Elementos almacenadotes de energía

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1 V Elementos almacenadotes de energía Objetivos: o Describir uno de los elementos importantes almacenadores de energía muy comúnmente utilizado en los circuitos eléctricos como es el Capacitor o Calcular la Capacitancia equivalentes en los circuitos o Reconocer como se da el almacenamiento de energía en un Capacitor o Describir el otro elemento importante almacenador de energía muy comúnmente utilizado en los circuitos eléctricos como es el Inductor o Calcular la Inductancia equivalentes en los circuitos o Reconocer como se da el almacenamiento de energía en un Inductor o Discutir acerca de la dualidad de ambos elementos almacenadores de energía Introducción El almacenamiento de energía en elementos de circuito eléctrico es un aspecto importante en el desarrollo de circuitos flexibles y útiles. Describiremos dos elementos almacenadotes de energía como son: el capacitor y el inductor. Todos los capacitares como los inductores o bobinas son elementos lineales, sin embargo a diferencia de la resistencia, sus características terminales se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales. Otra característica distintiva de estos elementos es su capacidad de absorber energía del circuito, almacenarla temporalmente y regresarla después. Los elementos que poseen esta capacidad de almacenamiento de energía se denominan simplemente elementos de almacenamiento. Los capacitores son capaces de almacenar energía cuando un voltaje esta presente a través del elemento. La energía realmente se almacena en un campo eléctrico. Los inductores o bobinas son capaces de almacenar energía cuando una corriente pasa a lo largo de ellas haciendo que se forme un campo magnético. 5. Capacitores Un capacitor es un elemento de circuito que consiste en dos superficies conductoras separadas por un material no conductor, o dieléctrico. Un capacitor simplificado y su símbolo se muestran en la figura 5.. dieléctrico Figura 5.. Hay muchas formas diferentes de capacitores y pueden clasificarse por el tipo de material dieléctrico que se usa entre las placas conductoras. El material dieléctrico puede ser aire, vacío, papel impregnado con aceite o cera, mylar, poliestireno, mica, vidrio o cerámica. A (a) d i( = dq v( q( C (b) 33

2 Capacitancia es una medida de la propiedad de un dispositivo de almacenar energía en forma de cargas separadas o de un campo eléctrico. Es el factor de proporcionalidad que aparece entre las placas conductoras y se mide en Culombios por voltios (Coulombs por vol o Faradios (F). Los capacitores o condensadores pueden ser fijos o variables y típicamente van de miles de microfaradios (µf) a unos cuantos picofaradios (pf). La capacitancia de dos placas paralelas, de área A separadas una distancia d (como el de la Figura 5...a), es ε o A C =,donde ε o es la permeabilidad del espacio libre, con valor de 8.85x F/m d Supongamos ahora que se conecta una fuente al capacitor como en la Figura 5...b, entonces se transferirán cargas positivas a una placa y cargas negativas a la otra. La carga en el capacitor es proporcional al voltaje a través de éste como q = Cv. El diferencial de carga entre las placas crea un campo eléctrico que almacena energía. Debido a la presencia del dieléctrico, la corriente de conducción que fluye en los alambres que conectan el capacitor al resto del circuito no puede fluir internamente entre las placas. Sin embargo, vía la teoría del campo electromagnético se puede mostrar que ésta corriente de conducción es igual a la corriente de desplazamiento que fluye entre las placas del capacitor y está presente siempre que un campo eléctrico o voltaje varía en el tiempo. Las características terminales de corrientevoltaje del capacitor son: Como dq d i =, entonces para un capacitor la corriente es: i = Cv lo cual para capacitancia dv constante es: i = C, esta ecuación puede rescribirse como: dv = i que integrando C ésta expresión desde t = hasta algún tiempo t y suponiendo que v(t = ) =, se obtiene: t v ( = i( dx, donde v( indica la dependencia con respecto al tiempo del voltaje. La C ecuación anterior se puede expresar como dos integrales, como sigue: t v( = i( dx C C v = v( t ( ) C t t t t i( dx i( dx Donde v(t ) es el voltaje debido a la carga que se acumula en el capacitor desde el tiempo t = hasta el tiempo t = t. 34

3 La energía almacenada en el capacitor puede derivarse de la potencia que se entrega al elemento. Esta potencia esta dada por la expresión: p( = v( i( = C v( y de aquí que la energía almacenada en el campo eléctrico es: t t v( wc ( = C v( dx = C v( = Cv ( = v( ) dx Cv ( w v( t ) ( = Cv ( Cv ( Joules, ya que v(t = ) =. v( ) C = La expresión de la energía también puede escribirse como: q ( w C ( =, ya que (q = Cv) C Veamos ahora algunos ejemplos: Ejemplo 5.. Si la carga acumulada es dos condensadores paralelos cargados a V es 6pC Cuál es la capacitancia de los condensadores paralelos? Como el voltaje y la carga son constante entonces, tenemos: Q 6x C = = = 5 pf V Ejemplo 5.. El voltaje a través de un capacitor de 5µF tiene la forma de onda que se muestra en la Figura 5..: Determine la forma de onda de la corriente. Como el voltaje no es constante y depende del tiempo, necesitamos expresarlo por partes, esto es: v( V t (ms) Figura 5.. (4/6m)t t 6ms v( = (4/m)t 96 6ms t 8ms t 8ms 35

4 La corriente en el capacitor esta dada por la expresión: parte del voltaje obtenemos: dv i = C y evaluándolo para cada (5x 6 )(4x 3 ) = ma t 6ms i( = (5x 6 )(x 3 ) = 6mA 6ms t 8ms t 8ms Eso me da la forma de onda mostrada en la Figura 5..3 i( ma Ejemplo t (ms) Determine la energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor del ejemplo anterior al tiempo t = 6ms 6 Figura 5..3 ( ) Cv 6 w C t = ( la energía al cabo de 6ms es: w C (6m) = (5x )4 = 44μJ Ejemplo 5..4 El voltaje aplicado entre las terminales de un capacitor se muestra en la Figura 5..4 encuentre la corriente del capacitor. v( V Primero expresamos el voltaje como sigue: Δt t (s) Figura 5..4 t v( = (/Δt t Δt t Δt Dado que la corriente en el capacitor es: dv i = C, entonces: 36

5 t i( = C(/Δ t Δt t Δt Al decrecer Δt la corriente crecerá. Obviamente, Δt no puede reducirse hasta cero porque se tendría una corriente infinita. Esta corriente es imposible, puesto que requeriría de potencia infinita y que en las terminales del capacitor ocurriera un movimiento instantáneo de la carga. De acuerdo con las condiciones de conservación de la carga, la cantidad de ésta no puede cambiar instantáneamente. Por tanto no es posible un cambio de voltaje instantáneo (Δt = ) a través del capacitor. El principio de conservación de la carga establece que la cantidad de carga eléctrica no puede cambiar instantáneamente, por lo que q( debe ser continua en el tiempo. Recuerde que q( = Cv(. Por tanto, el voltaje a través del capacitor no puede cambiar instantáneamente; es decir, no puede haber una discontinuidad en v(. 5. Inductores Un inductor o una bobina es un elemento de circuito que consiste en una alambre conductor usualmente en forma de rollo o carrete. En la Figura 5.. se muestran dos bobinas típicas y su símbolo eléctrico. líneas de flujo líneas de flujo v( i( (a) i( (b) Figura 5.. Las bobinas se suelen caracterizar según el tipo de núcleo en el que están enrolladas. Por ejemplo, el material del núcleo puede ser aire o cualquier material no magnético, hierro o ferrita. Las bobinas hechas con aire o con material no magnético se usan ampliamente en circuitos de radio, TV y filtros. Las bobinas núcleo de hierro se usan en suministros de potencia eléctrica y en filtros. Las bobinas con núcleo de ferrita se utilizan ampliamente en aplicaciones de alta frecuencia. v( i( (c) L 37

6 Si consideramos la bobina mostrada vueltas en la Figura 5.. con vueltas y A φ permeabilidad relativamente alta, de manera que el flujo magnético se concentra en el área A. Aplicando la i ley de Faraday obtenemos que: i v v dφ Figura 5.. v =, puesto que el flujo total φ es proporcional a la corriente en la bobina φ = Li, entonces el voltaje en la bobina será: di v = L cuya expresión expresa que: El campo magnético cambiante produce un voltaje que es proporcional a la razón con respecto al tiempo del cambio de la corriente que produce el campo magnético. La constante de proporcionalidad L se llama Inductancia y se mide con la unidad de Henrio (Henry) Henrio es dimensionalmente igual a voltiosegundo La expresión para la corriente en una bobina es: t i ( = v( dx la cual también puede escribirse como: L t i( = i( t ) v( dx, donde i(t ) es la corriente debido al campo magnético que se L t acumula en la bobina desde el tiempo t = hasta el tiempo t = t. La potencia transmitida a la bobina puede usarse para derivar la energía almacenada en la bobina. Esta potencia es igual: p( = v( i( di( p( = L i( por lo tanto la energía almacenada en el campo magnético es: t di( wl ( = L i( dx dx que realizando la integral se obtiene: w ( ) Li L t = ( Joules 38

7 La bobina, como la resistencia y el capacitor es un elemento pasivo. La polaridad del voltaje a través de la bobina, es mostrado en la Figura inicial 5... Las bobinas prácticas suelen estar entre unos pocos microhenrios a decenas de henrios Ahora ilustraremos nuestro contenido con algunos ejemplos. Ejemplo 5.. La corriente en una bobina de mh tiene la forma de onda que se muestra en la Figura Determine la forma de onda del voltaje. i( ma 4 t (ms) Figura 5..3 Para encontrar el voltaje, primero expresemos la corriente en partes: (m/m)t t m i( = (m/m)t 4m m t 4m t 4m Como el voltaje a través de la bobina es: (m)(m/m) = mv di v = L entonces obtenemos: t m v( = (m)(m/m) = mv m t 4m t 4m Así la forma de onda del voltaje se muestra en la figura 5..4 v( mv Ejemplo t (ms) La corriente en una bobina de mh es i( = sen377t A. Determine el voltaje a través de la bobina y la energía almacenada en la bobina. Figura

8 El voltaje a través de la bobina viene dado por la expresión valores obtenemos: di v = L y sustituyendo los d v( = (m) ( sen377 =.58 cos377t V La energía almacenada en la bobina viene dad por la expresión w ( ) Li L t = ( y sustituyendo los valores, obtenemos: w L ( = (m)( sen377 =.4 sen 377t J Ejemplo 5..3 La corriente que pasa a través de las terminales de una bobina se muestra en la Figura 5..5 encuentre el voltaje a través de la bobina. i( A Primero expresamos la corriente como sigue: t t (s) Figura 5..5 t i( = (/t )t t t t t Dado que el voltaje a través de la bobina es: t di v = L, entonces: v( = L(/t ) t t t t ótese que si t disminuye, la magnitud del voltaje aumenta. Es claro que no se puede hacer t =, puesto que el voltaje requerido se haría infinito y se necesitaría una potencia infinita en las terminales del inductor. Por consiguiente, no es posible que los cambios de la corriente por un inductor sean instantáneos. 4

9 5.3 Características fundamentales de Capacitares y Bobinas Similitud de las ecuaciones que los definen. Tienen una relación dual; es decir, las ecuaciones que los definen son idénticas si intercambiamos C con L e i con v y viceversa. Si el voltaje a través de un capacitor es constante (es decir, que no varía con respecto al tiempo), la corriente a lo largo de este es cero y por lo tanto el capacitor se ve como un circuito abierto de CD (o DC por las siglas en inglés). De manera similar, si la corriente en una bobina es constante, el voltaje a través de ella es cero y por ende la bobina se ve como un corto circuito de CD (o DC por las siglas en inglés). Un salto instantáneo en el voltaje a través de un capacitor no es realizable físicamente debido a que requiere el movimiento de una cantidad finita de carga en un tiempo cero, la cual es una corriente infinita. Por lo tanto no es posible cambiar instantáneamente el voltaje en un capacitor. De igual manera, un cambio instantáneo en la corriente en una bobina requeriría un voltaje infinito, por lo tanto no es posible cambiar instantáneamente la corriente en una bobina. Los capacitores y las bobinas en la práctica L poseen resistencias de fuga y no son como C R fuga R símbolos que hemos presentado. Un fuga capacitor y un inductor más práctico es mostrado en la Figura 5.3. Capacitor práctico Bobina práctica Figura Relación dual para Capacitares y Bobinas Capacitor i( = C Bobina di( v( = L v C t ( = v( t ) i( dx i( = i( t ) t L t t v( dx p( = C v( di( p( = L i( w ( = Cv ( w ( = Li ( 4

10 5.5 Conexiones serieparalelo de Capacitores (Capacitancia equivalente) Capacitores en serie Para obtener el capacitor equivalente serie del circuito mostrado en la Figura 5.5, haremos uso de la LKV v( = v ( v ( v 3 ( v (, pero v t = i( vi ( t ) C, entonces t ( i i v( = i= Ci t t i( i= v ( t ) t v( = i( v( t ) C, donde v( t ) = v i ( t ) y t S i i= v( v ( v ( v 3 ( C C C 3 C v ( Figura 5.5. = = CS i= Ci C C... C i( El circuito de la Figura 5.4. puede reemplazarse por el circuito equivalente de la Figura 5.5. v( C S Es importante notar que la corriente fluye en cada uno de los Figura 5.5. capacitores en serie, cada capacitor gana la misma carga en el mismo periodo de tiempo. El voltaje a través de cada capacitor dependerá de su carga y de la capacitancia del elemento. Ejemplo 5.5. V Determine la Capacitancia equivalente y el voltaje inicial para el circuito mostrado en la Figura µf v( 6µF 3µF 4V La capacitancia equivalente es: V Figura C S = 3 6 =, así: C S = µf 4

11 Si aplicamos la LKV al circuito podemos obtener v(t ) = 4 = 3V Además podemos advertir que la energía total almacenada en el circuito es: w C 6 ( t ) = CSv ( = (x x( 3) ) = Ejemplo μ J Dos capacitares previamente descargados se conectan en serie y se cargan con una fuente de V. Un capacitor es de 3µF y el otro se desconoce. Si el voltaje a través del capacitor de 3µF es de 8V, encuentre la capacitancia del capacitor desconocido. Como conocemos el voltaje del capacitor de 3µF entonces podemos conocer la carga de ese capacitor Q = CV = (3µ)(8) = 4µC Como fluye la misma corriente en cada uno de los capacitores es serie, cada capacitor gana la misma carga en el mismo periodo de tiempo, entonces podemos conocer la capacitancia sabiendo que el voltaje a través de él es 8 = 4V, así C = Q V 4μ = = 6μ F 4 Capacitores en Paralelo Para obtener el capacitor equivalente paralelo del circuito mostrado en la Figura 5.5.4, haremos uso de la LKC i( = i ( i ( i 3 ( i ( pero i C ( = C i( i ( i ( i 3 ( i ( v( C C C 3 C Figura i( = C C C3 L i( = C i= i = C P C, donde C P = C C C 3 C Así el circuito de la Figura puede reemplazarse por el circuito equivalente de la Figura i( v( Figura C P 43

12 Ejemplo µF Encuentre la Capacitancia equivalente del circuito mostrado en la Figura µf 4µF Figura La capacitancia de µf y 4µF se encuentran en paralelo entonces el equivalente de ellos es 6µF y este queda en serie con la capacitancia de 3µF y el equivalente de éste es µf, el cual queda en paralelo con la capacitancia de µf, obteniéndose de ellos un equivalente de 4µF y éste queda en serie con la capacitancia de µf y de µf, entonces C eq será: C eq µf 3µF µf C eq = = 3μ 4μ μ 8, así: C eq = (3/)µF 5.6 Conexiones serieparalelo de inductores (Inductancia equivalente) Inductores o Bobinas en serie i( v ( v ( v 3 ( Para obtener el inductor equivalente serie del circuito mostrado en la Figura 5..6., haremos uso de la LKV v( = v ( v ( v 3 ( v (, v( L L L 3 L v ( Figura 5.6. pero di( v L ( = L, entonces: di( di( di( v( = L L L3 L L di( v( = Li i= di( = L S di(, donde L S = L L L 3 L Así el circuito de la Figura 5.6. puede reemplazarse por el circuito equivalente de la Figura 5.6. Ejemplo 5.6. H i( v( Figura 5.6. H L S Para el circuito mostrado en la Figura encuentre la inductancia equivalente. L eq 4H Figura

13 Como las bobinas están en series, se suman sus inductancias, por lo tanto, L eq = 4 = 7H Inductores o Bobinas en paralelo Para obtener el inductor equivalente paralelo del circuito mostrado en la Figura 5.6.3, haremos uso de la LKV i( = i ( i ( i 3 ( i (, pero i( i ( i ( i 3 ( i ( v( L L L 3 L Figura i = t v( ii ( t ) L, entonces: t i( = t v( ii ( t ) t i i= L i i= ( i t i( = v( i( t ) L, donde i( t ) = i i ( t ) y = t L P i= = LP i= i L L... L El circuito de la Figura puede reemplazarse por el circuito equivalente de la Figura v( i( L P Ejemplo 5.6. Determine la inductancia equivalente y la corriente inicial para el circuito mostrado en la Figura Para encontrar la inductancia equivalente ocuparemos la siguiente fórmula: v( Figura i( 3A 6A A mh 6mH 4mH L P = m 6m 4m = 6, así L P = mh Figura Para encontrar la corriente inicial se hace uso de la LKC, así: i(t ) 6 = 3, entonces i(t ) = A 45

14 5.7 Problemas Resueltos Ejemplo 5.7. Dos capacitores se conectan en serie como se muestra en la figura 5.7., encuentre V o. V o 4V Figura 5.7. µf 6µF Sabemos que la carga de un capacitor es. Q = CV, entonces podemos encontrar la carga del capacitor de 6µF, así: Q 6µF = (6µ)(4) = 44µC Ahora como ambos capacitores se encuentran en serie, entonces fluye la misma corriente en cada uno de los capacitares y por lo tanto ganan la misma carga en el mismo periodo de tiempo, así que la carga del capacitor de 6µF será la misma que la del capacitor de:µf, así podemos despejar entonces: V µf = Q µf /µ = 44µ/µ = V Ejemplo 5.7. El voltaje a través de un capacitor de µf se muestra en la figura Calcule la forma de onda para la corriente en el capacitor. v( V 6 3 Figura 5.7. t (s) Para encontrar la corriente, primero expresemos el voltaje en partes: 6t t s v( = 6 s t s (6 8 s t 3s Como la corriente a través del capacitor es: i( = C entonces obtenemos:.6ma t s i( = A s t s 46

15 .6mA s t 3s Así la forma de onda de la corriente se muestra en la figura i( ma.6 3 t (s) Ejemplo Figura Determine la capacitancia equivalente entre las terminales a y b del circuito que se muestra en la figura a 5µF 3µF Como podemos observar del circuito, en la parte inferior los capacitares de 6µF y µf se encuentran en serie y su equivalente será: (6µ)(µ)/(8µ) = 4µF y a la vez éste se encuentra en paralelo con el capacitor de µf, entonces su equivalente será: b µf µf 7µF µf Figura µF 6µF 4µ µ = 6µF, que es colocado como se muestra en la figura a, ahora la parte superior de la figura se puede reducir como se hizo anteriormente, el capacitor de 6µF se encuentra en serie con el capacitor de 3µF, entonces se pude reducir a (6µ)(3µ)/(9µ) = µ, que a la vez se encuentra en paralelo con el capacitor de µf, entonces su equivalente es: µ µ = 4µF, que es colocado como se muestra en la figura a, como podemos observar dicha figura, todos lo capacitores se encuentran en serie, entonces su equivalente será: 5µF a a C ab = =.3μ F, como se 4µF 5μ 4μ 6μ 7μ.3µF 6µF muestra en la figura b b b 7µF (b) (a) Ejemplo Figura La corriente en una bobina de 5mH es de la forma: i( = t < i( = t 4t A t > 47

16 Encuentre: (a) El voltaje a través de la bobina; (b) El tiempo en que la corriente es un máximo y, (c) El tiempo en que el voltaje es un mínimo. (a) El voltaje a través de la bobina es: será: di( v L ( = L, para t < es cero, pero para t > v t m t e e m e te e t 4t 4t 4t 4t 4t L () = (5 ) ( 4) = 5 8 =. ( 4) (b) Para obtener el tiempo en el cual la corriente es un máximo derivamos la corriente con respecto al tiempo e igualamos a cero la expresión para obtener el tiempo, así: dil () t 4t 4t = e 8te =, de aquí tenemos que 8t =, así que t = ¼ =.5s (c) Para obtener el tiempo en el cual el voltaje es un mínimo derivamos el voltaje con respecto al tiempo e igualamos a cero la expresión para obtener el tiempo, así: dvl () t = = t = t ( 4).4 t e e ( 4 e t (.8.6 ) Si observamos la expresión anterior se hará mínima cuando t. Ejemplo La corriente en una bobina de 5mH es mostrada en la figura Obtenga la forma de onda del voltaje en la bobina. i( ma t (ms) Figura Para encontrar el voltaje, primero expresemos la corriente en partes: t ms 5t m ms t 4ms i( = 5t 3m 4ms t 8ms 5t 5m 8ms t ms 48

17 Como el voltaje a través de la bobina es: di( v( = L entonces obtenemos: t ms (5m)5 =.5V ms t 4ms i( = (5m)5 =.5V 4ms t 8ms (5m)5 =.5V 8ms t ms Así la forma de onda de la corriente se muestra en la figura v( V t (ms).5 Ejemplo Figura Determine la inductancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado en la figura a mh 4mH mh mh Como podemos observar las bobinas de 4mH y mh están en paralelo y podemos reducirla a un equivalente: b mh 3mH Figura m m = 3mH y a la vez ésta queda en serie con la bobina de 3mH que se encuentra abajo, así: 3m 3m = 6mH, como puede ser observado en la figura a. Las bobinas de mh y 4mH se encuentran en serie, así: m 4m = 6mH, como se puede observar en la figura a. Observando dicha figura las bobinas de 6mH se encuentran en paralelo y podemos reducirla a una equivalente, así: mh mh 6m 6m = 3mH y ésta se encuentra en serie con la bobina de mh y la bobina de mh, así la bobina equivalente entre las terminales a y b es: 6mH m 3m m = 6mH, la cual se representa en la figura b. a b (a) 6mH Figura a b (b) 4mH 6mH 49

18 5.8 Problemas propuestos 5.8. Un capacitor de µf descargado se carga con una corriente constante de ma. Encuentre el voltaje a través del capacitor después de 4 segundos El voltaje a través de un capacitor de µf esta dado por la expresión v( = sen 377t V. Encuentre a) la corriente en el capacitor y b) la expresión para la energía almacenada en el elemento El voltaje a través de un capacitor de 4µF es de 5V cuando t =. Si la corriente por el capacitor en función del tiempo viene dada por i( = 6 6t ma para t >, calcule v( para t > Una fuente de corriente i como la mostrada en la figura 5.8.4, se conecta aun capacitor sin carga en t =. Determine la onda de voltaje de t = a t =.5 segundos y trace la onda cuando C = mf. i( A t (s).5 Figura Un capacitor de 3µF y otro de 6µF están conectados en paralelo y cargados a V: Encuentre: a) la carga almacenada por cada capacitor, b) la energía total almacenada El voltaje a través de un capacitor de 5µF se muestra en la figura Determine la forma de onda de la corriente. v( V t (ms) Figura

19 5.8.7 El voltaje a través de un capacitor de 6µF se muestra en la figura Determine la forma de onda de la corriente v( V.5 t (ms) Figura Determine la corriente i en el circuito mostrado en la figura 8, si v( = 5( t ) V i 6µF K Figura Encuentre la capacitancia equivalente entre las terminales a y b del circuito mostrado en la figura µF a b 6µF 4µF 3µF 6µF Figura Encuentre la capacitancia equivalente entre las terminales a y b del circuito mostrado en la figura µF 6µF 5µF µf 34µF 9µF 4µF a b Figura

20 5.8. Determine el voltaje en cada capacitor del circuito mostrado en la figura Suponga que el circuito se encuentra en estado estable. µf 6µF V 5µF µf Figura El modelo de un motor eléctrico es una combinación en serie de un resistor y un inductor. Una corriente i( = 4t t A fluye por la combinación en serie de un resistor de Ω y un inductor de. henrio. Determine el voltaje a través de la combinación La corriente en una bobina cambia de a ma en 4ms e induce un voltaje de mv Cuál es el valor de la bobina? Si la corriente i( =.5t A fluye a través de una bobina de H encuentre la energía almacenada a t = s La corriente por un inductor de mh se muestra en la figura Calcule el voltaje en del inductor en t = ms y t = 6ms. i( ma t (ms) 4 Figura El voltaje a través de una bobina de H esta dado por la forma de onda que se muestra en la figura Encuentre la forma de onda para la corriente en la bobina. v( V Figura t (s) 5

21 5.8.7 El voltaje a través de una bobina de mh esta dado por la forma de onda que se muestra en la figura Encuentre la forma de onda para la corriente de la bobina. v( mv Figura t (ms) La corriente en una bobina de 4mH esta dada por la forma de onda de la figura Grafique el voltaje a través de la bobina. i( ma..5 t (ms). Figura Encuentre la bobina equivalente entre las terminales a y b del circuito que se muestra en la figura a.4mh mh 7mH mh 5mH 5mH.8mH mh b Figura Determine la inductancia equivalente en las terminales a y b del circuito mostrado en la figura 5.8., cuando el interruptor S esta en (a) la posición y (b) la posición. mh a 3mH mh 4mH 3mH mh S 7mH 7mH b 9mH Figura

22 5.8. Dado el circuito que se muestra en la figura Encuentre: (a) La inductancia equivalente entre las terminales a y b, con las terminales cd en cortocircuito. (b) La inductancia equivalente entre las terminales c y b, con las terminales ab en circuito abierto. a H c 6H H b H Figura 5.8. d 5.8. Encuentre el valor de L en el circuito de la figura 5.8., de modo que la inductancia total L T sea mh. L T 4mH L mh 6mH Figura

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