/1 = 1s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos v( por K 1 en la ecuación diferencial, así: dk 1 K 1 = 120, entonces obtenemos que K 1 = 120 o bien tomamos la definición que: K = = = a A 120 Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de v(0 ) = v(0) = v(0 ), por la continuidad del voltaje en el 80V capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura Ω v(0 ) Figura K 120V 172

13 En el circuito esta en estado estable y el capacitor actúa como un circuito abierto de CD. El capacitor se encuentra cargado a un valor constante, que llamamos v(0 ), para calcularlo podemos hacer uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una simple malla, así, 6 v( 0 ) = ( 80) = 60V 6 2 Por lo tanto v(0 ) = 60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 v(0) = 120 K 2 t = 60, entonces K 2 = 180, así el voltaje del inductor para t > 0 es: v (V) v( = t V 120 El voltaje v( se encuentra 60 dibujado en la Figura t 1 τ 2τ 3τ 4τ 5τ t(s) Figura Procedimiento simple para determinar la respuesta completa de circuitos de primer orden a una fuente constante Hemos visto de los ejemplos anteriores que la respuesta completa de un circuito RC o RL a una fuente constante, es simplemente x( = x p ( x c (, donde x c ( es la respuesta natural K 2 t/τ y x p ( es la respuesta a la función forzada constante. Entonces será conveniente proceder directamente a determinar por separado x p ( y x c (, sumándolas después para obtener x(. Después se usa x(0 ) para determinar K 2 y se tiene la respuesta completa x(. Para ilustrar el procedimiento vamos a considerar un ejemplo. Ejemplo Para el circuito mostrado en la Figura Determine la corriente i para t > 0, sabiendo que i(0 ) = 3A Solución: 80V 4Ω 4Ω Figura Ω 10mH i Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el 4Ω Figura mH 173

14 circuito para t > 0, la fuente de voltaje de 80V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura Entonces la respuesta natural será i c ( = K 2 t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RL, τ = L/R, en este caso R será el equivalente paralelo de 4Ω 4Ω =, entonces τ = 10m/2 = 5ms, así la respuesta natural es: i c ( = K 2 200t En este punto, vale la pena observarse, que podemos determinar τ en un circuito de primer orden por medio del principio de Thévenin para evaluar la resistencia vista en las terminales de un capacitor o un inductor dado. Para encontrar la respuesta forzada, como ésta es una constante, no importa el tiempo en que se 80V 4Ω determine i p ( una vez alcanzada la condición de i p ( estado estable. Por comodidad se usa t = cuando el estado transitorio ha desaparecido y el Figura circuito sólo responde a la fuente constante. En t =, o estado estable el inductor se comporta como un corto circuito y la corriente a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el inductor por un corto circuito, como se muestra en la Figura Entonces la respuesta forzada se puede calcular como i p ( = 80/4 = 20A Por lo tanto la respuesta completa será: i( = 20 K 2 200t A, para poder calcular K 2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, i(0 ) = 3A = i(0) = i(0 ), así: i(0 ) = 20 K 2 0 = 3, entonces K 2 = 17, por lo tanto la respuesta completa final será: i( = t A 4Ω Ejemplo Para el circuito mostrado en la Figura 6.5.4, determine el voltaje v( para t > 0, considere que v(0 ) = 10V 20V 8Ω ¼ F Figura v Solución: 8Ω Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el circuito ¼ F Figura

15 para t > 0, la fuente de voltaje de 20V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura Entonces la respuesta natural será v c ( = K 2 t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RC, τ = RC, en este caso R será el equivalente paralelo de 8Ω = 1.6Ω, entonces τ = 1.6(1/4) = 0.4s, así la respuesta natural es: v c ( = K 2 2.5t Para encontrar la respuesta forzada, determinamos v p ( una vez alcanzada la condición de estado estable. Por comodidad se usa t = cuando el estado transitorio ha desaparecido y el circuito sólo responde a la fuente constante. En t =, o estado estable el capacitor se comporta como un circuito abierto y el voltaje a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el capacitor por un circuito abierto, como se muestra en la Figura V 8Ω Figura Entonces la respuesta forzada se puede calcular usando un divisor de voltaje, así: 2 v p ( = ( 20) = 4V 8 2 Por lo tanto la respuesta completa será: v( = 4 K 2 2.5t V, para poder calcular K 2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, v(0 ) = 10V = i(0) = i(0 ), así: v p ( v(0 ) = 4 K 2 0 = 10, entonces K 2 = 14, por lo tanto la respuesta completa final será: v( = t V 6.6 Respuesta de los circuitos de primer orden a las funciones: pulso, impulso y tren de pulsos Fuente escalón unitario: En las secciones anteriores examinamos circuitos donde las fuentes se conectaban y desconectaban del circuito cuando t = t 0, provocando que las corrientes y voltajes del circuito cambiaran bruscamente. La aplicación de una batería por medio de dos interruptores como se muestra en la Figura (a), se puede considerar equivalente a una fuente que vale cero hasta t 0 y uno en 175

16 adelante. Esta función redefine como función escalón donde: unitario y se representa por u(t t 0), t = t o u(t t 0 ) = 0 t < t 0 1 t > t 0 1V t = t o v Esta función se muestra en la Figura (b), generalmente se considera que t 0 = 0. u(t t o ) (a) La función escalón unitario es adimensional puesto que es una función matemática. Si se desea representar el voltaje, se usa la ecuación: v( = V o u(t t 0 ) y la fuente la representamos como en la Figura V o u(t t o ) v( 1 0 t o (b) t Figura Figura Vale la pena observar que u( implica simplemente que se tiene un valor de uno para t < 0 de forma que: 1 t < 0 u( = 0 t > 0 Su gráfica en función el tiempo se muestra en la Figura (a) u( 1 En el caso de que el cambio ocurra en t 0 se tiene: u(t 0 = 1 t < t 0 0 t > t 0 Su gráfica en función del tiempo se muestra en la Figura (b) Otra fuente importante es la Fuente Impulso, que se describe como: 0 t u(t o (a) 1 0 t o (b) t Figura

17 0 t < t 0 v( = Vo t 0 < t < t 1 0 t > t 1 La gráfica de la Figura (a) muestra de la función con respecto al tiempo y la Figura (b) muestra dos ondas de voltaje escalón que producen el impulso de voltaje. v( v( V o V o u(t t o ) V o 0 t o t t 1 0 t o t (a) t 1 V o Figura (b) V o u(t t 1 ) El símbolo de circuito de la fuente impulso se muestra en la Figura Ejemplo V o u(t t 0 ) V o u(t t 1 ) v( La fuente impulso se aplica al circuito RL de la Figura 6.6.6, sabiendo que i(0 ) = 0. Se desea determinar la corriente i( al ser excitado por dicha fuente. Figura R V o u( Solución: V o u(t t 1 ) i L Puesto que el circuito es lineal, puede emplearse el principio de superposición de forma que i( = i 1 ( i 2 (, donde i 1 ( es la respuesta debido a la fuente V o u( e i 2 ( es la respuesta la fuente V o u(t t 1 ). Figura Primero encontremos la respuesta completa de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = t n. De los análisis anteriores sabemos que tendremos respuesta natural y respuesta forzada, es decir i o ( = K 1 K 2 a(tto) Donde K 1 = Vo/R y K 2 =Vo/R 177

18 Por lo tanto la respuesta de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = t n es: V o at ( ( ) n it () = 1 e A, para t > t n, donde a = 1/τ = R/L, entonces la respuesta i 1 ( será: R V o ( ) () 1 at i1 t = e A, para t 0 y la corriente i 2 ( será: R V o ( 1 ) ( ) () 1 at t i2 t = e A, para t > t 1, sumando ambas respuestas obtenemos: R i( = V o R at ( 1 e ) Vo e at R 0 < t t 1 ( e at 1 1) t > t 1 La magnitud de la respuesta en t = t 1 es: V o t1 ( / τ ) it ( 1) = 1 e A, la forma de onda de esta respuesta R puede verse en la Figura Si t 1 > τ, la respuesta alcanzará V o /R antes de comenzar su declinación. La respuesta en t = 2t 1 es: i( A V o /R i(t 1 ) 0 t 1 2t 1 t Figura V o at1 1 ( 2 at ) i(2 t1) = e e A R 6.7 Respuesta de un circuito RC o RL a una fuente no constante La ecuación que describe un circuito RC o RL se representa por una ecuación diferencial general: dx( ax( = f (, donde en las secciones anteriores, habíamos asumido que f( era una constante. Consideremos ahora el caso donde f( no es una constante, pudiera ser cualquier función matemática. La respuesta natural seguirá siendo la misma x c ( = K 2 at, sin embargo la respuesta forzada quedará determinada por la forma de f(. 178

19 Consideremos el caso que f( es una función exponencial f( = bt, suponemos que (a b) 0. Entonces la solución tendrá la misma forma exponencial, supondremos que: x p ( = A bt, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo x p ( en la ecuación diferencial se obtiene: bt d( Ae ) bt bt aae ( ) = e, efectuando la deriva se obtiene: bt bt bt bae aae = e, factorizando y despejando obtenemos el valor de A: A = 1 bt a b, por lo tanto la solución forzada será () e xp t = a b Ejemplo Para el circuito mostrado en la Figura 6.7.1, determine el valor de la corriente i para t > 0. Considere que v f = 10 2t u( V 5Ω 4Ω 10V 1H v f i Solución: Figura Ω 4Ω Como nos piden encontrar i( para t > 0, necesitamos redibujar el circuito para ese tiempo, y lo mostramos en la Figura V 1H i v f Primero obtenemos la ecuación diferencial característica del circuito, para ello aplicamos LKV a única malla existen en el circuito, así: Figura di( v f = ( 4) i( L, sustituyendo valores y reacomodando la ecuación se obtiene: di() t 2t 4() it = 10e, entonces tendremos respuesta natural y forzada. Para calcular la respuesta forzada, suponemos que la solución tendrá la misma forma, es decir: x p ( = A 2t, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo x p ( en la ecuación diferencial se obtiene: d Ae 2t ( ) 2t 2t 4( Ae ) 10e =, efectuando la deriva se obtiene: 179

20 = 2t 2t 2t 2Ae 4Ae 10e A = 5, por lo tanto x p ( = 5 2t, factorizando y despejando obtenemos el valor de A: La respuesta del circuito será: i( = 5 2t K 2 at La respuesta natural se calcula de la misma forma como lo hemos hecho hasta ahora. di( Para ello utilizamos la ecuación 4i( = 0, donde τ = 1/a = ¼ = 0.25s. 5Ω 4Ω Para encontrar el valor de K 2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de i(0 ) = i(0) = i(0 ), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura V i(0 ) Figura Nótese que la fuente v f ha desaparecido, ya que es una función exponencial está multiplicada por la función unitario, donde para t < 0, ella es cero, por lo tanto así v f también será cero. Y la corriente i(0 ) será: i(0 ) = 10/5 = 2A = i(0 ) Ahora evaluamos la respuesta x(, en, así: i(0) = 5 0 K 2 0 = 2, entonces el valor de K 2 = 3, y la respuesta completa del circuito es: i( =5 2t 3 4t A, para t > Problemas Resueltos Ejemplo KΩ Determine el voltaje v a través del capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura Suponga que el interruptor ha estado por largo tiempo en la posición antes del cambio a. Solución 80V 12KΩ 0.2H v Figura F 30Ω Como nos están pidiendo encontrar el voltaje v a través del capacitor ( v = v C ) para el tiempo t > 0, entonces tenemos que redibujar nuestro circuito para t > 0, como se puede mostrar en la figura a. 180

21 4KΩ 4KΩ 80V 12KΩ 0.2H v (a) 0.1F 30Ω 80V Figura Ahora podemos aplicar la LKC al nodo de arriba, así 12KΩ i L (0 ) (b) v(0 ) i C i R = 0, como el resistor se encuentra en paralelo al capacitor, comparten el mismo voltaje, sustituyendo la ecuación anterior, en términos del voltaje del capacitor, tenemos: dv C C R v C = 0, que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación tenemos: dv v C C 3 = 0, que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: v C ( = K 2 t/τ Si observamos la ecuación diferencial a = 1/3, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 3s. Para encontrar el valor de K 2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de v(0 ) = v(0) = v(0 ), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura b El voltaje v(0 ) se puede obtener aplicando un divisor de voltaje, así: 12K v( 0 ) = (80) = 60V 16K Por lo tanto v(0 ) = 60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 v(0) = K 2 0 = 60, así K 2 = 60, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v( = 60 t/3 V 4Ω Ejemplo Determine la corriente i( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura y grafique 36V 6Ω 2H i( 8Ω Figura

22 la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución Para encontrar la corriente i( para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero i L (, que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i( en función de i L (. El circuito para t > 0 se muestra en la figura a y como podemos observar i( será: i( = i L (, 4Ω 4Ω 36V 6Ω 2H i( 8Ω 36V 6Ω i L (0 ) i(0 ) 8Ω (a) Figura (b) Ahora podemos aplicar la LKV a la malla, así v 6Ω v 4Ω v 8Ω v L = 0, como los resistores se encuentra en serie al inductor, comparten la misma corriente, sustituyendo la ecuación anterior, en términos de la corriente del inductor, tenemos: dil L 6 il 4iL 8iL = 0, que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación tenemos: dil 9 i L = 0, que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: i L ( = K 2 t/τ Si observamos la ecuación diferencial a = 9, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/9 s. Para encontrar el valor de K 2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de i L (0 ) = i L (0) = i L (0 ), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura b La corriente i L (0 ) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, i L (0 ) = v 6Ω /6Ω y para obtener el voltaje v 6Ω podemos aplicar un divisor de voltaje, así: 182

23 (12 6) v6 Ω = (36) = 24V, entonces i L (0 ) = 24/6 = 4A (12 6) 2 Por lo tanto i L (0 ) = 4A, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 i( A 2 i L (0) = K 2 0 = 4, así K 2 = 4, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i L ( = 4 9t A, por lo tanto i( será: i( = 4 9t A y su gráfica se puede observar en la figura Figura t Ejemplo Determine i( para t > 0 para el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito alcanzó estado estable en. 4KΩ 10mA 24V 20KΩ 18KΩ i 1 µf 45 36KΩ Solución: Figura Para encontrar la corriente i( para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero v C (, que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i( en función de v C (. El circuito para t > 0 se muestra en la figura y como podemos observar i( será: 4KΩ 20KΩ 10mA 24V 18KΩ Figura i 1 µf 45 36KΩ i( = v C (,/18K Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior derecho, es decir al nodo superior del capacitor, así: i 20KΩ = i 18KΩ i 36KΩ i C, ahora empleamos la ley de Ohm para obtener: 24 vc vc = 20K 18K tenemos: vc 36K dv C C, sustituyendo valores y reacomodando la ecuación 183

24 dvc 6000 vc = 54000, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: v C ( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 6000, así τ = 1/a = 1/6000 = µs Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos v C ( por K 1 en la ecuación diferencial, así dk K 1 = 54000, entonces obtenemos que K 1 = 9, otra forma directa encontrar K 1 es dividir la constante de la ecuación diferencial (A) entre a, es decir K 1 = A/a, para nuestro caso: K 1 = 54000/6000 = 9 Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales 4KΩ del circuito, es decir necesitamos el valor de v C (0 ) = v C (0) = v C (0 ), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura KΩ 10mA 24V 18KΩ Figura i(0 ) v C (0 ) 36KΩ El voltaje v C (0 ) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, al multiplicar el valor de la fuente corriente el equivalente de Resistencia (36KΩ 4KΩ = 3.6KΩ), entonces el voltaje del capacitor será: v C (0 ) = 10m*3.6K = 36V Por lo tanto v C (0 ) = 36V, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 v C (0) = 9 K 2 0 = 36, así K 2 = 27, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v C ( = t V, por lo tanto i( será: v () t 1 3 = = 18K 2 2 C 6000t it () e ma 184

25 Ejemplo Determine la corriente en el inductor i( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito alcanzó estado estable en. 8A 1Ω i 10mH 10Ω 4A Solución Figura Para encontrar la corriente i( para t > 0, (que coincide con i L () debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado en la figura a 8A 1Ω 10mH 10Ω 4A 8A 1Ω i(0 ) i (a) Figura (b) Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, así: i L i 10Ω 4 = 0, ahora empleamos la ley de Ohm para obtener: i L v 10 L = 4, sustituyendo v L y reacomodando la ecuación tenemos: dil 1000iL = 4000, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: i L ( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 1000, así τ = 1/a = 1/1000 = 1ms Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos A y a para obtener K 1, así K 1 = A/a = 4000/1000 = 4 185

26 Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i L (0 ) = i L (0) = i L (0 ), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura b Del circuito podemos observar que i L (0 ) = 8A Por lo tanto i L (0 ) = 8A, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 i L (0) = 4 K 2 0 = 8, así K 2 = 12, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i L ( = i( = t A. Ejemplo Determine el voltaje v C ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura cuando v f = 2u( 12u( V. v s 3KΩ 1KΩ I 1 4I 1 2mF v C Solución: Para encontrar el voltaje v C ( para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado en la figura a 12V Figura KΩ 4i 1KΩ 2mF v C i Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, y de la LKV a la malla derecha del circuito, así: i 3KΩ = i 1KΩ i C, ahora empleamos la ley de Ohm para obtener: 2V 3KΩ 1KΩ i (a) 4i (b) Figura v C (0) 12 v1k Ω v1k Ω = ic, para encontrar v 1KΩ, haremos uso de la LKV a la malla donde se 3K 1K encuentra el capacitor, así: v 1KΩ 4Ki = v C, entonces el voltaje v 1KΩ = v C 4Ki, pero la corriente i coincide con la corriente i 3KΩ, entonces el voltaje v 1KΩ, será: v 1KΩ 12 v1k Ω = vc 4, despejando se obtiene: 3K v 3KvC 48 = (3K 4) 1K Ω, 186

27 ahora insertando esta ecuación en la ecuación obtenida de la aplicación de la LKC, obtenemos: 3KvC (3K 4) 3K obtiene: = 3KvC 48 (3K 4) 1K dvc ( C, realizando las operaciones, y reacomodando se dvc vC = 2.011, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: v C ( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = , así τ = 1/a = 1/ = 1.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos A y a para obtener K 1, así K 1 = A/a = 2.011/ = Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de v C (0 ) = v C (0) = v C (0 ), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura b Para obtener el voltaje del capacitor v C (0 ), aplicamos la LKV a la malla abierta de la derecha del circuito, así: v C (0 ) = 4i v 1KΩ, de donde i = 2/4K = ½ ma y v 1KΩ = (1K/4K)*2 = 0.5V, entonces: v C (0 ) = 0.502V Por lo tanto v C (0 ) = 0.502V, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 v C (0) = K 2 0 = 0.502, así K 2 = 2.51, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v C ( = t V. 187

28 Ejemplo Ω Determine el voltaje v( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito alcanzó estado estable en. 2V v 1/2H Solución: 5u( Figura Para encontrar el voltaje v( para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, y encontrar primero i L (, que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar v( en función de i L (. El circuito para t > 0 se muestra en la figura a y como podemos observar v( será: 6Ω v( = i L (*6 Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos la LKV a la malla del circuito, así: 2 5 = v 6Ω v L, ahora empleamos la ley de Ohm para obtener: dil L L 6 i = 7, reacomodando la ecuación tenemos: Figura dil 12 il = 14, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: i L ( = K 1 K 2 t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 12, así τ = 1/a = 1/12 = 83.33ms 2V 2V v 5V (a) 6Ω v(0 ) Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K 1, sustituimos A y a para obtener K 1, así K 1 = A/a = 14/12 = 7/6 Para encontrar el valor de K 2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i L (0 ) = i L (0) = i L (0 ), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura b (b) i(0 ) 1/2H 188

29 La corriente i L (0 ) la podemos encontrar empleando la ley de Ohm, así: i L (0 ) = 2/6 = 1/3 A Por lo tanto i L (0 ) = 1/3 A, ahora evaluando la respuesta encontrada en, se obtiene el valor de K 2 i L (0) = (7/6) K 2 0 = 1/3, así K 2 = (5/6), entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i L ( = 7/6 (5/6) 12t A. Por lo tanto v( será: v( = 6 I L ( = t V 6.9 Problemas propuestos Determine la corriente i L ( por el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.1, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 4Ω 8V 2mH i L 4Ω Figura Determine el voltaje v C ( en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.2, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cambiar de posición el interruptor. 3Ω 5V 3mF v C Figura Ω Determine el voltaje v C ( en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.3, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12V 6KΩ 12KΩ 12KΩ 6KΩ v C 200µF Figura

30 6.9.4 Determine la corriente i L ( en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.4, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12V i L 2H 6Ω 3Ω 1 6Ω Figura Determine la corriente i L ( en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.5, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. 10Ω 50Ω 24V 25mH 30Ω i L Figura Determine el voltaje v C ( en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.6, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. 50Ω 20µF v C 200Ω 0.1A Figura Determine el voltaje v o ( para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.7, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 100µF 12V 6KΩ 6KΩ 6KΩ v o ( Figura

31 6.9.8 Determine la corriente i o ( para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.8, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 6Ω 6Ω 1 i o ( 3H 24V Figura Determine la corriente i L ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 5Ω I 1 50V 3I H 1Ω i L Figura Determine el voltaje v C ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que v C (0) = 6V. 50µF v V C A 3KΩ V 1 1KΩ Figura Determine el voltaje v( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 3Ω 1/50 H 7Ω i L v 15Ω 40V 6i L Figura

32 Determine la corriente i( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 3V 1 4Ω 2.6A 11Ω V 1 i 1/13 F Figura Determine la corriente i o ( para t > 0, en el circuito mostrado en la figura , y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12V 24V 2H 4Ω i o Figura Determine el voltaje v o ( para t > 0, en el circuito mostrado en la figura , y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. 2KΩ 50µF 24V 2KΩ 4KΩ v o 4KΩ 12V Figura Determine el voltaje v( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 15KΩ 5KΩ 10V 20KΩ 10µF v Figura V 192

33 Determine el voltaje v o ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 3Ω 6Ω 6A 4Ω 2H 6Ω v o Figura Determine la corriente i L ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 3KΩ 10mH 5V 5KΩ 3u( ma Figura Determine el voltaje v C ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 4V 1 12u( V 1u( A V 1 1Ω v C 1/44 F Figura Determine la corriente i L ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. I 1 10Ω 20Ω 100u( V 0.1H 20I 1 i L Figura

34 Determine el voltaje v C ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura , si v s = 12u( 24u( V. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 10KΩ v s 20KΩ v C 300nF Figura Determine la corriente i L ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 5Ω 20u( A I 50Ω 1 L 0.2H 40V i 10I 1 Figura Determine el voltaje v C ( para t > 0 en el circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando. 40A V 1 v C 20u( V 2mF 20Ω 0.1V 1 Figura