q = CV Donde c es una constante de proporcionalidad conocida como capacitancia y su unidad es el Faradio (F) =.

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1 9 CAPACITORES. Un capacitor es un dispositivo de dos terminales, consiste en cuerpos conductores separados por un material no conductor que se conoce con el nombre de aislante o dieléctrico. El símbolo del capacitor se muestra en la figura 64. A causa del dieléctrico las cargas no pueden moverse de un cuerpo conductor a otro dentro del dispositivo, estas pueden transportarse a través de un circuito externo, conectado entre las terminales del capacitor. i Para describir la relación carga-voltaje del capacitor transferimos carga de una placa a otra, supongamos que por medio de un circuito externo tomamos una pequeña carga de la placa inferior a la placa superior. Este deposita una carga + en la placa superior y deja una carga - en la placa inferior, entonces la capa superior se eleva a un potencial con respecto a la placa inferior. Cada que transfiéranos incrementa la diferencia de potencial. La carga del capacitor (46) es directamente proporcional a la diferencia de potencial, esto significa que una variación en el voltaje V entre las terminales corresponde a una variación de carga q en el capacitor. q = CV Donde c es una constante de proporcionalidad conocida como capacitancia y su unidad es el Faradio (F) =. Diferenciando la ecuación (46) tenemos: i = = C. cero. De la ecuación (47) observamos que si V es constante entonces la corriente i es igual a Concluimos de lo anterior que: Un capacitor actúa como un circuito abierto ante el voltaje de corriente directa (cd). EJEMPLO Un voltaje el cual se incrementa linealmente de 0 a 1V en segundos, ver figura 65, se aplica a un capacitor de 1F, hallar la corriente en el capacitor. V = 0 t 0 V = at 0 t

2 V 1 t Si el voltaje anterior se aplica a las terminales de un capacitor de un faradio de la corriente, como muestra la figura 66. t 0 i 0 0 i a Figura 66 t i 0 Encontramos v(t) en términos de i(t) integrando la ecuación (47) dv idt obtenemos: Donde: vt t (48) V t - voltaje en el capacitor con un tiempo t. La ecuación (48) también puede escribirse como la integral indefinida mas una constante de integración. V t k Si se toma t = - y se supone que V t 9.1 Almacenamiento de energía de los capacitores. El voltaje entre las terminales de un capacitor esta acompañado por la separación entre sus placas. Estas cargas tienen fuerzas eléctricas que actúan sobre ellas, un campo eléctrico se define como la fuerza que actúa sobre unidad de carga positiva. La energía acumulada en un capacitor esta almacenada en el campo eléctrico. w t C 1 2 t Puesto que v 0 entonces podemos escribir: w t (50)

3 9.2 Conexión de capacitores Capacitores en serie. Consideramos una conexión en serie de N capacitores, ver figura 67: Figura 67 Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: v v 1 v 2 v n (51) Sustituyendo la ecuación (48) en la (51): vt 1 1 t 1 t t 2 t t t 0 v 2 t 0 v N t 0 t 0 vt 0 es el voltaje en C s en t = t. (52) Para el caso cuando dos capacitores se encuentran conectados en serie: C Cuál será la formula cuando hay conectados tres capacitores en serie? Capacitores en paralelo. Figura 68 Aplicando la primera ley de Kirchoff tenemos, figura 68: i i i i C C... C i C C C i C Cp C C C (53)

4 10 INDUCTORES. Un inductor es un dispositivo de dos terminales que consiste en un alambre conductor embobinado. Una corriente que fluya a través de este dispositivo produce un flujo magnético el cual forma trayectorias cerradas, ver figura 69. Supongamos que la bobina tiene N vueltas y que el flujo magnético Φ pasa a través de cada vuelta. El flujo total se conoce Figura 69 comúnmente como flujo total concatenado o enlazado (54). λ NΦ (54) En un inductor lineal, el acoplamiento por flujo es directamente proporcional a la corriente que lo produce: λ Li (55) Donde L es la constante de la proporcionalidad conocida como inductancia en webers por Amperio. Su unidad es el Henrio (H). En la ecuación (55) vemos que un incremento en i produce un incremento en λ, el cual genera un voltaje en la n-ésima vuelta de la bobina. total. De esta manera, el voltaje es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético v L (56) La ecuación (56) muestra que si i es constante, entonces el voltaje es igual a 0. Por lo tanto, un inductor actúa como un corto circuito ante la corriente de corriente directa (cd). Por otro lado, mientras i cambie con mayor rapidez, mayor será el voltaje que aparezca entre las terminales del inductor. Encontramos ahora la corriente i(t) en términos del voltaje v(t). Integrando la ecuación (56) tenemos: i t dt it 57 Si aceptamos que t e i 0, entonces: i t dt (58)

5 10.1 Conexión de los inductores Conexión en serie. Aplicando la segunda ley de Kirchoff, ver figura 70: v v 1 v 2 v n v L 1 L 2 L Figura 70 v L 1 L 2 L N L n 1 v L s L s L 1 L 2 L n (59) Conexión en paralelo Aplicando la primera ley de Kirchoff, ver figura 71: i i i i Figura 71 it + i (t) + + i (t) + + i(t) + + i (t) = ( + i (t ) + i (t ) + + i (t 0 ) it it it it = = (60) 10.2 Almacenamiento de energía en los inductores. Una corriente i que fluye a través del inductor produce un flujo concentrado total λ. Para establecer el flujo Φ en el inductor es necesario un trabajo. El trabajo o energía se almacena en el campo magnético. La energía almacenada en el inductor esta dada por: w t i dt i dt L L w t L como i t 0 entonces

6 w t L i t (61) 11 Leyes de la conmutación En las redes eléctricas pueden conectarse o desconectarse las ramas activas o pasivas, en ellas pueden ocurrir cortos circuitos en algunas partes, diferentes tipos de interrupción, cambios repentinos de los parámetros, etc. Como resultado de estos cambios, denominados conmutaciones (que ocurren instantáneamente) en los circuitos, surgen los procesos transitorios que terminan pasado un tiempo (teóricamente en un tiempo infinito) después de la conmutación. A continuación formu8lamos las dos leyes de la conmutación: 11.1 Primera ley de la conmutación El voltaje que aparece en las terminales de un capacitor lineal siempre debe ser una función continua. v 0 v 0 v 0 ) Donde: v (0 ) = lim Vt, el valor limite de v (t) cuando t se t 0 Aproxima a 0 desde valores de t > 0, es decir, desde arriba. Cualquier cambio abrupto o instantáneo en el voltaje requiere que una corriente infinita fluya a través del capacitor, el cual requiere una potencia infinita en las terminales del capacitor, lo que es físicamente imposible. De tal manera que los cambios abruptos de o instantáneos en el voltaje a través del capacitor no son posibles. Primera ley de conmutación: El voltaje en el capacitor conserva en el momento de la conmutación, la magnitud que tenía antes de la conmutación y después cambia empezando de la magnitud. En la figura 72 analizaremos los cambios de voltaje en los elementos del circuito para los instantes t = 0 -, t = 0 y t =. Figura 72 El esquema de figura 72 para un t = 0 nos queda de la misma forma, por lo tanto en:

7 t = 0 v 0 V Ώ V Ώ V Ώ 0 Tomando en cuenta la primera ley de la conmutación, tenemos: t v 0 v 0 0 Por lo tanto, el voltaje es igual a cero y significa un corto circuito. El esquema de la figura 72 para un t = 0 queda de la forma en que se muestra V Ώ = V Ώ = 20 V R2Ώ = V V Figura 73 El esquema para un t = queda como en la figura 74. V R4Ώ = 0 V R2Ώ = V V R12Ώ = V c V Figura Segunda ley de conmutación La corriente circula por un inductor lineal siempre debe ser una función continua. i 0 i 0 i 0 (63) Donde: i L (0 ) = lim i (0 ) = lim t < 0 t > 0 0 Tiempo antes de acción del interruptor. 0 Tiempo después de la acción del interruptor. Los momentos 0 y 0 físicamente son el mismo instante de tiempo pero para el circuito significan diferentes estados. Generalmente 0 es el instante antes de la conmutación y en este momento evaluamos las condiciones iníciales, y 0 es el primer instante después de la conmutación y en este momento permanecen constantes los parámetros que no cambian abruptamente como son el voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor.

8 Los cambios abruptos en la corriente requieren un voltaje infinito aparezca entre las terminales del inductor, esto requiere que exista una potencia infinita en las terminales del inductor, lo cual es físicamente imposible. De esta manera, los cambios instantáneos en la corriente a través del inductor no son posibles. Segunda ley de conmutación. La corriente en el inductor se conserva en el momento de la conmutación, la magnitud que tenia antes de la conmutación y después empieza a cambiar a partir de esa magnitud. En la figura 75 analizaremos los cambios de corriente en los elementos del circuito para las instantes t = 0, t = 0 y t =. Figura 75 El esquema de la figura 75 para un t = 0 queda de la misma forma, por lo tanto: i L i R9Ώ i R3Ώ 0 Tomando en cuenta la segunda ley de conmutación, tenemos: i L (0 ) = (0 ) = 0 La corriente en el inductor es igual a cero, por lo tanto, este se comporta como un circuito abierto. 76. El esquema de la figura 75 para un t = 0 queda de la forma que se muestra en la figura i R3Ώ 18A i R9Ώ 0A Figura 76

9 El esquema para un t = queda como en la figura 77. i L A Figura 77 Los ejemplos de los 72 y 75 muestran que aun cuando se cumpla con las leyes de la conmutación, hay casos particulares en los cuales el capacitor puede actuar como un corto circuito y el inductor, como un cortó abierto. Podemos observar que los resistores, la corriente y el voltaje, cambian generalmente de manera abrupta. 12 Procesos transitorios, forzados y naturales En capítulos anteriores consideramos los estados permanentes de los circuitos, es decir, los voltajes y las corrientes permanecen constantes en un largo tiempo. Este régimen se establece cuando esta actuando una fuente de energía por un tiempo bastante prolongado, pero no en el momento de conectar o desconectar la fuente de alimentación o en el momento de cambio de sus parámetros, es decir después de la conmutación. Desde el momento de la conmutación en el circuito se observa un proceso transitorio, que dura un tiempo prolongado (teóricamente infinito) y después se convierte paulatinamente en un régimen establecido. De esta manera el proceso transitorio permite una transición suave de este nivel de energía a otro circuito o sistema. La solución transitoria es un medio para describir la manera con que el circuito reacciona para satisfacer las condiciones iníciales al aplicar una función de excitación, que demande un cambio en el estado de energía. En la vida cotidiana podemos percibir el proceso transitorio al conectar o apagar el radio. Usted puede observar que al desconectar el aparato de sonido sigue trabajando todavía unos segundos, Por qué paso esto? Por que los elementos del radio tienen energía acumulada y sin tener fuente de alimentación comienzan a liberar esta energía permitiendo funcionar nuestro aparato. Lo mismo pasa cuando conectamos; el sonido tarda en aparecer por que el aparato necesita un tiempo para pasar un estado establecido (sin fuente de energía) a otro funcionando. De esta manera un régimen establecido esta separado de otro por un intervalo de tiempo durante el cual pasan los fenómenos que aseguran un cambio gradual del estado anterior al nuevo estado. El estudio del proceso transitorio se simplifica si se considera el proceso transitorio como resultado de la superposición de dos procesos: primero, es el régimen establecido que se supone

10 que empieza momentáneamente después de la conmutación; y el segundo, es el proceso libre que caracteriza el cambio del régimen establecido anterior al nuevo régimen establecido. El proceso libre (conocido comúnmente como respuesta natural) depende de la naturaleza general del circuito (el tipo de elementos que lo forman, su tamaño, la forma en que están interconectados) y no depende del tipo de fuente empleada. Tomando en cuenta que los circuitos que contienen los capacitores o inductores se describen en el caso general por las ecuaciones integrodiferenciales, la respuesta natural es al mismo tiempo la solución de una ecuación diferencial, lineal, homogénea o sea, es la función complementaria. El régimen establecido proporciona la respuesta que tiene la misma forma que la función de excitación. Por lo tanto, si la función de excitación es una senoide la respuesta forzada será también una senoide. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. De esta manera la respuesta total puede representarse como la suma de las dos respuestas (natural y forzada). i i f i n v R v Rf v Rn V L V Lf V Ln V C V Cf V Cn (64) Veremos el circuito de la figura 78: Por la segunda ley de Kirchoff, para cualquier t: Figura 78 Ri L 1 e Donde i es la corriente del proceso transitorio. Cuando el proceso transitorio termina, empieza el proceso forzado. Ri f L Donde 1 e i - es la corriente forzada Restando la ecuación de la primera y representando i i i tenemos: Ri n L 1 0 o V Rn V Ln V Cn 0 La diferencia entre voltajes y corrientes de los procesos transitorio y forzado se llama voltaje y corriente natural. Por causa de la corriente natural el proceso se aproxima continuamente al forzado.

11 13 Circuito de primer orden En este capitulo introduciremos el estudio de circuitos integrados por un solo elemento que almacena energía. De este modo, el tipo de circuito que analizaremos es aquel que contiene un solo capacitor o un solo inductor, y además cualquier cantidad de resistencias y fuentes. Se demuestra que las ecuaciones que describen a estos circuitos pueden ponerse en la forma que considere una variable desconocida Circuitos RL Cualquier circuito compuesto por resistencias y un inductor representa un caso donde ocurre una disipación de energía, así como un almacenamiento de la misma en forma de campo magnético, A continuación presentamos los siguientes casos que se pueden dar en circuitos RL Circuito RL simple (sin fuentes) Figura 79 La corriente y voltaje producidos por la energía almacenada en el inductor esta dada por: W L = L i (t) Tomando en cuenta que no hay fuentes conectadas en el circuito de la figura 79: i f 0 Entonces i i n Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: V R V L R i L 0 i = 0 Hay que encontrar una expresión para i(t) que satisfaga a esta ecuación y que tenga el valor I 0 en t = 0. Para resolver una ecuación diferencial separamos las variables para integrar ambos miembros de la ecuación: = - i (Multiplicamos por dt y dividimos entre i) = dt ln i = - dt t ln i ln I = - t i(t) = I 0 e De igual forma podemos encontrara las respuestas utilizando integrales definidas:

12 = dt obteniendo: ln i = t + k La constante de integración la calculamos para que satisfaga la condición inicial i(0) = I Entonces en t = 0 la respuesta se convierte en ln I = K por lo tanto: i(t) = I 0 e ln i = t + K I 0 Representando = la siguiente ecuación queda de la siguiente forma: it I 0 e I 0 e t (65) = = coeficiente de amortiguación. Donde: es la constante de tiempo y puede ser definida como el tiempo en el cual i disminuye en e veces respecto a la magnitud inicial, ver figura 80. La corriente natural se amortigua con menor rapidez cuando mayor sea la constante de tiempo o menor el coeficiente de amortiguación, es decir, para valores mayores de inductancia (L) y valores menores de resistencia (R). En caso general denominamos (66) Donde R es la resistencia equivalente vista desde las terminales del inductor, para t > 0 (suponiendo que es el tiempo cuando se lleva a cabo la conmutación). La potencia instantánea entregada al resistor es: p(t) = R i (t) = R I 2 0 e De esta manera la energía absorbida por el resistor cuando la corriente se hace infinita esta dada por: W( ) = dt = I 2 0 e = I 2 0 R e = I 0 2 L Este es el resultado que se esperaba, por que la energía total almacenada inicialmente en el inductor es W = I y no hay energía almacenada en el inductor en el tiempo infinito, ya que toda la energía almacenada inicialmente en el inductor se dispara a través del resistor.

13 Ejemplo En el circuito de la figura 81 encontrara i cuando la corriente en t = 0 es igual a 10 A. i L =Ae = R = = 35Ω = seg. Figura 81 i L =Ae 35 3 Por la segunda ley de la conmutación i0 i0 i0 A 10 i L = 10 e Circuito RL con fuentes de energía Circuito RL en corto circuito. La corriente es el inductor antes de la conmutación es constante, ver figura 82. i 0 = La corriente forzada después de la conmutación es igual a 0 i f = 0 por lo tanto i = i n Evaluando en t = (0 ) tenemos: Figura 82 i(0 ) = i(0) = i(0 ) = i = i n e = e V L = L = L e = - E e = - e L Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 83 encontrar la corriente en el inductor i. Figura 83

14 Recordemos que i L = i Ln + i Lf La respuesta forzada i Lf = 0 ya que para un t = la fuente de corriente de 10A esta en corto circuito, por lo tanto. i L = i Ln = Ae. Donde = donde R = = 12Ω Por lo tanto: =. i =Ae = Ae Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito, ver figura 84, para un t = 0 Figura 84 Recuerde que el inductor se comporta como un corto circuito Por divisor de corriente, tenemos: i L (0 ) = (10) = 8A Evaluando en t = i(0 ), obtenemos: i L (0 ) = i L (0 ) = 8A Sustituyendo el valor de A en la ecuación de la respuesta correcta completa queda: i L = 8e (A) Circuito RL con corriente directa Como sabemos la corriente transitoria i tiene 2 componentes que son: corriente forzada y corriente natural, ver figura 85. Figura 85 i(0 ) = 0 Procedemos a encontrar la corriente forzada i f = i = i f + i n = - e = e

15 V L = V Ln = L = L e = -V Antes de conectar la tensión en el inductor V L = 0 y en el momento de la conmutación V L = -V entonces la tensión natural y transitoria cambian abruptamente. Ejemplo: i L. En el circuito que se muestra en la figura 86, encontrar la corriente en el inductor Figura 86 i L = i Lf + i Ln Para encontrar la respuesta forzada redibujaremos el circuito para un t =, ver figura 87. Figura 87 i ( ) =. = 25 A = = = Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito para un t = 0, como se muestra en la figura 88. i L (0 ) = = 40A i L = 25 + Ae = 25 + Ae Figura 88 Por la ley segunda de la conmutación, tenemos: i L (0 ) = i L (0 ) = 40 Evaluando en t = 0, la ecuación de la respuesta correcta, tenemos: 40 = 25 + A A = 15 La respuesta total queda i L == e (A)

16 13.2 Circuito RC Circuito RC sin fuentes Suponga que el capacitor se carga a un voltaje de v 0, ver la figura 89, en el tiempo inicial, el cual tomaremos como t = 0. La energía almacenada inicialmente en el capacitor es: Figura 89 w c (0) = C v 2 i f = 0 entonces i = i n i = = C Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos: Ri + v = 0 = RC + v = 0 + v = 0 Separando las variables v y t: = - v = dt = - ln v = - + k Donde k la seleccionamos de tal modo que satisfaga la condición inicial. Por la primera ley de la conmutación tenemos: v(0 ) = v(0) = v(0 ) = v 0 ln v (0) = ln v 0 = k ln v ln v = ln = - v = v 0 e (67) Donde: = RC coeficiente de tiempo, ver figura 90. En caso general = R C (68) Donde R es la resistencia equivalente vista desde las terminales del capacitor para t > 0 (cuando la conmutación se lleva a cabo para un t = 0). Cuando el tiempo se incrementa, el voltaje y la energía almacenada en el capacitor decrecen. La potencia instantánea, absorbida por el resistor es: P R (t) = = e Por lo tanto, la energía absorbida por el resistor en un tiempo infinito es:

17 W R ( ) = dt = e = - CV 0 2 e = CV 0 2 la cual es la igual a la energía almacenada inicialmente en la red. Figura 90 Ejemplo: En el circuito de la figura 91 encontrar v c. V c = V cf + V cn Como podemos observar V cf = 0. Por lo tanto. V c = V cn = Ae = Ae Figura 91 = = 2 En la figura 92 determinamos las condiciones iníciales. V c (0 ) = V R 5Ώ = (40) = 25 Por la ley de la conmutación tenemos: Figura 92 V c (0 ) = V c (0 ) = 25 = A Por lo tanto queda: V c = 25e Circuito en corto circuito V c = V cf + V cn Figura 93 Tomando en cuenta la figura 93, podemos observar que la respuesta forzada del voltaje en el capacitor es igual a cero, debido a que en un t = la fuente de voltaje E se encuentra en corto circuito.

18 Como V cf = 0 entonces V c = V cn + V cn = 0 La solución general de la ecuación anterior es: V cn = Ae Por la ley de la conmutación, tenemos: V (0 ) = V (0 ) = E = A Donde: A = E es el voltaje inicial en el capacitor y lo encontramos a partir de las condiciones iníciales. Sustituyendo la constante A en la ecuación de la respuesta, obtenemos: V cn = Ee Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos: ri n + V cn = 0 i n = - = - e Graficando el resultado anterior, obtenemos la figura 94. Figura Circuito RC con corriente directa V c = V cf + V cn V cf = E El capacitor no fue cargado V(0 ) = 0V. Por la ley de la conmutación. V(0 ) = i(0 ) = 0 Figura 95 Evaluando la expresión en t = 0 0 = E + A A = -E V c = E (1- e ) i c = C = e

19 Ejemplo En el esquema de la figura 96 encontrar las corrientes i 1,i 2, e i 3 y el voltaje en el capacitor. Datos Figura 96 R 1 = R 3 = 5Ω R 2 = 10 Ω R 4 = 15 Ω C = 1 F E = 15 V Para facilitar la solución de nuestro ejercicio, dividiremos nuestro esquema en tres partes: t < 0 En este tiempo encontramos el valor de las condiciones iníciales, donde el capacitor se comporta como u circuito abierto, ver figura 97. i 1 = i 2 = = V c (0 ) = i 2 (R 2 + R 4 ) = = 125 Figura 97 t = en este tiempo encontramos el valor de la componente forzada, el capacitor se comporta como un circuito abierto, ver figura 98. V cf = R 2 i 2f i 2f = i 1f = = V cf = 10 (1) = 10 V = 1A Figura 98 i 3f = 0A

20 t > 0 en este tiempo encontramos el valor de la componente natural, se conecta el capacitor y las fuentes se ajustan a cero, ver figura 99. Tomando en cuenta que V c = V cf + V cn Entonces: V c = 10 Ae Figura 99 R = R + R = 5 + = 8.33Ω = seg. La respuesta correcta puede escribirse V c = 10 Ae Evaluando en t = 0: 2.5 = 10A A = 2.5 V c = e i 3 = C = 10 (-30)( 10 ) e = -0.3e i 2 = =.. = e i 1 = i 2 + i 3 = e + (-0.3e ) = 1 0.2e

21 14 Función escalón unitario La operación de un interruptor en serie con una batería es equivalente a una función de excitación que vale cero hasta que se cierra el interruptor, y después es igual al voltaje de la batería. En esta función de excitación cambia su magnitud instantánea en el momento de la conmutación, este tipo de funciones se relaciona con funciones singulares. La función más importante de este tipo son la función escalón unitario e impulso unitario. La función de excitación unitaria (conocida como la función de heaviside) se define como una función del tiempo, que vale cero cuando su argumento es negativo y vale uno cuando su argumento es positivo. La descripción matemática de la función (69): 0 0 u (t) 1 0 La grafica se muestra en la figura 100 Figura 100 Por medio de la función escalón unitario puede expresarse cualquier tipo de funciones. Una fuente de voltaje o de corriente puede ser representada como una multiplicación u(t) por el voltaje o la corriente. Un escalón de voltaje de V voltios se representa como V u(t) y su circuito equivalente se muestra en la figura 101. Figura 101 Como podemos observar existe un corto circuito para t < 0 y el voltaje es cero. Para t > 0 aparece un voltaje V entre las terminales. Analógicamente en el circuito equivalente de una fuente de escalón de corriente de I amperios, ver figura 102. Figura 102 Existe un circuito abierto para t < 0 y la corriente es igual a cero. Para t > 0 fluye una corriente de I amperios entre las terminales. En circuitos reales no es necesario que la fuente de voltaje este en corto circuito para t < 0, basta conectar una fuente de voltaje en serie con un interruptor, y esto es equivalente a un generador de escalón de voltaje, ver figura 103.

22 Figura 103 Regresando a nuestra definición de escalón unitario, podemos generalizarla reemplazando t por t t 0, obteniendo: u (t t 0 ) (70) su grafica se muestra en la figura 104 Figura 104 La función u (t t 0 ) es la función u (t) atrasada t 0 segundos. Multiplicando esta función por V o I resulta una fuente de escalón de voltaje o de corriente, cuyo valor cambia abruptamente en el tiempo t 0. Las funciones escalón son útiles en la formulación de funciones complejas. Por ejemplo, tomemos el siguiente pulso de voltaje, según la figura 105: Su grafica es 0 0 v(t) Figura 105 Puesto que u(t) se hace 1 para t > 0 y ut t se hace -1 para t > t obtenemos: V 1 (t) = V (71) Como podemos observar nuestro pulso original esta formado por dos pulsos, de tal forma que podemos verificar este resultado, observemos la figura 106 t < 0 V 1 (t) = V(0-0) = 0 Figura < t < t 0 V 1 (t) = V(1-0) = v

23 t > t 0 V 1 (t) = V1 1 = 0 La fuente que suministra el pulso rectangular de voltaje se muestra en la figura 107. Figura 107 Ejemplo: Dibujar la grafica para las siguientes funciones: ft 40u t ft 3u t 1 ft t 2u3 t Esta función podemos escribirla de la siguiente forma: 2u t Respuesta al escalón unitario La respuesta al escalón es la respuesta del circuito que tiene solo una entrada, la cual es la función escalón unitario. Respuesta y escalón de entrada pueden ser una corriente o un voltaje. Esta es la situación cuando los corrientes y los voltajes en la red son iguales a cero en t = 0. Así la respuesta al escalón es la respuesta a la entrada de un escalón unitario sin energía inicial almacenada en el circuito.

24 Figura 108 Por ejemplo, encontramos la respuesta al escalón V en el circuito RC con una entrada v c ut V, cuyo impulso de entrada se muestra en la figura 108. Figura 109 El sistema equivalente del circuito se muestra en la figura 109. Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: RC + v = u(t) + = u (t) En el tiempo t = 0 - tenemos: + Cuya solución es v = A e = 0 Al aplicar la condición inicial V c (0 ) = V(0) = V c (0 ) vemos que A es igual a cero. vt 0 para t 0. Lo anterior confirma nuestra afirmación de que la respuesta es cero antes del cambio de la entrada. En el tiempo t > 0, ver figura 110. Figura = 1 Sabemos que v = v f + v n entonces: v f = 1 y v n = Ae de tal manera que: v = 1 + Ae Tomando en cuenta que V c (0 ) = V(0) = V c (0 ) 0 A = -1, y por lo tanto la solución para todo tiempo es igual: 0 0 v(t) (72) 1 0 Lo escrito en la ecuación 72 puede escribirse usando la función escalón unitario.

25 v(t) = (1- e ) u(t) (73) Tomando en cuenta la expresión 73 la grafica de salida es, figura 111. Figura Aplicación del principio de superposición En la figura 112 encontrar v, utilizando el principio de superposición. El valor de la fuente de corriente es i g = 10 ut 10 ut 1, analicemos el problema. Figura 112 Esta fuente es equivalente a un par de fuentes de corriente independientes conectadas en paralelo. i g = i g1 + i g2 i g1 = 10 u(t) i g2 = -10 ut 1 La respuesta debida al escalón de corriente i es: v = 121 e u (t) Figura 113 Observemos que i es negativa de i, atrasado un segundo en el tiempo. Por tanto V se obtiene a partir de V, al multiplicar V por 1 y reemplazar t por t 1, ver figura 113. v = -12 I e u t 1 Y obtenemos que: v(t) = 12 1 e u (t) e u t 1

26 15 El caso general Las ecuaciones que describen las redes son casos especiales de una expresión dada por: + Py = Q (74) Donde y es la variable incógnita (v, i) y P, Q son constantes. Por separación de variables se puede encontrar la solución de la ecuación (74). Veremos otro método, el del factor de integración, que consiste en multiplicar la ecuación por un factor que hace de su miembro izquierdo una derivada perfecta y luego se integran ambos. Consideremos la derivada de un producto: (ye ) = + Pye = e Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por e, tenemos: (ye ) = Qe (75) Integrando ambos miembros de la ecuación ye = e dt + A (76) y = e Q e dt + Ae (77) Lo cual es valido si Q es una función de tiempo o una constante. En el caso de la corriente directa y = Ae + = y + y (78) Observemos que y tiene la misma forma matemática que una respuesta sin fuentes y y es una constante proporcional a Q, además 1/P es la constante de tiempo en la respuesta natural. Ejemplo Utilizando la figura 114 encontrar la corriente i para t > 0, si i 0 1 A. Figura 114 El problema de la figura 114 podemos solucionarlo utilizando 2 métodos; Método generalizado Aplicando análisis de mallas tenemos: Despejando i y sustituyendo en i : 10i 5 P = 10 y Q = i = Ae + Evaluando en t = 0; = A + A =

27 Por lo tanto la respuesta correcta es: Método clásico i = e + Este método consiste en encontrar la respuesta completa como la suma de dos respuestas, y se utiliza para circuitos de corriente directa que no tenga elementos como amplificadores operacionales o fuentes dependientes. i = i + i t = 0 En este tiempo encontramos el valor de la corriente forzada, el inductor se comporta como un corto circuito, ver figura 115 Figura 115 V = 10 = 4V i = 8 = 4 8 = 1 2 A i = Ae Donde: = = = i = e + Observemos que no importa utilizar el método generalizado o el método clásico, en este caso en particular la respuesta es la misma. Generalizando nuestro análisis, + Pyt Qt (79) Donde: Q(t) es variable. La solución general (complementaria) es independiente de la forma particular de la función excitación, en cambio la solución particular (respuesta forzada) tiene una forma que es asimilar a la forma particular de la función excitación. Para diferentes Q(t) podemos encontrar y sustituyendo una forma supuesta para y(t) y resolviendo para constantes desconocidas (utilizando el método de los coeficientes indeterminados), ver tabla 1.

28 Tabla 1 Q(t) + sin cos cos cos cos cos Ejemplo: Encontrar i en la figura 116. Figura 116 Donde V = V sin tut Aplicando la segunda ley de Kirchoff L + Ri = V sin t (80) Suponemos la forma de la respuesta forzada según tabla 1: i = A sin t + B cos t (81) Sustituyendo la expresión (81) en la ecuación (80) tenemos: L (A cos wt B sin wt) + R (A sin wt + B cos wt) = V sin wt Igualando los coeficientes correspondientes de sin t y cos t O en forma matricial 0 Resolviendo = 0 A = y B =

29 Supongamos que los parámetros R = 2Ω, L = 1H, = 1 y V = 10v, con estos datos A = 4 y B = 2, de donde i = 4 sin t 2 cos t. i i i Ke 4 sin t 2 cos t Ke 4 sin t 2 cos t (82) Evaluando la ecuación (82) en t = 0. i0 0 K 2 K = 2 i 2e 4 sin t 2 cos t A continuación presentamos algunos problemas resueltos que nos ayudaran a comprender el material antes expuesto. Ejemplo: Encontrar i, utilizando la figura 117, y suponiendo que i0 2A. Aplicando análisis de mallas: Figura 117 Como V = 4i = 2i + i = i + Sustituyendo i en la primera ecuación, Resolviendo + 6i 2 = 0 + 6i i - = 0 + 5i = 0 multiplicado por (4/5) obtenemos: 4 = 0 La respuesta completa es: i = 2e Ejemplo: Encontrar el voltaje en el capacitor si a) V = 6v y b) V e y el voltaje inicial V (0) = 2v, ver figura 118.

30 Figura 118 Aplicando análisis de nodos V V 1 2 V 1 3 V 1 2 V Despejando V en la primera ecuación: V V = V V = V V Sustituyendo V en la segunda ecuación: - + V + = 0 + V = V + 3 V = 2 V V = 6v V = K 3K = 12 K = 4 + 3V = 12 V = Ae + 4 (83) Evaluando en t = 0 la expresión 83, y dada la condición inicial, obtenemos: 2 = A + 4 A = -2 V = 4 2e V = 6e + 3V = 6e V = Ae t Ae 3Ae t + 3Ae = 12e A = 12 V = 12e t + A e (84) Tomando en cuenta la condición inicial evaluamos, la ecuación (84) en t = 0: Entonces V (0) = 2 = A V = 2e + 12te

31 Ejemplo: En el esquema de la figura 119 encontrar la corriente i. Evaluando (85) en t = 0 V (0 ) = 12 = A + 8 A = 4 V = 4e + 8 V = Ae + V V = 8v V = Ae + 8 (85) Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: V = 8 V = 8 8 4e = 4e + 3i (3) = 0 + 3i = V = (4e ) = 6e i = Ae i = Ke -5Ke + 3Ke = 6e -2K = -6 K = 3 i = 3e + Ae (86) Evaluando la ecuación (86) en t = 0 i(0 ) = 0 = 3 + A A = -3 i = 3(e e ) Ejemplo: En la figura 120 encontrar el voltaje V. Figura 119 Figura 120 V V 1 2 V V

32 + V = + 2V = = e V = Ke K = V = 6e + Ae V (0 ) = 2 = 6 + A A = -4 V = 6e 4e V = V - V V = 3V 2V = 3(6e - 4e ) 2(2e ) = V = 14e 12e 15.1 Condiciones iníciales aplicadas en t 0. Hasta este momento hemos ejemplificados esquemas en lo cuales las condiciones iníciales se muestran en un t = 0. Analizaremos el caso en el cual se especifiquen condiciones iníciales para valores de t diferentes de cero. Ejemplo: Supongamos que el circuito de la figura 121 es excitado solo por una condición inicial en el capacitor. V (t ) = V Figura 121 Señalamos que la constante de tiempo para este circuito, es, el tiempo que requiere una variable para decaer hasta 36.8% de su valor inicial, es 0 = RC Puesto que el circuito es invariante en el tiempo, este hecho debe seguirse cumpliendo sin importar en que constante empezamos a contar el tiempo. Por tanto, si el voltaje V(t) en el capacitor es igual V en cierto tiempo t, su valor será igual a 0.368V al tiempo t + RC t t = RC + t Además, todos los valores de V(t) exhibirán un comportamiento exponencial similar. Debe ser aparente, tanto por nuestro dibujo, ver figura 122, como por nuestro análisis anterior, que las curvas tienen las misma forma pero se encuentran desplazadas a lo largo le la abscisa por la cantidad t. Si llamamos curva a la punteada V (t) Y a la curva continua V(t), es posible definir matemáticamente tal desplazamiento por medio de la relación. Figura 122 V(t) = V (t t ) Esta ecuación define una operación del tiempo que se denomina usualmente en forma matemática como corrimiento o traslación.

33 Se aplica sin dificultad en una amplia variedad de problemas en los que elementos se agregan o eliminan de un circuito, abriendo o cerrando interruptores, en diferentes instantes de tiempo. Si la expresión para la curva punteada es V = V e u(t), entonces la expresión para la curva continua V(t) es: V(t) = V e u(t t ) En otras palabras, si sustituimos el argumento t t 0 por el argumento t en la expresión para la curva punteada, obtenemos la expresión correcta para la curva continua. Para comprobar la validez de esta expresión, notamos que cuando t = t V(t ) = V. 16 Circuitos de segundo orden En esta capitulo estudiaremos las propiedades de los circuitos que tienen dos elemento que almacenan energía. Hay tres tipos posibles de estos circuitos con un inductor y un capacitor. El circuito de segundo orden puede también incluir una cantidad de resistencias y de fuentes (independientes y dependientes). Estos circuitos están caracterizados por ecuaciones diferenciales de segundo orden Circuito RLC en paralelo Supongamos que la energía puede almacenarse tanto en el inductor como en el capacitor, entonces la corriente como en el inductor como el voltaje en el capacitor podrán tener valores iníciales diferentes de cero, analicemos la figura 123. Las condiciones iníciales son: i(0) = I v(0) = V Entonces con base en la primera ley de Kirchoff tenemos: Figura i(t ) + C = 0 Tomamos la derivada con respecto al tiempo, el resultado es la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. C + + v = 0 (87) La solución de la ecuación (87) la buscamos de la forma: v = Ae (88) Sustituyendo (88) y (87) obtenemos:

34 CAS e + ASe + Ae = 0 Factorizando tenemos: Ae (CS + S + ) = 0 CS + S + = 0 (89) La expresión (89) es conocida como ecuación característica o auxiliar, tomando en cuenta que es una expresión cuadrática hay dos soluciones, identificadas por S y S. S = - + S = - - (90) (91) Si cualquiera de estos valores se usa para S en la solución supuesta, entonces la solución satisface a la ecuación diferencial dada. Supongamos que en (87) se sustituye por S por S : v = A e y S por S : v = A e La primera suposición satisface a la ecuación diferencial: C + C + + v = 0 + v = 0 Sumando las ecuaciones diferenciales anteriores, tenemos: C ( ) + ( ) + (v +v ) = 0 La suma de dos soluciones es también una solución, por tanto, tenemos que la respuesta natural es la forma: v = A e + A e (92) Donde: A y A son constantes arbitrarias que deben solucionarse para satisfacer las dos condiciones iníciales especificadas. Denominamos: 0 = frecuencia de resonancia = coeficiente de amortiguamiento o frecuencia neperiana. Las ecuaciones (90) y (91) podemos escribirlas de la siguiente manera: S = - + S = - - La naturaleza de las respuesta depende de las magnitudes de y Caso sobreamortiguado. Una respuesta sobreamortiguada se obtiene de un circuito de segundo orden cuando las raíces de la ecuación característica son ambas reales y diferentes. Este es el caso cuando >.

35 En este caso el radical utilizado para calcular S y S será real y ambos serán reales además <. - - < - + < 0. Por lo tanto, la respuesta puede expresarse como la suma algebraica de dos funciones exponenciales decrecientes, las cuales se aproximan a cero. V = A e + A e (93) Ejemplo 1: En el circuito de la figura 124 encontrar V siendo condiciones iníciales V (0) = 0 e i (0) = 10A = 1 = = 1 = = 3.5 = 6 S, = - = = -6; Figura 124 Escribiendo la forma general de solución de la respuesta natural, tenemos: v(t) = A e + A e = A e + A e Tomando en cuenta que la condición inicial v(0) = 0: 0 = A + A (94) Para obtener la segunda ecuación que relacione A 1 y A 2 tomamos la derivada v(t) con respecto al tiempo. = - A e 6A e Evaluando en t = 0 = A 6A Recordemos i debe evaluarse en t = 0, por que puede cambiar de manera abrupta o instantánea, como i = C despejando obtenemos = por lo tanto: = = = = = = A 6A (95) Resolviendo las ecuaciones (94) y (95) obtenemos los valores para las constantes: A = 84 y A = -84 Por lo tanto, la solución final para la respuesta natural es:

36 V(t) = 84(e - e ) Ejemplo: encontrar V en la figura 125. = = Figura = = = 2 Como podemos observar > por lo tanto nuestro caso es sobreamortiguado, su formula es: v = A e + A e Procedemos a encontrar los valores de las raíces: S, = - = = -2 1 = -3, -1 Como V = 0 entonces: V = V + V V = V = A e + A e (96) Para encontrar las condiciones iníciales dibujamos nuestro esquema para u tiempo t < 0. Debemos recordar que para este tiempo el capacitor se comporta como un circuito abierto y el inductor, como un corto circuito, ver figura 126. Figura 126

37 Tomando en cuenta las leyes de conmutación tenemos: v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0 i (0 ) = i (0) = i (0 ) = = 2A Evaluando la expresión (96) en t tenemos: v (0 ) = 0 = A + A = 3A - A =. Para encontrar i (0 ) volvemos a dibujar nuestro circuito, tomando en cuanta las condiciones iníciales que obtuvimos anteriormente, ver figura 127: i (0 ) = -2 Nos queda un sistema de dos ecuaciones: Figura (97) Resolviendo las ecuaciones (97) tenemos: -2A = -24 A = 12 A = A = -12 Por lo tanto V = 12(e - e ) Caso críticamente amortiguado El caso cuando = recibe el nombre de críticamente amortiguado, en este caso LC = 4R C o L = 4R C, cuando = la ecuación diferencial se convierte en: V = 0 (98) L a solución puede expresarse como la solución de dos funciones, una de ellas es exponencial negativa y la otra es una multiplicación de t por una exponencial negativa. V = (A t + A ) (99) Ejemplo: Qué valor de R provocara un amortiguamiento crítico en el circuito mostrado en la figura 128? Usando el valor de R calcúlese i (t). = L = 4R C R = 1 4 R = 1 2

38 Figura 128 Sustituyendo en los valores de LC obtenemos: R = = = = = = e (At + B) = Tomando en cuenta las leyes de la conmutación tenemos: v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0 i (0 ) = i (0) = i (0 ) = = 24mA Evaluando en v (0 ) = 0 = B Por lo tanto V = Ate = Ae = A = - 10 Ate = = (1.2)10 Recordemos que para encontrar el valor de la corriente i (0 ) es aconsejable dibujar, ver figura 129, el esquema tomando en cuenta las condiciones iníciales. Figura 129 i (0 ) = 24mA V (t) = 1.2 x 10 te v i (t) = C = 200 x 10 (1.2 x 10 te ) i (t) = 24e (1-10 t) ma Caso subamortiguado

39 Es el caso cuando < y el radical para expresiones S y S se vuelve negativo, usando números complejos, la respuesta exponencial se transforma en una respuesta senoidal amortiguada. V = A e + A e Donde S, = y luego = 1 = j Donde j = 1 Ahora se toma el nuevo radical, para el caso subamortiguado es real y se llama, frecuencia natural de resonancia. La respuesta puede escribirse como: = V (t) = t (A cos + A sin t) (100) La ecuación (100) es una función senoidal amortiguada. Si = 0 lo cual corresponde a una resistencia infinitamente grande V (t) se transforma en una senoide no amortiguada, que oscila con una amplitud constante. Pueden construirse circuitos RLC en paralelo reales con valores tan grandes de R que puedan mantener por años su respuesta natural senoidal no amortiguadas. También pueden fabricarse redes activas que a cada oscilación de V (t) introduzcan una porción de energía, para que pueda mantenerse una respuesta senoidal casi perfecta. Este circuito es un oscilador senoidal o generador de señales. Ejemplo tomando en cuanta la figura 130 encontramos i. Figura 130 = = = = = 400 = Como podemos observar <, por lo tanto nuestro caso es subamortiguado. = = = 300

40 131. Recordemos que la ecuación general es: i (t) = t (Acos t + Bsin t) (101) Sustituyendo los valores en (101) obtenemos: i (t) = t (Acos 300t + Bsin 300t) Encontramos las condiciones iníciales en un momento t < 0, tomando en cuenta la figura Figura 131 i (0 ) =i (0) = i (0 ) = = 0.18A Para 0 dibujamos el esquema, en la figura 132. Figura 132 v (0 ) = v (0 ) = 0 = -400e (Acos 300t + Bsin 300t) + e (-300 Asin 300t Bcos 300t) t=0^+ = -400 A B = = = Despejando B obtenemos: Entonces: B = 4 3 A = 0.24 i (t) = e (0.18cos sin 300t)

41 16.2 Circuito RLC en serie Analizaremos el circuito de la figura 133. El circuito RLC en paralelo. Por tanto. Las ecuaciones del circuito RLC en paralelo tienen contrapartes duales en el circuito RLC en serie Figura 133 V(0) = V i(0) = i La ecuación del lazo o malla es: L + ri + 1 dt - V (t ) L 2 + r + = 0 (102) 2 La ecuación (102) es el dual de la ecuación RLC en paralelo: C = 0 (87) 2 De tal manera que la información obtenida en el circuito RLC en paralelo es directamente aplicable el circuito RLC en serie. Donde la respuesta de voltaje se transforma en una respuesta de corriente. La ecuación característica resultante es: Ls + rs + 1 = 0 (103) Donde las raíces se definen como: S, = El circuito RLC en serie es sobreamortiguado si: Ó C > 4 > y la respuesta es: i = A e + A e El circuito RLC en serie es críticamente amortiguado si: C = en cuyo caso s = s = - y la respuesta es: i = (A + A t) e El circuito RLC en serie es subamortiguado si:

42 C < en cuyo caso la frecuencia de resonancia es: =, el coeficiente de resonancia es: = y la frecuencia natural de resonancia es: =. y la respuesta es: i = (A cos + A sin t) 16.3 Respuesta completa del circuito RLC Ahora veremos los circuitos RLC en los cuales se conectan fuentes de corriente directa a la red produciendo respuestas forzadas. La solución general la obtenemos siguiendo el mismo método usado en los circuitos RL y RC, esto es, calculando la respuesta forzada u natural. La respuesta completa se expresa como la suma de las respuestas forzada y natural, finalmente se calculan las condiciones iníciales y se aplican a la respuesta completa para encontrara los valores de las constantes. Ejemplo: De acuerdo con la figura 134 encontrar i (t). Figura 134 = = = = = 25 = 400 Como podemos observar >, por lo tanto es sobreamortiguado. Encontramos las raíces. S, = = = = -10; -40 Recordemos que la respuesta completa para la corriente es: i (t) = i + i = i + A e + Ae La componente forzada la encontramos en un t =, dibujando el esquema nos queda, ver figura 135.

43 Figura 135 Observando el esquema tenemos que i = 10 A. Entonces: i (t) = 10 + A e + A e Encontrando las condiciones iníciales en t < 0, tenemos, ver figura 136: Figura 136 Para la figura 136 i (0 ) = 10A y V (0 ) = -1Kv i (0 ) =i (0) = i (0 ) = 10 = 10 + A + A = -10A - 40 A = Para encontrar V L se sugiere dibujar el esquema como el de la figura 137 para un t = 0 +. Figura 137 Aplicando la segunda ley de Kirchoff en la malla, tenemos: V - (-1000) = 0 V v

44 -10A - 40 A = 1500 = A = -300 A = 10 A = A = -10 Por lo tanto la respuesta correcta es i = 10-10e + 10e Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 138 encontrar V (t). Figura 138 = = = 6 = = = 32 Encontramos las raíces S, = = ; 8 Tomando en cuenta que >, entonces la formula general para el caso sobreamortiguado es: V = V + V = V + A e + A e Recordemos que la componente forzada la encontramos en un t = 8 y dibujamos el esquema para el tiempo antes descrito, ver figura 139. V = A e + A e (104)

45 en un t. Las condiciones iníciales las encontramos v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0 i (0 - ) = i (0) = i (0 ) = 0 Evaluando en 0 la expresión (104) tenemos: v (0) = A + A t0 = -4A - 8 = 0 = 2 1 = -128 Figura 139 Recordemos que para encontrar i (0 ) es necesario dibujar el esquema para ese tiempo, tomando en cuenta las condiciones iníciales, ver figura 140. Como podemos observar i (0 ) = -2A. Figura A = 64 A = -16 Por tanto V = e - 16e 16.4 Caso general A continuación analizaremos la técnica para la solución de circuitos RLC que tienen diferentes tipos de excitación o están presentes fuentes dependientes o amplificadores operacionales. Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 141 encontrar V. El circuito es de segundo orden, pero como observamos no lo podemos relacionar con algún circuito RLC, ya sea en serie o en paralelo, debido a la interconexión de los elementos. Analicemos el circuito aplicando análisis de nodos: Figura (105) Suponemos las siguientes soluciones para V y V. V = k e V = k e

46 En forma de matrices tenemos: X = 4 0 Como la respuesta natural es la respuesta sin fuentes, entonces: X = 0 0 Al hacer igual a cero la determinante de la matriz cuadrada, en el primer miembro de la ecuación anterior, se obtiene la ecuación característica: (s + 2) + 4 -(-2)(-2) = 0 s + 2s + 2 = 0 s = -1 ± j1 La forma de las raíces corresponde al caso subamortiguado. Suponemos que buscamos la respuesta para V que es igual a V. V = e (A cost + Bsint) Ahora buscamos la respuesta forzada, como la excitación de cd entonces la respuesta también es una constante. Primero tenemos que expresar nuestras ecuaciones en términos de V e i para esto hacemos lo siguiente. v = v = L = v 2 = =0 = (106) =0 Suponemos la forma de la respuesta forzada V = A i = A

47 Sustituyendo en la ecuación (106) De donde: V = 2 Podemos comprobar el resultado resolviendo el circuito, ver figura 142, para t =. Como podemos observar V = V = IR = I 1 = 4 = 2v Entonces la respuesta completa es: v = 2 + e (A cos t + B sin t) Figura 142 Evaluando en cero tenemos v (0) = 0 = 2 + A 1 t0 = -A + B Para encontrar 1 otra vez utilizamos las ecuaciones (106) en términos de V t0 e i,pero evaluamos en t = 0. Tomamos en cuenta que V (0 ) = i (0 ) = El resultado lo comprobamos resolviendo el circuito de la figura 143 para un t = 0 +. Figura 143 i = 4A t0 = = 4 = 4 Entonces las ecuaciones para determinar A y B nos quedan de la siguiente manera: y la respuesta total es: V = V = 2 e -t (-2 cos t + 2 sin t) Ejemplo: Determine i (t) para las ecuaciones iníciales i (0) = i (0) = 1, ver figura 144.

48 Aplicando análisis de mallas obtenemos: Figura dt Utilizando matrices tenemos: x = 0 0 (2s + 1)(2 + s) - (-s)(-s - 3) = 0 s + 2s + 2 = 0 s, = -1 j1 Entonces: i = e (A cos t + Bsin t) Evaluando en t = 0. i (0) = 1 = A t0 = -A + B = 1 B = 1 + A = 2 i = e (cos t + 2 sin t) Ejemplo: Con base en la figura 145 encontrar el valor de la corriente i para todo tiempo. Aplicando análisis de mallas tenemos: Figura 145

49 i = A e i = A e x = 0 0 (s + 2)(s + 5) - (2)(2) = 0 s + 7s + 6 = 0 s, = = -6; - La forma de las raíces corresponde al caso sobreamortiguado i = A e + A e La respuesta i = 0 por ausencia de fuentes de energía para un t = 0. Buscamos las condiciones iníciales, recordemos que i(0 ) = i(0 ), de acuerdo con la figura 146. Analizaremos el circuito para un t = 0. i(0 ) = = 5A. i(0 ) = i(0 ) = 5 = A + A Figura 146 Evaluamos las ecuaciones en t =0. = -6 A - A i (0 ) = i (0 ) = 1 = 12.5A = Tarea: comprueba el resultado en el siguiente circuito sabiendo que: 1 t0 = Encuentra V (0 )

50 Finalmente las ecuaciones nos quedan A = -1; A = 6 Figura 147 Por lo tanto i =-e + 6e Ejemplo: En la figura 148 encuentre el voltaje de salida V3. Figura 148 Las condiciones iníciales son: V (0) = 0v V (0) = 2v El amplificador operacional que se muestra en la figura 148 es un seguidor de voltaje, por lo tanto V = V Multiplicando las 2 ecuaciones anteriores por 6, obtenemos: V = K e y V = K e 5 s x V = 8 0 (5 + s)(s + 3) - (-3)(-s-3) =

51 Obtenemos la ecuación característica s + 5s + 6 = 0 Donde s, = -2.5 ± = -2;-3 Por lo tanto concluimos que el caso es amortiguado: V = A e + A e Para encontrara la componente forzada, obtenemos la tabla 1, tenemos la r5espuesta para V 1f = A y V 2f = B. Sustituyendo en las ecuaciones tenemos: = =0 A = B = 4 Entonces V = A = 4 La respuesta correcta es V = 4 + A e + A e V (0 ) = V (0) = 0 = 4 + A + A 2 t=0 + = -2A - 3A =? Evaluando las ecuaciones en t = 0 y tomando en cuenta que: V (0 ) = V (0) = V (0 ) = 0 V (0) = 2 = V(0 ) - V(0 ) V (0 ) = 2V (0 ) = = 2 De esta manera V (0) = 2; V (0 ) = 0 Para t = 0 5(2) (0)=8 3(2)+3(0)+ 2 = =0 2 3 =6 A = -6; A = 2 Entonces la respuesta correcta es: V (t) = V (t) = 4-6e + 2e

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